新高考一輪復(fù)習(xí)講義第36講等比數(shù)列及其前n項和(原卷版+解析)

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第36講等比數(shù)列及其前n項和學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·山東·濟南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．20 B．12 C．8 D．42．（2022·山東·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為（

）A．20 B．10 C．5 D．3．（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．864．（2022·全國·高考真題（文））已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．35．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為q，則“，且”是“對于任意都有”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件6．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．5127．（2022·山東菏澤·一模）已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且滿足：，，記，則使得的最小正數(shù)n為（

）A．36 B．35 C．34 D．338．（2022·廣東茂名·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，公比為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則9．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列，均為公比不等于1的等比數(shù)列，前n項和分別為，若，則＝（

）A． B．1 C． D．210．（2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，其前項和為，且，則數(shù)列的前項和為（

）A． B．C． D．11．（多選）（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列12．（多選）（2022·重慶·二模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．13．（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______．14．（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，，，若，則___________.15．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，寫出一個滿足的通項公式：_________．16．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知為等比數(shù)列，且，，，為其前項之積，若，則的最小值為__________.17．（2022·山東聊城·三模）某牧場2022年年初牛的存欄數(shù)為1200，計劃以后每年存欄數(shù)的增長率為20%，且在每年年底賣出100頭牛，按照該計劃預(yù)計______年初的存欄量首次超過8900頭.（參考數(shù)據(jù)：，）18．（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列{}各項均為正數(shù)，，、為方程(m為常數(shù))的兩根，數(shù)列{}的前n項和為，且，求數(shù)列的前2022項和為_________．19．（2022·全國·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．20．（2022·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【素養(yǎng)提升】1．（2022·河北秦皇島·三模）北京年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進行“次分形”．規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個長度不小于的分形圖，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)，）A． B． C． D．2．（2022·湖南·模擬預(yù)測）在一個正三角形的三邊上，分別取一個距頂點最近的十等分點，連接形成的三角形也為正三角形（如圖1所示，圖中共有個正三角形）．然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角形，如此重復(fù)多次，可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形（圖中共有個正三角形），這個過程稱之為迭代．在邊長為的正三角形三邊上，分別取一個三等分點，連接成一個較小的正三角形，然后迭代得到如圖3所示的圖形（圖中共有個正三角形），其中最小的正三角形面積為（

）A． B． C． D．3．（多選）（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）著名的“河內(nèi)塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下?從小到大套著n個中心帶孔的圓盤.將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設(shè)將n個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則（

）A． B．C． D．4．（多選）（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項為 B．?dāng)?shù)列的最小項為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列5．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）若等比數(shù)列滿足，，則的最大值為____．6．（2022·北京·高考真題）已知數(shù)列各項均為正數(shù)，其前n項和滿足．給出下列四個結(jié)論：①的第2項小于3；

②為等比數(shù)列；③為遞減數(shù)列；

④中存在小于的項．其中所有正確結(jié)論的序號是__________．7．（2022·湖北·華中師大一附中模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列{an}各項均為正數(shù)，，若存在正整數(shù)，使得，請寫出一個滿足題意的k的值__________.8．（2022·天津·南開中學(xué)模擬預(yù)測）已知是公差為3的等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且.(1)求和的通項公式(2)若數(shù)列滿足對于任意的，且.①求的通項公式；②數(shù)列滿足，求.試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第36講等比數(shù)列及其前n項和學(xué)校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________【基礎(chǔ)鞏固】1．（2022·山東·濟南市歷城第二中學(xué)模擬預(yù)測）在等比數(shù)列中，已知，，則（

）A．20 B．12 C．8 D．4【答案】C【分析】設(shè)的公比為q，由條件可列出關(guān)于q的方程，求得q，即可求得答案.【詳解】設(shè)的公比為q，則，解得，所以，故選：C．2．（2022·山東·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列滿足：，，則的值為（

