數(shù)學(xué)教案：第一章統(tǒng)計(jì)§8

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精§8最小二乘估計(jì)整體設(shè)計(jì)教學(xué)分析教材通過(guò)思考交流引入了最小二乘法，進(jìn)一步提出了線性回歸方程.教科書在探索用多種方法確定線性回歸直線的過(guò)程中，向?qū)W生展示創(chuàng)造性思維的過(guò)程，幫助學(xué)生理解最小二乘法的思想。通過(guò)氣溫與飲料銷售量的例子及隨后的思考，使同學(xué)們了解利用線性回歸方程解決實(shí)際問(wèn)題的全過(guò)程,體會(huì)線性回歸方程作出的預(yù)測(cè)結(jié)果的隨機(jī)性,并且可能犯的錯(cuò)誤。進(jìn)一步，教師可以利用計(jì)算機(jī)模擬和多媒體技術(shù),直觀形象地展示預(yù)測(cè)結(jié)果的隨機(jī)性和規(guī)律性.三維目標(biāo)經(jīng)歷用不同估算方法描述兩個(gè)變量線性相關(guān)的過(guò)程。了解最小二乘法的思想，能根據(jù)給出的線性回歸方程的系數(shù)公式建立線性回歸方程。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：求線性回歸方程，以及線性回歸分析.教學(xué)難點(diǎn)：確定線性回歸系數(shù).課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課思路1。客觀事物是相互聯(lián)系的,過(guò)去研究的大多數(shù)是因果關(guān)系,但實(shí)際上更多存在的是一種非因果關(guān)系。比如說(shuō)：某某同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與物理成績(jī),彼此是互相聯(lián)系的,但不能認(rèn)為數(shù)學(xué)是“因”，物理是“果”，或者反過(guò)來(lái)說(shuō)。事實(shí)上，數(shù)學(xué)和物理成績(jī)都是“果”，而真正的“因"是學(xué)生的理科學(xué)習(xí)能力和努力程度.所以說(shuō),函數(shù)關(guān)系存在著一種確定性關(guān)系,但還存在著另一種非確定性關(guān)系——相關(guān)關(guān)系.為表示這種相關(guān)關(guān)系，我們接著學(xué)習(xí)兩個(gè)變量的線性相關(guān)——回歸直線及其方程.思路2。某小賣部為了了解熱茶銷售量與氣溫之間的關(guān)系,隨機(jī)統(tǒng)計(jì)并制作了某6天賣出熱茶的杯數(shù)與當(dāng)天氣溫的對(duì)照表：氣溫/℃261813104—1杯數(shù)202434385064如果某天的氣溫是-5℃推進(jìn)新課新知探究提出問(wèn)題（1）畫散點(diǎn)圖的步驟是什么？（2）正、負(fù)相關(guān)的概念？（3）什么是線性相關(guān)？（4）觀察下面人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖,當(dāng)人的年齡增加時(shí)，體內(nèi)脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？圖1(5）什么叫作回歸直線？(6)如何求回歸直線的方程?什么是最小二乘法？(7)利用計(jì)算機(jī)如何求線性回歸方程?活動(dòng)：學(xué)生回顧，再思考或討論，教師及時(shí)提示指導(dǎo).討論結(jié)果：（1)建立相應(yīng)的平面直角坐標(biāo)系,將各數(shù)據(jù)在平面直角坐標(biāo)中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)畫出來(lái),得到表示兩個(gè)變量的一組數(shù)據(jù)的圖形，這樣的圖形叫作散點(diǎn)圖。（2）如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域內(nèi),稱為正相關(guān).如果散點(diǎn)圖中的點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域內(nèi),稱為負(fù)相關(guān).(3）如果所有的樣本點(diǎn)都落在某一直線附近，變量之間就有線性相關(guān)的關(guān)系。