新高考數(shù)學(xué)概率統(tǒng)計(jì)分章節(jié)特訓(xùn)專題12兩點(diǎn)分布專題練習(xí)(原卷版+解析)

專題12兩點(diǎn)分布例1．電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．

Ⅰ從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

Ⅱ從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

Ⅲ假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等．用“”表示第k類電影得到人們喜歡．“”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡2，3，4，5，寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．例2．某大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生是否選修哪門課互不影響．已知某學(xué)生只選修甲的概率為，只選修甲和乙的概率是，至少選修一門的概率是，用表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒(méi)有選修的課程門數(shù)的乘積．

（1）記“函數(shù)為R上的奇函數(shù)”為事件A，求事件A的概率；

（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．例3．某廠加工的零件按箱出廠，每箱有10個(gè)零件，在出廠之前需要對(duì)每箱的零件作檢驗(yàn)，人工檢驗(yàn)方法如下：先從每箱的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗(yàn)；若抽取的零件至少有1個(gè)至多有3個(gè)次品，則對(duì)剩下的6個(gè)零件逐一檢驗(yàn)．已知每個(gè)零件檢驗(yàn)合格的概率為0.8，每個(gè)零件是否檢驗(yàn)合格相互獨(dú)立，且每個(gè)零件的人工檢驗(yàn)費(fèi)為2元．（1）設(shè)1箱零件人工檢驗(yàn)總費(fèi)用為元，求的分布列；（2）除了人工檢驗(yàn)方法外還有機(jī)器檢驗(yàn)方法，機(jī)器檢驗(yàn)需要對(duì)每箱的每個(gè)零件作檢驗(yàn)，每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)為1.6元現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，在人工檢驗(yàn)與機(jī)器檢驗(yàn)中，應(yīng)該選擇哪一個(gè)？說(shuō)明你的理由．例4．綠水青山就是金山銀山．近年來(lái)，祖國(guó)各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)正蓬勃發(fā)展．景區(qū)與游客都應(yīng)樹(shù)立尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然的生態(tài)文明理念，合力使旅游市場(chǎng)走上規(guī)范有序且可持續(xù)的發(fā)展軌道．某景區(qū)有一個(gè)自愿消費(fèi)的項(xiàng)目：在參觀某特色景點(diǎn)入口處會(huì)為每位游客拍一張與景點(diǎn)的合影，參觀后，在景點(diǎn)出口處會(huì)將剛拍下的照片打印出來(lái)，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需支付20元，沒(méi)有被帶走的照片會(huì)收集起來(lái)統(tǒng)一銷毀．該項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)一段時(shí)間后，統(tǒng)計(jì)出平均只有三成的游客會(huì)選擇帶走照片．為改善運(yùn)營(yíng)狀況，該項(xiàng)目組就照片收費(fèi)與游客消費(fèi)意愿關(guān)系作了市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)收費(fèi)與消費(fèi)意愿有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，并統(tǒng)計(jì)出在原有的基礎(chǔ)上，價(jià)格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05，假設(shè)平均每天約有5000人參觀該特色景點(diǎn)，每張照片的綜合成本為5元，假設(shè)每個(gè)游客是否購(gòu)買照片相互獨(dú)立．（1）若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多還是少？（2）要使每天的平均利潤(rùn)達(dá)到最大值，應(yīng)如何定價(jià)？例5．某人某天的工作是，駕車從地出發(fā)，到，兩地辦事，最后返回地，，三地之間各路段的行駛時(shí)間及當(dāng)天降水概率如表：路段正常行駛所需時(shí)間（小時(shí)）上午降水概率下午降水概率20.30.620.20.730.30.9若在某路段遇到降水，則在該路段行駛的時(shí)間需延長(zhǎng)1小時(shí)．現(xiàn)有如下兩個(gè)方案：方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事然后到達(dá)地，下午在地辦事后返回地；方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達(dá)地，辦事后返回地（1）若此人8點(diǎn)從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時(shí)間為2小時(shí)，且采用方案甲，求他當(dāng)日18點(diǎn)或18點(diǎn)之前能返回地的概率；（2）甲、乙兩個(gè)方案中，哪個(gè)方案有利于辦完事后能更早返回地？例6．某單位計(jì)劃組織200名職工進(jìn)行一種疾病的篩查,先到本單位醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢,血檢呈陽(yáng)性者再到醫(yī)院進(jìn)一步檢測(cè)已知隨機(jī)一人血檢呈陽(yáng)性的概率為,且每個(gè)人血檢是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立．根據(jù)經(jīng)驗(yàn),采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量,具體操作如下：將待檢人員隨機(jī)分成20組,每組10人,先將每組的血樣混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陰性,則可斷定本組血樣全部為陰性,不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽(yáng)性,則本組中至少有一人呈陽(yáng)性,再逐個(gè)化驗(yàn)設(shè)進(jìn)行化驗(yàn)的總次數(shù)為X,試求X的數(shù)學(xué)期望；Ⅱ若該疾病的患病率為,且患該疾病者血檢呈陽(yáng)性的概率為,該單位有一職工血檢呈陽(yáng)性,求該職工確實(shí)患該疾病的概率參考數(shù)據(jù)：,,例7．