數(shù)學教案：回歸分析的基本思想及其初步應用第二課時

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精第二課時教學目標知識與技能從相關指數(shù)和殘差分析角度探討回歸模型的擬合效果,以及建立回歸模型的基本步驟．過程與方法在發(fā)現(xiàn)直接求回歸直線方程存在缺陷的基礎上，引導學生去發(fā)現(xiàn)解決問題的新思路--進行回歸分析,進而介紹殘差分析的方法和利用R2來表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率．情感、態(tài)度與價值觀通過本節(jié)課的學習，加強數(shù)學與現(xiàn)實生活的聯(lián)系，以科學的態(tài)度評價兩個變量的相關性，掌握處理問題的方法,形成嚴謹?shù)闹螌W態(tài)度和鍥而不舍的求學精神．培養(yǎng)學生運用所學知識解決實際問題的能力．教學中適當?shù)乩脤W生的合作與交流，使學生在學習的同時，體會與他人合作的重要性．重點難點教學重點：從殘差分析、相關指數(shù)角度探討回歸模型的擬合效果，以及建立回歸模型的基本步驟；教學難點：了解評價回歸效果的兩個統(tǒng)計量：相關指數(shù)、殘差和殘差平方和．eq\o(\s\up7（),\s\do5（教學過程)）eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(引入新課)）（幻燈片)編號12345678身高/cm165165157170175165155170體重/kg4857505464614359上表是上一節(jié)課我們從某大學選取8名女大學生其身高和體重數(shù)據(jù)組成的數(shù)據(jù)表,在上一節(jié)課中我們通過數(shù)據(jù)建立了回歸直線方程,并根據(jù)方程預測了身高為172cm的女大學生的體重．當時，我們提到根據(jù)回歸直線方程求得的體重數(shù)據(jù)，僅是一個估計值，其與真實值之間存在著誤差，為了綜合分析身高和體重的關系，我們引入了線性回歸模型y＝bx＋a＋e來表示兩變量之間的關系，其中e為隨機變量，又稱隨機誤差．線性回歸模型y＝bx＋a＋e增加了隨機誤差項e,因變量y的值由自變量x和隨機誤差e共同確定．假設隨機誤差對體重沒有影響，也就是說，體重僅受身高的影響,那么散點圖中所有的點將完全落在回歸直線上．但是,在圖中，數(shù)據(jù)點并沒有完全落在回歸直線上．這些點散布在回歸直線附近，所以一定是隨機誤差把這些點從回歸直線上“推”開了，即自變量x只能解釋部分y的變化．同學們考慮一下，隨機變量e的均值是多少？方差又是多少？活動設計：學生思考回答問題．學情預測：學生回答E(e)＝0，D(e)＝σ2〉0.教師提問：能否通過D(e）來刻畫線性回歸模型的擬合程度？學情預測：隨機誤差e的方差越小,通過回歸直線預報真實值y的精度越高．隨機誤差是引起預報值與真實值y之間的誤差的原因之一,其大小取決于隨機誤差的方差．設計意圖:說明研究隨機誤差e的必要性，通過研究隨機誤差e可以分析預報值的可信度．提出問題：既然可以用隨機變量e的方差來衡量隨機誤差的大小，即通過方差σ2來刻畫預報變量（體重）的變化在多大程度上與隨機誤差有關，那么如何獲得方差σ2呢？學生活動:學生獨立思考，小組合作交流討論．活動結果：可以采用抽樣統(tǒng)計的思想，通過隨機變量e的樣本來估計σ2的大?。O計目的:復習抽樣統(tǒng)計思想,以便通過隨機變量e的樣本來估計總體．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探究新知））提出問題：既然e表示了除解釋變量以外其他各種影響預報值的因素帶來的誤差，那么如何獲得e的樣本來計算σ2呢?學生活動：分組合作討論交流．學情預測：由函數(shù)模型eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^））x＋eq\o（a,\s\up6(^))和回歸模型y＝bx＋a＋e可知e＝y(tǒng)－eq\o(y，\s\up6（^）),這樣根據(jù)圖表中女大學生的身高求出預報值，再與真實值作差，即可求得e的一個估計值．