）A．20 B．10 C．5 D．【答案】B【分析】利用等比數(shù)列的性質(zhì)可得：，對進行化簡后求值即可.【詳解】在等比數(shù)列中，由等比數(shù)列的性質(zhì)可得：.所以．故選：B3．（2022·山東日照·三模）在公差不為0的等差數(shù)列中，成公比為3的等比數(shù)列，則（

）A．14 B．34 C．41 D．86【答案】C【分析】根據(jù)題意求得，得到，再由等差數(shù)列的通項公式，求得，列出方程，即可求解.【詳解】因為成公比為3的等比數(shù)列，可得，所以又因為數(shù)列為等差數(shù)列，所以公差，所以，所以，解得.故選：C.4．（2022·全國·高考真題（文））已知等比數(shù)列的前3項和為168，，則（

）A．14 B．12 C．6 D．3【答案】D【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，易得，根據(jù)題意求出首項與公比，再根據(jù)等比數(shù)列的通項即可得解.【詳解】解：設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，與題意矛盾，所以，則，解得，所以.故選：D.5．（2022·廣東·深圳市光明區(qū)高級中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列的首項為，公比為q，則“，且”是“對于任意都有”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)分析判斷即可【詳解】若，且，則，所以，反之，若，則，所以，且或，且，所以“，且”是“對于任意，都有”的充分不必要條件.故選：A6．（2022·湖南·長郡中學(xué)模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列滿足，則的最大值為（

）A．64 B．128 C．256 D．512【答案】A【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由，得.又，得.故.由，得，得，且.故當(dāng)或4時，取得最大值，即.故選：A.7．（2022·山東菏澤·一模）已知等比數(shù)列各項均為正數(shù)，且滿足：，，記，則使得的最小正數(shù)n為（

）A．36 B．35 C．34 D．33【答案】B【分析】先由已知條件判斷出的取值范圍，即可判斷使得的最小正數(shù)n的數(shù)值.【詳解】由得：，.，又，，，，則使得的最小正數(shù)n為35.故選：B.8．（2022·廣東茂名·一模）已知等比數(shù)列的前項和為，公比為，則下列選項正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】A選項可用片段和性質(zhì)，BD選項使用基本量法，C選項借助下標和性質(zhì)求解.【詳解】A選擇中，由即，解得B選項中，C選項中，由，，D選項中，故選：B9．（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）設(shè)數(shù)列，均為公比不等于1的等比數(shù)列，前n項和分別為，若，則＝（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)給定等式，可得，再求出數(shù)列，的公比即可計算作答.【詳解】由得，，設(shè){}的公比為，{}的公比為，當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，聯(lián)立兩式解得，此時，，則，，所以.故選：C10．（2022·浙江·效實中學(xué)模擬預(yù)測）已知數(shù)列滿足，其前項和為，且，則數(shù)列的前項和為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與的關(guān)系可知數(shù)列從2項開始是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，進而可得，則均小于0，均大于0.結(jié)合等比數(shù)列前項和公式計算即可.【詳解】由①，得，解得，當(dāng)時，②，由①②，得，則，兩式相減，得，即，又不符合上式，所以數(shù)列從2項開始是以為首項，3為公比的等比數(shù)列，則，所以.得，，所以均小于0，均大于0.所以當(dāng)時，數(shù)列的前項和為.故選：A.11．（多選）（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）若數(shù)列是等比數(shù)列，則（

）A．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列C．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列 D．?dāng)?shù)列是等比數(shù)列【答案】AD【分析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，利用等比數(shù)列的定義結(jié)合特例法可判斷各選項的正誤.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，，則是以為公比的等比數(shù)列，A對；時，，則不是等比數(shù)列，B錯；，時，，此時不是等比數(shù)列，C錯；，所以，是公比為的等比數(shù)列，D對.故選：AD．12．（多選）（2022·重慶·二模）設(shè)數(shù)列的前n項和為，已知，且，則下列結(jié)論正確的是（

