數(shù)學教案：循環(huán)結(jié)構(gòu)

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精2.3循環(huán)結(jié)構(gòu)eq\o（\s\up7（)，\s\do5(整體設(shè)計)）教學分析教科書通過實例介紹了循環(huán)結(jié)構(gòu)．在教學過程中，教師應注意通過實例來分析循環(huán)結(jié)構(gòu)，以加深學生的感性認識．三維目標掌握循環(huán)結(jié)構(gòu)及其相應的算法框圖，提高學生分析問題和解決問題的能力．重點難點教學重點：理解循環(huán)結(jié)構(gòu)，會設(shè)計循環(huán)結(jié)構(gòu)．教學難點：設(shè)計循環(huán)結(jié)構(gòu)．課時安排1課時eq\o(\s\up7（)，\s\do5(教學過程）)導入新課思路1（情境導入)．我們都想生活在一個優(yōu)美的環(huán)境中,希望看到的是碧水藍天，大家知道工廠的污水是怎樣處理的嗎？污水進入處理裝置后進行第一次處理，如果達不到排放標準，則需要再進入處理裝置進行處理，直到達到排放標準．污水處理裝置是一個循環(huán)系統(tǒng)，對于處理需要反復操作的事情有很大的優(yōu)勢．我們數(shù)學中有很多問題需要反復操作，今天我們學習能夠反復操作的邏輯結(jié)構(gòu)—-循環(huán)結(jié)構(gòu)．思路2（直接導入)．前面我們學習了順序結(jié)構(gòu)，順序結(jié)構(gòu)像一條沒有分支的河流,奔流到海不復回；上一節(jié)我們學習了選擇結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)像有分支的河流最后歸入大海．事實上，很多水系是循環(huán)往復的，今天我們開始學習循環(huán)往復的邏輯結(jié)構(gòu)——循環(huán)結(jié)構(gòu)．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(新知探究））eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題)）1．請大家舉出一些常見的需要反復計算的例子．2．什么是循環(huán)結(jié)構(gòu)、循環(huán)體?3．試用算法框圖表示循環(huán)結(jié)構(gòu)．討論結(jié)果：1．例如用二分法求方程的近似解、數(shù)列求和等．2．在一些算法中,經(jīng)常會出現(xiàn)從某處開始,按照一定的條件反復執(zhí)行某些步驟的情況,這就是循環(huán)結(jié)構(gòu)．反復執(zhí)行的步驟稱為循環(huán)體．3．在一些算法中要求重復執(zhí)行同一操作的結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)，即從算法某處開始，按照一定條件重復執(zhí)行某一處理的過程．重復執(zhí)行的處理步驟稱為循環(huán)體．循環(huán)結(jié)構(gòu)，如圖1所示，它的功能是先執(zhí)行重復執(zhí)行的A框，然后判斷給定的條件P是否成立，如果P仍然不成立，則返回來繼續(xù)執(zhí)行A框，再判斷條件P是否成立．繼續(xù)重復操作，直到某一次給定的判斷條件P成立時為止,此時不再返回來執(zhí)行A框，離開循環(huán)結(jié)構(gòu)．繼續(xù)執(zhí)行下面的框圖．圖1eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用示例））思路1例1設(shè)計算法，輸出1000以內(nèi)能被3和5整除的所有正整數(shù),畫出算法框圖．分析：這個問題很簡單，凡是能被3和5整除的正整數(shù)都是15的倍數(shù),由于1000＝15×66＋10，因此1000以內(nèi)一共有66個這樣的正整數(shù)．解：引入變量a表示待輸出的數(shù)，則a＝15n（n＝1,2，3，…，66)．n從1變到66，反復輸出a，就能輸出1000以內(nèi)的所有能被3和5整除的正整數(shù)．算法框圖如圖2所示．圖2點評：像這樣的算法結(jié)構(gòu)稱為循環(huán)結(jié)構(gòu)，其中反復執(zhí)行的第②部分稱為循環(huán)體．變量n控制著循環(huán)的開始和結(jié)束，稱為循環(huán)變量，第①部分就是賦予循環(huán)變量初始值，預示循環(huán)開始．第③部分判斷是否繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，稱為循環(huán)的終止條件。變式訓練請用算法框圖表示前面講過的“判斷整數(shù)n（n＞2)是否為質(zhì)數(shù)"的算法．解:算法框圖如圖3：圖3例2閱讀圖4中所示的算法框圖,回答下列問題:（1）變量y在這個算法中的作用是什么？（2）這個算法的循環(huán)體是哪一部分，功能是什么？（3)這個算法的處理功能是什么？圖4解：(1)變量y是循環(huán)變量,控制著循環(huán)的開始和結(jié)束；(2)算法框圖中的第②部分是循環(huán)體，其功能是判斷年份y是否是閏年，并輸出結(jié)果；（3)由前面的分析,我們知道，這個算法的處理功能是：判斷2000~2500年中，哪些年份是閏年，哪些年份不是閏年，并輸出結(jié)果．