教師：由于在計算回歸直線方程時，利用公式求得的eq\o(b,\s\up6（^）)和eq\o(a，\s\up6（^）)為斜率和截距的估計值，它們與真實值a和b之間存在誤差，因此eq\o（y,\s\up6（^)）是估計值，所以eq\o(e,\s\up6（^）)＝y(tǒng)－eq\o(y,\s\up6(^））也是一個估計值．由上可知，對于樣本點(x1,y1)，（x2,y2），…，(xn，yn)而言，它們的隨機誤差為ei＝y(tǒng)i－bxi－a,i＝1，2,…n,稱其估計值eq\o(e，\s\up6(^））i＝y(tǒng)i－eq\o(y，\s\up6（^)）i為相應于點(xi，yi）的殘差．將所有殘差的平方加起來,即eq\i\su（i＝1,n，e）eq\o（，\s\up6(^））eq\o\al(2，i），這個和稱作殘差平方和．類比樣本方差估計總體方差的思想，可以用eq\o（σ,\s\up6（^））2＝eq\f（1，n－2）eq\i\su（i＝1,n，e）eq\o(，\s\up6(^))eq\o\al（2，i）＝eq\f（1，n－2）eq\i\su(i＝1，n,)（yi－eq\o(y，\s\up6(^）)i)2(n〉2)作為σ2的估計量，通常，eq\o（σ,\s\up6(^））2越小，預報精度越高．這樣，當我們求得回歸直線方程后，可以通過殘差來判斷模型擬合程度的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù),這方面的分析工作稱為殘差分析．設計目的:通過問題誘思,引入殘差概念．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知)）提出問題：對照女大學生的身高和體重的原始數(shù)據(jù),結合求出的回歸直線方程,求出相應的殘差數(shù)據(jù)．學生活動:獨立完成．活動結果：編號12345678身高（cm）165165157170175165155170體重(kg)4857505464614359殘差eq\o（e,\s\up6(^）)－6。3732。6272。419－4。6181.1376.627－2.8830.382提出問題:根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，以樣本編號為橫坐標,殘差值為縱坐標，做出散點圖(這樣的散點圖稱作殘差圖）．學生活動:分組合作，共同完成．活動結果:殘差圖提出問題:觀察上面的殘差圖，你認為哪幾個樣本點在采集時可能存在人為的錯誤?為什么？學生活動:分組討論．活動結果：第一個和第六個樣本點在采集過程中可能存在錯誤，因為其他的樣本點基本都集中在一個區(qū)域內(nèi)，只有這兩個樣本點的殘差比較大，相對其他樣本點來說，分布得較為分散．提出問題：如何從殘差圖來判斷模型的擬合程度？學生活動：獨立思考也可相互討論．活動結果：因為eq\o(σ,\s\up6（^））2越小,預報精度越高，即模型的擬合程度越高,而eq\o（σ，\s\up6（^))2越小,eq\o（e,\s\up6（^）)的取值越集中，故若殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適，且?guī)顓^(qū)域的寬度越窄，說明擬合精度越高，回歸直線的預報精度越高．教師：在統(tǒng)計學上，人們經(jīng)常用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果,其計算公式是：R2＝1－eq\f（\i\su（i＝1，n，）（yi－\o(y，\s\up6(^）)i）2,\i\su(i＝1,n,）（yi－\x\to(y））2）提出問題:分析上面計算相關指數(shù)R2的公式,如何根據(jù)R2來判斷模型的擬合效果？學生活動:獨立思考也可相互討論，教師加以適當?shù)囊龑崾荆顒咏Y果：因為對于確定的樣本數(shù)據(jù)而言，eq\i\su（i＝1,n，）(yi－eq\x\to(y））2是一個定值，故R2取值越大,意味著殘差平方和越小，也就是說模型的擬合效果越好．