數(shù)學(xué)教案：頻率分布直方圖與折線圖

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2.2.2頻率分布直方圖與折線圖整體設(shè)計(jì)教材分析這一節(jié)主要通過(guò)頻率分布表來(lái)探究頻率分布直方圖的直觀意義、作圖方法和作圖步驟,并在此基礎(chǔ)上使學(xué)生能畫(huà)出頻率分布折線圖，總體密度曲線.由于作統(tǒng)計(jì)圖表的操作性很強(qiáng)，所以在教學(xué)中要使學(xué)生在明確圖表的含義的前提下，讓學(xué)生自己動(dòng)手作圖.關(guān)于總體密度曲線,需要使學(xué)生了解：總體在區(qū)間（a，b)內(nèi)取值的百分比就是教科書(shū)圖2.23中陰影部分的面積，通過(guò)思考欄目的兩個(gè)問(wèn)題要使學(xué)生了解到，有的總體沒(méi)有密度曲線，例如總體是擲骰子試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果；總體密度曲線與總體分布相互唯一確定。三維目標(biāo)1.認(rèn)識(shí)頻率分布直方圖、頻率分布折線圖和總體密度曲線的特點(diǎn).2。能正確畫(huà)出頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線。3.通過(guò)組織學(xué)生觀察頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線的特點(diǎn)，用圖形直觀的方法引出它們的概念,有利于學(xué)生對(duì)概念的了解。4。教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生自己動(dòng)手作圖，在作圖的過(guò)程中去體會(huì)概念、形成概念，培養(yǎng)學(xué)生用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)認(rèn)識(shí)它們的辯證關(guān)系，感受自然界的辯證法，使學(xué)生體會(huì)知識(shí)之間的有機(jī)聯(lián)系，感受數(shù)學(xué)的整體性,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：1。頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線的概念以及它們之間的辯證關(guān)系；2。畫(huà)頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線.教學(xué)難點(diǎn)：1.體會(huì)分布的意義和作用。2。對(duì)總體分布概念的理解，統(tǒng)計(jì)思想的初步形成。課時(shí)安排1課時(shí)教學(xué)過(guò)程導(dǎo)入新課分析數(shù)據(jù)的一種基本方法是用圖形將它們畫(huà)出來(lái)，或者用緊湊的表格改變數(shù)據(jù)的排列方式.作圖可以達(dá)到兩個(gè)目的,一是從數(shù)據(jù)中提取信息，二是利用圖形傳遞信息.表格則是改變數(shù)據(jù)的構(gòu)成形式，為我們提供解釋數(shù)據(jù)的新方式。這就是我們初中學(xué)過(guò)的頻數(shù)分布圖和頻數(shù)分布表，在此基礎(chǔ)上我們從各個(gè)小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度進(jìn)一步研究頻率分布直方圖。推進(jìn)新課新知探究頻數(shù)分布表雖然能體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的分布規(guī)律，但它并不直觀，為了直觀地體現(xiàn)出數(shù)據(jù)的分布規(guī)律,我們需要畫(huà)頻率分布直方圖。在初中，已學(xué)過(guò)如何繪制頻數(shù)直方圖，它能直觀地體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律。同樣我們可以用直方圖來(lái)反映樣本的頻率分布規(guī)律.可以利用直方圖反映樣本的頻率分布規(guī)律，這樣的直方圖稱為頻率分布直方圖，簡(jiǎn)稱頻率直方圖.一般地，作頻率分布直方圖的方法為:把橫軸分成若干段,每一線段對(duì)應(yīng)一個(gè)組的組距，然后以此線段為底作一矩形，它的高等于該組的，這樣得出一系列的矩形，每個(gè)矩形的面積恰好是該組上的頻率。這些矩形就構(gòu)成了頻率分布直方圖。頻率分布直方圖的兩種類型：用樣本頻率分布估計(jì)總體分布通常分為兩種情況：（1）當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí)，其頻率分布表由所取的樣本的不同值及其相應(yīng)頻率表示，其幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.