在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病,為此要抽N個(gè)人的血,可以用兩種方法進(jìn)行將每個(gè)人的血分別去驗(yàn),這就需N次按k個(gè)人一組進(jìn)行分組,把從k個(gè)人抽出來(lái)的血混在一起進(jìn)行檢驗(yàn),如果這混合血液呈陰性反應(yīng),就說(shuō)明k個(gè)人的血液都呈陰性反應(yīng),這樣,這k個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次若呈陽(yáng)性,則再對(duì)這k個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)這樣,這k個(gè)人的血總共要化驗(yàn)次假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p,且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的．Ⅰ設(shè)以k個(gè)人為一組時(shí),記這k個(gè)人總的化驗(yàn)次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；Ⅱ設(shè)以k個(gè)人為一組,從每個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)的角度說(shuō)明,若,選擇適當(dāng)?shù)膋,按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù),并說(shuō)明k取什么值時(shí)最適宜取例8．某種病毒性疾病,患該疾病的血液呈陽(yáng)性,不患的呈陰性依據(jù)已發(fā)病例數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),一般人群中該病的陽(yáng)性者的比例為某市體檢中心一般采取了如下兩種的檢驗(yàn)方法：第一種是逐個(gè)抽血檢驗(yàn)第二種為了減少工作量是把4位職工分為一組,將4人的血缸液混合檢驗(yàn),如果混合血液呈陰性,4人平均每人化驗(yàn)0.25次；如果混合血液呈陽(yáng)性,則對(duì)4人再逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn),4人共做了5次化驗(yàn),相當(dāng)平均每人化驗(yàn)次,假設(shè)不同人之間患該疾病是相互獨(dú)立的現(xiàn)某單位為1000名職工進(jìn)行抽血體檢,檢驗(yàn)這種病毒性疾?。袢舨扇〉谝环N化驗(yàn)方法,求甲乙丙丁4人中,恰有2人血液呈陰性的概率；Ⅱ若醫(yī)院采取第二種化驗(yàn)方法,比以往每人化驗(yàn)1次可減少多少工作量？例9．某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來(lái)，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)來(lái)衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為一等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計(jì)概率.（1）從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；（2）現(xiàn)某人決定購(gòu)買80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元，購(gòu)買前，邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)要購(gòu)買的80件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè).買家、企業(yè)及第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)就檢測(cè)方案達(dá)成以下協(xié)議：從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出3件或4件為優(yōu)等品，則按每件1600元購(gòu)買，否則按每件1500元購(gòu)買，每件產(chǎn)品的檢測(cè)費(fèi)用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；例10．某地區(qū)進(jìn)行疾病普查,為此要檢驗(yàn)每一人的血液,如果當(dāng)?shù)赜蠳人,若逐個(gè)檢驗(yàn)就需要檢驗(yàn)N次,為了減少檢驗(yàn)的工作量,我們把受檢驗(yàn)者分組,假設(shè)每組有k個(gè)人,把這k個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn),若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k個(gè)人的血液全為陰性,因而這k個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果為陽(yáng)性,為了明確這k個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性,就要對(duì)這k個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),這時(shí)k個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)為次,假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中,每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是獨(dú)立的,且每個(gè)人是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p．Ⅰ為熟悉檢驗(yàn)流程,先對(duì)3個(gè)人進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn),若,求3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率Ⅱ設(shè)為k個(gè)人一組混合檢驗(yàn)時(shí)每個(gè)人的血需要檢驗(yàn)的次數(shù)．當(dāng),時(shí),求的分布列；試運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí),求當(dāng)k和p滿足什么關(guān)系時(shí),用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù)．例11．單位計(jì)劃組織55名職工進(jìn)行一種疾病的篩查,先到本單位醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢,血檢呈陽(yáng)性者再到醫(yī)院進(jìn)一步檢測(cè)己知隨機(jī)一人血檢呈陽(yáng)性的槪率為,且每個(gè)人血檢是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立．根據(jù)經(jīng)驗(yàn),采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量,具體操作如下：將待檢人員隨機(jī)等分成若干組,先將每組的血樣混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陰性,則可斷定本組血樣全部為陰性,不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽(yáng)性,則本組中至少有一人呈陽(yáng)性,再逐個(gè)化驗(yàn)現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：方案一：將55人分成11組,每組5人；方案二：將55人分成5組,每組11人試分析,哪一個(gè)方案工作量最少？