提出問題:在線性回歸模型中，R2表示解釋變量對于預報變量變化的貢獻率，R2越接近1，表示回歸的效果越好,即解釋變量和預報變量的線性相關性越強,試計算關于女大學生身高與體重問題中的相關指數(shù)R2.學生活動：學生獨立計算獲得數(shù)據(jù)．活動結果：R2≈0.64。根據(jù)R2≈0。64就可得出“女大學生的身高解釋了64%的體重變化”，或者說“女大學生的體重差異有64％是由身高引起的”．由此就不難理解為什么預報體重和真實值之間有差距了．設計目的：結合圖象，讓學生直觀感受殘差圖在刻畫回歸模型擬合效果方面的應用，體會殘差分析和相關指數(shù)的意義．提出問題：根據(jù)前面得到的回歸方程，能否預測一名美國女大學生的體重？建立回歸模型后能否一勞永逸，在若干年后還可以使用，或者適用于多年以前的女大學生體重預測？學生活動：討論交流總結發(fā)言．活動結果：在使用回歸方程進行預報時要注意:(1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體；(2）我們建立的回歸方程一般都有時間性；(3）樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍；(4)不能期望回歸方程得到的預報值就是預報變量的精確值．提出問題：結合我們剛學習的概念，現(xiàn)在能否將建立回歸模型的步驟補充完整？學生活動：討論交流，合作完成．活動結果：一般地,建立回歸模型的基本步驟為：（1)確定研究對象，明確哪個變量是解釋變量,哪個變量是預報變量．（2）畫出確定好的解釋變量和預報變量的散點圖，觀察它們之間的關系(如是否存在線性關系等）．（3）由經(jīng)驗確定回歸方程的類型(如我們觀察到數(shù)據(jù)呈線性關系，則選用線性回歸方程)．（4）按一定規(guī)則(如最小二乘法）估計回歸方程中的參數(shù)．(5）得出結果后分析殘差圖是否有異常(如個別數(shù)據(jù)對應殘差過大，或殘差呈現(xiàn)不隨機的規(guī)律性，等等)．若存在異常，則檢查數(shù)據(jù)是否有誤，或模型是否合適等．設計意圖:設計問題，讓學生討論分析,得出使用回歸方程進行預報需注意的問題,并讓學生完善建立回歸模型的步驟．在這個過程中，教師不宜做太多引導,要放手給學生，讓學生討論,充分參與進來．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(運用新知))例1一個車間為了規(guī)定工時定額，需確定加工零件所花費的時間，為此進行了10次試驗,測得的數(shù)據(jù)如下:編號12345678910零件數(shù)x/個102030405060708090100加工時間y/分626875818995102108115122（1）建立零件數(shù)為解釋變量，加工時間為預報變量的回歸模型，并計算殘差；(2）你認為這個模型能較好地刻畫零件數(shù)和加工時間的關系嗎？分析：首先根據(jù)散點圖粗略判斷變量是否具有線性相關性，判斷是否可以用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù),然后通過殘差eq\o（e,\s\up6(^））1,eq\o(e，\s\up6（^））2，…，eq\o（e,\s\up6（^)）n來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)是否存在可疑數(shù)據(jù)．解：(1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)作出散點圖如下：散點圖由散點圖可知變量之間具有線性相關關系,可以通過求線性回歸方程來擬合數(shù)據(jù)．根據(jù)公式可求得加工時間對零件數(shù)的線性回歸方程為eq\o（y,\s\up6（^))＝0。668x＋54.96。殘差數(shù)據(jù)如下表：編號12345678910殘差eq\o（e,\s\up6(^）)0.39－0。290。