新高考數(shù)學(xué)題型全歸納之排列組合專題06染色問題(原卷版+解析)

專題6染色問題例1．如圖所示的幾何體由三棱錐與三棱柱組合而成，現(xiàn)用種不同顏色對(duì)這個(gè)幾何體的表面涂色(底面不涂色)，要求相鄰的面均不同色，則不同的涂色方案共有（）A．種 B．種C．種 D．種【解析】先涂三棱錐的三個(gè)側(cè)面，有種情況，然后涂三棱柱的三個(gè)側(cè)面，有種情況，共有種不同的涂法．故選：C．例2．如圖，用四種不同的顏色給圖中的A，B，C，D，E，F(xiàn)，G七個(gè)點(diǎn)涂色，要求每個(gè)點(diǎn)涂一種顏色，且圖中每條線段的兩個(gè)端點(diǎn)涂不同顏色，則不同的涂色方法有（）A．192種 B．336種 C．600種 D．624種【解析】由題意，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別有4，3，2種涂法，（1）當(dāng)A與F相同時(shí)，A有1種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，①若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)D有3種涂色方法；②若C與F不同，則D有2種涂色方法.故此時(shí)共有種涂色方法.（2）當(dāng)A與G相同時(shí)，A有1種涂色方法，①若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，D有2種涂色方法；②若C與F不同，則C有2種涂色方法，此時(shí)B有2種涂色方法，D有1種涂色方法.故此時(shí)共有種涂色方法.（3）當(dāng)A既不同于F又不同于G時(shí)，A有1種涂色方法.①若B與F相同，則C與A相同時(shí)，D有2種涂色方法，C與A不同時(shí)，C和D均只有1種涂色方法；②若B與F不同，則B有1種涂色方法，（i）若C與F相同，則C有1種涂色方法，此時(shí)D有2種涂色方法；（ii）若C與F不同，則必與A相同，C有1種涂色方法，此時(shí)D有2種涂色方法.故此時(shí)共有種涂色方法.綜上，共有種涂色方法.故選：C.例3．現(xiàn)有6種不同的顏色，給圖中的6個(gè)區(qū)域涂色，要求相鄰區(qū)域不同色，則不同的涂色方法共有（）A．720種 B．1440種 C．2880種 D．4320種【解析】根據(jù)題意分步完成任務(wù)：第一步：完成3號(hào)區(qū)域：從6種顏色中選1種涂色，有6種不同方法；第二步：完成1號(hào)區(qū)域：從除去3號(hào)區(qū)域的1種顏色后剩下的5種顏色中選1種涂色，有5種不同方法；第三步：完成4號(hào)區(qū)域：從除去3、1號(hào)區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第四步：完成2號(hào)區(qū)域：從除去3、1、4號(hào)區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；第五步：完成5號(hào)區(qū)域：從除去1、2號(hào)區(qū)域的2種顏色后剩下的4種顏色中選1種涂色，有4種不同方法；第六步：完成6號(hào)區(qū)域：從除去1、2、5號(hào)區(qū)域的3種顏色后剩下的3種顏色中選1種涂色，有3種不同方法；所以不同的涂色方法：種.故選：D.例4．將5種不同的花卉種植在如圖所示的四個(gè)區(qū)域中，每個(gè)區(qū)域種植一種花卉，且相鄰區(qū)域花卉不同，則不同的種植方法種數(shù)是（）．A．420 B．180 C．64 D．25【解析】由題意，由于規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色，相鄰的區(qū)域顏色不同，可分步進(jìn)行區(qū)域有5種涂法，有4種涂法，，不同色，有3種，有2種涂法，有種，，同色，有1種涂法，有3種涂法，有種，共有180種不同的涂色方案．故選：B．例5．