2025版高中數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練四十四直線平面平行的判定及其性質(zhì)課時(shí)作業(yè)理含解析新人教A版

PAGE課時(shí)作業(yè)梯級(jí)練四十四直線、平面平行的判定及其性質(zhì)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.(2024·全國(guó)Ⅱ卷)設(shè)α,β為兩個(gè)平面,則α∥β的充要條件是 ()A.α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行B.α內(nèi)有兩條相交直線與β平行C.α,β平行于同一條直線D.α,β垂直于同一平面【解析】選B.當(dāng)α內(nèi)有多數(shù)條直線與β平行,也可能兩平面相交,故A錯(cuò).同樣當(dāng)α,β平行于同一條直線或α,β垂直于同一平面時(shí),兩平面也可能相交,故C,D錯(cuò).由面面平行的判定定理可得B正確.2．若平面α∥平面β，直線a∥平面α，點(diǎn)B∈β，則在平面β內(nèi)且過Β點(diǎn)的全部直線中()A．不肯定存在與a平行的直線B．只有兩條與a平行的直線C．存在多數(shù)條與a平行的直線D．存在唯一與a平行的直線【解析】選A.當(dāng)直線a在平面β內(nèi)且過B點(diǎn)時(shí)，不存在與a平行的直線．3．若平面α截三棱錐所得截面為平行四邊形，則該三棱錐中與平面α平行的棱有()A．0條 B．1條C．2條 D．1條或2條【解析】選C.如圖所示，四邊形EFGH為平行四邊形，則EF∥GH.因?yàn)镋F?平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD.因?yàn)镋F?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD，所以CD∥平面EFGH.同理AB∥平面EFGH.4．如圖所示，在空間四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，AD上的點(diǎn)，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，則()A．BD∥平面EFGH，且四邊形EFGH是矩形B．EF∥平面BCD，且四邊形EFGH是梯形C．HG∥平面ABD，且四邊形EFGH是菱形D.EH∥平面ADC，且四邊形EFGH是平行四邊形【解析】選B.由AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4知EF∥BD，且EF＝eq\f(1,5)BD，又EF?平面BDC，所以EF∥平面BCD.又H，G分別為BC，CD的中點(diǎn)，所以HG∥BD，且HG＝eq\f(1,2)BD，所以EF∥HG且EF≠HG.所以四邊形EFGH是梯形．5．在正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長(zhǎng)為a，M，N分別為A1B和AC上的點(diǎn)，若A1M＝AN＝eq\f(2a,3)，則MN與平面BB1C1A．相交 B．平行C．垂直 D．不能確定【解析】選B.如圖，連接CD1，在CD1上取點(diǎn)P，使D1P＝eq\f(2a,3)，連接MP，NP，BC1，AD1，所以MP∥BC，PN∥AD1.因?yàn)锳D1∥BC1，所以PN∥BC1.所以MP∥平面BB1C1C，PN∥平面因?yàn)镸P∩PN＝P，所以平面MNP∥平面BB1C又因?yàn)镸N?平面MNP，所以MN∥平面BB1C二、填空題(每小題5分，共10分)6．在四面體A-BCD中，M，N分別是△ACD，△BCD的重心，則四面體的四個(gè)面中與MN平行的是________．【解析】如圖，取CD的中點(diǎn)E，連接AE，BE，則EM∶MA＝1∶2，EN∶BN＝1∶2，所以MN∥AB，所以MN∥平面ABD，MN∥平面ABC.答案：平面ABD與平面ABC7．已知平面α∥β，P?α且P?β，過點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于點(diǎn)A，C，過點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于點(diǎn)B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD的長(zhǎng)為________．【解析】如圖1，因?yàn)锳C∩BD＝P，所以經(jīng)過直線AC與BD可確定平面PCD.因?yàn)棣痢桅?，α∩平面PCD＝AB，β∩平面PCD＝CD，所以AB∥CD.所以eq\f(PA,AC)＝eq\f(PB,BD)，即eq\f(6,9)＝eq\f(8－BD,BD)，所以BD＝eq\f(24,5).如圖2，同理可證AB∥CD.所以eq\f(PA,PC)＝eq\f(PB,PD)，即eq\f(6,3)＝eq\f(BD－8,8)，所以BD＝24.綜上所述，BD＝eq\f(24,5)或24.答案：eq\f(24,5)或24三、解答題(每小題10分，共20分)8．(一題多解)如圖，在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，底面ABCD為梯形，AB∥CD，AB＝2DC＝2eq\r(3)，且△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，G為△PAD的重心，F(xiàn)為AC與BD的交點(diǎn)．(1)求證：GF∥平面PDC；(2)求三棱錐G-PCD的體積．【解析】(1)方法一：連接AG并延長(zhǎng)交PD于點(diǎn)H，連接CH.由梯形ABCD中AB∥CD且AB＝2DC知，eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1).又G為△PAD的重心，所以eq\f(AG,GH)＝eq\f(2,1).在△AHC中，eq\f(AG,GH)＝eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1)，故GF∥HC.又HC?平面PDC，GF?平面PDC，所以GF∥平面PDC.