近幾年重慶中考數(shù)學(xué)真題及答案2023

2023年重慶中考數(shù)學(xué)真題及答案（A卷）

（全卷共三個(gè)大題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘）

注意事項(xiàng)：

1.試題的答案書(shū)寫(xiě)在答題卡上，不得在試題卷上直接作答

2.作答前認(rèn)真閱讀答題卡上的注意事項(xiàng)；

3.作圖（包括作輔助線）請(qǐng)一律用黑色28鉛筆完成；

4.考試結(jié)束，由監(jiān)考人員將試題卷和答題卡一并收回參考公式：拋物線

'b4ac-b2yb

y=ax2+bx+c（a^O^的頂點(diǎn)坐標(biāo)為12a4al對(duì)稱軸為“2a

一、選擇題：（本大題10個(gè)小題，每小題4分，共40分）在每個(gè)小題的下面，都給出了代

號(hào)為AB、C、，的四個(gè)答案，其中只有一個(gè)是正確的，請(qǐng)將答題卡上題號(hào)右側(cè)正確答案所

對(duì)應(yīng)的方框涂黑.

1.8的相反數(shù)是（）

c11

A.—8B.8C.-D.—

88

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)進(jìn)行解答即可得.

【詳解】解：8的相反數(shù)是-8,

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查了相反數(shù)的定義，掌握相反數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵.

2.四個(gè)大小相同的正方體搭成的幾何體如圖所示，從正面得到的視圖是（）

正面

A.B.C.D.

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)從正面看得到的圖形是主視圖，可得答案.

【詳解】從正面看第一層是2個(gè)小正方形，第二層右邊1個(gè)小正方形，

故選：I).

【點(diǎn)睛】考查了簡(jiǎn)單組合體的三視圖，從正面看得到的圖形是主視圖.

4

3.反比例函數(shù)y=--的圖象一定經(jīng)過(guò)的點(diǎn)是()

x

A.(1,4)B.(-1,-4)C.(-2,2)D.(2,2)

【答案】C

【解析】

4

【分析】根據(jù)題意將各項(xiàng)的坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=—-即可解答.

x

4

【詳解】解：A、將x=l代入反比例函數(shù)＞=—一得到y(tǒng)=-1x4,故A項(xiàng)不符合題意；

x

4

B、項(xiàng)將x=-1代入反比例函數(shù)y=--得到y(tǒng)=4#—4,故B項(xiàng)不符合題意；

x

4

C、項(xiàng)將T=_/弋入反比例函數(shù)y=--得到y(tǒng)=2=2,故。項(xiàng)符合題意；

4

D、項(xiàng)將x=2代入反比例函數(shù)y=——得到y(tǒng)=-2N2,故D項(xiàng)不符合題意；

x

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，只要點(diǎn)在函數(shù)圖象上則其坐標(biāo)一定滿

足函數(shù)解析式，掌握反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征是解題的關(guān)鍵.

4.若兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1:4,則這兩個(gè)三角形對(duì)應(yīng)邊的比是()

A.1:2B.1:4C.1:8D.1:16

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比即可解答.

【詳解】解：：兩個(gè)相似三角形周長(zhǎng)的比為1:4,

???相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比為1:4,

故選B.

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的周長(zhǎng)比等于相似三角形的對(duì)應(yīng)邊比，掌握相似三角形的性

質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.如圖，AB//CD,ADLAC,若4=55。，則N2的度數(shù)為（)

C.50°D.55°

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得/C48的度數(shù)，根據(jù)垂直的定義可得

ZC4D=90°,然后根據(jù)？2?CAB?C4D即可得出答案.

【詳解】解：［AB〃CD，Nl=55。,

：.?CAB180?55?125?,

,：ADVAC,

，ZCAD=90°,

.,.?2?CAB?CAD125?90?35?,

故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的性質(zhì)以及垂線的定義，熟知兩直線平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題

的關(guān)鍵.

6.估計(jì)后（向+而）的值應(yīng)在（）

A.7和8之間B.8和9之間

C9和10之間D.10和11之間

【答案】B

【解析】

【分析】先計(jì)算二次根式的混合運(yùn)算，再估算結(jié)果的大小即可判斷.

【詳解】解：V2（V8+V10）

=716+5/20

?/2<75<2.5，

/.4<2A/5<5.

，8<4+26<9，

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查了二次根式的混合運(yùn)算，無(wú)理數(shù)的估算，正確掌握二次根式的混合運(yùn)算法

則是解題的關(guān)鍵.

7.用長(zhǎng)度相同的木棍按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個(gè)圖案用了9根木棍，第②個(gè)圖

案用了14根木棍，第③個(gè)圖案用了19根木棍，第④個(gè)圖案用了24根木棍，……，按此規(guī)

律排列下去，則第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是（）

□0□cooo-

?②③④

A.39B.44C.49D.54

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)各圖形中木棍的根數(shù)發(fā)現(xiàn)計(jì)算的規(guī)律，由此即可得到答案.

【詳解】解：第①個(gè)圖案用了4+5=9根木棍，

第②個(gè)圖案用了4+5x2=14根木棍，

第③個(gè)圖案用了4+5x3=19根木棍，

第④個(gè)圖案用了4+5x4=24根木棍，

第⑧個(gè)圖案用的木棍根數(shù)是4+5x8=44根，

故選:B.