條形圖中縱軸表示的是頻率，條形圖的高為該組數(shù)據(jù)的頻率.但應(yīng)注意“總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少”并不是指“總體中的個(gè)數(shù)很少”。（2）當(dāng)總體中個(gè)體取不同值較多，甚至無(wú)限時(shí)，對(duì)其頻率分布研究用到初中學(xué)過(guò)的整理樣本數(shù)據(jù)的知識(shí)，用頻率分布直方圖來(lái)表示相應(yīng)的樣本的頻率分布。頻率分布直方圖的優(yōu)點(diǎn)和缺點(diǎn)：頻率分布直方圖比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律;但繪制頻率分布直方圖的過(guò)程比較復(fù)雜，且它不能直接體現(xiàn)數(shù)據(jù)的頻數(shù)分布.將頻率分布直方圖中各相鄰的矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái),就得到頻率分布折線圖，簡(jiǎn)稱頻率折線圖。如果將樣本容量取得足夠大,分組的組距取得足夠小，則相應(yīng)的頻率折線圖將趨于一條光滑曲線，我們稱這條光滑曲線為總體分布的密度曲線。如下圖所示.總體密度曲線反映了總體在各個(gè)范圍內(nèi)取值的百分比.根據(jù)這條曲線,可求出總體在區(qū)間(a，b）內(nèi)取值的概率等于總體密度曲線，直線x=a，x=b及x軸所圍圖形的面積.說(shuō)明:（1）有的總體沒(méi)有總體密度曲線。例如總體是拋擲硬幣（骰子）的大量重復(fù)試驗(yàn)的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.（2)總體密度曲線與總體分布是相互唯一確定的。如果總體分布已知，就可以得到密度曲線的函數(shù)表達(dá)式，從而用函數(shù)的理論去研究它.（3）我們所面臨的情況是總體分布未知,因此可以通過(guò)樣本頻率折線近似,但不能夠通過(guò)樣本數(shù)據(jù)準(zhǔn)確地畫(huà)出總體密度曲線。應(yīng)用示例例1下表是某學(xué)校一個(gè)星期中收交來(lái)的失物件數(shù)，請(qǐng)將5天中收交來(lái)的失物數(shù)用條形圖表示.分析：當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少時(shí),可用頻數(shù)條形圖或頻率條形圖來(lái)表示。解：用Excel作條形圖：（1）在Excel工作表中輸入數(shù)據(jù)，光標(biāo)停留在數(shù)據(jù)區(qū)中；（2）選擇“插入/圖表”,在彈出的對(duì)話框中點(diǎn)擊“柱形圖”;（3）點(diǎn)擊“完成”。如下圖：點(diǎn)評(píng)：利用Excel畫(huà)圖很方便.例2作出上面例1中數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖、頻率折線圖和密度曲線.分析：根據(jù)繪制頻率分布直方圖、頻率折線圖和密度曲線的過(guò)程解題.解：頻率分布直方圖:（1）先制作頻率分布表(上面已完成），然后作直角坐標(biāo)系，以橫軸表示身高,縱軸表示;（2）在橫軸上標(biāo)上表示150。5，153.5，156。5，…,180。5的點(diǎn)（為方便起見(jiàn)，起始點(diǎn)可適當(dāng)前移）；(3）在上面標(biāo)出的各點(diǎn)中，分別以連接相鄰兩點(diǎn)的線段為底作矩形，高等于該組的.至此，就得到了這組數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖，如圖所示:頻率分布折線圖：取直方圖中各相鄰矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié),再將矩形的邊去除，得頻率折線圖如圖.總體分布的密度曲線：可近似地表示為:點(diǎn)評(píng):(1）頻率分布直方圖比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律，如在164附近達(dá)到“峰值”,并具有一定的對(duì)稱性，這說(shuō)明這批學(xué)生的身高在164cm附近較為集中。另外還可看出，特別高和特別矮的學(xué)生較少。（2）在頻率分布直方圖的基礎(chǔ)上，取直方圖中各小矩形的上底邊的中點(diǎn)順次連結(jié)起來(lái)時(shí)需注意：取值區(qū)間兩端點(diǎn)需分別向外延伸半個(gè)組距,以使折線首尾分別與橫軸相連。（3)頻率分布折線圖的優(yōu)點(diǎn)是它能反映數(shù)據(jù)的變化趨勢(shì)，但它不能直接體現(xiàn)數(shù)據(jù)的分布規(guī)律.