（4）大體上來(lái)看，隨著年齡的增加,人體中脂肪的百分比也在增加，呈正相關(guān)的趨勢(shì)，我們可以從散點(diǎn)圖上來(lái)進(jìn)一步分析。(5）從散點(diǎn)圖上可以看出，這些點(diǎn)大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線附近。如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近,我們就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫作回歸直線。如果能夠求出這條回歸直線的方程(簡(jiǎn)稱回歸方程)，那么我們就可以比較清楚地了解年齡與體內(nèi)脂肪含量的相關(guān)性。就像平均數(shù)可以作為一個(gè)變量的數(shù)據(jù)的代表一樣,這條直線可以作為兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系的代表。（6）從散點(diǎn)圖上可以發(fā)現(xiàn),人體的脂肪百分比和年齡的散點(diǎn)圖，大致分布在通過(guò)散點(diǎn)圖中心的一條直線.那么，我們應(yīng)當(dāng)如何具體求出這個(gè)回歸方程呢?有的同學(xué)可能會(huì)想，我可以采用測(cè)量的方法，先畫出一條直線,測(cè)量出各點(diǎn)與它的距離,然后移動(dòng)直線，到達(dá)一個(gè)使距離的和最小的位置，測(cè)量出此時(shí)的斜率和截距,就可得到回歸方程了.但是,這樣做可靠嗎?有的同學(xué)可能還會(huì)想，在圖中選擇這樣的兩點(diǎn)畫直線，使得直線兩側(cè)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)基本相同.同樣地，這樣做能保證各點(diǎn)與此直線在整體上是最接近的嗎？還有的同學(xué)會(huì)想，在散點(diǎn)圖中多取幾組點(diǎn),確定出幾條直線的方程,再分別求出各條直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個(gè)平均數(shù)當(dāng)成回歸方程的斜率和截距。同學(xué)們不妨去實(shí)踐一下，看看這些方法是不是真的可行?(學(xué)生討論：1.選擇能反映直線變化的兩個(gè)點(diǎn).2。在圖中放上一根細(xì)繩，使得上面和下面點(diǎn)的個(gè)數(shù)相同或基本相同.3。多取幾組點(diǎn)對(duì)，確定幾條直線方程.再分別算出各個(gè)直線方程斜率、截距的算術(shù)平均值，作為所求直線的斜率、截距。）教師：分別分析各方法的可靠性。如圖2、3、4:圖2圖3圖4上面這些方法雖然有一定的道理,但總讓人感到可靠性不強(qiáng)。實(shí)際上,求回歸方程的關(guān)鍵是如何用數(shù)學(xué)的方法來(lái)刻畫“從整體上看，各點(diǎn)與此直線的距離最小”.人們經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期的實(shí)踐與研究，已經(jīng)得出了計(jì)算回歸方程的斜率與截距的一般公式①這樣得到的直線方程y=a+bx稱為線性回歸方程,a,b是線性回歸方程的系數(shù).推導(dǎo)以上公式的計(jì)算比較復(fù)雜，這里不作推導(dǎo)。但是,我們可以解釋一下得出它的原理。假設(shè)我們已經(jīng)得到兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2),…，（xn，yn),且所求回歸方程是y=a+bx，其中a、b是待定參數(shù).當(dāng)變量x取xi(i=1,2,…,n)時(shí)可以得到y(tǒng)=a+bxi（i=1,2,…,n）,它與實(shí)際收集到的yi之間的偏差是yi-y=yi—（a+bxi）(i=1,2，…,n）。圖5這樣，用這n個(gè)偏差的和來(lái)刻畫“各點(diǎn)與此直線的整體偏差”是比較合適的。由于（yi-y）可正可負(fù)，為了避免相互抵消，可以考慮用來(lái)代替，但由于它含有絕對(duì)值，運(yùn)算不太方便，所以改用Q=(y1-bx1-a）2+(y2—bx2—a）2+…+（yn—bxn—a)2②來(lái)刻畫n個(gè)點(diǎn)與回歸直線在整體上的偏差.這樣，問(wèn)題就歸結(jié)為:當(dāng)a，b取什么值時(shí)Q最小，即總體偏差最小。