數學教案：互斥事件第二課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時導入新課設計思路一：（情境導入)某公司在一次慶?；顒又?，為了活躍現(xiàn)場氣氛,在活動現(xiàn)場舉行了一次抽獎活動。在一個箱子里裝有900張獎券，獎券的號碼是從100到999的三位自然數，從中抽取一張。若中獎的號碼是有且僅有兩個數字相同的獎券.試問該活動的中獎率是多少？設計思路二：(問題導入）在一只口袋中裝有4個紅球，2個白球，現(xiàn)從口袋中任取4個球.記事件A：至少取到2個紅球；事件B：至少取到2個白球；事件C：沒有取到紅球:事件D：沒有取到白球；事件E：至多取到2個白球。請指出以上事件中的必然事件、不可能事件和隨機事件，并找出哪兩個事件為互斥事件或對立事件.推進新課新知探究對于導入思路一：該抽獎活動的中獎獎券可以分為以下三種情形：（1）有兩個非零數字構成的三位數，共有×2×3=216個；（2）一個零與另一個出現(xiàn)兩次的非零數字組成的三位數，共有9×2=18個；（3）含有兩個零及一個非零數字組成的三位數，共有9個.以上三種情形的每一種情形作為一個事件，則這三個事件是互斥事件，所以，抽獎活動的中獎率為P==0.27。這就是我們用上節(jié)課學習的互斥事件的概率的求法來解答的，下面，一起來回顧上節(jié)課所學的內容.上節(jié)課主要學習了以下內容:1.互斥事件的概念在一次試驗中,不可能同時發(fā)生的兩個事件稱為互斥事件。如果事件A1,A2，…，An中的任何兩個都是互斥事件，我們就說事件A1，A2，…，An彼此互斥.2?；コ馐录幸粋€發(fā)生的記法如果事件A、B是互斥事件，當事件A、B有一個發(fā)生，就記為A+B.若事件A1，A2,…，An是彼此互斥事件，我們就記為A1+A2+…+An。3.互斥事件的概率的加法公式如果事件A，B是互斥事件，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即P(A+B）=P（A）+P(B），這個公式可以推廣到n個彼此互斥事件,即P（A1+A2+…+An)=P(A1)+P（A2)+…+P（An)。4.對立事件的概念如果兩個互斥事件必定有一個發(fā)生，則稱這兩個事件為對立事件.事件A的對立事件記為.5.對立事件之間的概率關系由于對立事件A與必有一個發(fā)生，所以A+是必然事件，因而有P（A）+P（)=P(A+）=1，所以有P（A）=1－P(）.6?；コ馐录c對立事件互斥事件不一定是對立事件，因為互斥事件可以有多于兩個的事件，而對立事件只是兩個互斥事件并且是其中必有一個發(fā)生。對于導入思路二：根據必然事件、不可能事件、隨機事件以及互斥事件、對立事件的概念來判斷。在一定條件下事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象。在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生,事先不能斷定出現(xiàn)哪種結果，這種現(xiàn)象就是隨機現(xiàn)象.對于在一定條件下必然要發(fā)生的事件，叫做必然事件；在一定條件下不可能發(fā)生的事件,叫做不可能事件;在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機事件.必然事件與不可能事件反映的都是在一定條件下的確定性現(xiàn)象,而隨機事件反映的是隨機現(xiàn)象.事件A與B不可能同時發(fā)生。這種不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件；一般地,如果事件A1,A2,…，An中的任何兩個都是互斥的，那么就說A1，A2，…，An彼此互斥.根據上述概念，從4個紅球,兩個白球中任取4個球,紅球必定至少2個，白球至多2個，所以，事件A、事件E為必然事件,事件B、事件D為隨機事件，事件C為不可能事件；事件A與事件C為互斥事件也是對立事件,事件B與事件C為互斥事件但不是對立事件,事件B與事件D為互斥事件但不是對立事件，事件C與事件D為互斥事件但不是對立事件，事件C與事件E為互斥事件也是對立事件。其中的互斥事件與對立事件是上節(jié)課所學的內容，在上節(jié)課除學習了以上內容之外,還學習了互斥事件以及對立事件的概率的計算.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生（即A，B中有一個發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和。即P（A＋B)＝P（A）＋P（B）.一般地，如果事件A1,A2,…，An彼此互斥,那么事件A1＋A2＋…＋An發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個發(fā)生)的概率,等于這個事件分別發(fā)生的概率的和,即P（A1＋A2＋…＋An)＝P（A1)＋P(A2）＋…＋P（An）。如果兩個互斥事件必有一個發(fā)生,則稱這兩個事件為對立事件互斥事件和對立事件都是對兩個事件而言的，它們有區(qū)別又有聯(lián)系。