數(shù)學(xué)教案：互斥事件第二課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第2課時(shí)導(dǎo)入新課設(shè)計(jì)思路一：（情境導(dǎo)入)某公司在一次慶?；顒?dòng)中，為了活躍現(xiàn)場(chǎng)氣氛,在活動(dòng)現(xiàn)場(chǎng)舉行了一次抽獎(jiǎng)活動(dòng)。在一個(gè)箱子里裝有900張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券的號(hào)碼是從100到999的三位自然數(shù)，從中抽取一張。若中獎(jiǎng)的號(hào)碼是有且僅有兩個(gè)數(shù)字相同的獎(jiǎng)券.試問(wèn)該活動(dòng)的中獎(jiǎng)率是多少？設(shè)計(jì)思路二：(問(wèn)題導(dǎo)入）在一只口袋中裝有4個(gè)紅球，2個(gè)白球，現(xiàn)從口袋中任取4個(gè)球.記事件A：至少取到2個(gè)紅球；事件B：至少取到2個(gè)白球；事件C：沒(méi)有取到紅球:事件D：沒(méi)有取到白球；事件E：至多取到2個(gè)白球。請(qǐng)指出以上事件中的必然事件、不可能事件和隨機(jī)事件，并找出哪兩個(gè)事件為互斥事件或?qū)α⑹录?推進(jìn)新課新知探究對(duì)于導(dǎo)入思路一：該抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)獎(jiǎng)券可以分為以下三種情形：（1）有兩個(gè)非零數(shù)字構(gòu)成的三位數(shù)，共有×2×3=216個(gè)；（2）一個(gè)零與另一個(gè)出現(xiàn)兩次的非零數(shù)字組成的三位數(shù)，共有9×2=18個(gè)；（3）含有兩個(gè)零及一個(gè)非零數(shù)字組成的三位數(shù)，共有9個(gè).以上三種情形的每一種情形作為一個(gè)事件，則這三個(gè)事件是互斥事件，所以，抽獎(jiǎng)活動(dòng)的中獎(jiǎng)率為P==0.27。這就是我們用上節(jié)課學(xué)習(xí)的互斥事件的概率的求法來(lái)解答的，下面，一起來(lái)回顧上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容.上節(jié)課主要學(xué)習(xí)了以下內(nèi)容:1.互斥事件的概念在一次試驗(yàn)中,不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件稱為互斥事件。如果事件A1,A2，…，An中的任何兩個(gè)都是互斥事件，我們就說(shuō)事件A1，A2，…，An彼此互斥.2?；コ馐录幸粋€(gè)發(fā)生的記法如果事件A、B是互斥事件，當(dāng)事件A、B有一個(gè)發(fā)生，就記為A+B.若事件A1，A2,…，An是彼此互斥事件，我們就記為A1+A2+…+An。3.互斥事件的概率的加法公式如果事件A，B是互斥事件，那么事件A+B發(fā)生的概率，等于事件A、B分別發(fā)生的概率的和，即P(A+B）=P（A）+P(B），這個(gè)公式可以推廣到n個(gè)彼此互斥事件,即P（A1+A2+…+An)=P(A1)+P（A2)+…+P（An)。4.對(duì)立事件的概念如果兩個(gè)互斥事件必定有一個(gè)發(fā)生，則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件.事件A的對(duì)立事件記為.5.對(duì)立事件之間的概率關(guān)系由于對(duì)立事件A與必有一個(gè)發(fā)生，所以A+是必然事件，因而有P（A）+P（)=P(A+）=1，所以有P（A）=1－P(）.6?；コ馐录c對(duì)立事件互斥事件不一定是對(duì)立事件，因?yàn)榛コ馐录梢杂卸嘤趦蓚€(gè)的事件，而對(duì)立事件只是兩個(gè)互斥事件并且是其中必有一個(gè)發(fā)生。對(duì)于導(dǎo)入思路二：根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件以及互斥事件、對(duì)立事件的概念來(lái)判斷。在一定條件下事先就能斷定發(fā)生或不發(fā)生某種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是確定性現(xiàn)象。在一定條件下，某種現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生,事先不能斷定出現(xiàn)哪種結(jié)果，這種現(xiàn)象就是隨機(jī)現(xiàn)象.對(duì)于在一定條件下必然要發(fā)生的事件，叫做必然事件；在一定條件下不可能發(fā)生的事件,叫做不可能事件;在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件.