03－0.650.67－0.010.31－0.37－0.050.27(2)畫出殘差圖殘差圖由圖可知，殘差點分布較均勻，即用上述回歸模型擬合數(shù)據(jù)效果很好，但需注意,由殘差圖也可以看出,第4個樣本點和第5個樣本點殘差較大，需要確認在采集這兩個樣本點的過程中是否有人為的錯誤．點評：由散點圖判斷兩個變量的線性相關關系，誤差較大，利用殘差圖可以較好地評價模型的擬合程度,并能發(fā)現(xiàn)樣本點中的可疑數(shù)據(jù)．【變練演編】例2在一段時間內(nèi)，某種商品的價格x（元)和需求量y（件)之間的一組數(shù)據(jù)為：價格x/元1416182022需求量y/件5650434137求出y對x的回歸方程，并說明擬合效果的好壞．思路分析：先根據(jù)散點圖判斷兩個變量是否線性相關，若相關，求出回歸直線方程,然后通過相關指數(shù)的大小來評價擬合效果的好壞．解：作出散點圖：從作出的散點圖可以看出,這些點在一條直線附近，可用線性回歸模型來擬合數(shù)據(jù)．由數(shù)據(jù)可得eq\x\to(x）＝18，eq\x\to（y)＝45。4，由計算公式得eq\o（b，\s\up6(^)）＝－2。35，eq\o（a，\s\up6(^)）＝eq\x\to（y)－eq\o（b，\s\up6(^）)eq\x\to(x）＝87。7。故y對x的回歸方程為eq\o(y，\s\up6(^)）＝－2.35x＋87.7，列表:yi－eq\o（y,\s\up6(^))i1.2－0.1－2。40。31yi－eq\x\to(y)10。64.6－2.4－4.4－8。4所以eq\i\su(i＝1,5，)(yi－eq\o（y,\s\up6（^)）i)2＝8。3，eq\i\su（i＝1，5，)（yi－eq\x\to(y)）2＝229。2。相關指數(shù)R2＝1－eq\f（\i\su(i＝1，5,）(yi－\o（y，\s\up6（^)）i)2,\i\su(i＝1，5,)(yi－\x\to（y））2）≈0.946。因為0.964很接近1，所以該模型的擬合效果很好．變式1：若要分析是否在上述樣本的采集過程中存在可疑數(shù)據(jù)，應如何分析？活動設計：學生分組討論，回顧課本解答問題．活動成果：可以畫出殘差圖來進行分析．變式2：既然利用殘差圖和相關指數(shù)都能夠評價回歸模型的擬合效果，能否總結一下兩種方法各自的特點？活動成果：利用殘差圖可以直觀展示擬合的效果，而且還可以發(fā)現(xiàn)樣本數(shù)據(jù)中的可疑數(shù)據(jù)；而相關指數(shù)是把對擬合效果的評價轉(zhuǎn)換為數(shù)值大小的判斷，易于量化處理,并能在數(shù)量上表現(xiàn)解釋變量對于預報變量變化的貢獻率．設計意圖：進一步熟悉判斷擬合效果的方法以及各自的特點．【達標檢測】1．分析下列殘差圖，所選用的回歸模型效果最好的是()ABCD2．下列說法正確的是（)①回歸直線方程適用于一切樣本和總體；②回歸直線方程一般都有時間性；③樣本的取值范圍會影響回歸直線方程的適用范圍；④根據(jù)回歸直線方程得到的預測值是預測變量的精確值．A．①③④B．②③C．①②D．③④3．在研究氣溫和熱茶銷售杯數(shù)的關系時，若求得相關指數(shù)R2≈__________，表明“氣溫解釋了85%的熱茶銷售杯數(shù)變化"或者說“熱茶銷售杯數(shù)差異有85％是由氣溫引起的”．答案：1。D2。B3。0。85.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（課堂小結））學生回顧本節(jié)課學習的內(nèi)容，嘗試總結，然后不充分的地方由學生相互補充，最后在老師的引導下,用精煉的語言進行概括：1．判斷變量是否線性相關的方法以及各自的特點；2．在運用回歸模型時需注意的事項；3．建立回歸模型的基本步驟．設計意圖：讓學生自己小結，這是一個多維整合的過程，是一個高層次的自我認識過程．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補充練習)）【基礎練習】1．有下列說法：①在殘差圖中，殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明選用的模型比較合適．