在一次試驗中，兩個互斥的事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個發(fā)生;而兩個對立的事件則必有一個發(fā)生，但不可能同時發(fā)生.所以，兩個事件互斥,它們未必對立；反之，兩個事件對立，它們一定互斥.由于對立事件A與必定有一個發(fā)生,因此A+是必然事件，所以P(A)+P（)=P(A+)=1，由此，可以有如下的重要公式P（）=1－P(A）。應用示例例1下列命題中，真命題的個數是（）①將一枚硬幣拋兩次,設事件A：“兩次出現(xiàn)正面”，事件B：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件A與B是對立事件②若事件A與B為對立事件，則事件A與B為互斥事件③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B為對立事件④若事件A與B為對立事件，則事件A＋B為必然事件A.1B。2C.3 D.4分析:根據互斥事件的概念即不可能同時發(fā)生的兩個事件叫做互斥事件;以及對立事件的概念即如果兩個互斥事件必有一個發(fā)生,則稱這兩個事件為對立事件。解：由互斥事件和對立事件的概念可知，①事件A與事件B不可能同時發(fā)生,因此,事件A與事件B是互斥事件,但由于事件A與事件B不滿足必定有一個發(fā)生的條件，所以事件A與事件B不是對立事件，因而是假命題；②由于對立事件的前提是兩個事件是互斥事件，因此,兩個事件是對立事件必定是互斥事件，所以，是真命題;③互斥事件要成為對立事件必須還要滿足兩個事件中必有一個發(fā)生，所以,互斥事件不一定是對立事件，所以是假命題；④兩個事件是對立事件則這兩個事件中必有一個發(fā)生，因此，“若事件A與B為對立事件,則事件A＋B為必然事件”是真命題.綜上所述，本題應該選擇B.點評：互斥事件是不可能同時發(fā)生的兩個事件，而對立事件除要求這兩個事件不能同時發(fā)生之外，還要求滿足這兩個事件必須有一個發(fā)生，因此，對立事件是互斥事件，而互斥事件不一定是對立事件.此外，還需注意對關鍵詞語“至多”“至少”等的深入理解.例2把紅、黑、白、藍4張紙牌隨機地分給甲、乙、丙、丁4個人，每個人分得1張,事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌"是（）A。對立事件B.不可能事件C.互斥但不對立事件D.以上均不對分析：根據互斥事件與對立事件的概念及其相互關系來判斷。解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌"是不能同時發(fā)生的兩個事件，這兩個事件可能恰有一個發(fā)生，一個不發(fā)生，可能兩個都不發(fā)生,所以應選C.點評：本題易錯選A，本題錯誤的原因在于把“互斥”與“對立"混同,二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在：①兩事件對立，必定互斥，但互斥未必對立;②互斥概念適用于多個事件，但對立概念只適用于兩個事件；③兩個事件互斥只表明這兩個事件不能同時發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個，但可以都不發(fā)生；而兩事件對立則表示它們有且僅有一個發(fā)生。例3用簡單隨機抽樣從含有8個個體的總體中抽取一個容量為2的樣本.試問：(1)總體中的某一個個體a在第一次抽取時被抽到的概率是多少?(2）個體a在第一次未被抽到,而第二次被抽到的概率是多少？(3)在整個抽樣過程中，個體a被抽到的概率是多少?分析：首先判斷所求事件之間的關系，是否為互斥事件，如果是,則運用互斥事件概率的求解方法來解.解：（1)總體中的某一個個體a在第一次抽取時被抽到的概率是P=；（2)個體a在第一次未被抽到,而第二次被抽到的概率是P=；（3)由于個體a在第一次被抽到與第二次被抽到是互斥事件,所以，在整個抽樣過程中，個體a被抽到的概率是P=.點評：當直接求某一個事件的概率較為繁雜時，可以考慮所求的事件是否可以看作幾個互斥事件有一個發(fā)生的問題，如果可以，則可以運用公式P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P(An）來求解.例4某射手射擊一次，(1）若事件A“射手射擊一次,中靶”的概率為0.95,則事件的概率是多少?(2)若事件B“射手射擊一次，中靶環(huán)數大于5”的概率為0。7,那么事件C“射手射擊一次，中靶環(huán)數小于6”的概率是多少？事件D“射手射擊一次,中靶環(huán)數大于0而小于6”的概率是多少？分析：根據題意可以運用對立事件的概率之和等于1的關系來求解.解：(1)因為P(A)=0.95,所以P(）=1－P(A)=1－0.95=0.05；(2）事件B與事件C是對立事件，又因為P(B)=0.7，所以P（C）=P(B）=1－0。7=0.3；P(D)=P(C）－P(）=0.3－0.05=0。25。點評：如果某事件A發(fā)生包含的情況比較多，而它的對立事件即事件A不發(fā)生所包含的情形較少,這時可以利用公式P（A)=1－P(）來計算事件A的概率比較簡便。