若該疾病的患病率為,且患該疾病者血檢呈陽(yáng)性的概率為,該單位有一職工血檢呈陽(yáng)性求該職工確實(shí)患該疾病的概率參考數(shù)據(jù)：,例12．某保險(xiǎn)公司針對(duì)企業(yè)職工推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬(wàn)元.保險(xiǎn)公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）.（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤(rùn)都不得超過(guò)保費(fèi)的20%，試分別確定各類工種每張保單保費(fèi)的上限；（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準(zhǔn)備為全體職工每人購(gòu)買一份此種保險(xiǎn)，并以（Ⅰ）中計(jì)算的各類保險(xiǎn)上限購(gòu)買，試估計(jì)保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤(rùn).例13．某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付頻率）.對(duì)于、、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為元，元，元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元，100萬(wàn)元，50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元.（Ⅰ）若保險(xiǎn)公司要求利潤(rùn)的期望不低于保費(fèi)的20%，試確定保費(fèi)、所要滿足的條件；（Ⅱ）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇；方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)提供的等額的賠償金額賠付給出險(xiǎn)職工；方案2：企業(yè)于保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付.若企業(yè)選擇翻翻2的支出（不包括職工支出）低于選擇方案1的支出期望，求保費(fèi)、所要滿足的條件，并判斷企業(yè)是否可與保險(xiǎn)公司合作.（若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與（Ⅰ）中保險(xiǎn)公司所提條件不矛盾，則企業(yè)可與保險(xiǎn)公司合作.）例14．某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000、6000、2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）：工種類別ABC賠付頻率已知、、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為25元、25元、40元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元、100萬(wàn)元、50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此業(yè)務(wù)的過(guò)程中固定支出每年10萬(wàn)元.（1）求保險(xiǎn)公司在該業(yè)務(wù)所獲利潤(rùn)的期望值；（2）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇：方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，職工不交保險(xiǎn)，出意外企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)公司提供的等額賠償金賠償付給出意外的職工，企業(yè)開(kāi)展這項(xiàng)工作的固定支出為每年12萬(wàn)元；方案2：企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的，職工個(gè)人負(fù)責(zé)，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付，企業(yè)無(wú)額外專項(xiàng)開(kāi)支.根據(jù)企業(yè)成本差異給出選擇合適方案的建議.例15．按照我國(guó)《機(jī)動(dòng)車交通事故責(zé)任強(qiáng)制保險(xiǎn)條例》規(guī)定，交強(qiáng)險(xiǎn)是車主必須為機(jī)動(dòng)車購(gòu)買的險(xiǎn)種，若普通7座以下私家車投保交強(qiáng)險(xiǎn)第一年的費(fèi)用（基準(zhǔn)保費(fèi)）統(tǒng)一為元，在下一年續(xù)保時(shí)，實(shí)行的是保費(fèi)浮動(dòng)機(jī)制，保費(fèi)與上一、二、三個(gè)年度車輛發(fā)生道路交通事故的情況相關(guān)聯(lián)，發(fā)生交通事故的次數(shù)越多，費(fèi)率也就越高，具體浮動(dòng)情況如表：交強(qiáng)險(xiǎn)浮動(dòng)因素和浮動(dòng)費(fèi)率比率表浮動(dòng)因素浮動(dòng)比率上一個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上兩個(gè)年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上三個(gè)及以上年度未發(fā)生有責(zé)任道路交通事故下浮上一個(gè)年度發(fā)生一次有責(zé)任不涉及死亡的道路交通事故上一個(gè)年度發(fā)生兩次及兩次以上有責(zé)任道路交通事故上浮上一個(gè)年度發(fā)生有責(zé)任道路交通死亡事故上浮某機(jī)構(gòu)為了研究某一品牌普通7座以下私家車的投保情況，隨機(jī)抽取了80輛車齡已滿三年的該品牌同型號(hào)私家車在下一年續(xù)保時(shí)的情況，統(tǒng)計(jì)得到了下面的表格：類型數(shù)量20101020155以這80輛該品牌車的投保類型的頻率代替一輛車投保類型的概率，完成下列問(wèn)題：（1）某家庭有一輛該品牌車且車齡剛滿三年，記為該車在第四年續(xù)保時(shí)的費(fèi)用，求的分布列；（2）某銷售商專門銷售這一品牌的二手車，且將下一年的交強(qiáng)險(xiǎn)保費(fèi)高于基準(zhǔn)保費(fèi)的車輛記為事故車.①若該銷售商購(gòu)進(jìn)三輛車（車齡已滿三年）該品牌二手車，求這三輛車中至少有2輛事故車的概率；②假設(shè)購(gòu)進(jìn)一輛事故車虧損4000元，一輛非事故車盈利8000元.若該銷售商一次購(gòu)進(jìn)100輛(車齡已滿三年）該品牌二手車，求其獲得利潤(rùn)的期望值.專題11兩點(diǎn)分布例1．電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類整理得到下表：電影類型第一類第二類第三類第四類第五類第六類電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率好評(píng)率是指：一類電影中獲得好評(píng)的部數(shù)與該類電影的部數(shù)的比值．假設(shè)所有電影是否獲得好評(píng)相互獨(dú)立．