【點(diǎn)睛】此題考查了圖形類規(guī)律的探究，正確理解圖形中木棍根數(shù)的變化規(guī)律由此得到計(jì)算

的規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，AC是。的切線，8為切點(diǎn)，連接。4,0C.若NA=30°,AB=26，BC=3,

則0C的長(zhǎng)度是（)

A.3B.2石c.VBD.6

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及正切的定義得到08=2,再根據(jù)勾股定理得到0C=JF.

【詳解】解：連接08,

是。0的切線，B為切點(diǎn)、,

：.OB1AC,

?30°,AB=2^3>

在RjOAB中，0B=ABtanNA=2Gx走

2,

3

BC=3,

.?.在RaOBC中，oc=\JOB2+BC2=V13，

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理,

掌握切線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

9.如圖，在正方形A8CO中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在6C，CDt，連接A￡，AF.EF，

ZEAF=45°.若ZBAE=a,則/FEC一定等于()

A.2aB.90°-2aC.45。-。D.

90°-?

【答案】A

【解析】

【分析】利用三角形逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，再證明三角形全等，最后根據(jù)性質(zhì)和三角形內(nèi)角和

定理即可求解.

【詳解】將qADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至_，

?.?四邊形A3CO是正方形，

?*.AB-AD，/B—/D-/BAD-NC=90°,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：ZDAF=ZBAH，ZD=ZABH=9O°,AF=AH，

：.ZAHB+ZABC=1S00,

:.點(diǎn)、H,B,。三點(diǎn)共線，

?；/BAE=a，NW=45。，/BAD=NHAF=90。，

/.ZDAF=ABAH=45°-a,ZEAF=ZEAH=45°,

?/ZAHB+NBAH=90。,

ZA"B=45°+a,

在_A￡尸和，A￡7/中

AF^AH

<NFAE=NHAE,

AE=AE

：.aAFE^,AHE（SAS）,

，ZAHE^ZAFE^45°+a,

ZAHE=ZAFD=ZAFE=45°+a,

：.ZDFE=ZAFD+ZAFE=90°+2a,

/DFE=ZFEC+ZC="EC+90。,

?*.Z.FEC-2a,

故選：A.

【點(diǎn)睛】此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是

能正確作出旋轉(zhuǎn)，再證明三角形全等，熟練利用性質(zhì)求出角度.

10.在多項(xiàng)式x-y-z一機(jī)一〃（其中x>y>z>m>〃）中，對(duì)相鄰的兩個(gè)字母間任意添

加絕對(duì)值符號(hào)，添加絕對(duì)值符號(hào)后仍只有減法運(yùn)算，然后進(jìn)行去絕對(duì)值運(yùn)算，稱此為“絕對(duì)

操作”.例如：x-y-\z-n^-n=x-y-z+m-n,

\x-y\-z-\m-r^=x-y-z-m+n,......

下列說(shuō)法：

①存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等；

②不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0；

③所有的“絕對(duì)操作”共有7種不同運(yùn)算結(jié)果.

其中正確的個(gè)數(shù)是（）

A.0B.1C.2D.3

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)“絕對(duì)操作”的定義及絕對(duì)值的性質(zhì)對(duì)每一項(xiàng)判斷即可解答.

【詳解】解：

/.\x-y\-z-m-n-x-y-z—m-n,

存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式相等，

故①正確；

根據(jù)絕對(duì)操作的定義可知：在多項(xiàng)式》一>一z一相一〃（其中中，經(jīng)過(guò)

絕對(duì)操作后，z、〃、加的符號(hào)都有可能改變，但是不》的符合不會(huì)改變，

，不存在“絕對(duì)操作”，使其運(yùn)算結(jié)果與原多項(xiàng)式之和為0，

故②正確；

?.?在多項(xiàng)式X-y—Z一相一“（其中x>y>z>m>〃）中，經(jīng)過(guò)“絕對(duì)操作”可能產(chǎn)生的

結(jié)果如下：

/.\x-y\-z-m-n-x-y-z-m-n,

x-\y-z\-m-n-x-y+z-m-n,

x-y-\z-ir^-n-\x-y\-\z-ir^-n-x—y-z+m-n,

x-y-z-\m-n\-\x—y\-z-\m-n\-x—y-z-m+n,

x-\y-z\-\m-n\—x-y+z-m+n,

共有5種不同運(yùn)算結(jié)果，

故③錯(cuò)誤；

故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了新定義“絕對(duì)操作”，絕對(duì)值的性質(zhì)，整式的加減運(yùn)算，掌握絕對(duì)值的

性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

二、填空題：（本大題8個(gè)小題，每小題4分，共32分）請(qǐng)將每小題的答案直接填在答題

卡中對(duì)應(yīng)的橫線上.

11.計(jì)算2一+3°=____.

【答案】1.5

【解析】

【分析】先根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)累及零指數(shù)事化簡(jiǎn)，再根據(jù)有理數(shù)的加法計(jì)算.

【詳解】2一|+3°=」+l=L5.

2

故答案1.5.

【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)累及零指數(shù)嘉的意義，任何不等于0的數(shù)的負(fù)整數(shù)次累，等

于這個(gè)數(shù)的正整數(shù)次基的倒數(shù)，非零數(shù)的零次累等于1.

