數學教案：生活中的概率

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精1．2生活中的概率eq\o（\s\up7(），\s\do5（整體設計)）教學分析按照教學內容交叉編排、螺旋上升的方式，本章是在統計的基礎上展開對概率的研究的，而本節(jié)又是從頻率的角度來解釋概率,其核心內容是介紹試驗概率的意義,即當試驗次數較大時，頻率漸趨穩(wěn)定的那個常數就叫概率．本節(jié)課的學習，將為后面學習理論概率的意義和用列舉法求概率打下基礎．因此，對概率的正確理解和它在實際中的應用是本次教學的重點．學生初學概率，面對概率意義的描述,他們會感到困惑：概率是什么,是否就是頻率？因此辯證理解頻率和概率的關系是教學中的一大難點．由于本節(jié)課內容非常貼近生活，因此豐富的問題情境會激發(fā)學生濃厚的興趣，但學生過去的生活經驗會給這節(jié)課的學習帶來障礙，因此正確理解每次試驗結果的隨機性與大量隨機試驗結果的規(guī)律性是教學中的又一大難點．三維目標1．正確理解概率的意義；利用概率知識正確理解現實生活中的實際問題．2．通過對現實生活中的“擲幣"“游戲的公平性”“彩票中獎”等問題的探究,感知應用數學知識解決數學問題的方法，理解邏輯推理的數學方法．3．通過對概率的實際意義的理解，體會知識來源于實踐并應用于實踐的辯證唯物主義觀，進而體會數學與現實世界的聯系．重點難點教學重點：理解概率的意義．教學難點：用概率的知識解釋現實生活中的具體問題．課時安排1課時eq\o(\s\up7(），\s\do5（教學過程)）導入新課思路1.酒宴中的“行酒令”，其規(guī)則是：先按飲酒人制作出與人數相等的完全一致的酒簽，然后由其中一人將欲設的簽數放到左手（不可為0)，然后由其余人猜其左手簽數，要求只能從1至總人數的個數中任選一整數，并且后猜者與先猜者不得重復，當猜者所猜數字與設計者左手中的簽數相同時,猜者就需飲酒，這個游戲規(guī)則是公平的嗎?為此我們必須學習概率的意義．思路2。生活中，我們經常聽到這樣的議論：“天氣預報說昨天降水概率為90%，結果根本一點雨都沒下，天氣預報也太不準確了．”這是真的嗎？為此我們必須學習概率的意義．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究))eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題））1．有人說，既然拋擲一枚硬幣出現正面向上的概率為0。5，那么連續(xù)拋擲一枚硬幣兩次，一定是一次正面朝上，一次反面朝上，你認為這種想法正確嗎？2．如果某種彩票中獎的概率為eq\f（1，1000），那么買1000張彩票一定能中獎嗎？3．在乒乓球比賽中，裁判員有時也用數名運動員伸出手指數的和的單數與雙數來決定誰先發(fā)球，其具體規(guī)則是：讓兩名運動員背對背站立，規(guī)定一名運動員得單數勝，另一名運動員得雙數勝，然后裁判員讓兩名運動員同時伸出一只手的手指,兩個人的手指數的和為單數，則指定單數的運動員得到先發(fā)球權,若兩個人的手指數的和為雙數，則指定雙數勝的運動員得到先發(fā)球權，你認為這個規(guī)則公平嗎？4．“天氣預報說昨天降水概率為90%，結果根本一點雨都沒下,天氣預報也太不準確了．”學了概率后,你能給出解釋嗎?5．閱讀課本的內容了解孟德爾與遺傳學．6．如果連續(xù)10次擲一枚骰子，結果都是出現1點．你認為這枚骰子的質地均勻嗎？為什么?活動：學生閱讀問題，根據學習的概率知識,針對不同的問題給出合理解釋，教師引導學生考慮問題的思路和方法：1．通過具體試驗驗證便知,以概率的知識來理解．