Ⅰ從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率；

Ⅱ從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率；

Ⅲ假設(shè)每類電影得到人們喜歡的概率與表格中該類電影的好評(píng)率相等．用“”表示第k類電影得到人們喜歡．“”表示第k類電影沒(méi)有得到人們喜歡2，3，4，5，寫出方差，，，，，的大小關(guān)系．【解析】Ⅰ設(shè)事件A表示“從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影”，總的電影部數(shù)為部，

第四類電影中獲得好評(píng)的電影有：部，

從電影公司收集的電影中隨機(jī)選取1部，求這部電影是獲得好評(píng)的第四類電影的概率為：

；

Ⅱ設(shè)事件B表示“從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，恰有1部獲得好評(píng)”，

第四類獲得好評(píng)的有：部，

第五類獲得好評(píng)的有：部，

則從第四類電影和第五類電影中各隨機(jī)選取1部，估計(jì)恰有1部獲得好評(píng)的概率：

；

Ⅲ由題意知，定義隨機(jī)變量如下：

，

則服從兩點(diǎn)分布，則六類電影的分布列及方差計(jì)算如下：

第一類電影：10P，

．

第二類電影：10P，

．

第三類電影：10P，

．

第四類電影：10P，

．

第五類電影：10P，

．

第六類電影：10P，．

方差，，，，，的大小關(guān)系為：

例2．某大學(xué)開(kāi)設(shè)甲、乙、丙三門選修課，學(xué)生是否選修哪門課互不影響．已知某學(xué)生只選修甲的概率為，只選修甲和乙的概率是，至少選修一門的概率是，用表示該學(xué)生選修的課程門數(shù)和沒(méi)有選修的課程門數(shù)的乘積．