用紅、黃、藍(lán)、綠、橙五種不同顏色給如圖所示的5塊區(qū)域、、、、涂色，要求同一區(qū)域用同一種顏色，有共公邊的區(qū)域使用不同顏色，則共有涂色方法（）A．120種 B．720種 C．840種 D．960種【解析】法一：有5種顏色可選，有4種顏色可選，有3種顏色可選，若同色，有4種顏色可選；若同色，有4種顏色可選；若與、都不同色，則有2種顏色可選，此時(shí)有4種顏色可選，故共有種．法二：當(dāng)使用5種顏色時(shí)，有種涂色方法；當(dāng)使用4種顏色時(shí)，必有兩塊區(qū)域同色，可以是，，，，，共有種涂色方法；當(dāng)使用3種顏色時(shí)，只能是同色且同色，同色且同色，同色，同色，共有種涂色方法，∴共有種涂色方法.故選：D.例6．如圖，某傘廠生產(chǎn)的太陽傘的傘篷是由太陽光的七種顏色組成，七種顏色分別涂在傘篷的八個(gè)區(qū)域內(nèi)，且恰有一種顏色涂在相對(duì)區(qū)域內(nèi)，則不同顏色圖案的此類太陽傘最多有（）.A．40320種 B．5040種 C．20160種 D．2520種【解析】先從7種顏色中任意選擇一種，涂在相對(duì)的區(qū)域內(nèi)，有種方法，再將剩余的6種顏色全部涂在剩余的6個(gè)區(qū)域內(nèi)，共有種方法，由于圖形是軸對(duì)稱圖形，所以上述方法正好重復(fù)一次，所以不同的涂色方法，共有種不同的涂法.故選：D.例7．如圖所示，將四棱錐S-ABCD的每一個(gè)頂點(diǎn)染上一種顏色，并使同一條棱上的兩端異色，如果只有5種色可供使用，則不同的染色方法種數(shù)為（）A．240 B．360 C．420 D．960【解析】由題設(shè)，四棱錐S-ABCD的頂點(diǎn)S、A、B所染的顏色互不相同，它們共有種染色方法.設(shè)5種顏色為1，2，3，4，5，當(dāng)S、A、B染好時(shí)，不妨設(shè)其顏色分別為1、2、3，若C染2，則D可染3或4或5，有3種染法；若C染4，則D可染3或5，有2種染法，若C染5，則D可染3或4，有2種染法.可見，當(dāng)S、A、B已染好時(shí)，C、D還有7種染法，故不同的染色方法有（種）.故選：C例8．如圖所示，將方格紙中每個(gè)小方格染三種顏色之一，使得每種顏色的小方格的個(gè)數(shù)相等.若相鄰兩個(gè)小方格的顏色不同，稱他們的公共邊為“分割邊”，則分割邊條數(shù)的最小值為()A．33 B．56 C．64 D．78【解析】記分隔邊的條數(shù)為，首先將方格按照按圖分三個(gè)區(qū)域，分別染成三種顏色，粗線上均為分隔邊，此時(shí)共有56條分隔邊，即，其次證明：，將將方格的行從上至下依次記為，列從左至右依次記為，行中方格出現(xiàn)的顏色數(shù)記為，列中方格出現(xiàn)的顏色個(gè)數(shù)記為，三種顏色分別記為，對(duì)于一種顏色，設(shè)為含有色方格的行數(shù)與列數(shù)之和，定義當(dāng)行含有色方格時(shí)，，否則，類似的定義，所以，由于染色的格有個(gè)，設(shè)含有色方格的行有個(gè)，列有個(gè)，則色的方格一定再這個(gè)行和列的交叉方格中，從而，所以①，由于在行中有種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，類似的，在列中有種顏色的方格，于是至少有條分隔邊，則②③下面分兩種情形討論，(1)有一行或一列所有方格同色，不妨設(shè)有一行均為色，則方格的33列均含有的方格，又色的方格有363個(gè),故至少有11行有色方格，于是④由①③④得，(2)沒有一行也沒有一列的所有方格同色,則對(duì)任意均有，從而，由式②知：，綜上，分隔邊條數(shù)的最小值為56.故選：B.例9．如圖給三棱柱的頂點(diǎn)染色，定義由同一條棱連接的兩個(gè)頂點(diǎn)叫相鄰頂點(diǎn)，規(guī)定相鄰頂點(diǎn)不得使用同一種顏色，現(xiàn)有種顏色可供選擇，則不同的染色方法有_________________.