就是：盡管每次拋擲硬幣的結果出現正、反面朝上各一次，但通過具體的試驗卻發(fā)現有三種可能的結果:“兩次正面朝上”“兩次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上"，而且其概率分別為0。25，0。25，0。5。幾個同學各取一枚同樣的硬幣(如壹角、伍角、壹元),連續(xù)兩次拋擲，觀察它落地后的朝向，并記錄結果，重復上面的過程10次，將所有參與試驗的同學結果匯總，計算三種結果發(fā)生的頻率,估出三種結果的概率，填入下面表格：試驗的總次數頻數頻率概率出現兩次正面朝上出現兩次反面朝上出現一次正面朝上，一次反面朝上隨著試驗次數的增加,可以發(fā)現，“一次正面朝上，一次反面朝上”的頻率與“兩次正面朝上”“兩次反面朝上”的頻率不一樣,它們分別是0.5,0.25和0.25，進而知道“兩次正面朝上”的概率為0。25，“兩次反面朝上”的概率為0。25，“一次正面朝上，一次反面朝上"的概率是0。5。通過上面的試驗，我們發(fā)現,隨機事件在一次試驗中發(fā)生與否是隨機的，但隨機中含有規(guī)律性，認識了這種隨機性的規(guī)律性,可以幫助我們準確預測隨機事件發(fā)生的可能性．2．買1000張彩票，相當于1000次試驗，因為每次試驗的結果都是隨機的，所以做1000次試驗的結果也是隨機的，也就是說，買1000張彩票有可能沒有一張中獎．雖然中獎的張數是隨機的,但這種隨機性中，具有規(guī)律性，隨著試驗次數的增加，即隨著買的彩票的增加,大約有eq\f（1,1000）的彩票中獎，所以沒有一張中獎也是有可能的．請同學們把同樣大小的9個白色乒乓球和1個黃色乒乓球放在1個不透明的袋中，然后每次摸出1個球后再放回袋中,這樣摸10次，觀察是否一定至少有1次摸到黃球．因為每次摸出1個球相當于1次隨機試驗,其結果有兩種可能：黃球或白球，隨著試驗次數的增加，會發(fā)現摸到白球的頻率要比摸到黃球的頻率大，但沒有1次摸到黃球也是有可能的,所以不一定至少有1次摸到黃球．3．是公平的．由于2人出手指的結果有單數和雙數，每個人出單數和雙數的機會是相等的，因此，和為單數和雙數的機會是相等的，因而是公平的．4．天氣預報的“降水"是一個隨機事件，概率為90％指明了“降水”這個隨機事件發(fā)生的概率，我們知道:在一次試驗中，概率為90％的事件也可能不出現,因此,“昨天沒有下雨”并不說明“昨天的降水概率為90％"的天氣預報是錯誤的．5．閱讀課本的內容后加以說明．6．利用概率知識加以說明．討論結果：1．這種想法顯然是錯誤的，通過具體的試驗可以發(fā)現有三種可能的結果:“兩次正面朝上”“兩次反面朝上”“一次正面朝上，一次反面朝上”，而且其概率分別為0.25，0。25，0.5.2．不一定能中獎，因為買1000張彩票相當于做1000次試驗，因為每次試驗的結果都是隨機的，即每張彩票可能中獎也可能不中獎，因此，1000張彩票中可能沒有一張中獎，也可能有一張、兩張乃至多張中獎．3．規(guī)則是公平的．4．天氣預報的“降水”是一個隨機事件，因此，“昨天沒有下雨”并不說明“昨天的降水概率為90%"的天氣預報是錯誤的．5．奧地利遺傳學家（G.Mendel，1822—1884)用豌豆進行雜交試驗，下表為試驗結果(其中F1為第一子代,F2為第二子代)：性狀F1的表現F2的表現種子的形狀全部圓粒圓粒5474皺粒1850圓?！冒櫫！?.96∶1莖的高度全部高莖高莖787矮莖277高莖∶矮莖≈2.84∶1子葉的顏色全部黃色黃色6022綠色2001黃色∶綠色≈3.01∶1豆莢的形狀全部飽滿飽滿882不飽滿299飽滿∶不飽滿≈2.95∶1孟德爾發(fā)現第一子代對于一種性狀為必然事件,其可能性為100％，另一種性狀的可能性為0,而第二子代對于前一種性狀的可能性約為75％，后一種性狀的可能性約為25％,通過進一步研究，他發(fā)現了生物遺傳的基本規(guī)律．