數(shù)學(xué)教案：空間中的垂直關(guān)系平面與平面垂直

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7（),\s\do5（整體設(shè)計）)教學(xué)分析教材通過實(shí)例操作，歸納出了兩個平面互相垂直的定義，進(jìn)一步歸納出了平面與平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理．值得注意的是在教學(xué)中要留給學(xué)生適當(dāng)?shù)乃伎紩r間,避免出現(xiàn)直接給出定義和定理,那樣做會不符合新課標(biāo)的精神的．三維目標(biāo)1．掌握兩個平面互相垂直的定義,提高學(xué)生的歸納能力．2．掌握兩個平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理,以及應(yīng)用定理解決有關(guān)問題，提高學(xué)生抽象思維能力，培養(yǎng)空間想象能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩個平面垂直的判定和性質(zhì)．教學(xué)難點(diǎn)：歸納判定定理和性質(zhì)定理．課時安排1課時eq\o（\s\up7(）,\s\do5（教學(xué)過程）)導(dǎo)入新課設(shè)計1?；仡欀本€與平面垂直的定義,是用線線垂直來定義的,那么如何定義平面與平面垂直呢？用什么來定義?教師點(diǎn)出課題．設(shè)計2。如下圖所示，在長方體AC′中，棱AA′垂直平面AC，那么過AA′的平面AB′和平面AD′垂直于平面AC嗎？教師點(diǎn)出課題．推進(jìn)新課eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題))（1)如右下圖，兩個平面α，β相交，交線為CD，在CD上任取一點(diǎn)B，過點(diǎn)B分別在α，β內(nèi)作直線BA和BE，使BA⊥CD,BE⊥CD。于是，直線CD⊥平面ABE。容易看到，當(dāng)∠ABE為直角時,給我們兩平面互相垂直的印象．由此歸納出兩平面垂直的一個定義？(2)在下圖中,由于∠ABE為直角，可知BA⊥BE.又BA⊥CD，所以BA⊥β.這就是說平面α過平面β的垂線BA?，F(xiàn)在要問，如果平面α過平面β的垂線BA,那么這兩個平面是否相互垂直呢？歸納平面與平面垂直的判定定理．(3）下面我們再來研究兩平面垂直的性質(zhì)．再觀察右上圖，設(shè)平面α與平面β垂直,α∩β＝CD，如果平面α內(nèi)的直線BA⊥CD，這時，BA是否垂直平面β?歸納平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．討論結(jié)果：（1)如果兩個相交平面的交線與第三個平面垂直，又這兩個平面與第三個平面相交所得的兩條交線互相垂直,就稱這兩個平面互相垂直．平面α，β互相垂直，記作α⊥β。(2)答案是肯定的．事實(shí)上，只要在平面β內(nèi)作BE⊥CD,由于BA⊥β，所以BA⊥BE，因此∠ABE為直角依兩個平面垂直的定義，就可以推出α⊥β.由以上觀察和分析,我們可以得到平面與平面垂直的判定定理:定理如果一個平面過另一個平面的一條垂線，則兩個平面互相垂直．建筑工人在砌墻時，常用一端系有鉛錘的線來檢查所砌的墻是否和水平面垂直(如下圖)，實(shí)際上就是依據(jù)這個定理．(3)定理如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面．已知：(如下圖）平面α⊥平面β，α∩β＝CD,BAα，BA⊥CD，B為垂足．求證：BA⊥β。證明：在平面β內(nèi)過點(diǎn)B作BE⊥CD。因?yàn)棣痢挺拢訠A⊥BE.又因?yàn)锽A⊥CD，CD∩BE＝B，所以BA⊥β.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例)）思路1例1已知:如下圖，平面α⊥平面β，在α與β的交線上取線段AB＝4cm，AC，BD分別在平面α和平面β內(nèi)，它們都垂直于交線AB，并且AC＝3cm，BD＝12cm，求CD的長．