點評：需要反復進行相同的操作，如果按照順序結(jié)構(gòu)來描述，算法顯得十分煩瑣,不利于閱讀，如果采取循環(huán)結(jié)構(gòu)來描述，算法就顯得簡潔、清楚．循環(huán)結(jié)構(gòu)是一種簡化算法敘述的結(jié)構(gòu)。變式訓練觀察下面的算法框圖（圖5)，指出該算法解決的問題．圖5解：這是一個累加求和問題，共99項相加，該算法是求eq\f(1，1×2)＋eq\f(1，2×3）＋eq\f(1，3×4)＋…＋eq\f（1，99×100)的值。思路2例1設(shè)計一個計算1＋2＋…＋100的值的算法，并畫出算法框圖．解：通常，我們按照下列過程計算1＋2＋…＋100的值．eq\x(\a\al（第1步，0＋1＝1。,第2步,1＋2＝3.,第3步,3＋3＝6。,第4步，6＋4＝10。,……,第100步，4950＋100＝5050.）)顯然，這個過程中包含重復操作的步驟，可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示．分析上述計算過程,可以發(fā)現(xiàn)每一步都可以表示為第(i－1）步的結(jié)果＋i＝第i步的結(jié)果．為了方便、有效地表示上述過程，我們用一個累加變量S來表示第一步的計算結(jié)果,即把S＋i的結(jié)果仍記為S,從而把第i步表示為S＝S＋i,其中S的初始值為0，i依次取1，2，…，100，由于i同時記錄了循環(huán)的次數(shù)，所以也稱為計數(shù)變量．算法框圖如圖6：圖6點評：這是一個典型的用循環(huán)結(jié)構(gòu)解決求和的問題，有典型的代表意義，可把它作為一個范例，仔細體會三種邏輯結(jié)構(gòu)在算法框圖中的作用,學會畫算法框圖.變式訓練已知有一列數(shù)eq\f(1，2),eq\f(2,3）,eq\f(3，4）,…，eq\f（n,n＋1)，設(shè)計算法框圖實現(xiàn)求該列數(shù)前20項的和．分析:該列數(shù)中每一項的分母是分子數(shù)加1，單獨觀察分子，恰好是1，2,3,4，…，n，因此可用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)，設(shè)計數(shù)器i，用i＝i＋1實現(xiàn)分子，設(shè)累加器S,用S＝S＋eq\f(i，i＋1）,可實現(xiàn)累加，注意i只能加到20。解：算法框圖如圖7：圖7例2某廠2005年的年生產(chǎn)總值為200萬元，技術(shù)革新后預計以后每年的年生產(chǎn)總值都比上一年增長5%，設(shè)計一個算法框圖，輸出預計年生產(chǎn)總值超過300萬元的最早年份．分析：先寫出解決本例的算法步驟：1．輸入2005年的年生產(chǎn)總值．2．計算下一年的年生產(chǎn)總值．3．判斷所得的結(jié)果是否大于300，若是，則輸出該年的年份;否則，返回第2步．4．算法結(jié)束．由于“第2步”是重復操作的步驟，所以本例可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)．我們按照“確定循環(huán)”“初始化變量”“設(shè)定循環(huán)控制條件”的順序來構(gòu)造循環(huán)結(jié)構(gòu)．(1）確定循環(huán)體：設(shè)a為某年的年生產(chǎn)總值，t為年生產(chǎn)總值的年增長量，n為年份,則循環(huán)體為t＝0.05a，a＝a＋t，n＝n(2)初始化變量:若將2005年的年生產(chǎn)總值看成計算的起始點，則n的初始值為2005，a的初始值為200。（3）設(shè)定循環(huán)控制條件：當“年生產(chǎn)總值超過300萬元”時終止循環(huán)，所以可通過判斷“a＞300”是否成立來控制循環(huán)體．解：算法框圖如圖8：圖8變式訓練1．設(shè)計算法框圖實現(xiàn)1＋3＋5＋7＋…＋131的算法．分析：由于需加的數(shù)較多，所以要引入循環(huán)結(jié)構(gòu)來實現(xiàn)累加．觀察所加的數(shù)是一組有規(guī)律的數(shù)（每相鄰兩數(shù)相差2)，那么可考慮在循環(huán)過程中，設(shè)一個變量i，用i＝i＋2來實現(xiàn)這些有規(guī)律的數(shù)，設(shè)一個累加器sum,用來實現(xiàn)數(shù)的累加，在執(zhí)行時,每循環(huán)一次，就產(chǎn)生一個需加的數(shù),然后加到累加器sum中．解：算法步驟如下：1．賦初值i＝1,sum＝0。2．sum＝sum＋i，i＝i＋2。3．如果i≤131，則反復執(zhí)行第2步；否則，執(zhí)行下一步．4．輸出sum.5．結(jié)束．算法框圖如圖9.圖9點評：(1）設(shè)計算法框圖要分步進行，把一個大的算法框圖分割成幾個小的部分，按照三個基本結(jié)構(gòu)即順序、選擇、循環(huán)結(jié)構(gòu)來局部安排，然后把算法框圖進行整合．(2)算法框圖畫完后，要進行驗證，按設(shè)計的流程分析是否能實現(xiàn)所求的數(shù)的累加，分析條件是否加到131就結(jié)束循環(huán)，所以我們要注意初始值的設(shè)置、循環(huán)條件的確定以及循環(huán)體內(nèi)語句的先后順序，三者要有機地結(jié)合起來．