實際上，孟德爾是從某種性狀發(fā)生的頻率作出估計的．（6）利用剛學過的概率知識我們可以進行推斷，如果它是均勻的,通過試驗和觀察，可以發(fā)現出現各個面的可能性都應該是eq\f（1，6）,從而連續(xù)10次出現1點的概率為eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(1,6）））10≈0.0000000016538，這在一次試驗（即連續(xù)10次投擲一枚骰子)中是幾乎不可能發(fā)生的．而當骰子不均勻時，特別是當6點的那面比較重時（例如灌了鉛或水銀)，會使出現1點的概率最大，更有可能連續(xù)10次出現1點．現在我們面臨兩種可能的決策：一種是這枚骰子的質地均勻,另一種是這枚骰子的質地不均勻．當連續(xù)10次投擲這枚骰子，結果都是出現1點，這時我們更愿意接受第二種情況:這枚骰子靠近6點的那面比較重．原因是在第二種假設下,更有可能出現10個1點．如果我們面臨的是從多個可選答案中挑選正確答案的決策任務，那么“使得樣本出現的可能性最大"可以作為決策的準則，例如對上述思考題所作的推斷．這種判斷問題的方法稱為極大似然法．極大似然法是統計中重要的統計思想方法之一．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用示例）)例1為了估計水庫中的魚的尾數，可以使用以下的方法，先從水庫中捕出一定數量的魚，例如2000尾，給每尾魚做上記號，不影響其存活，然后放回水庫．經過適當的時間，讓其和水庫中其余的魚充分混合，再從水庫中捕出一定數量的魚，例如500尾，查看其中有記號的魚，設有40尾．試根據上述數據，估計水庫內魚的尾數．分析：學生先思考,然后交流討論,教師指導，這實際上是概率問題,即2000尾魚在水庫中占所有魚的百分比,特別是500尾中帶記號的有40尾，就說明捕出一定數量的魚中帶記號的概率為eq\f(40,500），問題可解．解：設水庫中魚的尾數為n，A＝{帶有記號的魚}，則有P（A)＝eq\f(2000,n)。①因P（A）≈eq\f（40,500），②由①②得eq\f(2000,n）＝eq\f(40，500）,解得n≈25000.所以估計水庫中約有魚25000尾.變式訓練1．某水產試驗廠實行某種魚的人工孵化，10000個魚卵能孵出8513尾魚苗,根據概率的統計定義解答下列問題：（1)求這種魚卵的孵化概率（孵化率）；（2)30000個魚卵大約能孵化多少尾魚苗?(3)要孵化5000尾魚苗，大概得準備多少魚卵？(精確到百位）解：（1)這種魚卵的孵化頻率為eq\f（8513，10000)＝0。8513,它近似的為孵化的概率．(2)設能孵化x個，則eq\f(x，30000）＝eq\f(8513，10000），則x＝25539，即30000個魚卵大約能孵化25539尾魚苗．（3)設需備y個魚卵,則eq\f(5000，y)＝eq\f（8513，10000)，則y≈5874，即大概得準備5874個魚卵．2．有人告訴你，放學后送你回家的概率如下：(1)50％；(2）2％；(3）90％。試將以上數據分別與下面的文字描述相配．①很可能送你回家,但不一定送．②送與不送的可能性一樣多．③送你回家的可能性極?。鸢福?0%→②;2％→③；90％→①.例2概率與計算機輸入法在使用計算機輸入法時,英語中某些字母出現的概率遠遠高于另外一些字母．當進行了更深入的研究之后，人們還發(fā)現各個字母被使用的頻率相當穩(wěn)定，例如：下面就是英文字母使用頻率的一份統計表．字母空格ETOANIRS頻率0。20.1050。0710.06440.0630。0590.0540。0530.052字母HDLCFUMPY頻率0。