必然事件與不可能事件反映的都是在一定條件下的確定性現(xiàn)象,而隨機(jī)事件反映的是隨機(jī)現(xiàn)象.事件A與B不可能同時(shí)發(fā)生。這種不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件；一般地,如果事件A1,A2,…，An中的任何兩個(gè)都是互斥的，那么就說(shuō)A1，A2，…，An彼此互斥.根據(jù)上述概念，從4個(gè)紅球,兩個(gè)白球中任取4個(gè)球,紅球必定至少2個(gè)，白球至多2個(gè)，所以，事件A、事件E為必然事件,事件B、事件D為隨機(jī)事件，事件C為不可能事件；事件A與事件C為互斥事件也是對(duì)立事件,事件B與事件C為互斥事件但不是對(duì)立事件,事件B與事件D為互斥事件但不是對(duì)立事件，事件C與事件D為互斥事件但不是對(duì)立事件，事件C與事件E為互斥事件也是對(duì)立事件。其中的互斥事件與對(duì)立事件是上節(jié)課所學(xué)的內(nèi)容，在上節(jié)課除學(xué)習(xí)了以上內(nèi)容之外,還學(xué)習(xí)了互斥事件以及對(duì)立事件的概率的計(jì)算.如果事件A，B互斥，那么事件A＋B發(fā)生（即A，B中有一個(gè)發(fā)生)的概率，等于事件A，B分別發(fā)生的概率的和。即P（A＋B)＝P（A）＋P（B）.一般地，如果事件A1,A2,…，An彼此互斥,那么事件A1＋A2＋…＋An發(fā)生（即A1，A2，…，An中有一個(gè)發(fā)生)的概率,等于這個(gè)事件分別發(fā)生的概率的和,即P（A1＋A2＋…＋An)＝P（A1)＋P(A2）＋…＋P（An）。如果兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生,則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件互斥事件和對(duì)立事件都是對(duì)兩個(gè)事件而言的，它們有區(qū)別又有聯(lián)系。在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥的事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生;而兩個(gè)對(duì)立的事件則必有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生.所以，兩個(gè)事件互斥,它們未必對(duì)立；反之，兩個(gè)事件對(duì)立，它們一定互斥.由于對(duì)立事件A與必定有一個(gè)發(fā)生,因此A+是必然事件，所以P(A)+P（)=P(A+)=1，由此，可以有如下的重要公式P（）=1－P(A）。應(yīng)用示例例1下列命題中，真命題的個(gè)數(shù)是（）①將一枚硬幣拋兩次,設(shè)事件A：“兩次出現(xiàn)正面”，事件B：“只有一次出現(xiàn)反面”，則事件A與B是對(duì)立事件②若事件A與B為對(duì)立事件，則事件A與B為互斥事件③若事件A與B為互斥事件，則事件A與B為對(duì)立事件④若事件A與B為對(duì)立事件，則事件A＋B為必然事件A.1B。2C.3 D.4分析:根據(jù)互斥事件的概念即不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件叫做互斥事件;以及對(duì)立事件的概念即如果兩個(gè)互斥事件必有一個(gè)發(fā)生,則稱這兩個(gè)事件為對(duì)立事件。解：由互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，①事件A與事件B不可能同時(shí)發(fā)生,因此,事件A與事件B是互斥事件,但由于事件A與事件B不滿足必定有一個(gè)發(fā)生的條件，所以事件A與事件B不是對(duì)立事件，因而是假命題；②由于對(duì)立事件的前提是兩個(gè)事件是互斥事件，因此,兩個(gè)事件是對(duì)立事件必定是互斥事件，所以，是真命題;③互斥事件要成為對(duì)立事件必須還要滿足兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生，所以,互斥事件不一定是對(duì)立事件，所以是假命題；④兩個(gè)事件是對(duì)立事件則這兩個(gè)事件中必有一個(gè)發(fā)生，因此，“若事件A與B為對(duì)立事件,則事件A＋B為必然事件”是真命題.綜上所述，本題應(yīng)該選擇B.點(diǎn)評(píng)：互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，而對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生之外，還要求滿足這兩個(gè)事件必須有一個(gè)發(fā)生，因此，對(duì)立事件是互斥事件，而互斥事件不一定是對(duì)立事件.