2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理教師用書(shū)教案新人教A版選擇性必修第三冊(cè)

PAGE第六章計(jì)數(shù)原理6.1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理新版課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)業(yè)水平要求通過(guò)實(shí)例,了解分類加法計(jì)數(shù)原理、分步乘法計(jì)數(shù)原理及其意義.1.了解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的特征.(數(shù)學(xué)抽象)2.理解兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的概念和區(qū)分.(邏輯推理)3.駕馭兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)4.會(huì)依據(jù)實(shí)際問(wèn)題的特征,合理地分類或分步.(邏輯推理,數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備學(xué)問(wèn)·素養(yǎng)奠基1.分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案,在第1類方案中有m種不同的方法,在第2類方案中有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m+n種不同方法.(1)定義中每一類中的每一種方法能否獨(dú)立完成這件事?提示:能,每一類中的每一種方法都能獨(dú)立完成這件事.(2)各種方案之間有何關(guān)系?每一類方案中各種方法之間有何關(guān)系?提示:各種方案之間相互獨(dú)立,并且任何一類方案中任何一種方法也相互獨(dú)立.2.分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事須要兩個(gè)步驟,做第1步有m種不同的方法,做第2步有n種不同的方法,那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法.(1)定義中每一步中的每一種方法能否獨(dú)立完成這件事?提示:不能,每一步中的每一種方法不能獨(dú)立完成這件事.(2)定義中的“完成一件事”指的是什么?提示:完成一件事指的是將完成這件事劃分成幾個(gè)步驟,各步驟之間有肯定的連續(xù)性,只有當(dāng)全部步驟都完成了,整個(gè)事務(wù)才算完成.(3)依據(jù)定義完成一件事的方法數(shù)怎樣計(jì)算?提示:從計(jì)數(shù)上看,各步的方法數(shù)的積就是完成這一件事的方法總數(shù).3.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)分與聯(lián)系分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理關(guān)鍵詞分類分步本質(zhì)每類方案都能獨(dú)立完成這件事,它是獨(dú)立的、一次性的且每次得到的是最終結(jié)果,只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果,任何一步都不能獨(dú)立完成這件事,缺少任何一步也不能完成這件事,只有各個(gè)步驟都完成了,才能完成這件事各類(步)的關(guān)系各類方案之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的,即“分類互斥”各步之間是關(guān)聯(lián)的、獨(dú)立的,“關(guān)聯(lián)”確保連續(xù)性,“獨(dú)立”確保不重復(fù),即“分步互依”分類加法計(jì)數(shù)原理每一類中的方法和分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法有何區(qū)分?提示:分類加法計(jì)數(shù)原理每一類中的方案可以完成一件事情,而分步乘法計(jì)數(shù)原理每一步中的方法不能獨(dú)立完成一件事情.1.思維辨析(對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“×”)(1)在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法可以相同.()(2)用一個(gè)大寫的英文字母或一個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字給教室里的座位編號(hào),總共能編出26+10=36種不同的號(hào)碼.()(3)在分類加法計(jì)數(shù)原理中的每一種方法都可以完成這件事.()提示:(1)×.在分類加法計(jì)數(shù)原理中,兩類不同方案中的方法是不同的,若相同它只能在同一類方案中且只能算是一種方法.(2)√.因?yàn)橛⑽淖帜腹灿?6個(gè),阿拉伯?dāng)?shù)字0～9共有10個(gè),所以總共可以編出26+10=36(種)不同的號(hào)碼.(3)√.在分類加法計(jì)數(shù)原理中的每一種方法都是獨(dú)立的,可單獨(dú)完成這件事.2.某校高三有三個(gè)班,分別有學(xué)生50人、50人、52人.從中選一人擔(dān)當(dāng)學(xué)生會(huì)主席,共有________種不同選法.()

A.100B.102C.152D.50【解析】選C.這名學(xué)生會(huì)主席可能是一班學(xué)生,可能是二班學(xué)生,也可能是三班學(xué)生.依分類加法計(jì)數(shù)原理,共有50+50+52=152種不同選法.3.現(xiàn)有4件不同款式的上衣和3件不同顏色的長(zhǎng)褲,假如一件上衣和一條長(zhǎng)褲配成一套,則不同的搭配法種數(shù)為()A.7 B.12 C.64 D.81【解析】選B.完成一種搭配有兩個(gè)步驟,第一步,選上衣有4種不同的選法;其次步,選長(zhǎng)褲有3種不同的選法.所以依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理共有4×3=12種不同的搭配法.4.用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫出________個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù).