0470。0350.0290。0230。02270.02250.0210。01750.012字母WGBVKXJQZ頻率0。0120.0110.01050。0080。0030。0020.0010。0010。001從表中可以看到,空格的使用頻率最高，鑒于此，人們在設計鍵盤時,空格鍵不僅最大，而且放在了使用最方便的位置．近年來對漢語的統計研究有了很大的發(fā)展．關于漢字的使用頻率已有初步統計資料,對常用漢語也作了一些統計研究．這些信息對漢字輸入方案等的研制有很大的幫助．使用過漢字拼音輸入法的同學們可能有體會．例如：當輸入拼音“shu"，則提示有以下選擇“1。數，2。書，3。樹，4。屬，5。署……”．這個顯示順序基本上就是按照拼音為“shu”的漢字出現頻率從大到小排列的。▼數書樹屬署輸淑術舒??例3概率與法律概率論正越來越多地出現在法庭之上.1968年美國加利福尼亞州的一個案件引起了人們的廣泛關注．目擊證人說看到一個金發(fā)并且扎馬尾樣發(fā)式的白人婦女和一個有八字須和絡腮胡的黑人男子從洛杉磯郊區(qū)的一個小巷跑出來,而那里正是一位老人剛剛遭受背后襲擊和搶劫的地方．這對男女開著一輛部分是黃色的汽車逃跑了．因此當地警察逮捕了Jenet和Malcolm夫婦倆，他們有一輛部分是黃色的林肯轎車，她通常把她的金發(fā)扎成馬尾狀．他是一個黑人，盡管被捕時他的胡子刮得很干凈，但仍然能看出不久前他還是滿臉絡腮胡的痕跡．在審判中，公訴人指控他夫婦倆有罪的證據是——“數字證明”．以下是由證人指出的特征算出的“保守概率”:有八字胡的男人eq\f(1，4），扎馬尾發(fā)型的女人eq\f（1，10）,金發(fā)女人eq\f(1,3）,有絡腮胡的黑人男子eq\f(1,10），不同種族的夫婦同在一輛車里eq\f（1，1000），部分是黃色的汽車eq\f（1,10).公訴人于是得出這些概率的乘積為eq\f（1，12000000)，因此在洛杉磯地區(qū)存在另一對有上述特征的夫婦的可能性小于eq\f(1，10000000).陪審團于是判定這對夫婦有罪．但是加州高院在上訴中駁回了這樣的定罪，還列舉了幾條錯誤使用概率的論證．由此看來概率論已經成為美國法律訴訟中的重要工具，是判定當事人是否與案件有關的重要依據，這種趨勢也必然會來到中國，使得我國的法律訴訟更加科學、客觀、公正．例4如何得到敏感問題的誠實回答?在做抽樣調查時我們總是許諾說：“絕對會為您保守秘密．"但是被訪人往往心有疑慮，在統計行業(yè)還不能達到像記者行業(yè)那樣為當事人絕對保密時，這樣的懷疑是理所當然的．但是我們的數據會因此失真，為了得到真實的回答,只能千方百計地得到他們的信任，降低問題的敏感程度．1965年Stanley.L.Warner發(fā)明了一種應用概率的初等概念來消除不信任情緒的方法．這種方法要求被訪人隨機地選答兩個問題中的一個，而不必告訴采訪者回答的是哪個問題，兩個問題中一個是敏感問題，一個是無關緊要的問題．被訪人愿意如實回答,因為只有他們自己知道回答的是哪個問題．比如：無關緊要的問題是：“你的身份證號碼最后一位是奇數嗎?”另一個問題是:“你是否吸毒？"然后你要求被訪人擲一枚硬幣，如果得到正面則回答前一個問題，如果是反面則回答后一個問題，當然調查員不知道他們擲硬幣的結果．假設我們采訪了200人,并得到64個“是"的回答．因為擲硬幣的正反面概率各是eq\f（1，2），所以我們期望有100人回答前一個問題，因為身份證號碼最后一位是奇數或偶數的概率也各是eq\f（1，2)，所以100人中有50人回答“是”．因此回答敏感問題的100人中有64－50＝14人回答“是”．由此可知被訪人群約有eq\f(14,100）＝14%吸毒．剛看到這個問題時覺得有點不可思議，因為這個問題太敏感了．