（1）記“函數(shù)為R上的奇函數(shù)”為事件A，求事件A的概率；

（2）求的概率分布和數(shù)學(xué)期望．【解析】設(shè)該學(xué)生選修甲、乙、丙的概率分別為x、y、z．

依題意得

解得

（1）若函數(shù)為R上的奇函數(shù)，則．

當(dāng)時(shí)，表示該學(xué)生選修三門功課或三門功課都沒(méi)選．

．

事件A的概率為．

（2）依題意知或2，則的概率分布為02P的數(shù)學(xué)期望為．例3．某廠加工的零件按箱出廠，每箱有10個(gè)零件，在出廠之前需要對(duì)每箱的零件作檢驗(yàn)，人工檢驗(yàn)方法如下：先從每箱的零件中隨機(jī)抽取4個(gè)零件，若抽取的零件都是正品或都是次品，則停止檢驗(yàn)；若抽取的零件至少有1個(gè)至多有3個(gè)次品，則對(duì)剩下的6個(gè)零件逐一檢驗(yàn)．已知每個(gè)零件檢驗(yàn)合格的概率為0.8，每個(gè)零件是否檢驗(yàn)合格相互獨(dú)立，且每個(gè)零件的人工檢驗(yàn)費(fèi)為2元．（1）設(shè)1箱零件人工檢驗(yàn)總費(fèi)用為元，求的分布列；（2）除了人工檢驗(yàn)方法外還有機(jī)器檢驗(yàn)方法，機(jī)器檢驗(yàn)需要對(duì)每箱的每個(gè)零件作檢驗(yàn)，每個(gè)零件的檢驗(yàn)費(fèi)為1.6元現(xiàn)有1000箱零件需要檢驗(yàn)，以檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為依據(jù)，在人工檢驗(yàn)與機(jī)器檢驗(yàn)中，應(yīng)該選擇哪一個(gè)？說(shuō)明你的理由．【解析】解：（1）的可能取值為8，20，，，則的分布列為8200.41120.5888（2）由（1）知，，所以1000箱零件的人工檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為元．因?yàn)?000箱零件的機(jī)器檢驗(yàn)總費(fèi)用的數(shù)學(xué)期望為元，且，所以應(yīng)該選擇人工檢驗(yàn)．例4．綠水青山就是金山銀山．近年來(lái)，祖國(guó)各地依托本地自然資源，打造旅游產(chǎn)業(yè)，旅游業(yè)正蓬勃發(fā)展．景區(qū)與游客都應(yīng)樹(shù)立尊重自然、順應(yīng)自然、保護(hù)自然的生態(tài)文明理念，合力使旅游市場(chǎng)走上規(guī)范有序且可持續(xù)的發(fā)展軌道．某景區(qū)有一個(gè)自愿消費(fèi)的項(xiàng)目：在參觀某特色景點(diǎn)入口處會(huì)為每位游客拍一張與景點(diǎn)的合影，參觀后，在景點(diǎn)出口處會(huì)將剛拍下的照片打印出來(lái)，游客可自由選擇是否帶走照片，若帶走照片則需支付20元，沒(méi)有被帶走的照片會(huì)收集起來(lái)統(tǒng)一銷毀．該項(xiàng)目運(yùn)營(yíng)一段時(shí)間后，統(tǒng)計(jì)出平均只有三成的游客會(huì)選擇帶走照片．為改善運(yùn)營(yíng)狀況，該項(xiàng)目組就照片收費(fèi)與游客消費(fèi)意愿關(guān)系作了市場(chǎng)調(diào)研，發(fā)現(xiàn)收費(fèi)與消費(fèi)意愿有較強(qiáng)的線性相關(guān)性，并統(tǒng)計(jì)出在原有的基礎(chǔ)上，價(jià)格每下調(diào)1元，游客選擇帶走照片的可能性平均增加0.05，假設(shè)平均每天約有5000人參觀該特色景點(diǎn)，每張照片的綜合成本為5元，假設(shè)每個(gè)游客是否購(gòu)買照片相互獨(dú)立．（1）若調(diào)整為支付10元就可帶走照片，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多還是少？（2）要使每天的平均利潤(rùn)達(dá)到最大值，應(yīng)如何定價(jià)？【解析】解：（1）當(dāng)收費(fèi)為20元時(shí)，照片被帶走的可能性為0.3，不被帶走的概率為0.7，設(shè)每個(gè)游客的利潤(rùn)為元，則是隨機(jī)變量，其分布列為：150.30.7（元，則5000個(gè)游客的平均利潤(rùn)為5000元，當(dāng)收費(fèi)為10元時(shí)，照片被帶走的可能性為，不被帶走的概率為0.2，設(shè)每個(gè)游客的利潤(rùn)為，則是隨機(jī)變量，其分布列為：50.80.2（元，則5000個(gè)游客的平均利潤(rùn)為（元，該項(xiàng)目每天的平均利潤(rùn)比調(diào)整前多10000元．（2）設(shè)降價(jià)元，則，照片被帶走的可能性為，不被帶走的可能性為，設(shè)每個(gè)游客的利潤(rùn)為元，則是隨機(jī)變量，其分布列為：，當(dāng)時(shí)，有最大值3.45元，當(dāng)定價(jià)為13元時(shí)，日平均利潤(rùn)取最大值為元．例5．某人某天的工作是，駕車從地出發(fā)，到，兩地辦事，最后返回地，，三地之間各路段的行駛時(shí)間及當(dāng)天降水概率如表：路段正常行駛所需時(shí)間（小時(shí)）上午降水概率下午降水概率20.30.620.20.730.30.9若在某路段遇到降水，則在該路段行駛的時(shí)間需延長(zhǎng)1小時(shí)．現(xiàn)有如下兩個(gè)方案：方案甲：上午從地出發(fā)到地辦事然后到達(dá)地，下午在地辦事后返回地；方案乙：上午從地出發(fā)到地辦事，下午從地出發(fā)到達(dá)地，辦事后返回地（1）若此人8點(diǎn)從地出發(fā)，在各地辦事及午餐的累積時(shí)間為2小時(shí)，且采用方案甲，求他當(dāng)日18點(diǎn)或18點(diǎn)之前能返回地的概率；（2）甲、乙兩個(gè)方案中，哪個(gè)方案有利于辦完事后能更早返回地？【解析】解：（1）由題意可知，若各路段均不會(huì)遇到降水，則返回地的時(shí)間為17點(diǎn)，因此若18點(diǎn)之前能返回地的充要條件是降水的路段數(shù)不超過(guò)1，記事件，，分別表示在上午路段降水、上午路段降水、下午路段降水，則所求概率：．（2）設(shè)基本路段正常行駛時(shí)間為，降水概率為，則該路段行駛時(shí)間的分布列為：行駛時(shí)間概率，路段正常行駛所需時(shí)間（小時(shí)）上午上午下午下午降水概率行駛時(shí)間期望值降水概率行駛時(shí)間期望值20.32.30.62.620.22.20.72.730.33.30.93.9設(shè)采用甲、乙兩種方案所花費(fèi)的總行駛時(shí)間分別為，，則，．采用甲方案更有利于辦事之后能更早返回地．例6．某單位計(jì)劃組織200名職工進(jìn)行一種疾病的篩查,先到本單位醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢,血檢呈陽(yáng)性者再到醫(yī)院進(jìn)一步檢測(cè)已知隨機(jī)一人血檢呈陽(yáng)性的概率為,且每個(gè)人血檢是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立．根據(jù)經(jīng)驗(yàn),采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量,具體操作如下：將待檢人員隨機(jī)分成20組,每組10人,先將每組的血樣混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陰性,則可斷定本組血樣全部為陰性,不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽(yáng)性,則本組中至少有一人呈陽(yáng)性,再逐個(gè)化驗(yàn)設(shè)進(jìn)行化驗(yàn)的總次數(shù)為X,試求X的數(shù)學(xué)期望；Ⅱ若該疾病的患病率為,且患該疾病者血檢呈陽(yáng)性的概率為,該單位有一職工血檢呈陽(yáng)性,求該職工確實(shí)患該疾病的概率參考數(shù)據(jù)：,,【解析】解：設(shè)每組化驗(yàn)的次數(shù)為,則取值為1,11．,,的分布列為：