【解析】用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫出1個(gè)一位偶數(shù),2;用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫出2個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的兩位偶數(shù),12,32;用1,2,3這三個(gè)數(shù)字能寫出2個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位偶數(shù),132,312.所以用1,2,3這三個(gè)數(shù)字共能寫出5個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的偶數(shù).答案:5關(guān)鍵實(shí)力·素養(yǎng)形成類型一分類加法計(jì)數(shù)原理【典例】1.某老師有相同的語(yǔ)文參考書(shū)3本,相同的數(shù)學(xué)參考書(shū)4本,從中取出4本贈(zèng)送給4位學(xué)生,每位學(xué)生1本,則不同的贈(zèng)送方法共有()A.20種 B.15種 C.10種 D.4種2.把10個(gè)蘋果分成三堆,要求每堆至少1個(gè),至多5個(gè),則不同的分法共有()A.4種 B.5種 C.6種 D.7種3.為調(diào)查今年的北京霧霾治理狀況,現(xiàn)從高二(1)班的男生38人和女生18人中選取1名學(xué)生做代表,參與學(xué)校組織的調(diào)查團(tuán),則選取代表的方法有________種.

【思維·引】1.先將問(wèn)題分成四種狀況,然后求出每種狀況下的安排方法數(shù),再依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理計(jì)算.2.利用分類:三堆中“最多”的一堆為5個(gè),其他兩堆總和為5,三堆中“最多”的一堆為4個(gè),其他兩堆總和為6,…,列出分組方法即可.3.先分清完成這件事可以有哪些方法,是分步還是分類.【解析】1.選B.若4本中有3本語(yǔ)文參考書(shū)和1本數(shù)學(xué)參考書(shū),則有4種方法,若4本中有1本語(yǔ)文參考書(shū)和3本數(shù)學(xué)參考書(shū),則有4種方法,若4本中有2本語(yǔ)文參考書(shū)和2本數(shù)學(xué)參考書(shū),則有6種方法,若4本都是數(shù)學(xué)參考書(shū),則有一種方法,所以不同的贈(zèng)送方法共有4+4+6+1=15(種).2.選A.分類:三堆中“最多”的一堆為5個(gè),其他兩堆總和為5,每堆至少1個(gè),只有2種分法.即1個(gè)和4個(gè),2個(gè)和3個(gè).三堆中“最多”的一堆為4個(gè),其他兩堆總和為6,每堆至少1個(gè),只有2種分法.即2個(gè)和4個(gè),3個(gè)和3個(gè).三堆中“最多”的一堆為3個(gè),那是不行能的.所以不同的分法共有2+2=4.3.完成這件事須要分兩類完成:第一類:選1名男生,有38種選法;其次類:選1名女生,有18種選法,依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有N=38+18=56(種)不同的選法.答案:56【內(nèi)化·悟】用分類加法計(jì)數(shù)原理解決實(shí)際問(wèn)題時(shí),分類標(biāo)準(zhǔn)是否唯一?提示:分類標(biāo)準(zhǔn)并不唯一,但應(yīng)先確定一個(gè)適合的分類標(biāo)準(zhǔn),然后在這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)下進(jìn)行分類.【類題·通】分類加法計(jì)數(shù)原理解題的一般思路【習(xí)練·破】1.有3個(gè)袋子,分別裝有不同編號(hào)的紅色小球6個(gè)、白色小球5個(gè)、黃色小球4個(gè).若從3個(gè)袋子中任取1個(gè)小球,則有________種不同的取法.