方法二：過G作GN∥AD交PD于N，過F作FM∥AD交CD于M，連接MN，因?yàn)镚為△PAD的重心，GN∥AD，所以eq\f(GN,ED)＝eq\f(PG,PE)＝eq\f(2,3)，所以GN＝eq\f(2,3)ED＝eq\f(2\r(3),3).又ABCD為梯形，AB∥CD，eq\f(CD,AB)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(CF,AF)＝eq\f(1,2)，所以eq\f(MF,AD)＝eq\f(1,3)，所以MF＝eq\f(2\r(3),3)，所以GN＝FM.又由所作GN∥AD，F(xiàn)M∥AD，得GN∥FM，所以四邊形GNMF為平行四邊形．所以GF∥MN，又因?yàn)镚F?平面PDC，MN?平面PDC，所以GF∥平面PDC.方法三：過G作GK∥PD交AD于K，連接KF，由△PAD為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，G為△PAD的重心，得DK＝eq\f(2,3)DE，所以DK＝eq\f(1,3)AD，又由梯形ABCD中AB∥CD，且AB＝2DC，知eq\f(AF,FC)＝eq\f(2,1)，即FC＝eq\f(1,3)AC，所以在△ADC中，KF∥CD，又因?yàn)镚K∩KF＝K，PD∩CD＝D，所以平面GKF∥平面PDC，又GF?平面GKF，所以GF∥平面PDC.(2)方法一：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，知PE⊥AD，BE⊥AD，又因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，且PE＝3，由(1)知GF∥平面PDC，所以V三棱錐G-PCD＝V三棱錐F-PCD＝V三棱錐P-CDF＝eq\f(1,3)×PE×S△CDF.又由梯形ABCD中AB∥CD，且AB＝2DC＝2eq\r(3)，知DF＝eq\f(1,3)BD＝eq\f(2\r(3),3)，又由△ABD為正三角形，得∠CDF＝∠ABD＝60°，所以S△CDF＝eq\f(1,2)×CD×DF×sin∠BDC＝eq\f(\r(3),2)，得V三棱錐P-CDF＝eq\f(1,3)×PE×S△CDF＝eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐G-PCD的體積為eq\f(\r(3),2).方法二：由平面PAD⊥平面ABCD，△PAD與△ABD均為正三角形，E為AD的中點(diǎn)，知PE⊥AD，BE⊥AD，又因?yàn)槠矫鍼AD∩平面ABCD＝AD，PE?平面PAD，所以PE⊥平面ABCD，且PE＝3，連接CE，因?yàn)镻G＝eq\f(2,3)PE，所以V三棱錐G-PCD＝eq\f(2,3)V三棱錐E-PCD＝eq\f(2,3)V三棱錐P-CDE＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×PE×S△CDE，又由△ABD為正三角形，得∠EDC＝120°，故S△CDE＝eq\f(1,2)×CD×DE×sin∠EDC＝eq\f(3\r(3),4).所以V三棱錐G-PCD＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×PE×S△CDE＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)×3×eq\f(3\r(3),4)＝eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐G-PCD的體積為eq\f(\r(3),2).9．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，BC∥AD，AB⊥AD，AB＝BC＝eq\f(1,2)AD，PA⊥底面ABCD，過BC的平面交PD于M，交PA于N(M與D不重合).(1)求證：MN∥BC；(2)若BM⊥AC，求eq\f(VP-BCMN,VP-ABCD)的值．【解析】(1)在梯形ABCD中，BC∥AD，BC?平面PAD，AD?平面PAD，所以BC∥平面PAD.又BC?平面BCMN，平面BCMN∩平面PAD＝MN，所以MN∥BC.(2)過M作MK∥PA交AD于K，連接BK.因?yàn)镻A⊥底面ABCD，所以MK⊥底面ABCD.所以MK⊥AC.又因?yàn)锽M⊥AC，BM∩MK＝M，所以AC⊥平面BMK，所以AC⊥BK.所以在平面ABCD中可得四邊形BCDK是平行四邊形．所以BC＝AB＝DK＝AK，所以K是AD中點(diǎn)，所以M為PD中點(diǎn)，設(shè)AB＝BC＝eq\f(1,2)AD＝x，則eq\f(VP-BCMN,VP-ABCD)＝eq\f(2VP-BCN,VP-ABCD)＝eq\f(2VC-BPN,VP-ABCD)＝eq\f(VC-ABP,VP-ABCD)＝eq\f(VP-ABC,VP-ABCD)＝eq\f(S△ABC,S梯形ABCD)＝eq\f(x2,3x2)＝eq\f(1,3).1．如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G為MC的中點(diǎn)．則下列結(jié)論中不正確的是()A．MC⊥ANB．GB∥平面AMNC．平面CMN⊥平面AMND．平面DCM∥平面ABN【解析】選C.明顯該幾何圖形為正方體截去兩個(gè)三棱錐所剩的幾何體，把該幾何體放置到正方體中(如圖)，取AN的中點(diǎn)H，連接HB，MH，則MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正確；由題意易得GB∥MH，又GB?平面AMN，MH?平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正確；取MN的中點(diǎn)P，連接AP，CP，AC，由題意知∠APC≠90°，所以平面CMN與平面AMN不垂直，所以C錯(cuò)誤；因?yàn)锳B∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正確．2．(2024·開封模擬)在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱C1D1，B1C1的中點(diǎn)，P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，若AP∥平面BDEF，A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(5),2)，\r(2)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),8)，\f(\r(6),2)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(\r(6),2)，\r(2)))【解析】選B.