經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)上求最小值的運(yùn)算，a，b的值由公式①給出.通過(guò)求②式的最小值而得出回歸直線的方法，即求回歸直線，使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到它的距離的平方和最小，這一方法叫作最小二乘法（methodofleastsquare)。（7）見(jiàn)課本本節(jié)信息技術(shù)應(yīng)用中利用計(jì)算機(jī)求線性回歸方程的具體操作步驟。應(yīng)用示例思路1例1在上一節(jié)練習(xí)中，從散點(diǎn)圖可以看出，某小賣部6天賣出熱茶的杯數(shù)(y）與當(dāng)天氣溫（x)之間是線性相關(guān)的.數(shù)據(jù)如下表：氣溫（xi）/℃261813104—1杯數(shù)202434385064(1)試用最小二乘法求出線性回歸方程.(2)如果某天的氣溫是—3℃解:(1）從散點(diǎn)圖中可以看出，表中的兩個(gè)變量是線性相關(guān)的。圖6先列表求出，其他數(shù)據(jù)如下表.ixiyixi2xiyi126206765202182432443231334169442410381003805450162006—1641—64合計(jì)7023012861910進(jìn)而，可以求得b=≈-1。648，a≈57。557.于是,線性回歸方程為y=57.557-1.648x。（2)由上面的最小二乘估計(jì)得出的線性回歸方程知，當(dāng)某天的氣溫是—3℃變式訓(xùn)練下表為某地近幾年機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)的統(tǒng)計(jì)資料.機(jī)動(dòng)車輛數(shù)x／千臺(tái)95110112120129135150180交通事故數(shù)y／千件6.27.57.78.58.79。810.213(1)請(qǐng)判斷機(jī)動(dòng)車輛數(shù)與交通事故數(shù)之間是否有線性相關(guān)關(guān)系,如果不具有線性相關(guān)關(guān)系,請(qǐng)說(shuō)明理由；(2）如果具有線性相關(guān)關(guān)系，求出線性回歸方程。解：(1）在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖7。圖7直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系.（2）計(jì)算得b≈0。0774,a=—1.0241,所以,所求線性回歸方程為y=-1。0241+0.0774x。思路2例1給出施化肥量對(duì)水稻產(chǎn)量影響的試驗(yàn)數(shù)據(jù)：施化肥量x15202530354045水稻產(chǎn)量y330345365405445450455(1）畫出上表的散點(diǎn)圖；(2）求出回歸直線的方程。解：（1)散點(diǎn)圖如圖8。圖8(2）計(jì)算得b≈4。75,a≈257。從而得回歸直線方程是y=257+4.75x。變式訓(xùn)練1.一個(gè)車間為了規(guī)定工時(shí)定額,需要確定加工零件所花費(fèi)的時(shí)間.為此進(jìn)行了10次試驗(yàn),測(cè)得數(shù)據(jù)如下：零件個(gè)數(shù)x(個(gè))102030405060708090100加工時(shí)間y（分)626875818995102108115122請(qǐng)判斷y與x是否具有線性相關(guān)關(guān)系，如果y與x具有線性相關(guān)關(guān)系,求線性回歸方程.解:在直角坐標(biāo)系中畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，如圖9.圖9直觀判斷散點(diǎn)在一條直線附近，故具有線性相關(guān)關(guān)系.由測(cè)得的數(shù)據(jù)表可知：b≈0。668,a=—b≈54。96。因此,所求線性回歸方程為y=bx+a=54。96+0.668x.2.已知10只狗的血球體積及紅血球數(shù)的測(cè)量值如下：血球體積x(mL)45424648423558403950紅血球數(shù)y(百萬(wàn))6。536。309.527.506.995。909。496.206.558。72(1）畫出上表的散點(diǎn)圖；(2)求出回歸直線的方程。解：（1）散點(diǎn)圖如圖10。