新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題07函數(shù)的零點問題專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題07函數(shù)的零點問題一、題型選講題型一、運用函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點個數(shù)可將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程，進而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題，并作出函數(shù)圖像。作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點來進行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且在區(qū)間[2，4)上則函數(shù)的零點的個數(shù)為例2、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－1，,x＜1，,\f(lnx,x2)，,x≥1，)))則函數(shù)y＝|f(x)|－eq\f(1,8)的零點個數(shù)為________．例3、【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】函數(shù)在的零點個數(shù)為________．題型二、函數(shù)零點問題中參數(shù)的范圍已知函數(shù)零點的個數(shù)，確定參數(shù)的取值范圍，常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決，解法2就是此法．它的本質(zhì)就是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個靜函數(shù)與一個動函數(shù)的圖像的交點問題來加以處理，這樣就可以通過這種動靜結(jié)合來方便地研究問題．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．例4、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知若函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．例5、（2020·全國高三專題練習(xí)（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．例6、【2020年高考天津】已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是A． B．C． D．例7、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0例8、（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有9個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．例9、（2020屆浙江省杭州市第二中學(xué)高三3月月考）已知函數(shù)，若函數(shù)在上只有兩個零點，則實數(shù)的值不可能為A． B．C． D．二、達標訓(xùn)練1、（2019·山東師范大學(xué)附中高三月考）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．2、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）3、（2020屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開學(xué)）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則（）A． B． C． D．4、（2020屆山東實驗中學(xué)高三上期中）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個零點，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．5、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是________．6、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個零點，則λ的取值范圍是___________．7、【2020屆江蘇省南通市如皋市高三下學(xué)期二模】已知函數(shù)，若存在實數(shù)，使得函數(shù)有6個零點，則實數(shù)的取值范圍為__________.專題07函數(shù)的零點問題一、題型選講題型一、運用函數(shù)圖像判斷函數(shù)零點個數(shù)可將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化成方程，進而通過構(gòu)造函數(shù)將方程轉(zhuǎn)化為兩個圖像交點問題，并作出函數(shù)圖像。作圖與根分布綜合的題目，其中作圖是通過分析函數(shù)的單調(diào)性和關(guān)鍵點來進行作圖，在作圖的過程中還要注意漸近線的細節(jié)，從而保證圖像的準確。例1、(2019蘇州三市、蘇北四市二調(diào)）定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x＋4)＝f(x)，且在區(qū)間[2，4)上則函數(shù)的零點的個數(shù)為【答案】：5【解析】：因為f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期為4的奇函數(shù)，先畫出函數(shù)f(x)在區(qū)間[2，4)上的圖像，根據(jù)奇函數(shù)和周期為4，可以畫出f(x)在R上的圖像，由y＝f(x)－log5|x|＝0，得f(x)＝log5|x|，分別畫出y＝f(x)和y＝log5|x|的圖像，如下圖，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到兩個圖像有5個交點，所以零點的個數(shù)為5.eq\a\vs4\al(解后反思)本題考查了函數(shù)的零點問題，以及函數(shù)的奇偶性和周期性，考查了轉(zhuǎn)化與化歸、數(shù)形結(jié)合的思想，函數(shù)的零數(shù)問題，常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖像的交點個數(shù)來處理，其中能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出函數(shù)的圖像并能靈活地運用圖像，找到臨界點是解題的關(guān)鍵也是難點．例2、(2017蘇錫常鎮(zhèn)調(diào)研）若函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2x)－1，,x＜1，,\f(lnx,x2)，,x≥1，)))則函數(shù)y＝|f(x)|－eq\f(1,8)的零點個數(shù)為________．【答案】：.4【解析】設(shè)g(x)＝eq\f(lnx,x2)，則由g′(x)＝eq\f(x－lnx·2x,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3)＝0，可得x＝eq\r(e)，所以g(x)在(1，eq\r(e))上單調(diào)遞增，在(eq\r(e)，＋∞)上單調(diào)遞減，當x→＋∞時，g(x)→0，故g(x)在(1，＋∞)上的最大值為g(eq\r(e))＝eq\f(1,2e)＞eq\f(1,8).在同一平面直角坐標系中畫出y＝|f(x)|與y＝eq\f(1,8)的圖像可得，交點有4個，即原函數(shù)零點有4個．例3、【2018年高考全國Ⅲ卷理數(shù)】函數(shù)在的零點個數(shù)為________．