數(shù)學(xué)教案：排列第二課時(shí)

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精第二課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能利用排列和排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題．過(guò)程與方法經(jīng)歷把簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題化為排列問(wèn)題解決的過(guò)程，從中體會(huì)“化歸"的數(shù)學(xué)思想．情感、態(tài)度與價(jià)值觀能運(yùn)用所學(xué)的排列知識(shí)，正確地解決實(shí)際問(wèn)題，體會(huì)“化歸”思想的魅力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用排列和排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題．教學(xué)難點(diǎn)：利用排列和排列數(shù)公式解決簡(jiǎn)單的計(jì)數(shù)問(wèn)題．eq\o（\s\up7（）,\s\do5（教學(xué)過(guò)程）)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（復(fù)習(xí)回顧））提出問(wèn)題1：判斷下列兩個(gè)問(wèn)題是不是排列問(wèn)題，若是求出排列數(shù)，若不是,說(shuō)明理由．(1)有5本不同的書,從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書,要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自己獨(dú)立思考，教師提問(wèn)．活動(dòng)成果：解：（1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對(duì)應(yīng)于從5個(gè)元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是：Aeq\o\al(3,5）＝5×4×3＝60，所以，共有60種不同的送法．（2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的1本書都有5種不同的選購(gòu)方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是：5×5×5＝125,所以,共有125種不同的送法．本題中兩個(gè)小題的區(qū)別在于：第（1)小題是從5本不同的書中選出3本分送給3名同學(xué),各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問(wèn)題；而第（2）小題中，給每人的書均可以從5種不同的書中任選1種，各人得到哪種書相互之間沒(méi)有聯(lián)系，要用分步計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)具體實(shí)例回顧排列的概念和排列數(shù)公式．提出問(wèn)題2：請(qǐng)同學(xué)們?cè)倩仡櫼幌屡帕械母拍詈团帕袛?shù)公式．活動(dòng)設(shè)計(jì):學(xué)生一起回答，教師板書．活動(dòng)成果：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n）個(gè)元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．說(shuō)明：(1)排列的定義包括兩個(gè)方面:①取出元素，②按一定的順序排列;(2)兩個(gè)排列相同的條件：①元素完全相同，②元素的排列順序也相同．從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n）表示．注意區(qū)別排列和排列數(shù)的不同：“一個(gè)排列”是指：從n個(gè)不同元素中，任取m個(gè)元素按照一定的順序排成一列，不是數(shù);“排列數(shù)”是指從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，是一個(gè)數(shù)．所以符號(hào)Aeq\o\al（m，n)只表示排列數(shù)，而不表示具體的排列．設(shè)計(jì)意圖：復(fù)習(xí)排列概念和排列數(shù)公式,為本節(jié)課的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(典型例題)）類型一：直接抽象為排列問(wèn)題的計(jì)數(shù)問(wèn)題例1某年全國(guó)足球甲級(jí)(A組)聯(lián)賽共有14個(gè)隊(duì)參加，每隊(duì)要與其余各隊(duì)在主、客場(chǎng)分別比賽一次,共進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解:任意兩隊(duì)間進(jìn)行1次主場(chǎng)比賽與1次客場(chǎng)比賽,對(duì)應(yīng)于從14個(gè)元素中任取2個(gè)元素的一個(gè)排列．