②用相關指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，R2值越接近于1,說明模型的擬合效果越好．③比較兩個模型的擬合效果，可以比較殘差平方和的大小，殘差平方和越小的模型,擬合效果越好．正確的是(）A．①②B．②③C．①③D．①②③2．甲、乙、丙、丁四位同學各自對A，B兩變量做回歸分析，分別得到散點圖與殘差平方和eq\i\su(i＝1,n,）（yi－eq\o（y，\s\up6(^）)i)2如下表甲乙丙丁散點圖殘差平方和115106124103哪位同學的實驗結果體現(xiàn)擬合A，B兩變量關系的模型擬合精度高？（)A．甲B．乙C．丙D．丁3．關于x與y有如下數(shù)據(jù)：x24568y3040605070為了對x，y兩個變量進行統(tǒng)計分析,現(xiàn)有以下兩種線性模型：甲：eq\o（y,\s\up6（^）)＝6.6x＋17.5,乙:eq\o(y,\s\up6（^）)＝7x＋17。試比較哪一個模型擬合效果更好．答案或提示:1。D2。D3．解析：設甲模型的相關指數(shù)為Req\o\al(2，1），則Req\o\al（2，1）＝1－eq\f(\i\su（i＝1,5，)(yi－\o(y,\s\up6(^）)i）2,\i\su（i＝1，5,）（yi－\x\to(y）)2）＝1－eq\f(155，1000)＝0。845；設乙模型的相關指數(shù)為Req\o\al(2,2），則可求得Req\o\al（2，2)＝0.82,因為Req\o\al（2,1)>Req\o\al(2,2)，所以甲模型的擬合效果更好．【拓展練習】4．假設某種農(nóng)作物基本苗數(shù)x與有效穗數(shù)y之間存在相關關系，今測得5組數(shù)據(jù)如下：x15。025。830。036。644.4y39.442。942.943.149。2（1)以x為解釋變量，y為預報變量，作出散點圖;（2)求y與x之間的回歸方程，對于基本苗數(shù)56。7預報有效穗數(shù)．（3）計算各組殘差；（4）求R2，并說明隨機誤差對有效穗數(shù)的影響占百分之幾？解:（1)散點圖如圖：(2）由圖可以看出,樣本點呈條狀分布，有比較好的線性相關關系，因此可用線性回歸方程來建立兩個變量之間的關系．設線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6（^））＝eq\o（b,\s\up6（^））x＋eq\o（a,\s\up6(^)),由數(shù)據(jù)可以求得：eq\o（b，\s\up6(^))≈0。291,eq\o(a,\s\up6(^)）＝eq\x\to（y）－eq\o(b，\s\up6（^））eq\x\to（x)＝34。67。故所求的線性回歸方程為eq\o(y，\s\up6（^))＝0.291x＋34。67。當x＝56。7時，eq\o(y，\s\up6（^)）＝0。291×56。7＋34.67＝51.1697。估計有效穗數(shù)為51.1697。（3）各組數(shù)據(jù)的殘差分別是eq\o（e,\s\up6(^）)1≈0。37，eq\o（e,\s\up6(^））2≈0.72,eq\o（e,\s\up6（^))3≈－0。5，eq\o（e，\s\up6(^）)4≈－2.22，eq\o（e，\s\up6（^）)5≈1。61.(4）殘差平方和：eq\i\su(i＝1，5,)(yi－eq\o(y，\s\up6（^）)i）2＝8。4258，又eq\i\su（i＝1，5，)(yi－eq\x\to(y)）2＝50.18，∴R2＝1－eq\f(\i\su（i＝1，5,）(yi－\o（y，\s\up6（^）)i）2，\i\su(i＝1，5,）（yi－\x\to(y)）2)＝1－eq\f（8.4258，50.18）≈0。832.即解釋變量(農(nóng)作物基本苗數(shù)）對有效穗數(shù)的影響約占了83。2%，所以隨機誤差對有效穗數(shù)的影響約占1－83。2％＝16。8％。