1

11

．進(jìn)行化驗(yàn)的總次數(shù)為X的數(shù)學(xué)期望．設(shè)事件A表示“血檢呈陽(yáng)性”,B表示事件“該疾病”．由題意可得：,,,由條件概率,可得．．單位有一職工血檢呈陽(yáng)性,則該職工確實(shí)患該疾病的概率為．例7．在一個(gè)人數(shù)很多的團(tuán)體中普查某種疾病,為此要抽N個(gè)人的血,可以用兩種方法進(jìn)行將每個(gè)人的血分別去驗(yàn),這就需N次按k個(gè)人一組進(jìn)行分組,把從k個(gè)人抽出來(lái)的血混在一起進(jìn)行檢驗(yàn),如果這混合血液呈陰性反應(yīng),就說(shuō)明k個(gè)人的血液都呈陰性反應(yīng),這樣,這k個(gè)人的血就只需驗(yàn)一次若呈陽(yáng)性,則再對(duì)這k個(gè)人的血液分別進(jìn)行化驗(yàn)這樣,這k個(gè)人的血總共要化驗(yàn)次假設(shè)每個(gè)人化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為p,且這些人的試驗(yàn)反應(yīng)是相互獨(dú)立的．Ⅰ設(shè)以k個(gè)人為一組時(shí),記這k個(gè)人總的化驗(yàn)次數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；Ⅱ設(shè)以k個(gè)人為一組,從每個(gè)人平均需化驗(yàn)的次數(shù)的角度說(shuō)明,若,選擇適當(dāng)?shù)膋,按第二種方法可以減少化驗(yàn)的次數(shù),并說(shuō)明k取什么值時(shí)最適宜取【解析】解：Ⅰ個(gè)人一組的混合血液呈陰性結(jié)果的概率為,呈陽(yáng)性結(jié)果的概率為．X1 P