【解析】首先先給頂點(diǎn)染色，有種方法，再給頂點(diǎn)染色，①若它和點(diǎn)染同一種顏色，點(diǎn)和點(diǎn)染相同顏色，點(diǎn)就有2種方法，若點(diǎn)和點(diǎn)染不同顏色，則點(diǎn)有2種方法，點(diǎn)也有1種方法，則的染色方法一共有種方法，②若點(diǎn)和點(diǎn)染不同顏色，且與點(diǎn)顏色不同，則點(diǎn)有1種方法，點(diǎn)與點(diǎn)顏色不同，則點(diǎn)有1種方法，則點(diǎn)有1種方法，此時(shí)有1種方法；若最后與相同，則有2種方法，則共有2種方法；點(diǎn)與點(diǎn)顏色相同，則點(diǎn)有1種方法，則點(diǎn)有2種方法，則點(diǎn)有2種方法，共有種方法，所以點(diǎn)和點(diǎn)染不同，顏色共有種方法，所以點(diǎn)的染色方法一共有種，所以共有種方法.故答案為：例10．現(xiàn)用五種不同的顏色，要對(duì)如圖中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求公共邊的兩塊不能用同一種顏色，共有__________種不同著色方法【解析】先排，有種方法；然后排，最后排：①當(dāng)相同時(shí)，方法有種，故方法數(shù)有種.②當(dāng)不同時(shí)，方法有種，故方法數(shù)有種.綜上所述，不同的著色方法數(shù)有種.故答案為：例11．如圖所示的五個(gè)區(qū)域中，中心區(qū)域是一幅圖畫，現(xiàn)要求在其余四個(gè)區(qū)域中涂色，有四種顏色可供選擇．要求每個(gè)區(qū)域只涂一種顏色且相鄰區(qū)域所涂顏色不同，則不同的涂色方法種數(shù)為______．【解析】分三種情況：（1）用四種顏色涂色，有種涂法；（2）用三種顏色涂色，有種涂法；（3）用兩種顏色涂色，有種涂法；所以共有涂色方法.故答案為：84例12．從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色，給如圖所示的六個(gè)相連的圓涂色，若每種顏色只能涂兩個(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，則不同的涂色方案的種數(shù)是________.【解析】從紅、黃、藍(lán)、黑四種顏色中選出3種顏色有4種選法.因?yàn)槊糠N顏色只能涂兩個(gè)圓，且相鄰兩個(gè)圓所涂顏色不能相同，分兩類：一類是，前三個(gè)圓用3種顏色，有種方法，后3個(gè)圓也有3種顏色，有種方法，此時(shí)不同方法有6×4=24方法；二類是，前3個(gè)圓2種顏色，后3個(gè)圓2種顏色，共有方法.綜上可知，所有的涂法共有種方法.故答案為：120例13．如圖一個(gè)正方形花圃被分成5份．若給這5個(gè)部分種植花，要求相鄰兩部分種植不同顏色的花，已知現(xiàn)有紅、黃、藍(lán)、綠4種顏色不同的花，則不同的種植方法有_________種【解析】先對(duì)部分種植，有4種不同的種植方法；再對(duì)部分種植，又3種不同的種植方法；對(duì)部分種植進(jìn)行分類：①若與相同，有2種不同的種植方法，有2種不同的種植方法，共有（種），②若與不同，有2種不同的種植方法，有1種不同的種植方法，有1種不同的種植方法，共有（種），綜上所述，共有72種種植方法．故答案為：72.例14．現(xiàn)有五種不同的顏色，要對(duì)圖形中的四個(gè)部分進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩塊不能用同一種顏色，不同的涂色方法有_______種．【解析】依題意，I、II、III區(qū)域有共同邊顏色互不相同，按I、II、III、IV順序著色，則區(qū)域I有5種著色方法，區(qū)域II有4種著色方法，區(qū)域III有3種著色方法，IV只與II、III相鄰，因此區(qū)域IV有3種著色方法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理，不同的著色方法種數(shù)為.故答案為：180例15．