）A．是等比數(shù)列 B．是等比數(shù)列C． D．【答案】BC【分析】由條件變形，先求的通項公式，再判斷選項【詳解】由題意得，故是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，，則．故B，C正確，A錯誤,,兩式相減得：，故D錯誤．故選：BC13．（2022·福建·廈門一中模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列的前項和為，若，，則______．【答案】【分析】利用等比數(shù)列的通項公式和前項和公式即可求解.【詳解】由已知條件得，解得，∴；故答案為：.14．（2022·福建省福州第一中學(xué)三模）已知等比數(shù)列的前n項和為，，，若，則___________.【答案】5【分析】根據(jù)，求得公比，再由求解.【詳解】解：在等比數(shù)列中，，，所以，解得，又，即，解得，故答案為：515．（2022·江蘇徐州·模擬預(yù)測）設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列的前n項和為，寫出一個滿足的通項公式：_________．【答案】（答案不唯一）【分析】本題屬于開放性問題，只需填寫符合要求的答案即可，不妨令，根據(jù)等比數(shù)列求和公式代入驗證即可；【詳解】解：當(dāng)時，，，∴滿足條件．故答案為：（答案不唯一）16．（2022·湖北·模擬預(yù)測）已知為等比數(shù)列，且，，，為其前項之積，若，則的最小值為__________.【答案】4【分析】求出的通項，再求出，從而可求的解的最小值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，而，故，故，所以即，故，故，由可得即，所以，因為，且當(dāng)時，，故使得成立的最小值為4，故答案為：4.17．（2022·山東聊城·三模）某牧場2022年年初牛的存欄數(shù)為1200，計劃以后每年存欄數(shù)的增長率為20%，且在每年年底賣出100頭牛，按照該計劃預(yù)計______年初的存欄量首次超過8900頭.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】2036【分析】可以利用“每年存欄數(shù)的增長率為”和“每年年底賣出100頭”建立相鄰兩年的關(guān)系，用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，求出通項公式即可求解.【詳解】設(shè)牧場從2022年起每年年初的計劃存欄數(shù)依次為，，，…，，…，其中，由題意得，并且，設(shè)，則，則0.2x＝100，則x＝500，∴，即數(shù)列{}是首項為，公比為1.2的等比數(shù)列，則，則，令，則，即，即，所以，因此.2022+14=2036年年初存欄數(shù)首次突破8900，故答案為：203618．（2022·湖南·長沙縣第一中學(xué)模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列{}各項均為正數(shù)，，、為方程(m為常數(shù))的兩根，數(shù)列{}的前n項和為，且，求數(shù)列的前2022項和為_________．【答案】【分析】首先根據(jù)條件求得等比數(shù)列{}的前n項和為，代入中可看出可以通過裂項相消法求和．【詳解】等比數(shù)列{}中、為方程的兩根，設(shè)數(shù)列{}的公比為，則，且又，所以，所以∴∴∴數(shù)列的前2022項和，故答案為：.19．（2022·全國·高考真題（理））記為數(shù)列的前n項和．已知．(1)證明：是等差數(shù)列；(2)若成等比數(shù)列，求的最小值．（1）解：因為，即①，當(dāng)時，②，①②得，，即，即，所以，且，所以是以為公差的等差數(shù)列．（2）解：由（1）可得，，，又，，成等比數(shù)列，所以，即，解得，所以，所以，所以，當(dāng)或時．20．（2022·全國·高考真題）已知為等差數(shù)列，是公比為2的等比數(shù)列，且．(1)證明：；(2)求集合中元素個數(shù)．【解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數(shù)為．【素養(yǎng)提升】1．（2022·河北秦皇島·三模）北京年冬奧會開幕式用“一朵雨花”的故事連接中國與世界，傳遞了“人類命運共同體”的理念．“雪花曲線”也叫“科赫雪花”，它是由等邊三角形三邊生成的科赫曲線組成的，是一種分形幾何．圖1是長度為的線段，將圖1中的線段三等分，以中間部分的線段為邊，向外作等邊三角形，再將中間部分的線段去掉得到圖2，這稱為“一次分形”；用同樣的方法把圖2中的每條線段重復(fù)上述操作，得到圖3，這稱為“二次分形”；．依次進行“次分形”．規(guī)定：一個分形圖中所有線段的長度之和為該分形圖的長度．若要得到一個長度不小于的分形圖，則的最小值是（

