數(shù)學教案：獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用第二課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二課時教學目標知識與技能通過實例，讓學生了解獨立性檢驗的基本思想及其初步應(yīng)用，能對兩個分類變量是否有關(guān)做出明確的判斷，會對具體問題做出獨立性檢驗．過程與方法經(jīng)歷概念的探索、反思、建構(gòu)這一過程，讓學生進一步體會獨立性檢驗思想的基本原理,培養(yǎng)學生歸納、概括等合情推理能力．通過實際應(yīng)用,培養(yǎng)學生把實際問題抽象成數(shù)學問題的能力和學以致用的數(shù)學應(yīng)用意識．情感、態(tài)度與價值觀通過創(chuàng)設(shè)情境激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，培養(yǎng)其嚴謹治學的態(tài)度．在學生分析問題、解決問題的過程中培養(yǎng)其積極探索的精神，從而實現(xiàn)自我的價值．重點難點教學重點：獨立性檢驗基本思想的初步應(yīng)用;教學難點：對獨立性檢驗基本思想的理解．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(教學過程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（引入新課)）有甲、乙兩個班級進行數(shù)學考試，按學生考試及格和不及格統(tǒng)計成績后，得到如下列聯(lián)表：不及格及格合計甲103545乙73845合計177390試判斷成績不及格與班級是否有關(guān)?學生活動：回顧上一節(jié)課的學習內(nèi)容，選擇合適的方法進行判斷．學情預測：根據(jù)列聯(lián)表可知甲班學生中不及格的比例為eq\f（10,45),乙班學生中不及格的比例為eq\f(7,45），相差eq\f（3,45)；畫出等高條形圖：有的學生可能說有關(guān)系，因為從等高條形圖來看，可以發(fā)現(xiàn)甲、乙兩班的及格率有明顯差異；有的學生可能會說沒有關(guān)系，因為不及格率相差eq\f（3,45)，應(yīng)該不算大，所以說及格與班級沒有關(guān)系．教師：由上面的問題可以看出，雖然利用圖表來判斷兩個分類變量是否有關(guān)比較直觀,但缺少精確性和可靠性,如何精確地刻畫兩個分類變量的有關(guān)性，我們必須找到一個進行精確判斷的方法．設(shè)計意圖：充分認識獨立性檢驗的必要性,創(chuàng)設(shè)懸念，激發(fā)斗志,讓學生躍躍欲試．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（探究新知））提出問題：為了解決上面的問題，我們可以先假設(shè)H0：不及格與班級無關(guān)．設(shè)A表示事件“在甲班”,B表示事件“不及格”,AB表示“在甲班且不及格”，則“不及格與班級無關(guān)”等價于事件A與B相互獨立，則有P（AB)＝P（A)P(B),否則,應(yīng)該有A與B不獨立，即“不及格與班級有關(guān)"．那么，如何驗證P（AB）＝P(A）P（B)呢？學生活動：學生先獨立思考，然后分小組討論，老師加以適當?shù)囊龑В畬W情預測:根據(jù)概率的統(tǒng)計定義可知，上面各個事件的概率可以用相應(yīng)的頻率來估計,則P(A）＝eq\f（45,90)＝eq\f（1,2），P（B）＝eq\f（17，90），P（A）P(B)＝eq\f(17，180），P（AB)＝eq\f(10，90）＝eq\f(1,9)＝eq\f（20，180），因為P（AB)≠P（A）P（B)，故A與B不獨立，即“不及格與班級有關(guān)"．提出問題：由P(AB)≠P（A)P(B)一定有“不及格與班級有關(guān)”嗎？如果不是，那么如何根據(jù)P（A），P(B),P(AB)的值來判斷其相關(guān)性？學生活動：小組協(xié)作討論，然后說出對這個問題的認識．學情預測：P(AB)≠P（A）P(B）不一定有“不及格與班級有關(guān)”，因為在數(shù)據(jù)上我們是采用頻率來估計概率，另外，在實際問題中我們也僅是用樣本來估計總體，這些因素都會造成數(shù)值上的偏差．但是，應(yīng)該肯定的是P（AB）與P(A）P（B)越接近,A與B獨立的可能性就越大，即“不及格與班級有關(guān)"的可能性就越?。O(shè)計目的：通過實例的分析,為引入和理解獨立性檢驗的基本思想做好鋪墊．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(理解新知））提出問題:若將表中“觀測值”用字母表示，則得下表：不及格及格合計甲aba＋b乙cdc＋d合計a＋cb＋da＋b＋c＋d令n＝a＋b＋c＋d,如何判斷不及格與班級是否有關(guān)系？試加以說明．學生活動：分組討論，協(xié)作完成,教師引導學生類比上面的分析過程,將數(shù)字換成字母加以說明．學情預測：假設(shè)H0：不及格與班級無關(guān)．設(shè)A表示事件“在甲班”，B表示事件“不及格”,AB表示“在甲班且不及格”，則P(A)＝eq\f（a＋b，n），P（B）＝eq\f（a＋c,n),P(A)P(B）＝eq\f(a＋b,n）×eq\f（a＋c,n），P（AB)＝eq\f（a，n），若“不及格與班級無關(guān)”，則eq\f(a＋b,n）×eq\f（a＋c,n)與eq\f(a,n）應(yīng)非常接近．