,Ⅱ由題意,小于1且取得最小值時(shí),就能得到最好的分組方法．,且,最適宜．例8．某種病毒性疾病,患該疾病的血液呈陽(yáng)性,不患的呈陰性依據(jù)已發(fā)病例數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì),一般人群中該病的陽(yáng)性者的比例為某市體檢中心一般采取了如下兩種的檢驗(yàn)方法：第一種是逐個(gè)抽血檢驗(yàn)第二種為了減少工作量是把4位職工分為一組,將4人的血缸液混合檢驗(yàn),如果混合血液呈陰性,4人平均每人化驗(yàn)0.25次；如果混合血液呈陽(yáng)性,則對(duì)4人再逐個(gè)進(jìn)行化驗(yàn),4人共做了5次化驗(yàn),相當(dāng)平均每人化驗(yàn)次,假設(shè)不同人之間患該疾病是相互獨(dú)立的現(xiàn)某單位為1000名職工進(jìn)行抽血體檢,檢驗(yàn)這種病毒性疾病．Ⅰ若采取第一種化驗(yàn)方法,求甲乙丙丁4人中,恰有2人血液呈陰性的概率；Ⅱ若醫(yī)院采取第二種化驗(yàn)方法,比以往每人化驗(yàn)1次可減少多少工作量？【解析】解：Ⅰ因?yàn)椴煌酥g患病是相互獨(dú)立的,所以采取第一種化驗(yàn)方法,求甲乙丙丁4人中,恰有2人血液呈陰性的概率為；Ⅱ醫(yī)院采取第二種化驗(yàn)方法,設(shè)平均每人的化驗(yàn)次數(shù)為隨機(jī)變量,所有可能的取值為,,由題意可得4人混合血液呈陰性的概率為,陽(yáng)性的概率為所以隨機(jī)變量的分布列為0.251.25P所以的期望為,1000名職工進(jìn)行抽血體檢,每人化驗(yàn)一次,平均化驗(yàn)次數(shù)為,醫(yī)院采取第二種化驗(yàn)方法,相當(dāng)于減少第一種方法的工作量的以上．例9．某產(chǎn)品自生產(chǎn)并投入市場(chǎng)以來(lái)，生產(chǎn)企業(yè)為確保產(chǎn)品質(zhì)量，決定邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，并依據(jù)質(zhì)量指標(biāo)來(lái)衡量產(chǎn)品的質(zhì)量.當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為優(yōu)等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為一等品；當(dāng)時(shí)，產(chǎn)品為二等品.第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)在該產(chǎn)品中隨機(jī)抽取500件，繪制了這500件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)的條形圖.用隨機(jī)抽取的500件產(chǎn)品作為樣本，估計(jì)該企業(yè)生產(chǎn)該產(chǎn)品的質(zhì)量情況，并用頻率估計(jì)概率.（1）從該企業(yè)生產(chǎn)的所有產(chǎn)品中隨機(jī)抽取1件，求該產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率；（2）現(xiàn)某人決定購(gòu)買80件該產(chǎn)品.已知每件成本1000元，購(gòu)買前，邀請(qǐng)第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)對(duì)要購(gòu)買的80件產(chǎn)品進(jìn)行抽樣檢測(cè).買家、企業(yè)及第三方檢測(cè)機(jī)構(gòu)就檢測(cè)方案達(dá)成以下協(xié)議：從80件產(chǎn)品中隨機(jī)抽出4件產(chǎn)品進(jìn)行檢測(cè)，若檢測(cè)出3件或4件為優(yōu)等品，則按每件1600元購(gòu)買，否則按每件1500元購(gòu)買，每件產(chǎn)品的檢測(cè)費(fèi)用250元由企業(yè)承擔(dān).記企業(yè)的收益為元，求的分布列與數(shù)學(xué)期望；【解析】（1）根據(jù)條形圖可知，優(yōu)等品的頻率為，用頻率估計(jì)概率，則任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為.（2）由（1）任取一件產(chǎn)品為優(yōu)等品的概率為，由題意，或；.故的分布列為：4700039000所以數(shù)學(xué)期望.例10．某地區(qū)進(jìn)行疾病普查,為此要檢驗(yàn)每一人的血液,如果當(dāng)?shù)赜蠳人,若逐個(gè)檢驗(yàn)就需要檢驗(yàn)N次,為了減少檢驗(yàn)的工作量,我們把受檢驗(yàn)者分組,假設(shè)每組有k個(gè)人,把這k個(gè)人的血液混合在一起檢驗(yàn),若檢驗(yàn)結(jié)果為陰性,這k個(gè)人的血液全為陰性,因而這k個(gè)人只要檢驗(yàn)一次就夠了,如果為陽(yáng)性,為了明確這k個(gè)人中究竟是哪幾個(gè)人為陽(yáng)性,就要對(duì)這k個(gè)人再逐個(gè)進(jìn)行檢驗(yàn),這時(shí)k個(gè)人的檢驗(yàn)次數(shù)為次,假設(shè)在接受檢驗(yàn)的人群中,每個(gè)人的檢驗(yàn)結(jié)果是陽(yáng)性還是陰性是獨(dú)立的,且每個(gè)人是陽(yáng)性結(jié)果的概率為p．Ⅰ為熟悉檢驗(yàn)流程,先對(duì)3個(gè)人進(jìn)行逐個(gè)檢驗(yàn),若,求3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性的概率Ⅱ設(shè)為k個(gè)人一組混合檢驗(yàn)時(shí)每個(gè)人的血需要檢驗(yàn)的次數(shù)．當(dāng),時(shí),求的分布列；試運(yùn)用統(tǒng)計(jì)概率的相關(guān)知識(shí),求當(dāng)k和p滿足什么關(guān)系時(shí),用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù)．【解析】解：Ⅰ對(duì)3人進(jìn)行檢驗(yàn),且檢驗(yàn)結(jié)果是獨(dú)立的,設(shè)事假A：3人中恰好有1人檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性,其概率,Ⅱ,,則5人一組混合檢驗(yàn)結(jié)果為陰性的概率為,每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為,若混合檢驗(yàn)結(jié)果為陽(yáng)性,則其概率為,每人所檢驗(yàn)的次數(shù)為,故的分布列為p分組時(shí),每人檢驗(yàn)次數(shù)的期望如下,,,,不分組時(shí),每人檢驗(yàn)次數(shù)為1次,要使分組辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù),則,即,當(dāng)時(shí),用分組的辦法能減少檢驗(yàn)次數(shù)．例11．單位計(jì)劃組織55名職工進(jìn)行一種疾病的篩查,先到本單位醫(yī)務(wù)室進(jìn)行血檢,血檢呈陽(yáng)性者再到醫(yī)院進(jìn)一步檢測(cè)己知隨機(jī)一人血檢呈陽(yáng)性的槪率為,且每個(gè)人血檢是否呈陽(yáng)性相互獨(dú)立．根據(jù)經(jīng)驗(yàn),采用分組檢測(cè)法可有效減少工作量,具體操作如下：將待檢人員隨機(jī)等分成若干組,先將每組的血樣混在一起化驗(yàn),若結(jié)果呈陰性,則可斷定本組血樣全部為陰性,不必再化驗(yàn)；若結(jié)果呈陽(yáng)性,則本組中至少有一人呈陽(yáng)性,再逐個(gè)化驗(yàn)現(xiàn)有兩個(gè)分組方案：方案一：將55人分成11組,每組5人；方案二：將55人分成5組,每組11人試分析,哪一個(gè)方案工作量最少？若該疾病的患病率為,且患該疾病者血檢呈陽(yáng)性的概率為,該單位有一職工血檢呈陽(yáng)性求該職工確實(shí)患該疾病的概率參考數(shù)據(jù)：,【解析】解：設(shè)方案一中每組的化驗(yàn)次數(shù)為X,則X的取值為1,6,,,的分布列為：