此外，還需注意對(duì)關(guān)鍵詞語(yǔ)“至多”“至少”等的深入理解.例2把紅、黑、白、藍(lán)4張紙牌隨機(jī)地分給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每個(gè)人分得1張,事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌"是（）A。對(duì)立事件B.不可能事件C.互斥但不對(duì)立事件D.以上均不對(duì)分析：根據(jù)互斥事件與對(duì)立事件的概念及其相互關(guān)系來(lái)判斷。解：事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌"是不能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件，這兩個(gè)事件可能恰有一個(gè)發(fā)生，一個(gè)不發(fā)生，可能兩個(gè)都不發(fā)生,所以應(yīng)選C.點(diǎn)評(píng)：本題易錯(cuò)選A，本題錯(cuò)誤的原因在于把“互斥”與“對(duì)立"混同,二者的聯(lián)系與區(qū)別主要體現(xiàn)在：①兩事件對(duì)立，必定互斥，但互斥未必對(duì)立;②互斥概念適用于多個(gè)事件，但對(duì)立概念只適用于兩個(gè)事件；③兩個(gè)事件互斥只表明這兩個(gè)事件不能同時(shí)發(fā)生，即至多只能發(fā)生其中一個(gè)，但可以都不發(fā)生；而兩事件對(duì)立則表示它們有且僅有一個(gè)發(fā)生。例3用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣從含有8個(gè)個(gè)體的總體中抽取一個(gè)容量為2的樣本.試問(wèn)：(1)總體中的某一個(gè)個(gè)體a在第一次抽取時(shí)被抽到的概率是多少?(2）個(gè)體a在第一次未被抽到,而第二次被抽到的概率是多少？(3)在整個(gè)抽樣過(guò)程中，個(gè)體a被抽到的概率是多少?分析：首先判斷所求事件之間的關(guān)系，是否為互斥事件，如果是,則運(yùn)用互斥事件概率的求解方法來(lái)解.解：（1)總體中的某一個(gè)個(gè)體a在第一次抽取時(shí)被抽到的概率是P=；（2)個(gè)體a在第一次未被抽到,而第二次被抽到的概率是P=；（3)由于個(gè)體a在第一次被抽到與第二次被抽到是互斥事件,所以，在整個(gè)抽樣過(guò)程中，個(gè)體a被抽到的概率是P=.點(diǎn)評(píng)：當(dāng)直接求某一個(gè)事件的概率較為繁雜時(shí)，可以考慮所求的事件是否可以看作幾個(gè)互斥事件有一個(gè)發(fā)生的問(wèn)題，如果可以，則可以運(yùn)用公式P（A1＋A2＋…＋An）＝P（A1）＋P（A2）＋…＋P(An）來(lái)求解.例4某射手射擊一次，(1）若事件A“射手射擊一次,中靶”的概率為0.95,則事件的概率是多少?(2)若事件B“射手射擊一次，中靶環(huán)數(shù)大于5”的概率為0。7,那么事件C“射手射擊一次，中靶環(huán)數(shù)小于6”的概率是多少？事件D“射手射擊一次,中靶環(huán)數(shù)大于0而小于6”的概率是多少？分析：根據(jù)題意可以運(yùn)用對(duì)立事件的概率之和等于1的關(guān)系來(lái)求解.解：(1)因?yàn)镻(A)=0.95,所以P(）=1－P(A)=1－0.95=0.05；(2）事件B與事件C是對(duì)立事件，又因?yàn)镻(B)=0.7，所以P（C）=P(B）=1－0。7=0.3；P(D)=P(C）－P(）=0.3－0.05=0。25。點(diǎn)評(píng)：如果某事件A發(fā)生包含的情況比較多，而它的對(duì)立事件即事件A不發(fā)生所包含的情形較少,這時(shí)可以利用公式P（A)=1－P(）來(lái)計(jì)算事件A的概率比較簡(jiǎn)便。對(duì)于（2)中,事件C的發(fā)生可以看作事件D和事件A有一個(gè)發(fā)生的情形，而事件D和事件是互斥事件，所以P(C）=P(D）+P（），即P（D）=P(C）－P()，從這里可以看出，不僅要會(huì)直接運(yùn)用公式，也要會(huì)運(yùn)用公式的變形形式.知能訓(xùn)練1。從存放號(hào)碼分別為1，2，3…10的卡片的盒子中,有放回地取100次，每次取一張卡片并記下號(hào)碼,統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下：卡片號(hào)碼12345678910取到的次數(shù)138576131810119則取到號(hào)碼為奇數(shù)的概率是（）A.0.53B.0。5C。0.47D.0。372.如果事件A、B互斥,那么(）A.A+是必然事件B。+是必然事件C。與一定互斥D.