因此，比賽的總場(chǎng)次是Aeq\o\al（2,14)＝14×13＝182.點(diǎn)評(píng)：要學(xué)會(huì)把具體問(wèn)題抽象為從n個(gè)不同的元素中任取m（m≤n)個(gè)不同元素，按一定順序排成一列的問(wèn)題．【鞏固練習(xí)】某信號(hào)兵用紅、黃、藍(lán)3面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號(hào)，每次可以任意掛1面、2面或3面，并且不同的順序表示不同的信號(hào)，一共可以表示多少種不同的信號(hào)？解：分3類：第一類用1面旗表示的信號(hào)有Aeq\o\al（1,3）種；第二類用2面旗表示的信號(hào)有Aeq\o\al(2，3）種；第三類用3面旗表示的信號(hào)有Aeq\o\al（3，3）種，由分類加法計(jì)數(shù)原理，所求的信號(hào)種數(shù)是：Aeq\o\al(1，3)＋Aeq\o\al(2,3）＋Aeq\o\al（3，3)＝3＋3×2＋3×2×1＝15，即一共可以表示15種不同的信號(hào)．【變練演編】將4位司機(jī)、4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，每一輛汽車分別有一位司機(jī)和一位售票員,共有多少種不同的分配方案？分析：解決這個(gè)問(wèn)題可以分為兩步，第一步：把4位司機(jī)分配到四輛不同班次的公共汽車上，即從4個(gè)不同元素中取出4個(gè)元素排成一列，有Aeq\o\al(4，4)種方法；第二步:把4位售票員分配到四輛不同班次的公共汽車上，也有Aeq\o\al(4,4)種方法．利用分步乘法計(jì)數(shù)原理即得分配方案的種數(shù)．解：由分步乘法計(jì)數(shù)原理，分配方案種數(shù)共有N＝Aeq\o\al(4,4）·Aeq\o\al（4，4）＝576.即共有576種不同的分配方案．類型二:有約束條件的排列問(wèn)題（特殊位置分析法、特殊元素分析法)例2用0到9這10個(gè)數(shù)字，可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？思路分析：在本問(wèn)題的0到9這10個(gè)數(shù)字中,因?yàn)?不能排在百位上，而其他數(shù)可以排在任意位置上,因此0是一個(gè)特殊的元素．一般的，我們可以從特殊元素的排列位置入手來(lái)考慮問(wèn)題．解法一：由于在沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)中，百位上的數(shù)字不能是0，因此可以分兩步完成排列．第1步，排百位上的數(shù)字，可以從1到9這九個(gè)數(shù)字中任選1個(gè)，有Aeq\o\al（1，9）種選法；第2步，排十位和個(gè)位上的數(shù)字，可以從余下的9個(gè)數(shù)字中任選2個(gè)，有Aeq\o\al（2，9）種選法（如圖）．根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al（1,9）×Aeq\o\al（2,9）＝9×9×8＝648。解法二：如圖所示,符合條件的三位數(shù)可分成3類．每一位數(shù)字都不是0的三位數(shù)有Aeq\o\al(3,9)個(gè),個(gè)位數(shù)字是0的三位數(shù)有Aeq\o\al(2,9)個(gè),十位數(shù)字是0的三位數(shù)有Aeq\o\al（2，9)個(gè)．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，符合條件的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為Aeq\o\al（3，9）＋Aeq\o\al(2，9）＋Aeq\o\al(2,9）＝648.解法三：從0到9這10個(gè)數(shù)字中任取3個(gè)數(shù)字的排列數(shù)為Aeq\o\al(3，10），其中0在百位上的排列數(shù)是Aeq\o\al(2,9）,它們的差就是用這10個(gè)數(shù)字組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)，即所求的三位數(shù)的個(gè)數(shù)是Aeq\o\al（3，10）－Aeq\o\al（2,9）＝10×9×8－9×8＝648。點(diǎn)評(píng):對(duì)于例2這類計(jì)數(shù)問(wèn)題，可用適當(dāng)?shù)姆椒▽?wèn)題分解，而且思考的角度不同，就可以有不同的解題方法．