X

1

6

P

．故方案一的化驗(yàn)總次數(shù)的期望值為：次．設(shè)方案二中每組的化驗(yàn)次數(shù)為Y,則Y的取值為1,12,,,的分布列為：

Y

1

2

P

．方案二的化驗(yàn)總次數(shù)的期望為：次．,方案二工作量更少．設(shè)事件A：血檢呈陽(yáng)性,事件B：患疾病,則由題意得,,,由條件概率公式,該職工確實(shí)患該疾病的概率．例12．某保險(xiǎn)公司針對(duì)企業(yè)職工推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每人只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲賠50萬(wàn)元.保險(xiǎn)公司把職工從事的所有崗位共分為、、三類工種，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的每賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付概率）.（Ⅰ）根據(jù)規(guī)定，該產(chǎn)品各工種保單的期望利潤(rùn)都不得超過(guò)保費(fèi)的20%，試分別確定各類工種每張保單保費(fèi)的上限；（Ⅱ）某企業(yè)共有職工20000人，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，老板準(zhǔn)備為全體職工每人購(gòu)買一份此種保險(xiǎn)，并以（Ⅰ）中計(jì)算的各類保險(xiǎn)上限購(gòu)買，試估計(jì)保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤(rùn).【解析】（Ⅰ）設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，設(shè)保險(xiǎn)公司每單的收益為隨機(jī)變量，則的分布列為保險(xiǎn)公司期望收益為根據(jù)規(guī)則解得元，設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，賠付金期望值為元，則保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)為元，根據(jù)規(guī)則，解得元，設(shè)工種的每份保單保費(fèi)為元，賠付金期望值為元，則保險(xiǎn)公司期望利潤(rùn)為元，根據(jù)規(guī)則，解得元.（Ⅱ）購(gòu)買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，購(gòu)買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，購(gòu)買類產(chǎn)品的份數(shù)為份，企業(yè)支付的總保費(fèi)為元，保險(xiǎn)公司在這宗交易中的期望利潤(rùn)為元.例13．某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事三類工種的人數(shù)分布比例如圖，根據(jù)歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出三類工種的賠付頻率如下表（并以此估計(jì)賠付頻率）.對(duì)于、、三類工種職工每人每年保費(fèi)分別為元，元，元，出險(xiǎn)后的賠償金額分別為100萬(wàn)元，100萬(wàn)元，50萬(wàn)元，保險(xiǎn)公司在開(kāi)展此項(xiàng)業(yè)務(wù)過(guò)程中的固定支出為每年10萬(wàn)元.（Ⅰ）若保險(xiǎn)公司要求利潤(rùn)的期望不低于保費(fèi)的20%，試確定保費(fèi)、所要滿足的條件；（Ⅱ）現(xiàn)有如下兩個(gè)方案供企業(yè)選擇；方案1：企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)自行拿出與保險(xiǎn)提供的等額的賠償金額賠付給出險(xiǎn)職工；方案2：企業(yè)于保險(xiǎn)公司合作，企業(yè)負(fù)責(zé)職工保費(fèi)的60%，職工個(gè)人負(fù)責(zé)保費(fèi)的40%，出險(xiǎn)后賠償金由保險(xiǎn)公司賠付.若企業(yè)選擇翻翻2的支出（不包括職工支出）低于選擇方案1的支出期望，求保費(fèi)、所要滿足的條件，并判斷企業(yè)是否可與保險(xiǎn)公司合作.（若企業(yè)選擇方案2的支出低于選擇方案1的支出期望，且與（Ⅰ）中保險(xiǎn)公司所提條件不矛盾，則企業(yè)可與保險(xiǎn)公司合作.）【解析】（Ⅰ）設(shè)工種，，職工的每份保單保險(xiǎn)公司的效益為隨機(jī)變量，，，則，，的分布列為保險(xiǎn)公司期望收益，，.根據(jù)要求.解得，所以每張保單的保費(fèi)需要滿足元.（Ⅱ）若該企業(yè)不與保險(xiǎn)公司合作，則安全支出，即賠償金的期望值為.若該企業(yè)與保險(xiǎn)公司合作，則安全支出，即保費(fèi)為.解得，結(jié)果與（Ⅰ）不沖突，所以企業(yè)有可能與保險(xiǎn)公司合作.例14．某保險(xiǎn)公司針對(duì)一個(gè)擁有20000人的企業(yè)推出一款意外險(xiǎn)產(chǎn)品，每年每位職工只需要交少量保費(fèi)，發(fā)生意外后可一次性獲得若干賠償金.保險(xiǎn)公司把企業(yè)的所有崗位共分為、、三類工種，從事這三類工種的人數(shù)分別為12000、6000、2000，由歷史數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)出