與一定不互斥3.1人在打靶中連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是(）A.至多有一次中靶B。2次都中靶C。2次都不中靶D。只有一次中靶4。戰(zhàn)士小王在一次射擊中命中9環(huán)的概率是0。27，命中8環(huán)的概率是0。21，命中7環(huán)的概率是0。24，不夠7環(huán)的概率是0。19，試求:（1）該戰(zhàn)士在一次射擊中命中7環(huán)或8環(huán)的概率；（2)該戰(zhàn)士在一次射擊中命中10環(huán)的概率；（3)該戰(zhàn)士在一次射擊中命中8環(huán)或8環(huán)以上的概率。5。袋中有12個(gè)小球，分別為紅球、黑球、黃球、綠球,從中任取一球，得到紅球的概率是，得到黑球或黃球的概率是，得到黃球或綠球的概率也為，試求得到黑球、得到黃球、得到綠球的概率各是多少？6。甲、乙兩個(gè)人下棋，和棋的概率為，乙獲勝的概率為，求：（1)甲獲勝的概率;(2)甲不輸?shù)母怕?解答:1。A2.B3.C4.（1)射中7環(huán)或8環(huán)的概率為0.21+0.24=0。45;（2）射中10環(huán)的概率為1—0.27-0。21—0.24—0.19=0。09；(3）8環(huán)或8環(huán)以上的概率為0。21+0.27+0。09=0.57。5.設(shè)“取紅球”為事件A，“取黑球”為事件B，“取黃球”為事件C，“取綠球"為事件D，則由題意知：6。(1)甲獲勝的概率為1－－=；(2）甲不輸?shù)母怕蕿?－=。課堂小結(jié)這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)了互斥事件以及對(duì)立事件的概念及概率的計(jì)算。在運(yùn)用公式時(shí),我們一定要先判斷是否符合互斥事件以及對(duì)立事件的概念，然后再根據(jù)判斷的結(jié)果進(jìn)行解答。特別是互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率公式,對(duì)立事件的概率的和為1，這些公式的運(yùn)用必須先要考查是否具備各事件彼此互斥和兩個(gè)事件是對(duì)立事件的前提條件.在求較為復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常有以下兩種方法：第一種方法是直接求解法，可以將所求事件的概率分解成一些彼此互斥事件的概率的和,分解后的每一個(gè)事件的概率的計(jì)算可以通過(guò)等可能事件的概率來(lái)解，其關(guān)鍵是確定事件是否互斥。第二種方法是間接求解法,先求出所求事件的對(duì)立事件的概率，再用公式P(A)=1－P()來(lái)計(jì)算，也就是運(yùn)用逆向思維的思想方法.另外注意文字?jǐn)⑹龅暮x,例如“至少有一個(gè)發(fā)生"“至多有一個(gè)發(fā)生"等類型的概率時(shí)都采用間接求解的方法.作業(yè)課本習(xí)題3。47、8。設(shè)計(jì)感想在求解隨機(jī)事件的概率時(shí)，可以根據(jù)題目的條件，先判斷所求事件的概率類型,然后根據(jù)相應(yīng)的概率類型，采用相應(yīng)的概率計(jì)算公式來(lái)求解.在運(yùn)用概率公式求解互斥事件有一個(gè)發(fā)生的概率以及對(duì)立事件的概率時(shí)，首先要考查是否具備各事件彼此互斥和兩事件對(duì)立的前提條件，因此,要搞清楚互斥事件和對(duì)立事件的區(qū)別和聯(lián)系，互斥事件是指兩事件不能同時(shí)發(fā)生，對(duì)立事件是指互斥的兩事件中必有一個(gè)發(fā)生.在求較為復(fù)雜的事件的概率時(shí)，通常采取兩種方法：一是將所求的事件看成是一些彼此互斥事件有一個(gè)發(fā)生的問(wèn)題,二是先求所求事件的對(duì)立事件的概率.習(xí)題詳解習(xí)題3.41.(1)記A=｛摸出紅球｝,B={摸出黃球}，C={摸出藍(lán)球}，D={摸出紅球或黃球｝，因?yàn)槭录嗀與B互斥,運(yùn)用互斥事件概率加法公式得P(D）=P（A)+P（B)=0.45+0。33=0.78.（2）因?yàn)槭录﨏與D對(duì)立，運(yùn)用對(duì)立事件概率公式得P（C）=1—P（D)=1—0。78=0。22。答：（1)摸出紅球或黃球的概率為0。78；（2）摸出藍(lán)球的概率為0.22。2。運(yùn)用互斥事件及對(duì)立事件概率公式得所求事件的概率為1-0。4-0。2=0。4.3。運(yùn)用互斥事件及對(duì)立事件概率公式得P（至多2人排隊(duì)等候)=0。1+0.16+0.3=0.56，P（至少3人排隊(duì)等候）=1-0.56=0。44.4。分別記“這臺(tái)彩電是一等品"“這臺(tái)彩電是二等品”“這臺(tái)彩電是次品"為事件A、B、C，則事件A、B、C兩兩互斥.(1)記D={這臺(tái)彩電是正品｝，運(yùn)用互斥事件概率加法公式得P(D）=P(A）+P（B)=0。9+0.08=