解法一根據(jù)百位數(shù)字不能是0的要求，分步完成選3個(gè)數(shù)組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)這件事,依據(jù)的是分步乘法計(jì)數(shù)原理；解法二以0是否出現(xiàn)以及出現(xiàn)的位置為標(biāo)準(zhǔn)，分類完成這件事情,依據(jù)的是分類加法計(jì)數(shù)原理;解法三是一種逆向思考方法:先求出從10個(gè)不同數(shù)字中選3個(gè)不重復(fù)數(shù)字的排列數(shù)，然后從中減去百位是0的排列數(shù)（即不是三位數(shù)的個(gè)數(shù)），就得到?jīng)]有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)的個(gè)數(shù)．從上述問(wèn)題的解答過(guò)程可以看到,引進(jìn)排列的概念,以及推導(dǎo)求排列數(shù)的公式，可以更加簡(jiǎn)便、快捷地求解“從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)"這類特殊的計(jì)數(shù)問(wèn)題．【鞏固練習(xí)】從10個(gè)不同的文藝節(jié)目中選6個(gè)編成一個(gè)節(jié)目單,如果某女演員的獨(dú)唱節(jié)目一定不能排在第二個(gè)節(jié)目的位置上，則共有多少種不同的排法？解法一：(從特殊位置考慮）Aeq\o\al(1,9)Aeq\o\al（5,9)＝136080；解法二：（從特殊元素考慮)若選：5·Aeq\o\al(5,9)；若不選:Aeq\o\al(6，9)，則共有5·Aeq\o\al（5，9)＋Aeq\o\al(6,9）＝136080種；解法三:（間接法）Aeq\o\al(6，10）－Aeq\o\al（5,9）＝136080.【變練演編】A、B、C、D、E五個(gè)人排成一排照相，其中A、B不能排在兩端，C不能排在中間，共有多少種不同的排法？解法一：若A、B排在中間，則從A、B中選一個(gè)排在中間有Aeq\o\al（1，2）種排法,另一個(gè)不在兩端的位置上有Aeq\o\al(1,2)種排法，其余三個(gè)人排在剩下的三個(gè)位置上有Aeq\o\al（3，3）種排法,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al（1，2）Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al（3,3）＝24種不同的排法．若A、B不排在中間，則有Aeq\o\al(2，2）種排法，C不排在中間有Aeq\o\al(1，2）種排法，其余兩個(gè)人排在剩下的兩個(gè)位置上有Aeq\o\al（2,2)種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有Aeq\o\al(2，2)Aeq\o\al（1,2）Aeq\o\al(2，2）＝8種不同的排法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有24＋8＝32種不同的排法．解法二：若C排在兩端，有Aeq\o\al(1,2）種排法，另一端從D、E中選一個(gè)人，有Aeq\o\al(1，2)種排法,剩下三個(gè)人排在剩下的三個(gè)位置上有Aeq\o\al(3，3）種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1，2）Aeq\o\al(3，3）＝24種不同的排法．若C不排在兩端，有Aeq\o\al(1，2）種排法，兩端排列D、E,有Aeq\o\al(1，2)種排法，剩下兩個(gè)人排在剩下的兩個(gè)位置上有Aeq\o\al（2，2）種排法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al(2,2)Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al（2,2)＝8種不同的排法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理，共有24＋8＝32種不同的排法．【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．一個(gè)火車站有8股岔道,停放4列不同的火車，有多少種不同的停放方法（假定每股岔道只能停放1列火車)？2．一部紀(jì)錄影片在4個(gè)單位輪映,每一單位放映1場(chǎng)，有多少種輪映次序？3．6個(gè)人站成前后兩排照相，要求前排2人,后排4人，那么不同的排法共有…()A．30種B．360種C．720種D．1440種答案：1.Aeq\o\al(4,8)＝8×7×6×5＝16802.Aeq\o\al（4，4）＝4×3×2×1＝243.Ceq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))1．知識(shí)收獲：對(duì)于較復(fù)雜的問(wèn)題，一般都有兩個(gè)方向的列式途徑，一個(gè)是“正面湊”，一個(gè)是“反過(guò)來(lái)剔”．