12.如圖，在正五邊形46砒"中，連接/G則/劭。的度數(shù)為.

B'E

cD

【答案】36°

【解析】

【分析】首先利用多邊形的內(nèi)角和公式求得正五邊形的內(nèi)角和，再求得每個(gè)內(nèi)角的度數(shù)，利

用等腰三角形的性質(zhì)可得/BAC的度數(shù).

【詳解】正五邊形內(nèi)角和：（5-2）X1800=3X180°=540°

/8=邙5=108°,

5

.180°-ZB180°-108°*

??NBAC=------------=--------------=36?

22

故答案為36°.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了正多邊形內(nèi)角和，熟記多邊形的內(nèi)角和公式：（n-2）X1800是

解答此題的關(guān)鍵.

13.一個(gè)口袋中有1個(gè)紅色球，有1個(gè)白色球，有1個(gè)藍(lán)色球，這些球除顏色外都相同.從

中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，搖勻后再?gòu)闹须S機(jī)摸出一個(gè)球，則兩次都摸到紅球的

概率是.

【答案】|

9

【解析】

【分析】列表得出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù),再根據(jù)概率公式求解即可.

【詳解】解：根據(jù)題意列表如下：

紅球白球藍(lán)球

紅球（紅球，紅球）（白球，紅球）（藍(lán)球，紅球）

白球（紅球，白球）（白球，白球）（藍(lán)球，白球）

藍(lán)球（紅球，藍(lán)球）（白球，藍(lán)球）（藍(lán)球，藍(lán)球）

由表知，共有9種等可能結(jié)果，其中兩次都摸到紅球的有1種結(jié)果,

所以兩次摸到球的顏色相同的概率為一，

9

故答案為：春.

9

【點(diǎn)睛】本題考查了列表法或樹(shù)狀圖法求概率.用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情

況數(shù)之比.

14.某新建工業(yè)園區(qū)今年六月份提供就業(yè)崗位1501個(gè)，并按計(jì)劃逐月增長(zhǎng)，預(yù)計(jì)八月份將

提供崗位1815個(gè).設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意，可

列方程為.

【答案】1501(l+x)2=1815

【解析】

【分析】設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為x,根據(jù)題意列出一元二次方

程，即可求解.

【詳解】解：設(shè)七、八兩個(gè)月提供就業(yè)崗位數(shù)量的月平均增長(zhǎng)率為X,根據(jù)題意得，

1501(l+x)2=1815,

故答案為：1501(1+X)2=1815.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，增長(zhǎng)率問(wèn)題，根據(jù)題意列出方程是解題的關(guān)鍵.

15.如圖，在中，NB4C=90，AB=A。，點(diǎn)〃為8。上一點(diǎn)，連接AD.過(guò)

點(diǎn)6作BE_LAD于點(diǎn)E,過(guò)點(diǎn)C作CrJ_AO交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.若BE=4,CF=1,

則EF的長(zhǎng)度為.

【答案】3

【解析】

【分析】證明△AEC也△BE4,得到=CF=A￡,即可得解.

【詳解】解：?：ZBAC=90°,

???NE4B+ZE4c=90。，

VBE±AD，CFVAD,

ZAEB=ZAFC=90°,

，ZACF+ZEAC=90°,

：.ZACF^ZBAE,

在△AFC和△BE4中：

ZAEB=ZCFA

<ZACF=NBAE,

AB=AC

：.△AFC^ABE4（AAS）,

...AF=BE=4,AE=CF=\,

：.EF=AF-AE=4-\=3,

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】本題考查全等三角形判定和性質(zhì).利用同角的余角相等和等腰三角形的兩腰相等

證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

16.如圖，。。是矩形A8CD的外接圓，若A8=4,A￡>=3,則圖中陰影部分的面積為

___________.（結(jié)果保留%）

4/-------、D

B、-------/c

25

【答案】一萬(wàn)一12

4

【解析】

【分析】根據(jù)直徑所對(duì)的圓周角是直角及勾股定理得到BD=5,再根據(jù)圓的面積及矩形的

性質(zhì)即可解答.

【詳解】解：連接30，

?..四邊形ABCD是矩形，

/.BD是〔。的直徑，

???AB=4,AD=3,

BD=\lAB2+AD2=5,

。的半徑為之,

2

25

???。的面積為——萬(wàn)，矩形的面積為3x4=12,

4

25

...陰影部分的面積為了萬(wàn)一12；

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性順，圓的面積，矩形的面積，勾股定

理，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

x+3,0

---<4

17.若關(guān)于x的一元一次不等式組《2至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程

2x-a>2

Q—14

--+--=2有非負(fù)整數(shù)解，則所有滿足條件的整數(shù)a的值之和是

y-22-y

【答案】4

【解析】

【分析】先解不等式組，確定a的取值范圍。46,再把分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,

Q—1

解得>=《一,由分式方程有正整數(shù)解，確定出a的值，相加即可得到答案.

四”①

【詳解】解：，2

2x-a>2②

解不等式①得：x<5,

解不等式②得：X>l+p

.?.不等式的解集為1+W4x45,

?..不等式組至少有2個(gè)整數(shù)解，

/.1+-<4,

2

解得：tz<6;

a—\4.