解：連結(jié)BC。因?yàn)锽D⊥AB,直線AB是兩個互相垂直的平面α和β的交線，所以BD⊥α，BD⊥BC.所以△CBD是直角三角形．在直角△BAC中，BC＝eq\r(32＋42)＝5.在直角△CBD中，CD＝eq\r(52＋122）＝13。所以CD長為13cm.變式訓(xùn)練如下圖，長方體ABCD—A′B′C′D′中，MN在平面BCC′B′內(nèi)，MN⊥BC于M.判斷MN與AB是否垂直?并說明理由．解：顯然，平面BCC′B′⊥平面ABCD，交線為BC。因?yàn)镸N在平面BCC′B′內(nèi)，且MN⊥BC,所以MN⊥平面ABCD。從而MN⊥AB。例2已知Rt△ABC中,AB＝AC＝a,AD是斜邊BC上的高，以AD為折痕使∠BDC成直角(如下圖)．(1）(2）求證:(1）平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC；(2）∠BAC＝60°。證明：（1)如上圖(2），因?yàn)锳D⊥BD,AD⊥DC，所以AD⊥平面BDC。因?yàn)槠矫鍭BD和平面ACD都過AD，所以平面ABD⊥平面BDC，平面ACD⊥平面BDC.（2）如上圖(1)，在直角三角形BAC中，因?yàn)锳B＝AC＝a，所以BC＝eq\r(2）a，BD＝DC＝eq\f(\r（2）,2)a。如上圖(2）,△BDC是等腰直角三角形，所以BC＝eq\r（2)BD＝eq\r（2)×eq\f（\r（2),2)a＝a。所以AB＝AC＝BC。因此∠BAC＝60°。點(diǎn)評：證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直．變式訓(xùn)練如下圖，四邊形ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝2,∠BAD＝60°.求證：平面PBD⊥平面PAC.證明:設(shè)AC與BD交于點(diǎn)O，連結(jié)PO,∵底面ABCD是菱形,∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，BD平面ABCD，∴PA⊥BD。又PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC.又∵BD平面PBD，∴平面PBD⊥平面PAC。思路2例3如下圖，已知直四棱柱ABCD—A1B1C1D1的底面是菱形,且∠DAB＝60°,AD＝AA1，F(xiàn)為棱BB1的中點(diǎn)，M為線段AC1的中點(diǎn)．求證：（1)直線MF∥平面ABCD；（2）平面AFC1⊥平面ACC1A1.證明：如下圖，（1）延長C1F交CB的延長線于點(diǎn)N，連結(jié)AN.∵F是BB1的中點(diǎn),∴F為C1N的中點(diǎn),B為CN的中點(diǎn)．又M是線段AC1的中點(diǎn)，故MF∥AN.又∵M(jìn)F平面ABCD，AN平面ABCD,∴MF∥平面ABCD.（2）連結(jié)BD,由直四棱柱ABCD—A1B1C1D1，可知AA1⊥平面ABCD，又∵BD平面ABCD，∴A1A⊥BD?！咚倪呅蜛BCD為菱形，∴AC⊥BD.又∵AC∩A1A＝A，AC、A1A平面ACC1A1，∴BD⊥平面ACC1A1.在四邊形DANB中，DA∥BN且DA＝BN,∴四邊形DANB為平行四邊形．故NA∥BD。∴NA⊥平面ACC1A1.又∵NA平面AFC1,∴平面AFC1⊥平面ACC1A1.變式訓(xùn)練如左下圖,已知平面α交平面β于直線a.α、β同垂直于平面γ.求證：a⊥γ。證明：如右上圖,設(shè)α∩γ＝AB，β∩γ＝AC.在γ內(nèi)任取一點(diǎn)P并在γ內(nèi)作直線PM⊥AB,PN⊥AC.∵γ⊥α，∴PM⊥α.而aα,∴PM⊥a。同理,PN⊥a.又PMγ,PNγ,且PN∩PM＝P，∴a⊥γ.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練）)如下圖所示，在四棱錐S—ABCD中，底面ABCD是矩形，側(cè)面SDC⊥底面ABCD，且AB＝2，SC＝SD＝eq\r（2).求證：平面SAD⊥平面SBC.