前者指，按照要求，一點(diǎn)點(diǎn)選出符合要求的方案；后者指，先按全局性的要求,選出方案，再把不符合其他要求的方案剔出去．了解排列數(shù)的意義，掌握排列數(shù)公式及推導(dǎo)方法，從中體會(huì)“化歸"的數(shù)學(xué)思想,并能運(yùn)用排列數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．2．方法收獲：“化歸"的數(shù)學(xué)思想方法．3．思維收獲:“化歸”的數(shù)學(xué)思想方法．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)）)【基礎(chǔ)練習(xí)】1．從4種蔬菜品種中選出3種,分別種植在不同土質(zhì)的3塊土地上進(jìn)行試驗(yàn)，有__________種不同的種植方法．2．從參加乒乓球團(tuán)體比賽的5名運(yùn)動(dòng)員中選出3名進(jìn)行某場(chǎng)比賽，并排定他們的出場(chǎng)順序，有__________種不同的方法．3．信號(hào)兵用3種不同顏色的旗子各一面,每次打出3面,最多能打出不同的信號(hào)有__________種．4．由數(shù)字1、2、3、4、5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的五位數(shù)，其中小于50000的偶數(shù)共有多少個(gè)?答案：1.242.603.6解答：4。解法一：(正向思維法)個(gè)位數(shù)上的數(shù)字排列數(shù)有Aeq\o\al(1,2）種（從2、4中選)；萬(wàn)位上的數(shù)字排列數(shù)有Aeq\o\al(1,3)種(5不能選）,十位、百位、千位上的排列數(shù)有Aeq\o\al(3，3)種，故符合題意的偶數(shù)有Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al（3，3）＝36個(gè)．解法二:（逆向思維法）由1、2、3、4、5組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的5位數(shù)有Aeq\o\al（5，5)個(gè)，減去其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al(4，4)個(gè)，再減去偶數(shù)中大于50000的數(shù)Aeq\o\al(1,2)Aeq\o\al(3,3)個(gè)，符合題意的偶數(shù)共有：Aeq\o\al(5,5)－Aeq\o\al（1,3)Aeq\o\al（4，4）－Aeq\o\al(1,2）Aeq\o\al(3，3）＝36個(gè)．【拓展練習(xí)】5．一天要排語(yǔ)、數(shù)、英、化、體、班會(huì)六節(jié)課，要求上午的四節(jié)課中，第一節(jié)不排體育課，數(shù)學(xué)排在上午；下午兩節(jié)中有一節(jié)排班會(huì)課，問(wèn)共有多少種不同的排法？解答:若數(shù)學(xué)排在第一節(jié)，班會(huì)課的排法為Aeq\o\al(1，2)種，其余4節(jié)課的排法有Aeq\o\al(4，4）種，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al（1,2）Aeq\o\al(4，4)＝48種；若第一節(jié)課不排數(shù)學(xué)，第一節(jié)課的排法有Aeq\o\al(1，3)種，數(shù)學(xué)課的排法有Aeq\o\al(1，3）種，班會(huì)課的排法為Aeq\o\al（1,2）種,其余3節(jié)課的排法有Aeq\o\al（3,3）種,根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，共有Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al（1,3)Aeq\o\al(1，2)Aeq\o\al(3,3）＝108種．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理得，共有48＋108＝156種．eq\o(\s\up7(），\s\do5（設(shè)計(jì)說(shuō)明））本節(jié)課是排列的第二課時(shí),本節(jié)課的主要目標(biāo)是在老師的帶領(lǐng)下,體會(huì)排列數(shù)公式的應(yīng)用，體會(huì)把具體計(jì)數(shù)問(wèn)題劃歸為排列問(wèn)題的過(guò)程．本節(jié)課的設(shè)計(jì)特點(diǎn)是：教師的問(wèn)題是主線，學(xué)生的探究活動(dòng)是主體，師生合作,共同完成知識(shí)和方法的總結(jié)．eq\o（\s\up7（）,\s\do5(備課資料))多排問(wèn)題單排法:把元素排成幾排的問(wèn)題可歸結(jié)為一排考慮，再分段處理．例1(1）