）（參考數(shù)據(jù)，）A． B． C． D．【答案】C【分析】分析可知“次分形”后線段的長度為，可得出關(guān)于的不等式，解出的取值范圍即可得解.【詳解】圖1的線段長度為，圖2的線段長度為，圖3的線段長度為，，“次分形”后線段的長度為，所以要得到一個長度不小于的分形圖，只需滿足，則，即，解得，所以至少需要次分形．故選：C.2．（2022·湖南·模擬預(yù)測）在一個正三角形的三邊上，分別取一個距頂點最近的十等分點，連接形成的三角形也為正三角形（如圖1所示，圖中共有個正三角形）．然后在較小的正三角形中，以同樣的方式形成一個更小的正三角形，如此重復(fù)多次，可得到如圖2所示的優(yōu)美圖形（圖中共有個正三角形），這個過程稱之為迭代．在邊長為的正三角形三邊上，分別取一個三等分點，連接成一個較小的正三角形，然后迭代得到如圖3所示的圖形（圖中共有個正三角形），其中最小的正三角形面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】記第個正三角形的邊長為，第個正三角形的邊長為，根據(jù)與的關(guān)系判斷出為等比數(shù)列，由此求解出最小的正三角形的邊長，從而面積可求.【詳解】設(shè)第個正三角形的邊長為，則個正三角形的邊長為，由條件可知：，又由圖形可知：，所以，所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以，所以，所以最小的正三角形的面積為：，故選：A.3．（多選）（2022·湖南·雅禮中學(xué)二模）著名的“河內(nèi)塔”問題中，地面直立著三根柱子，在1號柱上從上至下?從小到大套著n個中心帶孔的圓盤.將一個柱子最上方的一個圓盤移動到另一個柱子，且保持每個柱子上較大的圓盤總在較小的圓盤下面，視為一次操作.設(shè)將n個圓盤全部從1號柱子移動到3號柱子的最少操作數(shù)為，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【分析】由題可得，進而可得是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，可得，即得.【詳解】將圓盤從小到大編為號圓盤，則將第號圓盤移動到3號柱時，需先將第號圓盤移動到2號柱，需次操作；將第號圓盤移動到3號柱需1次操作；再將號圓需移動到3號柱需次操作，故，，又，∴是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，∴，即，∴.故選：AD.4．（多選）（2022·河北·石家莊二中模擬預(yù)測）已知數(shù)列為等比數(shù)列，首項，公比，則下列敘述正確的是（

）A．?dāng)?shù)列的最大項為 B．?dāng)?shù)列的最小項為C．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列 D．?dāng)?shù)列為遞增數(shù)列【答案】ABC【分析】分別在為偶數(shù)和為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負和的正負得到最大項和最小項，知AB正誤；利用和可知CD正誤.【詳解】對于A，由題意知：當(dāng)為偶數(shù)時，；當(dāng)為奇數(shù)時，，，最大；綜上所述：數(shù)列的最大項為，A正確；對于B，當(dāng)為偶數(shù)時，，，最??；當(dāng)為奇數(shù)時，；綜上所述：數(shù)列的最小項為，B正確；對于C，，，，，，，數(shù)列為遞增數(shù)列，C正確；對于D，，，；，，，又，，數(shù)列為遞減數(shù)列，D錯誤.故選：ABC.5．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測）若等比數(shù)列滿足，，則的最大值為__