現(xiàn)將如圖所示的個(gè)小正方形涂上紅、黃兩種顏色，其中個(gè)涂紅色，個(gè)涂黃色，若恰有兩個(gè)相鄰的小正方形涂紅色，則不同的涂法共有__________種(用數(shù)字作答).【解析】當(dāng)涂紅色兩個(gè)相鄰的小正方形在兩端時(shí)是有，當(dāng)涂紅色兩個(gè)相鄰的小正方形在不在兩端時(shí)是有，則不同的涂法種數(shù)共有種．故答案為：6．例16．四色猜想是近代數(shù)學(xué)難題之一，四色猜想的內(nèi)容是：“任何一張地圖最多用四種顏色就能使具有共同邊界的國家著上不同的顏色”，如圖，一張地圖被分成了五個(gè)區(qū)域，每個(gè)區(qū)域只使用一種顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇（四種顏色不一定用完），則滿足四色猜想的不同涂色種數(shù)為__________【解析】設(shè)五個(gè)區(qū)域分別為，依題意由公共邊的兩個(gè)區(qū)域顏色不同，用四種顏色進(jìn)行涂色則有兩個(gè)區(qū)域顏色相同，可以是與，與，與同色，有涂色方法；或用三種顏色涂色，則有2組顏色同色，為與同色，與同色，有涂色方法，根據(jù)分類加法原理，共有涂色方法.故答案為：.例17．如圖，將標(biāo)號(hào)為1，2，3，4，5的五塊區(qū)域染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰區(qū)域有公共邊的顏色不同，則不同的染色方法有______種【解析】對(duì)于1，有三種顏色可以安排；若2和3顏色相同，有兩種安排方法，4有兩種安排，5有一種安排，此時(shí)共有；若2和3顏色不同，則2有兩種，3有一種.當(dāng)5和2相同時(shí)，4有兩種；當(dāng)5和2不同，則4有一種，此時(shí)共有，綜上可知，共有種染色方法.故答案為：.例18．某城市在中心廣場建造一個(gè)花圃，花圃分為6個(gè)部分.現(xiàn)要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，則不同的栽種方法有______種.（用數(shù)字作答）【解析】由題意，6個(gè)部分.栽種4種不同顏色的花，必有2組顏色相同的花，若2、5同色，則3、6同色或4、6同色，所以共有種栽種方法；若2、4同色，則3、6同色，所以共有種栽種方法；若3、5同色，則2、4同色或4、6同色，所以共有種栽種方法；所以共有種栽種方法.故答案為：120例19．給圖中A，B，C，D，E，F(xiàn)六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，每個(gè)區(qū)域只染一種顏色，且相鄰的區(qū)域不同色.若有4種顏色可供選擇，則共有___種不同的染色方案.【解析】解：要完成給圖中、、、、、六個(gè)區(qū)域進(jìn)行染色，染色方法可分兩類，第一類是僅用三種顏色染色，即同色，同色，同色，則從四種顏色中取三種顏色有種取法，三種顏色染三個(gè)區(qū)域有種染法，共種染法；第二類是用四種顏色染色，即，，中有一組不同色，則有3種方案不同色或不同色或不同色），先從四種顏色中取兩種染同色區(qū)有種染法，剩余兩種染在不同色區(qū)有2種染法，共有種染法．由分類加法原理得總的染色種數(shù)為種．故答案為：96．20．如圖，用4種不同的顏色對(duì)圖中5個(gè)區(qū)域涂色（4種顏色全部使用），要求每個(gè)區(qū)域涂一種顏色，相鄰的區(qū)域不能涂相同的顏色，則不同的涂色方法有種.（用數(shù)字作答）例21．給如圖染色，滿足條件每個(gè)小方格染一種顏色，有公共邊的小方格顏色不能相同，則用4種顏色染色的方案有__種，用5種顏色染色的方案共有__種.【解析】（1）根據(jù)題意，若用4種顏色染色時(shí)，先對(duì)、區(qū)域染色有種，再對(duì)染色：①當(dāng)同時(shí)，有種；②當(dāng)同時(shí)，有種；③當(dāng)不同、時(shí)，有種；綜合①②③共有種；（2）根據(jù)題意，若用5種顏色染色時(shí)，先對(duì)、區(qū)域染色有種