教師：若eq\f（a＋b,n)×eq\f（a＋c,n）與eq\f（a，n）非常接近，則eq\f（a＋b，n）×eq\f(a＋c，n)≈eq\f(a,n），從而ad≈bc，因此eq\b\lc\|\rc\｜(\a\vs4\al\co1（ad－bc）)越小,說明不及格與班級的關(guān)系越弱,eq\b\lc\｜\rc\|（\a\vs4\al\co1(ad－bc))越大，說明不及格與班級的關(guān)系越強．而且我們還可以發(fā)現(xiàn)，當eq\f(a＋b,n)×eq\f(a＋c,n）與eq\f（a,n）非常接近時,eq\f（a＋b,n)×eq\f(b＋d,n）與eq\f（b，n)也應(yīng)該非常接近…或者說(eq\f(a，n）－eq\f(a＋b，n）×eq\f(a＋c,n）)2,(eq\f(b，n）－eq\f（a＋b,n）×eq\f(b＋d，n)）2，（eq\f（c,n)－eq\f(c＋d,n）×eq\f（a＋c,n))2，（eq\f(d，n）－eq\f(c＋d,n）×eq\f(b＋d，n））2應(yīng)該比較小，從而eq\f((\f（a,n)－\f(a＋b，n）×\f（a＋c，n))2,\f(a＋b,n)×\f(a＋c，n））＋eq\f(（\f(b，n）－\f(a＋b，n)×\f（b＋d,n））2，\f（a＋b，n)×\f（b＋d,n）)＋eq\f((\f（c，n）－\f（c＋d,n)×\f(a＋c，n））2,\f(c＋d，n)×\f（a＋c,n））＋eq\f（（\f（d，n)－\f(c＋d,n)×\f(b＋d，n)）2，\f(c＋d，n)×\f(b＋d，n))＝eq\f(n（ad－bc）2,(a＋b)(a＋c）(b＋d)(c＋d)）也應(yīng)該很小．構(gòu)造隨機變量K2＝eq\f(n(ad－bc）2,(a＋b)(a＋c）(b＋d)(c＋d）)，若H0成立，即“不及格與班級無關(guān)”，則K2應(yīng)該很?。贖0成立的情況下，統(tǒng)計學家估算出如下的概率P(K2≥6。635)≈0.01.即在H0成立的情況下，K2的觀測值大于6。635的概率非常小，近似于0.01，也就是說,在H0成立的情況下對隨機變量K2進行多次觀測，觀測值超過6.635的頻率約為0。01。從而，也說明我們把“H0成立”錯判成“H0不成立”的概率不會超過0.01。這樣，我們就可以通過計算K2的觀測值k來判斷H0是否成立．我們把這種方法稱為獨立性檢驗．提出問題:獨立性檢驗的基本思想是什么?學生活動：反思上面的過程，進行歸納總結(jié)，然后小組間交換意見．學情預測:獨立性檢驗的基本思想是：要判斷“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論的可信程度，首先假設(shè)結(jié)論不成立，即假設(shè)“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立，在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機變量K2應(yīng)該很?。绻捎^測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值k很大,則在一定程度上說明假設(shè)不合理，即認為“兩個分類變量有關(guān)系"；如果觀測值k很小，則說明在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)拒絕H0.獨立性檢驗的基本思想類似于反證法．教師：當確定“兩個分類變量有關(guān)系”的可信程度時，需要確定一個正數(shù)k0與隨機變量K2的觀測值k比較大小,如果k≥k0,就認為“兩個分類變量之間有關(guān)系”，否則就認為“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”．我們稱這樣的k0為一個判斷規(guī)則的臨界值．按照這種規(guī)則，把“兩個分類變量之間沒有關(guān)系”錯誤地判斷為“兩個分類變量有關(guān)系”的概率不超過P(K2≥k0)．獨立性檢驗的具體做法是：（1）根據(jù)實際問題的需要確定容許推斷“兩個分類變量有關(guān)系”犯錯誤概率的上界α,然后查表確定臨界值k0。P(K2≥k0)0。500.400。250。150.100.050.0250.0100.0050.001k00.4550。7081.3232.0722.7063.8415.0246.6357.87910。828(2）利用公式計算K2的觀測值k.(3）如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過α；否則，就認為在犯錯誤的概率不超過α的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”,或者在樣本數(shù)據(jù)中沒有發(fā)現(xiàn)足夠證據(jù)支持結(jié)論“X與Y有關(guān)系”．設(shè)計目的：以問題為驅(qū)動，引領(lǐng)學生在積極的思考、探究中，理解獨立性檢驗的基本思想，理解隨機變量K2的構(gòu)造過程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（運用新知)）提出問題：根據(jù)獨立性檢驗的基本思想，判斷“不及格與班級是否有關(guān)”？