例3下圖是某單位50名職工的年齡（取正整數(shù)）的頻率分布直方圖，各小長(zhǎng)方形的高AE∶BF∶CG∶DH=2∶4∶3∶1，由圖中提供的信息，回答下列問(wèn)題（直接寫(xiě)出答案）：（1）第二小組的頻率和頻數(shù)分別是多少？（2）不小于38歲但小于46歲的職工的頻率是多少？（3)若46歲的職工有一人,則46歲以上的職工有幾人？分析:此題主要考查小矩形的長(zhǎng)、寬、面積含義.解：(1）設(shè)DH=x，則CG=3x,BF=4x,AE=2x.所以，（x+3x+4x+2x）×4=1。所以,x=。所以第二小組的頻率：4××4=，頻數(shù):25×50=20.(2）4××4+3××4==0。7。(3）4××50－1=4。點(diǎn)評(píng):注意每個(gè)小矩形的長(zhǎng)與寬的含義及小矩形的面積=組距×=頻率，各小矩形的面積表示相應(yīng)各組的頻率，頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各小組的頻率的大小。在頻率分布直方圖中，各小長(zhǎng)方形的面積總和等于1。例4為了了解一大片經(jīng)濟(jì)林的生長(zhǎng)情況,隨機(jī)測(cè)量其中100株樹(shù)木的底部周長(zhǎng)，得到如下數(shù)據(jù)表（單位：cm）：(1）編制頻率分布表；（2）繪制頻率分布直方圖；（3）估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)林中底部周長(zhǎng)小于100cm的樹(shù)木約占多少，底部周長(zhǎng)不小于120cm的樹(shù)木約占多少。解：（1）從表中可以看出，這組數(shù)據(jù)的最大值為135，最小值為80,故全距為55，可將其分為11組，組距為5.從第一組［80,85）開(kāi)始,將各組的頻數(shù)、頻率和填入下表中.(2）這組數(shù)據(jù)的頻率直方圖如下圖所示。(3)從頻率分布表可以看出，該樣本中小于100的頻率為0。01+0。02+0。04+0.14=0.21，不小于120的頻率為0.11+0。06+0。02=0。19，故可估計(jì)該片經(jīng)濟(jì)樹(shù)林中底部周長(zhǎng)小于100cm的樹(shù)木約占21％，底部周長(zhǎng)不小于120cm的樹(shù)木約占19%.知能訓(xùn)練1。在樣本頻率分布直方圖中，共有11個(gè)小矩形，若中間一個(gè)小矩形的面積等于其它10個(gè)小矩形的面積的和的1/4，且樣本容量為160,則中間一組的頻數(shù)為（）A。32B。0.2C.40D。0.252。從一條生產(chǎn)線上每隔30分鐘取一件產(chǎn)品，共取了n件,測(cè)得其尺寸后，畫(huà)得其頻率分布直方圖如圖，尺寸在［15,45]內(nèi)的頻數(shù)為46，則尺寸在[20,25］內(nèi)的產(chǎn)品個(gè)數(shù)為(）A.5個(gè)B.10個(gè)C。15個(gè)D。20個(gè)3.為了解各年齡段觀眾對(duì)某電視劇的收視情況，某校一個(gè)研究性學(xué)習(xí)小組，調(diào)查了部分觀眾收視情況，并分成A、B、C、D、E、F六組進(jìn)行整理，其頻率分布直方圖如圖所示,則：(1）E組的頻率為_(kāi)________________；（2）補(bǔ)全頻率分布直方圖；（3）若該村觀眾人數(shù)為1200,估計(jì)該村50歲以上的觀眾有_______________人。解答:1。A2.B3.（1）0.24（2）略（3）432課堂小結(jié)（1）正確利用頻率分布直方圖、頻率折線圖和密度曲線三種分布的描述方法，都能得到一些有關(guān)分布的主要特點(diǎn)，如分布是否具有單峰性、是否具有對(duì)稱性、樣本點(diǎn)落在各分組中的頻率等，這些主要特點(diǎn)受樣本的隨機(jī)性的影響比較小,更接近于總體分布的相應(yīng)的特點(diǎn)。(2）頻率分布表和頻率分布直方圖之間的密切關(guān)系是顯然的，它們只不過(guò)是相同的數(shù)據(jù)的兩種不同的表達(dá)方式.（3)當(dāng)總體中的個(gè)體取不同數(shù)值很少(并不是總體中的個(gè)數(shù)很少）時(shí),其頻率分布表由所取樣本的不同數(shù)值及其相應(yīng)的頻率來(lái)表示，其幾何表示就是相應(yīng)的條形圖.作業(yè)1。課本習(xí)題2.22、3、4、5.2.請(qǐng)班上的每個(gè)同學(xué)估計(jì)一下自己每天的課外學(xué)習(xí)時(shí)間（單位：分鐘），然后作出課外學(xué)習(xí)時(shí)間的頻率分布表、頻率分布直方圖、頻率分布折線圖、總體密度曲線。你認(rèn)為能否由這些估計(jì)出你們學(xué)校的學(xué)生課外學(xué)習(xí)時(shí)間的分布情況？可以用