:關(guān)于y的分式方程--+--=2有非負(fù)整數(shù)解，

y-22-y

a-l-4-2（y-2）

解得：＞=土廠，

即巴」20且竺口聲2,

22

解得：且

，a的取值范圍是l〈aW6,且aw5

，a可以?。?,3,

.?.1+3=4,

故答案為：4.

【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式組，熟練掌握運(yùn)算法則是解題關(guān)

鍵.

18.如果一個(gè)四位自然數(shù)旃的各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,滿足初-應(yīng)=不，

那么稱這個(gè)四位數(shù)為“遞減數(shù)”.例如:四位數(shù)4129,???41—12=29，，4129是“遞減

數(shù)”；又如：四位數(shù)5324,???53-32=21。24，...5324不是“遞減數(shù)”.若一個(gè)“遞減

數(shù)”為嬴，則這個(gè)數(shù)為:若一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)詼

與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)放的和能被9整除,則滿足條件的數(shù)的最大值是.

【答案】①.4312②.8165

【解析】

【分析】根據(jù)遞減數(shù)的定義進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：：^312遞減數(shù)，

10?+3-31=12,

，a=4,

...這個(gè)數(shù)為4312；

故答案為:4312

?.?一個(gè)“遞減數(shù)”的前三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)而與后三個(gè)數(shù)字組成的三位數(shù)域的和能

被9整除,

，10a+/?-10/?—c=10c+d,

abc+bcd=100a+l()b+c+100〃+10c+d，

abc+/?cd=100a+10b+c+100b+10a+/?—10b—c=110a+101〃，

；110a+10仍=99（a+〃）+lla+2〃，能被9整除,

...Ua+2Z?能被9整除，

?.?各數(shù)位上的數(shù)字互不相等且均不為0,

a—2a=3fa=4fa=51々=6。=7a=8

工=〃人=，

?=8'b=761=514,=3\b=2b=l

?.?最大的遞減數(shù),

a=8,Z?=1,

/.10x8-9xl-c=10c+i/,即：llc+tZ=71,

，c最大取6,此時(shí)d=5，

???這個(gè)最大的遞減數(shù)為8165.

故答案為:8165.

【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和二元一次方程的應(yīng)用.理解并掌握遞減數(shù)的定義，是解題

的關(guān)健.

三、解答題：（本大題8個(gè)小題，第19題8分，其余每題各10分，共78分）解答時(shí)每小

題必須給出必要的演算過(guò)程或推理步驟，畫(huà)出必要的圖形（包括輔助線），請(qǐng)將解答過(guò)程書(shū)

寫(xiě)在答題卡中對(duì)應(yīng)的位置上.

19.計(jì)算：

(1)a(2—a)+(a+l)(a—1)；

x2x

(2)-7--------+x---------

x~+2x+1x+1

【答案】（1）2a-l

（2）—

x+1

【解析】

【分析】（1）先計(jì)算單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，平方差公式，再合并同類項(xiàng)即可;

（2）先通分計(jì)算括號(hào)內(nèi)，再利用分式的除法法則進(jìn)行計(jì)算.

【小問(wèn)1詳解】

解：原式=2。-

=2。-1；

【小問(wèn)2詳解】

(x+1)2x+1

X2X+1

二百下

1

一77r

【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，分式的混合運(yùn)算.熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則，正確的計(jì)算，

是解題的關(guān)鍵.

20.學(xué)習(xí)了平行四邊形后，小虹進(jìn)行了拓展性研究.她發(fā)現(xiàn)，如果作平行四邊形一條對(duì)角線

的垂直平分線，那么這個(gè)平行四邊形的一組對(duì)邊截垂直平分線所得的線段被垂足平分.她

的解決思路是通過(guò)證明對(duì)應(yīng)線段所在的兩個(gè)三角形全等得出結(jié)論.請(qǐng)根據(jù)她的思路完成以下

作圖與填空：

用直尺和圓規(guī)，作AC的垂直平分線交。C于點(diǎn)反交AB于點(diǎn)V垂足為點(diǎn)。.(只保留作

圖痕跡)

己知：如圖，四邊形A8CO是平行四邊形，AC是對(duì)角線，所垂直平分AC，垂足為點(diǎn)

0.

求證：OE=OF.

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

；?DC//AB.

，ZECO=?

尸垂直平分AC,

②

又乙EOC③

：./^COE^MOF(ASA).

：.OE=OF.

小虹再進(jìn)一步研究發(fā)現(xiàn),過(guò)平行四邊形對(duì)角線AC中點(diǎn)的直線與平行四邊形一組對(duì)邊相交形

成的線段均有此特征.請(qǐng)你依照題意完成下面命題：

過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線④.

【答案】作圖：見(jiàn)解析；ZFAO；AO=COxZFOA；被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截

得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分

【解析】

【分析】根據(jù)線段垂直平分線的畫(huà)法作圖，再推理證明即可并得到結(jié)論.

【詳解】解：如圖,即為所求；

DC

AF\L.H

證明：?.?四邊形ABC。是平行四邊形，

，DC//AB.

：.ZECO=ZFAO.

,/石/垂直平分AC，

；?AO=CO.

又/EOC=/FOA.