證明:在△SDC中，∵SC＝SD＝eq\r（2），CD＝AB＝2，∴∠DSC＝90°，即DS⊥SC?！叩酌鍭BCD是矩形，∴BC⊥CD.又∵平面SDC⊥平面ABCD，∴BC⊥面SDC。∴DS⊥BC.∴DS⊥平面SBC。∵DS平面SAD，∴平面SAD⊥平面SBC.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升））如下圖，在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長為2的菱形,∠BAD＝60°，N是PB中點(diǎn)，過A、D、N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn)．(1）求證：EN∥平面PCD；（2）求證：平面PBC⊥平面ADMN。（1）證明：∵AD∥BC,BC面PBC，AD面PBC,∴AD∥面PBC。又面ADN∩面PBC＝MN，∴AD∥MN?！郙N∥BC?！帱c(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．∴MNeq\f（1，2)BC。又E為AD的中點(diǎn)，∴四邊形DENM為平行四邊形．∴EN∥DM.∴EN∥面PDC.（2）證明:連結(jié)PE、BE,∵四邊形ABCD為邊長為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.又∵PE⊥AD，∴AD⊥面PBE?！郃D⊥PB。又∵PA＝AB且N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB.而AN∩AD＝A，∴PB⊥面ADMN?！嗥矫鍼BC⊥平面ADMN.eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)知識總結(jié):利用垂直的判定定理找出平面的垂線,然后解決證明垂直問題、平行問題等．思想方法總結(jié)：轉(zhuǎn)化思想，即把面面關(guān)系轉(zhuǎn)化為線面關(guān)系，把空間問題轉(zhuǎn)化為平面問題．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè))）本節(jié)練習(xí)A4題；練習(xí)B3題．eq\o（\s\up7(),\s\do5（設(shè)計感想）)本節(jié)教學(xué)設(shè)計體現(xiàn)了學(xué)生的主體地位，充分調(diào)動了學(xué)生的積極性．在實(shí)際應(yīng)用時,盡量借助于信息技術(shù)．eq\o(\s\up7(),\s\do5（備課資料））備選習(xí)題1。如下圖,正三棱柱ABC—A1B1C1的所有棱長都為2,D為CC1中點(diǎn)．求證：AB1⊥平面A1BD；證明：如下圖，取BC中點(diǎn)O，連結(jié)AO?！摺鰽BC為正三角形,∴AO⊥BC.∵在正三棱柱ABC—A1B1C1中，平面ABC⊥平面BCC1B1，∴AO⊥平面BCC1B1.∴AO⊥BD。連結(jié)B1O，在正方形BB1C1C中，O、D分別為BC、CC1的中點(diǎn)，∴B1O⊥BD.又AO∩B1O＝O，∴BD⊥面AOB1。AB1面AOB1，∴AB1⊥BD。在正方形ABB1A1中,AB1⊥A1B,∴AB1⊥平面A1BD.2。如下圖,在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AB＝BB1，AC1⊥平面A1BD,D為AC的中點(diǎn)．（1)求證：B1C∥平面A1BD；(2）求證：B1C1⊥平面ABB1A1;（3)設(shè)E是CC1上一點(diǎn),試確定E的位置使平面A1BD⊥平面BDE，并說明理由．分析:(1)轉(zhuǎn)化為證明B1C∥MD;(2)轉(zhuǎn)化為證明A1B⊥B1C1，BB1⊥B1C1；(3）可猜測點(diǎn)E為C1C的中點(diǎn)．證明：(1）如下圖，連結(jié)AB1與A1B相交于M.則M為A1B的中點(diǎn),連結(jié)MD，又D為AC的中點(diǎn)，∴B1C∥MD，又B1C平面A1BD，MD平面A1BD，∴B1C∥平面A1BD.（2)∵A