圖10（2)（45+42+46+48+42+35+58+40+39+50)=44。50，（6.53+6.30+9。52+7.50+6.99+5.90+9。49+6。20+6。55+8。72）=7。37.設(shè)回歸直線方程為y=a+bx,則b=0。175,a==—0。418,所以所求回歸直線的方程為y=-0。418+0.175x。點(diǎn)評(píng)：對(duì)一組數(shù)據(jù)進(jìn)行線性回歸分析時(shí)，應(yīng)先畫出其散點(diǎn)圖,看其是否呈直線形,再依系數(shù)a,b的計(jì)算公式，算出a,b.由于計(jì)算量較大,所以在計(jì)算時(shí)應(yīng)借助技術(shù)手段,認(rèn)真細(xì)致,謹(jǐn)防計(jì)算中產(chǎn)生錯(cuò)誤，求線性回歸方程的步驟：計(jì)算平均數(shù)；計(jì)算xi與yi的積,求∑xiyi；計(jì)算∑xi2;將結(jié)果代入公式求b;用a=求a；寫出回歸直線方程。知能訓(xùn)練1.下列兩個(gè)變量之間的關(guān)系哪個(gè)不是函數(shù)關(guān)系(）A.角度和它的余弦值B.正方形邊長(zhǎng)和面積C.正ｎ邊形的邊數(shù)和它的內(nèi)角和D.人的年齡和身高答案：D2.三點(diǎn)(3，10),(7,20)，(11，24）的線性回歸方程是（）A.y=5.75—1。75xB.y=1。75+5.75xC.y=1。75—5.75xD.y=5.75+1.75x答案：D3。已知關(guān)于某設(shè)備的使用年限x與所支出的維修費(fèi)用y（萬(wàn)元），有如下統(tǒng)計(jì)資料:使用年限x23456維修費(fèi)用y2。23。85。56.57。0設(shè)y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系.試求：（1）線性回歸方程y=bx+a的回歸系數(shù)a，b；（2）估計(jì)使用年限為10年時(shí),維修費(fèi)用是多少？答案：(1）b=1。23，a=0。08;（2）12。38.4。我們考慮兩個(gè)表示變量x與y之間的關(guān)系的模型,δ為誤差項(xiàng),模型如下:模型１：y=6+4x；模型2：y=6+4x+e.（１）如果x=3,e=1，分別求兩個(gè)模型中y的值；(2）分別說(shuō)明以上兩個(gè)模型是確定性模型還是隨機(jī)模型.解：（１）模型１:y=6+4x=6+4×3=18;模型2:y=6+4x+e=6+4×3+1=19。（2）模型１中相同的x值一定得到相同的y值,所以是確定性模型；模型2中相同的x值,因δ的不同，所得y值不一定相同,且δ為誤差項(xiàng)是隨機(jī)的，所以模型2是隨機(jī)性模型.5。以下是收集到的新房屋銷售價(jià)格y與房屋大小x的數(shù)據(jù)：房屋大小x（m2）80105110115135銷售價(jià)格y（萬(wàn)元）18.42221.624.829。2（1）畫出數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖;（2）用最小二乘法估計(jì)求線性回歸方程;(3)計(jì)算此時(shí)Q(a，b）和Q（2，0.2)的值,并作比較。解:（1)散點(diǎn)圖如圖11。圖11（2)計(jì)算得b≈0.1962，a≈1.8166，所以，線性回歸方程為y=1.8166+0.1962x。（3)Q（1.8166，0。1962)≈5。171,Q(2，0。2）≈7.0,由此可知,求得的a=1。8166,b=0.9162是函數(shù)Q（a，b)取最小值的a,b值.拓展提升某調(diào)查者從調(diào)查中獲知某公司近年來(lái)科研費(fèi)用支出（Xi）與公司所獲得利潤(rùn)(Yi）的統(tǒng)計(jì)資料如下表：科研費(fèi)用支出（Xi）與利潤(rùn)（Yi)統(tǒng)計(jì)表單位：萬(wàn)元年份科研費(fèi)用支出利潤(rùn)1998199920002001200220035114532314030342520合計(jì)30180要求估計(jì)利潤(rùn)（Yi)對(duì)科研費(fèi)用支出（Xi)的線性回歸模型。解：設(shè)線性回歸模型直線方程為Yi=β0+β1Xi，因?yàn)?30,求解參數(shù)β0、β1的估計(jì)值：β1=2，β0=20.所以利潤(rùn)（Yi）對(duì)科研費(fèi)用支出（Xi)的線性回歸模型直線方程為Yi=20+2Xi.課堂小結(jié)1.求線性回