.COE=AOF(ASA).

OE=OF.

故答案為：ZFAO；AO=CO；NFQ4；

由此得到命題：過(guò)平行四邊形對(duì)角線中點(diǎn)的直線被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被

對(duì)角線中點(diǎn)平分，

故答案為：被平行四邊形一組對(duì)邊所截，截得的線段被對(duì)角線中點(diǎn)平分.

【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，作線段的垂直平分線，全等三角形的判定和性質(zhì)，

熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)及線段垂直平分線的作圖方法是解題的關(guān)鍵.

21.為了解48兩款品質(zhì)相近的智能玩具飛機(jī)在一次充滿電后運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間，有關(guān)人員

分別隨機(jī)調(diào)查了爾3兩款智能玩具飛機(jī)各10架，記錄下它們運(yùn)行的最長(zhǎng)時(shí)間（分鐘），并

對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行整理、描述和分析（運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間用x表示，共分為三組：合格60Mx<70,中

等70Wx<80,優(yōu)等X280）,下面給出了部分信息：

｛款智能玩具飛機(jī)10架一次充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間是：

60,64,67,69,71,71,72,72,72,82

6款智能玩具飛機(jī)10架一次充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間屬于中等的數(shù)據(jù)是:

70,71,72,72,73

兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間統(tǒng)計(jì)表，B款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間扇形統(tǒng)計(jì)圖

類別AB

平均數(shù)7070

中位數(shù)71b

眾數(shù)a67

方差30.426.6

根據(jù)以上信息，解答下列問(wèn)題:

（1）上述圖表中。=b=,m=；

（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，你認(rèn)為哪款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好？請(qǐng)說(shuō)明理由（寫(xiě)出一條理由

即可）；

（3）若某玩具倉(cāng)庫(kù)有｛款智能玩具飛機(jī)200架、8款智能玩具飛機(jī)120架，估計(jì)兩款智能

玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的共有多少架？

【答案】（1）72,70.5,10；

（2）6款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好；因?yàn)?款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的方差比4款智能

玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的方差小，運(yùn)行時(shí)間比較穩(wěn)定；

（3）兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的大約共有192架.

【解析】

【分析】（1）由/款數(shù)據(jù)可得4款的眾數(shù)，即可求出由6款扇形數(shù)據(jù)可求得合格數(shù)及優(yōu)

秀數(shù)，從而求得中位數(shù)及優(yōu)秀等次的百分比；

（2）根據(jù)方差越小越穩(wěn)定即可判斷；

（3）用樣本數(shù)據(jù)估計(jì)總體，分別求出兩款飛機(jī)中等及以上的架次相加即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：由題意可知10架4款智能玩具飛機(jī)充滿電后運(yùn)行最長(zhǎng)時(shí)間中，只有72出現(xiàn)了三次，且

次數(shù)最多，則該組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為72,即。=72；

由8款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的扇形圖可知，合格的百分比為40%，

則6款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間合格的架次為：10x40%=4（架）

則6款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間優(yōu)等的架次為：10-4-5=1（架）

則6款智能玩具飛機(jī)的運(yùn)行時(shí)間第五、第六個(gè)數(shù)據(jù)分別為：70,71,

故8款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的中位數(shù)為：=5=70.5

2

8款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間優(yōu)等的百分比為：—X100%=10%

10

即777=10

故答案為：72,70.5,10；

【小問(wèn)2詳解】

8款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能更好；因?yàn)?款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行時(shí)間的方差比A款智能玩具飛

機(jī)運(yùn)行時(shí)間的方差小，運(yùn)行時(shí)間比較穩(wěn)定；

【小問(wèn)3詳解】

200架4款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的架次為：

200X—=120（架）

10

200架/款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的架次為:

120x9=72(架)

10

則兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的共有：120+72=192架，

答：兩款智能玩具飛機(jī)運(yùn)行性能在中等及以上的大約共有192架.

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形統(tǒng)計(jì)圖，中位數(shù)、眾數(shù)、百分比，用方差做決策，用樣本估計(jì)總體；

解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)知識(shí)綜合求解.

22.某公司不定期為員工購(gòu)買(mǎi)某預(yù)制食品廠生產(chǎn)的雜醬面、牛肉面兩種食品.

(1)該公司花費(fèi)3000元一次性購(gòu)買(mǎi)了雜醬面、牛肉面共170份，此時(shí)雜醬面、牛肉面的價(jià)

格分別為15元、20元，求購(gòu)買(mǎi)兩種食品各多少份？

(2)由于公司員工人數(shù)和食品價(jià)格有所調(diào)整，現(xiàn)該公司分別花費(fèi)1260元、1200元一次性

購(gòu)買(mǎi)雜醬面、牛肉面兩種食品，已知購(gòu)買(mǎi)雜醬面的份數(shù)比牛肉面的份數(shù)多50%,每份雜醬

面比每份牛肉面的價(jià)格少6元，求購(gòu)買(mǎi)牛肉面多少份？

【答案】(1)購(gòu)買(mǎi)雜醬面80份，購(gòu)買(mǎi)牛肉面90份

(2)購(gòu)買(mǎi)牛肉面90份

【解析】

【分析】(1)設(shè)購(gòu)買(mǎi)雜醬面x份，則購(gòu)買(mǎi)牛肉面(170-X)份，由題意知，

15x+20x(170-x)=3(X)0,解方程可得x的值，然后代入170—x,計(jì)算求解，進(jìn)而可得

結(jié)果；

11

(2)設(shè)購(gòu)買(mǎi)牛肉面。份，則購(gòu)買(mǎi)雜醬面1.5。份，由題意知，——+6=——,計(jì)算求出

1.5cza

滿足要求的解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)雜醬面X份，則購(gòu)買(mǎi)牛肉面(170-X)份，