學生活動：類比公式，用計算器進行運算比較．活動結(jié)果：由題意知a＝10，b＝35,c＝7，d＝38，a＋b＝45,c＋d＝45,a＋c＝17，b＋d＝73，n＝90。代入公式得K2的觀測值為:k＝eq\f(n(ad－bc)2，（a＋b)（a＋c）（b＋d)(c＋d))＝eq\f(90×（10×38－7×35）2,45×45×17×73)≈0.65.因為0.65〉0.455，所以我們在犯錯誤的概率不超過0。5的前提下可認為“不及格與所在班級有關(guān)"．設(shè)計目的：通過問題的解決，既照應(yīng)了開頭提出的問題，同時也是對公式應(yīng)用的一個鞏固．【變練演編】題為了探究吸煙習慣與患慢性氣管炎是否有關(guān),調(diào)查了339名50歲以上的人，獲數(shù)據(jù)如下：患慢性氣管炎未患慢性氣管炎總計吸煙43162205不吸煙13121134總計56283339吸煙習慣與患慢性氣管炎是否相關(guān)？試用獨立性檢驗的思想說明理由．分析：根據(jù)公式求出隨機變量K2的觀測值k，然后和已知結(jié)論數(shù)值進行比較．解：根據(jù)列聯(lián)表的數(shù)據(jù)得到K2的觀測值:k＝eq\f(n(ad－bc)2,（a＋b)(a＋c）(b＋d）(c＋d))＝eq\f（339×（43×121－162×13)2，205×56×283×134)≈7.469>6.635，所以，在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下認為“吸煙習慣與患慢性氣管炎有關(guān)”．提出問題：請解答下列問題:1．已知兩個分類變量X與Y,你有哪些辦法判斷它們是否有關(guān)系？(把你知道的辦法都寫出來)2．已知K2的觀測值k＝6.635，你能得到哪些結(jié)論？(把你能得到的結(jié)論都寫出來）活動設(shè)計:學生先獨立探索，允許互相交流成果．然后全班交流．學情預測：1。列聯(lián)表、等高條形圖、獨立性檢驗等．2．P（K2≥6.635）≈0。01；我們判斷“X與Y有關(guān)系”的出錯概率不超過0.01；在犯錯誤的概率不超過0.01的前提下，可以認為“X與Y有關(guān)系”．設(shè)計意圖:設(shè)置本組開放性問題,旨在增加問題的多樣性、有趣性、探索性和挑戰(zhàn)性，訓練學生思維的發(fā)散性、收斂性、靈活性和深刻性，長期堅持,不僅會加深學生對數(shù)學的理解、掌握，而且會潛移默化地學會編題、解題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié))）(給學生1～2分鐘的時間泛讀教材，用精確的語言概括本節(jié)的知識脈絡(luò)、思想方法、解題規(guī)律)1．獨立性檢驗的思想方法以及它與反證法的關(guān)系．2．獨立性檢驗的一般操作步驟．設(shè)計意圖：讓學生自己小結(jié)，這是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（補充練習)）【基礎(chǔ)練習】1．下面說法正確的是（)A．統(tǒng)計方法的特點是統(tǒng)計推斷準確、有效B．獨立性檢驗的基本思想類似于數(shù)學上的反證法C．任何兩個分類變量有關(guān)系的可信度都可以通過查表得到D．不能從等高條形圖中看出兩個分類變量是否相關(guān)2．經(jīng)過對K2的統(tǒng)計量的研究，得到了若干個臨界值，當K2的觀測值k＞3.841時,我們（）A．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下可認為A與B有關(guān)B．在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下可認為A與B無關(guān)C．在犯錯誤的概率不超過0。01的前提下可認為A與B有關(guān)D．沒有充分理由說明事件A與B有關(guān)系3．利用獨立性檢驗來考慮兩個分類變量與是否有關(guān)系時，通過查閱下表來確定“X和Y有關(guān)系”的可信度．如果k>6。635,那么認為“X和Y有關(guān)系”犯錯誤的概率不超過…（)P(K2≥k0)0.500.400。250。150.100.050.0250。0100.0050。001k00。4550.7081.3232。0722.7063。8415。0246.6357.87910.828A.99%B．1%C．5％D．97。5%4．獨立性檢驗所采用的思路是：要研究A，B兩類分類變量是否彼此相關(guān)，首先假設(shè)這兩類變量彼此__________，在此假設(shè)下構(gòu)造隨機變量K2,如果K2的觀測值較大,那么在一定程度上說明假設(shè)__________．答案：1。B2。A3。B4。無關(guān)不成立【拓展練習】5．某聾啞研究機構(gòu),對聾啞關(guān)系進行抽樣調(diào)查,在耳聾的657人中有416人啞，而另外不聾的680人中有249人啞，你能運用這組數(shù)據(jù)判斷,在犯錯誤的概率不超過0。1%的前提下,能否認為聾啞有關(guān)系？解：根據(jù)題目所給數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表:啞不啞總計聾416241657不聾249431680總計6656721337根據(jù)列聯(lián)表數(shù)據(jù)得到K2的觀測值K＝eq\f（1337×（416×431－249×241）