最關(guān)鍵的是循環(huán)條件，它決定循環(huán)次數(shù)，可以想一想,為什么條件不是“i≥131"，如果是“i≥131”，那么會少執(zhí)行一次循環(huán)，131就加不上了．2．高中某班一共有40名學生，設(shè)計算法框圖，統(tǒng)計班級數(shù)學成績良好(分數(shù)＞80）和優(yōu)秀（分數(shù)＞90）的人數(shù)．分析：用循環(huán)結(jié)構(gòu)實現(xiàn)40個成績的輸入,每循環(huán)一次就輸入一個成績s，然后對s的值進行判斷．設(shè)兩個計數(shù)器m，n,如果s＞90，則m＝m＋1，如果80＜s≤90，則n＝n＋1.設(shè)計數(shù)器i,用來控制40個成績的輸入，注意循環(huán)條件的確定．解：算法框圖如圖10:圖10eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓練))設(shè)計一個算法,求1×22×33×…×100100的值，并畫出算法框圖．分析：待求式是各項相乘,且各項是有規(guī)律可循的,因此我們可以引入累乘變量S和計數(shù)變量i，則S＝S×ii，i＝i＋1,這兩個式子是反復執(zhí)行的．因此可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)設(shè)計算法框圖．解:算法如下：1．S＝1;2．i＝1；3．如果i≤100，則執(zhí)行第4步;否則，執(zhí)行第6步;4．S＝S×ii；5．i＝i＋1，返回第3步；6．輸出S.算法框圖如圖11：圖11eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(拓展提升）)設(shè)計一個算法,求1＋2＋4＋…＋249的值，并畫出算法框圖．解:算法步驟：1．sum＝0。2．i＝0。3．sum＝sum＋2i。4．i＝i＋1。5．判斷i是否大于49，若成立，則輸出sum，結(jié)束．否則，返回第3步重新執(zhí)行．算法框圖如圖12。圖12點評：（1)如果算法問題里涉及的運算進行了許多次重復的操作，且先后參與運算的數(shù)之間有相同的規(guī)律，就可引入變量循環(huán)參與運算(我們稱之為循環(huán)變量）,應用于循環(huán)結(jié)構(gòu)．在循環(huán)結(jié)構(gòu)中,要注意根據(jù)條件設(shè)計合理的計數(shù)變量、累加和累乘變量及其個數(shù)等,特別要求條件的表述要恰當、精確．（2)累加變量的初始值一般取成0，而累乘變量的初始值一般取成1。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（課堂小結(jié)))1．熟練掌握循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點及功能．2．能用循環(huán)結(jié)構(gòu)畫出求和等實際問題的算法框圖，進一步理解學習算法的意義．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（作業(yè)))習題2-2A組8，9。eq\o（\s\up7()，\s\do5（設(shè)計感想）)本節(jié)的引入抓住了本節(jié)的特點,利用計算機進行循環(huán)往復運算，解決累加、累乘等問題．循環(huán)結(jié)構(gòu)是邏輯結(jié)構(gòu)中的難點，它一定包含一個選擇結(jié)構(gòu)，它能解決很多有趣的問題．本節(jié)選用了大量精彩的例題，對我們系統(tǒng)掌握流程圖有很大的幫助．eq\o（\s\up7(），\s\do5（備課資料）)備選例題例1相傳古代的印度國王要獎賞國際象棋的發(fā)明者，問他需要什么．發(fā)明者說:陛下，在國際象棋的第一個格子里面放1粒麥子，在第二個格子里面放2粒麥子，第三個格子放4粒麥子，以后每個格子中的麥粒數(shù)都是它前一個格子中麥粒數(shù)的二倍,依此類推(國際象棋棋盤共有64個格子)，請將這些麥子賞給我，我將感激不盡．國王想這還不容易,就讓人扛了一袋小麥,但不到一會兒就沒了,最后一算結(jié)果，全印度一年生產(chǎn)的糧食也不夠．國王很奇怪,小小的“棋盤"，不足100個格子，如此計算怎么能放這么多麥子？試用算法框圖表示此算法過程．解：將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型，該問題就是要求1＋2＋22＋…＋263的和．算法框圖如圖13：圖13點評：對于開放式探究問題，我們可以建立數(shù)學模型(上面的題目要與等比數(shù)列的定義、性質(zhì)和公式聯(lián)系起來)和過程模型來分析好算法，通過設(shè)計算法以及語言的描述選擇一些成熟的辦法進行處理．例2設(shè)計一個用有理數(shù)冪逼近無理指數(shù)冪5eq\r（2）的算法，畫出算法的算法框圖．解：算法步驟：1．給定精確度d，令i＝1.2．取出eq\r（2）的到小數(shù)點后第i位的不足近似值，記為a；取出eq\r(2)的到小數(shù)點后第i位的過剩近似值,