由題意知，15x+20x(17()-x)=3000,

解得，x=80，

170-x=90,

購(gòu)買(mǎi)雜醬面80份，購(gòu)買(mǎi)牛肉面90份；

【小問(wèn)2詳解】

解：設(shè)購(gòu)買(mǎi)牛肉面。份，則購(gòu)買(mǎi)雜醬面1.5。份，

1260/1200

由題意知,----+6=----

解得a=90,

經(jīng)檢驗(yàn)，a=90是分式方程的解,

二購(gòu)買(mǎi)牛肉面90份.

【點(diǎn)睛】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，分式方程的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵在于根據(jù)題意正確

的列方程.

23.如圖，_ABC是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，動(dòng)點(diǎn)￡，尸分別以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度同

時(shí)從點(diǎn)｛出發(fā)，點(diǎn)后沿折線Af6fC方向運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸沿折線AfC-8方向運(yùn)動(dòng)，當(dāng)

兩者相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，點(diǎn)￡,少的距離為匕

(1)請(qǐng)直接寫(xiě)出y關(guān)于r的函數(shù)表達(dá)式并注明自變量t的取值范圍：

(2)在給定的平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出這個(gè)函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出該函數(shù)的一條性質(zhì)；

(3)結(jié)合函數(shù)圖象，寫(xiě)出點(diǎn)6,6相距3個(gè)單位長(zhǎng)度時(shí)t的值.

【答案】(1)當(dāng)0<fW4時(shí)，y=f；當(dāng)4<tW6時(shí)，y=12—2f；

(2)圖象見(jiàn)解析，當(dāng)0<fW4時(shí)，y隨x的增大而增大

(3)￡的值為3或4.5

【解析】

【分析】(1)分兩種情況：當(dāng)0<，44時(shí)，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)解答；當(dāng)4</46時(shí),

利用周長(zhǎng)減去2A￡即可；

(2)在直角坐標(biāo)系中描點(diǎn)連線即可；

(3)利用y=3分別求解即可.

【小問(wèn)1詳解】

解：當(dāng)0<fW4時(shí)，

連接石尸,

/.尸是等邊三角形,

，y=h

當(dāng)4<fW6時(shí),y=n-2t；

【小問(wèn)2詳解】

9

8

7

6

5

4

3

2

1

當(dāng)0<fK4時(shí)，y隨x的增大而增大；

【小問(wèn)3詳解】

當(dāng)0</44時(shí)，y=3即，=3；

當(dāng)4<，W6時(shí)，y=3即12—2/=3,解得r=4.5,

故1的值為3或4.5.

【點(diǎn)睛】此題考查了動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，一次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，解一元一次方程，正確理解動(dòng)點(diǎn)問(wèn)

題是解題的關(guān)鍵.

24.為了滿足市民的需求，我市在一條小河A3兩側(cè)開(kāi)辟了兩條長(zhǎng)跑鍛煉線路，如圖；①

A-D-C-B；②A-E—B.經(jīng)勘測(cè)，點(diǎn)8在點(diǎn)/的正東方，點(diǎn)C在點(diǎn)8的正北方10千

米處，點(diǎn)〃在點(diǎn)。的正西方14千米處，點(diǎn)〃在點(diǎn)4的北偏東45°方向，點(diǎn)￡?在點(diǎn)力的正南

方，點(diǎn)￡在點(diǎn)8的南偏西60°方向.（參考數(shù)據(jù)：&=1.41,6=1.73）

北

西一卜東

南

（1）求助的長(zhǎng)度.（結(jié)果精確到1千米）

（2）由于時(shí)間原因，小明決定選擇一條較短線路進(jìn)行鍛煉，請(qǐng)計(jì)算說(shuō)明他應(yīng)該選擇線路①

還是線路②？

【答案】（1）/〃的長(zhǎng)度約為14千米

（2）小明應(yīng)該選擇路線①，理由見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)F，根據(jù)題意可得四邊形BCDF是矩形，進(jìn)而得出

DF=BC=IO,然后解直角三角形即可；

（2）分別求出線路①和線路②的總路程，比較即可.

【小問(wèn)I詳解】

解：過(guò)點(diǎn)。作于點(diǎn)E，

由題意可得：四邊形3c是矩形,

￡>F=8C=10千米，

?.?點(diǎn)〃在點(diǎn)力的北偏東45°方向，

?DAF?DAN45?,

DF

：.AD1072?14千米,

sin45°

答：/〃的長(zhǎng)度約為14千米；

【小問(wèn)2詳解】

由題意可得：BC=10,0)=14,

路線①的路程為：AD+DC+BC=10V2+14+10=24+1072?38(千米)，

；￡)F=BC=10,2DAF?DAN45?,NOE4=90°,

為等腰直角三角形，

：.AF=DF=10,

：.AB=AF+BF=AF+DC=10+14=24,

由題意可得？EBS60?,

ZE=60。，

AE="8=8G,BE=M=16^,

tan60°sin60°

所以路線②的路程為：AE+BE=8百+1673=24百？42千米，

路線①的路程<路線②的路程，

故小明應(yīng)該選擇路線①.