如圖所示，分別取棱A1B1，A1D1的中點(diǎn)M，N，連接MN，連接B1D1.因?yàn)镸，N，E，F(xiàn)為所在棱的中點(diǎn)，所以MN∥B1D1，EF∥B1D1，所以MN∥EF，又MN?平面BDEF，EF?平面BDEF，所以MN∥平面BDEF.連接NF，由NF∥A1B1，NF＝A1B1，A1B1∥AB，A1B1＝AB，可得NF∥AB，NF＝AB，則四邊形ANFB為平行四邊形，所以AN∥FB，而AN?平面BDEF，F(xiàn)B?平面BDEF，所以AN∥平面BDEF.又AN∩NM＝N，所以平面AMN∥平面BDEF.又P是上底面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，且AP∥平面BDEF，所以P點(diǎn)在線段MN在Rt△AA1M中AM＝eq\r(AAeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1))＋A1M2)＝eq\r(1＋\f(1,4))＝eq\f(\r(5),2)，同理在Rt△AA1N中求得AN＝eq\f(\r(5),2)，則△AMN為等腰三角形．當(dāng)P在MN的中點(diǎn)時(shí)，AP最小為eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)))\s\up12(2))＝eq\f(3\r(2),4)，當(dāng)P與M或N重合時(shí)，AP最大為eq\r(12＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))\s\up12(2))＝eq\f(\r(5),2).所以線段AP長(zhǎng)度的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3\r(2),4)，\f(\r(5),2))).3．設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β，γ是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題：①若m?α，n∥α，則m∥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，則m⊥γ；③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，則m∥β；④若m∥α，n∥β，m∥n，則α∥β.其中是真命題的是________(填上正確命題的序號(hào)).【解析】①m∥n或m，n異面，故①錯(cuò)誤；易知②正確；③m∥β或m?β，故③錯(cuò)誤；④α∥β或α與β相交，故④錯(cuò)誤．答案：②4．已知四棱錐P-ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側(cè)面PAB⊥平面ABCD，E是棱PA的中點(diǎn)．(1)求證：PC∥平面BDE；(2)平面BDE分此棱錐為兩部分，求這兩部分的體積比．【解析】(1)在平行四邊形ABCD中，連接AC，設(shè)AC，BD的交點(diǎn)為O，則O是AC的中點(diǎn)．又E是PA的中點(diǎn)，連接EO，則EO是△PAC的中位線，所以PC∥EO，又EO?平面EBD，PC?平面EBD，所以PC∥平面EBD.(2)設(shè)三棱錐E-ABD的體積為V1，高為h，四棱錐P-ABCD的體積為V，則三棱錐E-ABD的體積V1＝eq\f(1,3)×S△ABD×h，因?yàn)镋是PA的中點(diǎn)，所以四棱錐P-ABCD的高為2h，所以四棱錐P-ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×S四邊形ABCD×2h＝4×eq\f(1,3)×S△ABD×h＝4V1，所以(V－V1)∶V1＝3∶1，所以平面BDE分此棱錐得到的兩部分的體積比為3∶1或1∶3.5．如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E為PB的中點(diǎn)．(1)求證：CE∥平面PAD；(2)在線段AB上是否存在一點(diǎn)F，使得平面PAD∥平面CEF？若存在，證明你的結(jié)論；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)取PA的中點(diǎn)H，連接EH，DH，如圖所示，因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，所以EH∥AB，EH＝eq\f(1,2)AB，又AB∥CD，CD＝eq\f(1,2)AB，所以EH∥CD，EH＝CD，因此四邊形DCEH是平行四邊形，所以CE∥DH，又DH?平面PAD，CE?平面PAD，因此CE∥平面PAD.(2)存在點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)，使平面PAD∥平面CEF，證明如下：取AB的中點(diǎn)F，連接CF，EF，所以AF＝eq\f(1,2)AB，又CD＝eq\f(1,2)AB，所以AF＝CD，又AF∥CD，所以四邊形AFCD為平行四邊形，因此CF∥AD，又AD?平面PAD，CF?平面PAD，所以CF∥平面PAD，由(1)可知CE∥平面PAD，又CE∩CF＝C，故平面CEF∥平面PAD，故存在AB的中點(diǎn)F滿意要求．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，AE＝AF＝4，現(xiàn)將△AEF沿線段EF折起到△A′EF位置，使得A′C＝2eq\r(6).(1)求五棱錐A′-BCDFE的體積；(2)在線段A′C上是否存在一點(diǎn)M，使得BM∥平面A′EF？若存在，求出A′M的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說明理由．【解析】(1)連接AC，設(shè)AC∩EF＝H，連接A′H.因?yàn)樗倪呅?/p>