可是仔細想想也很好理解，我們只需要知道被訪人群中吸毒者的總數，并不需要知道究竟誰吸毒（這是警察的任務)．正是巧妙的數學工具使我們輕松地得到答案，而且調查的精度也可以控制．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（知能訓練)）課本練習21，2，3。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(拓展提升)）某商場為迎接國慶舉辦新產品問世促銷活動，方式是買一份糖果摸一次彩，摸彩的器具是綠、白兩色的乒乓球,這些乒乓球的大小和質料完全相同．商場擬按中獎率1%設大獎，其余99％為小獎．為了制定摸彩的辦法,商場向職工廣泛征集方案，對征集到的優(yōu)秀方案進行獎勵．如果你是此商場職工,你將會提出怎樣的方案?注：商場提供的摸彩器材是棱長約30cm的立方體形木箱，密封良好，不透光，木箱上方可容一只手伸入，另備足夠多的白色乒乓球和少量綠色乒乓球．解：方案一：在箱內放置100個乒乓球,其中1個為綠色乒乓球，其余99個為白色乒乓球．顧客一次摸出1個乒乓球，如果為綠色乒乓球，即中大獎，否則中小獎．本方案中大獎的概率為P1＝eq\f(1,C\o\al（1，100））＝eq\f（1，100)。方案二：在箱內放置14個乒乓球，其中2個為綠色乒乓球,其余12個為白色乒乓球．顧客一次摸出2個乒乓球為綠色，即中大獎；如果摸出的2個乒乓球為白色，或1個為白色、1個為綠色，則中小獎．本方案中大獎的概率為P2＝eq\f(1,C\o\al（2,14)）＝eq\f(1，91）.方案三:在箱內放置15個乒乓球,其中2個為綠色乒乓球，其余13個為白色乒乓球．顧客摸球和中獎的辦法與方案二相同．本方案中大獎的概率為P3＝eq\f（1,C\o\al(2，15）)＝eq\f（1，105)。方案四：在箱內放置25個乒乓球，其中3個為綠色乒乓球，其余22個為白色乒乓球．顧客一次摸出2個乒乓球(或分兩次摸，每次摸一個乒乓球,不放回)，如果摸出的2個乒乓球為綠色,即中大獎；如果摸出的2個乒乓球為白色，或1個為白色、1個為綠色,則中小獎．本方案中大獎的概率為P4＝eq\f(C\o\al（2,3），C\o\al（2,25))＝3÷eq\f(25×24，1×2)＝eq\f（1，100)。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結)）概率是一門研究現實世界中廣泛存在的隨機現象的科學，正確理解概率的意義是認識、理解現實生活中有關概率的實例的關鍵，學習過程中應有意識形成概率意識，并用這種意識來理解現實世界,主動參與對事件發(fā)生的概率的感受和探索．通過以上例題與練習可以感到，數學特別是概率正越來越多地應用到我們的生活當中．它們已經不是數學家手中的抽象理論，而成為我們認識世界的工具．從彩票中獎到證券分析，從基因工程到法律訴訟，從市場調查到經濟宏觀調控,概率無處不在．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè))）習題3—1A組2,3.eq\o(\s\up7(），\s\do5(設計感想))1．對概率意義的正確理解,是建立在學生通過大量重復試驗后，發(fā)現事件發(fā)生的頻率可以刻畫隨機事件發(fā)生可能性的基礎上的．結合學生認知規(guī)律與教科書特點，這節(jié)課以擲硬幣研究各種結果的可能性為問題情境，引導學生親身經歷猜測試驗—收集數據-分析結果的探索過程．這符合《高中數學新課程標準》“從學生已有生活經驗出發(fā),讓學生親身經歷將實際問題抽象為數學模型并進行解釋與應用的過程”的理念．