【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的相關(guān)定義，掌握特

殊角三角函數(shù)值是解本題的關(guān)鍵.

25.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中,拋物線》=辦2+汝+2過(guò)點(diǎn)(1,3),且交x軸于點(diǎn)A(-l,0),

8兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)點(diǎn)一是直線上方拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸作尸。_L6C于點(diǎn)〃過(guò)點(diǎn)一作y軸的

平行線交直線于點(diǎn)E,求周長(zhǎng)的最大值及此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)在(2)中△尸DE周長(zhǎng)取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線CB方向平移逐個(gè)單

位長(zhǎng)度，點(diǎn)"為平移后的拋物線的對(duì)稱軸上一點(diǎn).在平面內(nèi)確定一點(diǎn)N,使得以點(diǎn)P,M,

力為頂點(diǎn)的四邊形是菱形，寫(xiě)出所有符合條件的點(diǎn)人的坐標(biāo)，并寫(xiě)出求解點(diǎn)N的坐標(biāo)的其中

一種情況的過(guò)程.

1,3

【答案】（1）y=-xH—x+2

22

（2）周長(zhǎng)的最大值1°,此時(shí)點(diǎn)P（2,3）

3⑺

（3）以點(diǎn)4P,M,"為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)N

【解析】

【分析】（1）把（1,3）、4（一1,0）代入丁=0?+區(qū)+2計(jì)算即可；

（2）延長(zhǎng)PE交x軸于/，可彳導(dǎo)/DEP=/BCO,進(jìn)而得到.。尸EOBC,

DPE周長(zhǎng)_PE

求出PE的最大值即可;

03C周長(zhǎng)一記

（3）先求出平移后的解析式，再設(shè)出也"的坐標(biāo)，最后根據(jù)菱形的性質(zhì)和判定計(jì)算即可.

【小問(wèn)1詳解】

3=Q+。+2

把（1,3）、A（—1,0）代入＞=#+法+2得，,

0=。一力+2’

解得，

h=-

2

13

.??拋物線的表達(dá)式為丁=-5—+3犬+2；

【小問(wèn)2詳解】

???過(guò)點(diǎn)一作PD上BC于點(diǎn)D,過(guò)點(diǎn)尸作y軸的平行線交直線BC于點(diǎn)、E,

???ZDEP=ZBCO,ZPDE=ZCOB=90°,

二一DPE-LOBC,

.DPE周長(zhǎng)PE

".OBC周長(zhǎng)一~BC'

PF

.OPE周長(zhǎng)=——a08。周長(zhǎng)，

BC

：.當(dāng)PE最大時(shí)△產(chǎn)力E周長(zhǎng)的最大

?.?拋物線的表達(dá)式為y=-；/++2,

8（4,0）,

...直線BC解析式為y=-；x+2,BC=yjoc2+OB2=2逐

設(shè)P（；w,一；/??+gm+2）,則E[〃z,-g〃z+2]

PE=--m2+—m+2-|m+2|=-—m2+2m=-—（m-2Y+2,

22I2）22V7

???當(dāng)加=2時(shí)尸E=2最大，此時(shí)P（2,3）

???8（9C周長(zhǎng)為OC+O8+8C=6+26，

△PDE周長(zhǎng)的最大值為一=X（6+26）=6"+10,此時(shí)尸（2,3）,

2V5V75

即NDE周長(zhǎng)的最大值”+1。，此時(shí)點(diǎn)P（2,3）；

【小問(wèn)3詳解】

???將該拋物線沿射線CB方向平移后個(gè)單位長(zhǎng)度，可以看成是向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度再向

下平移一個(gè)單位長(zhǎng)度，

???平移后的解析式為y=—；（x—2y+g（x—2）+2—1=—gd+gx—4,止匕拋物線對(duì)稱軸為

直線工"7

2

.??設(shè)AfN(s,t)

???P(2,3),A(-l,0)

???PA2=18.PM2=f1

AM2=f-+11+(〃-0)2衛(wèi)+A?,

12)V74

當(dāng)"為對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)42M4為頂點(diǎn)的四邊形是菱形

與MN互相平分，且=

9

+

4-n—3y=—+n2,解得n=——

742

2

，2]3+0、+s〃+1

??,Q4中點(diǎn)坐標(biāo)為,用N中點(diǎn)坐標(biāo)為2^,一

k2222

/s=—

—Fs=12

>>2,解得j9

n+t=3t--

1I2

59

此時(shí)N

252

當(dāng)24為邊長(zhǎng)且A"和PN是對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)4P,M,N為頂點(diǎn)的四邊形是菱形

???AM與PN互相平分，且PM=Q4

《+("3)2=18,解得〃=3土乎

,、f2_i)