對于（2)中,事件C的發(fā)生可以看作事件D和事件A有一個發(fā)生的情形，而事件D和事件是互斥事件，所以P(C）=P(D）+P（），即P（D）=P(C）－P()，從這里可以看出，不僅要會直接運用公式，也要會運用公式的變形形式.知能訓練1。從存放號碼分別為1，2，3…10的卡片的盒子中,有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號碼,統(tǒng)計結果如下：卡片號碼12345678910取到的次數138576131810119則取到號碼為奇數的概率是（）A.0.53B.0。5C。0.47D.0。372.如果事件A、B互斥,那么(）A.A+是必然事件B。+是必然事件C。與一定互斥D.與一定不互斥3.1人在打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對立事件是(）A.至多有一次中靶B。2次都中靶C。2次都不中靶D。只有一次中靶4。戰(zhàn)士小王在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0。27，命中8環(huán)的概率是0。21，命中7環(huán)的概率是0。24，不夠7環(huán)的概率是0。19，試求:（1）該戰(zhàn)士在一次射擊中命中7環(huán)或8環(huán)的概率；（2)該戰(zhàn)士在一次射擊中命中10環(huán)的概率；（3)該戰(zhàn)士在一次射擊中命中8環(huán)或8環(huán)以上的概率。5。袋中有12個小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也為，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？6。甲、乙兩個人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，求：（1)甲獲勝的概率;(2)甲不輸的概率.解答:1。A2.B3.C4.（1)射中7環(huán)或8環(huán)的概率為0.21+0.24=0。45;（2）射中10環(huán)的概率為1—0.27-0。21—0.24—0.19=0。09；(3）8環(huán)或8環(huán)以上的概率為0。21+0.27+0。09=0.57。5.設“取紅球”為事件A，“取黑球”為事件B，“取黃球”為事件C，“取綠球"為事件D，則由題意知：6。(1)甲獲勝的概率為1－－=；(2）甲不輸的概率為1－=。課堂小結這節(jié)課我們繼續(xù)學習了互斥事件以及對立事件的概念及概率的計算。在運用公式時,我們一定要先判斷是否符合互斥事件以及對立事件的概念，然后再根據判斷的結果進行解答。特別是互斥事件有一個發(fā)生的概率公式,對立事件的概率的和為1，這些公式的運用必須先要考查是否具備各事件彼此互斥和兩個事件是對立事件的前提條件.在求較為復雜的事件的概率時，通常有以下兩種方法：第一種方法是直接求解法，可以將所求事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和,分解后的每一個事件的概率的計算可以通過等可能事件的概率來解，其關鍵是確定事件是否互斥。第二種方法是間接求解法,先求出所求事件的對立事件的概率，再用公式P(A)=1－P()來計算，也就是運用逆向思維的思想方法.另外注意文字敘述的含義,例如“至少有一個發(fā)生"“至多有一個發(fā)生"等類型的概率時都采用間接求解的方法.作業(yè)課本習題3。47、8。設計感想在求解隨機事件的概率時，可以根據題目的條件，先判斷所求事件的概率類型,然后根據相應的概率類型，采用相應的概率計算公式來求解.在運用概率公式求解互斥事件有一個發(fā)生的概率以及對立事件的概率時，首先要考查是否具備各事件彼此互斥和兩事件對立的前提條件，因此,要搞清楚互斥事件和對立事件的區(qū)別和聯(lián)系，互斥事件是指兩事件不能同時發(fā)生，對立事件是指互斥的兩事件中必有一個發(fā)生.在求較為復雜的事件的概率時，通常采取兩種方法：一是將所求的事件看成是一些彼此互斥事件有一個發(fā)生的問題,二是先求所求事件的對立事件的概率.習題詳解習題3.41.(1)記A=｛摸出紅球｝,B={摸出黃球}，C={摸出藍球}，D={摸出紅球或黃球｝，因為事件A與B互斥,運用互斥事件概率加法公式得P(D）=P（A)+P（B)=0.45+0。33=0.78.（2）因為事件C與D對立，運用對立事件概率公式得P（C）=1—P（D)=1—0。78=0。22。答：（1)摸出紅球或黃球的概率為0。78；（2）摸出藍球的概率為0.22。2。運用互斥事件及對立事件概率公式得所求事件的概率為1-0。4-0。2=0。4.3。運用互斥事件及對立事件概率公式得P（至多2人排隊等候)=0。1+0.16+0.3=0.56，P（至少3人排隊等候）=1-0.56=0。44.4。分別記“這臺彩電是一等品"“這臺彩電是二等品”“這臺彩電是次品"為事件A、B、C，則事件A、B、C兩兩互斥.(1)記D={這臺彩電是正品｝，運用互斥事件概率加法公式得P(D）=P(A）+P（B)=0。9+0.08=