eq\o(\s\up7（)，\s\do5（設計說明)）本課時從上一節(jié)課的案例出發(fā)，通過分析隨機誤差產(chǎn)生的原因，引入隨機變量、殘差、殘差平方和、相關指數(shù)的有關概念，從相關指數(shù)和殘差分析等角度探討回歸模型擬合的效果，并通過案例說明利用所建立的回歸模型進行預報時需要注意的問題，然后總結建立回歸模型的基本步驟．在教學過程中以問題為引導思考的動機，注重對學生合作意識的培養(yǎng),通過對案例的分析，培養(yǎng)學生對數(shù)據(jù)的處理能力，讓學生初步了解回歸分析思想在實際生活中的運用．eq\o(\s\up7（)，\s\do5(備課資料)）有關總偏差平方和、回歸平方和、殘差平方和以及相關指數(shù)等概念的說明1．總偏差平方和：SST＝eq\i\su(i＝1，n,)(yi－eq\x\to(y))2，刻畫了預報變量y的變化劇烈程度．2．回歸平方和:SSR＝eq\i\su(i＝1，n，）(eq\o（y,\s\up6（^))i－eq\x\to(y））2,公式中所有預測值的平均值也等于eq\x\to(y）,故eq\f（1,n）eq\i\su(i＝1,n，y)eq\o（,\s\up6(^））i＝eq\f（1，n）eq\i\su(i＝1，n，)（eq\o(b,\s\up6(^)）xi＋eq\o（a,\s\up6(^)））＝eq\o（b,\s\up6（^)）eq\x\to（x）＋eq\o（a,\s\up6(^))＝eq\o（b,\s\up6（^）)eq\x\to（x）＋eq\x\to(y）－eq\o(b,\s\up6(^))eq\x\to（x)＝eq\x\to(y）,因此回歸平方和又可以寫成。從而回歸平方和刻畫了估計量eq\o(y,\s\up6(^））＝eq\o(a，\s\up6(^））＋eq\o（b，\s\up6(^))x的變化程度．由于估計量由解釋變量x所決定，所以，回歸平方和刻畫了預報變量的變化中由解釋變量通過線性回歸模型引起的那一部分的變化程度．3．殘差平方和：SSE＝eq\i\su(i＝1，n,)（yi－eq\o(y,\s\up6（^)）i)2，刻畫了殘差變量變化的程度．4．偏差平方和分解:即指公式eq\i\su（i＝1,n，)(yi－eq\x\to(y））2＝eq\i\su(i＝1，n,）(eq\o(y,\s\up6（^)）i－eq\x\to(y）)2＋eq\i\su(i＝1,n，)(yi－eq\o（y,\s\up6（^)）i)2,稱為平方和分解公式,用文字表示為:總偏差平方和＝回歸平方和＋殘差平方和．公式證明如下：假設觀測數(shù)據(jù)為(xi,yi），i＝1,2，…,n，則eq\i\su（i＝1，n，)(yi－eq\x\to（y))2＝eq\i\su（i＝1,n，）(yi－eq\o（y,\s\up6(^））i＋eq\o(y，\s\up6(^))i－eq\x\to（y）)2＝eq\i\su(i＝1，n,）（yi－eq\x\to(y）)2＋eq\i\su（i＝1,n,)（yi－eq\o（y，\s\up6(^））i）2＋2eq\i\su（i＝1，n，)（eq\o（y,\s\up6（^））i－eq\x\to（y))(yi－eq\o（y,\s\up6(^))i）．而eq\i\su(i＝1,n,)(eq\o（y,\s\up6（^))i－eq\x\to(y))（yi－eq\o(y,\s\up6(^))i）＝eq\i\su(i＝1，n,)（eq\o(b,\s\up6(^)）xi－eq\o(b，\s\up6(^）)eq\x\to(x))(yi－eq\o(a，\s\up6（^))－eq\o（b，\s\up6(^)）xi）＝eq\i\su（i＝1，n，b)eq\o(，\s\up6（^）)(xi－eq\x\to(x)）eq\b\lc\［\rc\]（\a\vs4\al\co1(yi－\o（a,\s\up6(^））－\o（b,\s\up6（^）)\x\to（x）－b（xi－\x\to(x）)))＝eq\o（b,\s\up6(^））eq\i\su(i＝1，n，)(xi－eq\x\to(x））eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1(（yi－\x\to(y))－\o(b,\s\up6（^））（xi－\x\to（x））））＝eq\o（b,\s\up6(^)）eq\b\lc\［\rc\](\a\vs4\al\co1