…/2+s3+l),,2〃+。

???PN中點(diǎn)坐標(biāo)為工一,二，AM中點(diǎn)坐標(biāo)為—

I22J22

\/

1

s=—

2+5=--12

2,解得，

.*3幣,

3+Z=九+0t=±------

2

3⑺

此時(shí)N或鋁廠可

同理，當(dāng)為邊長(zhǎng)且AN和PM是對(duì)角線時(shí)，此時(shí)以點(diǎn)力，只機(jī)M為頂點(diǎn)的四邊形是菱

形

，4V和PM互相平分，且=

一+〃2=18,此方程無(wú)解;

4

3⑺

綜上所述，以點(diǎn)4只為頂點(diǎn)的四邊形是菱形時(shí)N

【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)的綜合題，考查了待定系數(shù)法，相似三角形的性質(zhì)與判定，菱形的

性質(zhì)及應(yīng)用，中點(diǎn)坐標(biāo)公式等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用含字母的代數(shù)式表示相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)及相

關(guān)線段的長(zhǎng)度.

26.在Rt_ABC中，ZACB=90°,/8=60°,點(diǎn)。為線段AB上一動(dòng)點(diǎn)，連接C0.

(1)如圖1,若AC=9,BD=6求線段40的長(zhǎng).

(2)如圖2,以。。為邊在CO上方作等邊,CDE,點(diǎn)尸是0E的中點(diǎn)，連接BE并延長(zhǎng)，

交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G.若NG=NBCE,求證：GF^BF+BE.

(3)在CD取得最小值的條件下，以CD為邊在右側(cè)作等邊.點(diǎn)M為CD所在

直線上一點(diǎn)，將沿5M所在直線翻折至AABC所在平面內(nèi)得到.BMW.連接AN,

點(diǎn)P為AN的中點(diǎn)，連接CP，當(dāng)CP取最大值時(shí)，連接BP，將&BC75沿8C所在直線翻

折至ABC所在平面內(nèi)得到BCQ,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)詈的值.

【答案】⑴5百

(2)見(jiàn)解析(3)叵

5

【解析】

【分析】(1)解Rt_ABC，求得AB，根據(jù)4)=4?—即可求解;

(2)延長(zhǎng)FB使得FH=FG,連接￡7/,可得_GFD空HFE(SAS),根據(jù)

ZDEC=ZDBC=60°,得出B,C,D,E四點(diǎn)共圓，則/EDB=ZBCE,

NBEC=ZBDC,得出乙BEH=60°-NBEC=60°-NBDC=ZEDB,結(jié)合已知條件

得出NH=NBEH，可得EB=BH，即可得證；

(3)在C。取得最小值的條件下，即CDLA3,設(shè)AB=4a,則8c=2a,AC=2島,

根據(jù)題意得出點(diǎn)N在以8為圓心，。為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，取的中點(diǎn)S,連接"，則SP

是qABN的中位線，P在半徑為;。的，S上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)CP取最大值時(shí)，即P,S,C三點(diǎn)共

線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)P作尸TLAC于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)N作NRJ_AC于點(diǎn)/?,連接P。，交

NR于點(diǎn)U,則四邊形PURT是矩形，得出PO是,ANR的中位線，同理可得PT是ANR

的中位線，4BCS是等邊三角形，將二BCP沿8C所在直線翻折至△ABC所在平面內(nèi)得到

BCQ,則NQCP=2N8CP=120°,在Rt_NUQ中，勾股定理求得NQ,進(jìn)而即可求

解.

【小問(wèn)1詳解】

解：在RtABC中，ZACfi=90°,N8=60°,

AB=M=M6

2

BD=6，

AD=AB—BD=56;

【小問(wèn)2詳解】

證明：如圖所示，延長(zhǎng)EB使得切=用;，連接￡77,

；F是OE的中點(diǎn)則OE=EE，F(xiàn)H=FG,ZGFD=ZHFE,

，.GFD^HFE(SAS),

???N〃=NG,

EH//GC,

：.ZHEC=ZECD=60°

?/DEC是等邊三角形，

，ZDEC=NEDC=60°,

?：/DEC=/DBC=60°,

B,C,￡>,。四點(diǎn)共圓,

NEDB=NBCE,/BEC=4BDC,

：.ZBEH=60°-ZBEC=60?！猌BDC=NEDB,

ZG=ZBCE=ZBDE=/H,

:.AH=NBEH，

；?EB=BH，

:.FH=FG=BF+BH=BF+EB；

【小問(wèn)3詳解】

解：如圖所示，

在CQ取得最小值的條件下，即CDLA3，

設(shè)AB-4a,則BC-2a,AC=26a>

*BC=2百絲2j島,BD=-BC=a,

AB4?2

V將_BEM沿BM所在直線翻折至.ABC所在平面內(nèi)得到—BNM.

:.BE=BN

...點(diǎn)N在以5為圓心，。為半徑的圓上運(yùn)動(dòng)，

取AB的中點(diǎn)S,連接SP,

則SP是_A8N的中位線，

.??P在半徑為ga的S上運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)CP取最大值時(shí)，即P,S,C三點(diǎn)共線時(shí)，此時(shí)如圖，過(guò)點(diǎn)P作PTLAC于點(diǎn)T，過(guò)點(diǎn)N

作NR_LAC于點(diǎn)

；S是的中點(diǎn)，ZABC=60°

SC=S