【答案】【解析】，，由題可知或，解得或，故有3個零點.本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)的零點，屬于基礎(chǔ)題.解題時，首先求出的范圍，再由函數(shù)值為零，得到的取值可得零點個數(shù).題型二、函數(shù)零點問題中參數(shù)的范圍已知函數(shù)零點的個數(shù)，確定參數(shù)的取值范圍，常用的方法和思路：(1)直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍．(2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決，解法2就是此法．它的本質(zhì)就是將函數(shù)轉(zhuǎn)化為一個靜函數(shù)與一個動函數(shù)的圖像的交點問題來加以處理，這樣就可以通過這種動靜結(jié)合來方便地研究問題．(3)數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖像，然后數(shù)形結(jié)合求解．例4、（2020屆山東省棗莊、滕州市高三上期末）已知若函數(shù)恰有一個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】時，，，所以函數(shù)在時有一個零點，從而在時無零點，即無解．而當時，，，它是減函數(shù)，值域為，要使無解．則．故選：B.例5、（2020·全國高三專題練習(xí)（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,畫出與的圖象,平移直線,當直線經(jīng)過時只有一個交點,此時,向右平移,不再符合條件,故故選：A例6、【2020年高考天津】已知函數(shù)若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是A． B．C． D．【答案】D【解析】注意到，所以要使恰有4個零點，只需方程恰有3個實根即可，令，即與的圖象有個不同交點.因為，當時，此時，如圖1，與有個不同交點，不滿足題意；當時，如圖2，此時與恒有個不同交點，滿足題意；當時，如圖3，當與相切時，聯(lián)立方程得，令得，解得（負值舍去），所以.綜上，的取值范圍為.故選：D．例7、【2019年高考浙江】已知，函數(shù)．若函數(shù)恰有3個零點，則A．a(chǎn)<–1，b<0 B．a(chǎn)<–1，b>0 C．a(chǎn)>–1，b<0 D．a(chǎn)>–1，b>0【答案】C【解析】當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b＝0，得x=b則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點；當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3?12（a+1）x2+ax﹣ax﹣b=13x3?12，當a+1≤0，即a≤﹣1時，y′≥0，y＝f（x）﹣ax﹣b在[0，+∞）上單調(diào)遞增，則y＝f（x）﹣ax﹣b最多有一個零點，不合題意；當a+1＞0，即a>﹣1時，令y′＞0得x∈(a+1，+∞），此時函數(shù)單調(diào)遞增，令y′＜0得x∈[0，a+1），此時函數(shù)單調(diào)遞減，則函數(shù)最多有2個零點.根據(jù)題意，函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b恰有3個零點?函數(shù)y＝f（x）﹣ax﹣b在（﹣∞，0）上有一個零點，在[0，+∞）上有2個零點，如圖：∴b1?a＜0且解得b＜0，1﹣a＞0，b＞?16（a則a>–1，b<0.故選C．本題考查函數(shù)與方程，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.當x＜0時，y＝f（x）﹣ax﹣b＝x﹣ax﹣b＝（1﹣a）x﹣b最多有一個零點；當x≥0時，y＝f（x）﹣ax﹣b=13x3?12（a+1）x例8、（2020·浙江學(xué)軍中學(xué)高三3月月考）已知函數(shù)，若函數(shù)有9個零點，則實數(shù)k的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意，函數(shù)有9個零點，可轉(zhuǎn)化為與有9個不同交點.因當有，所以在上是周期函數(shù)，又當時，有，，所以在上的圖象如圖所示要使與有9個不同交點，則只需夾在與之間即可，所以，解得或.故選：A.例9、（2020屆浙江省杭州市第二中學(xué)高三3月月考）已知函數(shù)，若函數(shù)在上只有兩個零點，則實數(shù)的值不可能為A． B．C． D．【答案】A【解析】函數(shù)的零點為函數(shù)與圖象的交點，在同一直角坐標下作出函數(shù)與的圖象，如圖所示，當函數(shù)的圖象經(jīng)過點（2，0）時滿足條件，此時，當函數(shù)的圖象經(jīng)過點（4，0）時滿足條件，此時，當函數(shù)的圖象與相切時也滿足題意，此時，解得，綜上所述，或或．二、達標訓(xùn)練1、（2019·山東師范大學(xué)附中高三月考）函數(shù)的零點所在區(qū)間為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，，，，由.故選：C2、【2018年高考全國Ⅰ卷理數(shù)】已知函數(shù)．若g（x）存在2個零點，則a的取值范圍是A．[–1，0） B．[0，+∞）C．[–1，+∞） D．[1，+∞）【答案】C【解析】畫出函數(shù)的圖象，在y軸右側(cè)的圖象去掉，再畫出直線，之后上下移動，可以發(fā)現(xiàn)當直線過點（0,1）時，直線與函數(shù)圖象有兩個交點，并且向下可以無限移動，都可以保證直線與函數(shù)的圖象有兩個交點，即方程有兩個解，也就是函數(shù)有兩個零點，此時滿足，即.故選C．3、（2020屆浙江省“山水聯(lián)盟”高三下學(xué)期開學(xué)）已知，函數(shù)，若函數(shù)恰有3個零點，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則條件等價為方程有3個實數(shù)根．當時，．對A選項分析：當，時，在，，，圖象如圖所示：此時方程最多只有1個實數(shù)根，所以A選項錯誤．對B選項分析：當，時，在，，，圖象如圖所示：故方程可能會出現(xiàn)3個實數(shù)根，所以B選項正確．對C選項分析：當，時，在，圖象如圖所示：此時方程最多只有2個實數(shù)根，所以C選項錯誤．對D選項分析：當，時，在，圖象如圖所示：此時方程最多只有2個實數(shù)根，所以D選項錯誤．故選：.4、（2020屆山東實驗中學(xué)高三上期中）設(shè)定義在上的函數(shù)滿足，且當時，.己知存在，且為函數(shù)(為自然對數(shù)的底數(shù))的一個零點，則實數(shù)的取值可能是（）A． B． C． D．【答案】BCD【解析】令函數(shù)，因為，，為奇函數(shù)，當時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減．存在，得，，即，；，為函數(shù)的一個零點；當時，，函數(shù)在時單調(diào)遞減，由選項知，取，又，要使在時有一個零點，只需使，解得，的取值范圍為，故選：．5、（2020屆山東師范大學(xué)附中高三月考）已知函數(shù)，若方程有三個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是________．【答案】【解析】函數(shù)的圖象如下圖所示，作出直線l：，平移直線l至與之間時，方程有三個不同的實根，而由得，當時，即（舍去）時，得直線，當直線l：，過點時，得直線，此時，所以要使方程有三個不同的實根，則實數(shù)a的取值范圍是：，故答案為：.6、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當λ=2時，不等式f(x)<0的解集是______