貼近生活現實的問題情境，不僅易于激發(fā)學生的求知欲與探索熱情，而且會促進他們面對要解決的問題大膽猜想,主動試驗，收集數據，分析結果，為尋求問題解決主動與他人交流合作．在知識的主動建構過程中,促進了教學目標的有效達成．更重要的是，主動參與數學活動的經歷會使他們終身受益．2．隨機現象是現實世界中普遍存在的，概率的教學的一個很重要的目標就是培養(yǎng)學生的隨機觀念．為了實現這一目標，教學設計中讓學生親身經歷對隨機事件的探索過程，通過與他人合作探究,使學生自我主動修正錯誤經驗，揭示頻率與概率的關系,從而逐步建立正確的隨機觀念，也為以后進一步學習概率的有關知識打下基礎．3．在教學中，本課力求向學生提供從事數學活動的時間與空間，為學生的自主探索與同伴的合作交流提供保障，從而促進學生學習方式的轉變，使之獲得廣泛的數學活動經驗．教師在學習活動中是組織者、引導者與合作者,應注意評價學生在活動中的參與程度、自信心、是否愿意交流等，給學生以適時的引導與鼓勵．eq\o（\s\up7()，\s\do5(備課資料)）1．概率論的產生,還有一段名聲不好的故事.17世紀的一天，保羅與著名的賭徒梅爾賭錢，他們事先每人拿出6枚金幣,然后玩，約定誰先勝三局誰就得到12枚金幣．比賽開始后，保羅勝了一局，梅爾勝了兩局，這時一件意外的事中斷了他們的賭博．于是,他們商量這12枚金幣應該怎樣合理地分配．保羅認為，根據勝利的局數，他自己應得總數的eq\f（1，3）,即4枚金幣，梅爾應得總數的eq\f(2,3)，即8枚金幣．但精通賭博的梅爾認為他贏的可能性大，所以他應該得到全部的金幣,于是他們請求數學家帕斯卡評判．帕斯卡得到答案后，又求教于數學家費爾馬．他們的一致裁決是：保羅應分得3枚金幣，梅爾應分得9枚金幣．試問：1．你知道數學家帕斯卡和費爾馬當時各自是怎樣考慮和解決的嗎？2．你對數學家帕斯卡和費爾馬了解多少？思路:帕斯卡是這樣解決的:如果再玩一局,或是梅爾勝，或是保羅勝．如梅爾勝，那么他可以得到全部的金幣(記為1），如果保羅勝，那么兩人各勝兩局，應各得金幣的一半eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(記為\f（1,2)）)。由于這一局中兩人獲勝的可能性相等，因此梅爾得金幣的可能性應是兩種可能性大小的一半，記梅爾為eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(1＋\f（1，2)）)÷2＝eq\f（3,4)，保羅為eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1(0＋\f(1，2)））÷2＝eq\f(1，4）。所以他們各得9枚和3枚金幣．［法國]帕斯卡1623—1662［法國］費爾馬1601—1665圖1費爾馬是這樣考慮的:如果再玩兩局，會出現四種可能的結果：（梅爾勝,保羅勝）；（保羅勝,梅爾勝）;(梅爾勝，梅爾勝);（保羅勝,保羅勝）．其中前三種結果都是梅爾取勝，只有第四種結果才能使保羅勝,所以梅爾取勝的概率為eq\f(3,4)，保羅取勝的概率為eq\f(1，4)。因此梅爾應得9枚金幣,而保羅應得3枚金幣．這和帕斯卡的答案一致．帕斯卡和費爾馬還研究有關這類隨機事件的更一般的規(guī)律，由此開始了概率論的早期研究工作．2．在密碼的編制和破譯中，概率論起著重要的作用．要使敵人不能破譯電文而又能使盟友容易譯出電文,一直是外交官和將軍們關心的問題．為了保密，通信雙方事先有一個秘密約定，稱為密鑰．發(fā)送信息方要把發(fā)出的真實信息——明文,按密鑰規(guī)定，變成密文．接收方將密文按密鑰還原成明文．例如，古羅馬偉大的軍事家和政治家凱撒大帝把明文中的每個字母按拉丁字母次序后移三位之后的字母來代替，形成密文．接收方收到密文后，將每個字母前移三位后便得到明文．這是一種原始的