【解析】有3類不同方法:第1類,從第1個(gè)袋子中任取1個(gè)紅色小球,有6種不同的取法;第2類,從第2個(gè)袋子中任取1個(gè)白色小球,有5種不同的取法;第3類,從第3個(gè)袋子中任取1個(gè)黃色小球,有4種不同的取法.其中,從這3個(gè)袋子的隨意1個(gè)袋子中取1個(gè)小球都能獨(dú)立地完成“任取1個(gè)小球”這件事,依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的取法共有6+5+4=15(種).答案:152.由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位偶數(shù)?【解析】由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字可組成的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位偶數(shù)分以下四類:(1)個(gè)位數(shù)字是2的有1個(gè):12;(2)個(gè)位數(shù)字是4的有3個(gè):14,24,34;(3)個(gè)位數(shù)字是6的有5個(gè):16,26,36,46,56;(4)個(gè)位數(shù)字是8的有7個(gè):18,28,38,48,58,68,78.所以由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這十個(gè)數(shù)字可組成的個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位偶數(shù)共有1+3+5+7=16個(gè).【加練·固】滿意a,b∈{-1,0,1,2},且關(guān)于x的方程ax2+2x+b=0有實(shí)數(shù)解的有序數(shù)對(duì)(a,b)的個(gè)數(shù)為()A.14 B.13 C.12 D.10【解析】選B.①當(dāng)a=0時(shí),2x+b=0總有實(shí)數(shù)根,所以(a,b)的取值有4個(gè).②當(dāng)a≠0時(shí),需Δ=4-4ab≥0,所以ab≤1.a=-1時(shí),b的取值有4個(gè),a=1時(shí),b的取值有3個(gè),a=2時(shí),b的取值有2個(gè).所以(a,b)的取法有9個(gè).綜合①②知,(a,b)的取法有4+9=13個(gè).類型二分步乘法計(jì)數(shù)原理【典例】1.現(xiàn)有6名同學(xué)去聽(tīng)同時(shí)進(jìn)行的5個(gè)課外學(xué)問(wèn)講座,每名同學(xué)可自由選擇其中的一個(gè)講座,不同選法的種數(shù)是()A.56 B.652.回文數(shù)是指從左到右讀與從右到左讀都一樣的正整數(shù).如22,121,3443,94249等.明顯2位回文數(shù)有9個(gè):11,22,33,…,99;3位回文數(shù)有90個(gè)101,111,121,…,191,202,…,999.則5位回文數(shù)有________個(gè).

3.一種號(hào)碼鎖有4個(gè)撥號(hào)盤,每個(gè)撥號(hào)盤上有從0到9共十個(gè)數(shù)字,這4個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼?(各位上的數(shù)字允許重復(fù))【思維·引】1.因各講座同時(shí)進(jìn)行,故每名同學(xué)有5種選擇方法,由分步乘法計(jì)數(shù)原理可得不同的選法種數(shù).2.左邊第一個(gè)數(shù)字有9種選法,左邊其次個(gè)數(shù)字有10種選法,左邊第三個(gè)數(shù)字有10種選法,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可得結(jié)果.3.要確定四位數(shù)的號(hào)碼,先確定第一位數(shù),再依次確定其次、三、四位數(shù)的號(hào)碼,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理即可求解.【解析】1.選A.第一名同學(xué)有5種選擇方法,其次名也有5種選擇方法,…,依次,第六名同學(xué)有5種選擇方法,綜上,6名同學(xué)共有56種不同的選法.2.第一步,選左邊第一個(gè)數(shù)字和右邊第一個(gè)數(shù)字相同,有9種選法;其次步,選左邊其次個(gè)數(shù)字和右邊其次個(gè)數(shù)字相同,有10種選法;第三步,選左邊第三個(gè)數(shù)字就是右邊第三個(gè)數(shù)字,有10種選法,故5位回文數(shù)有9×10×10=900.答案:9003.按從左到右的依次撥號(hào)可以分四步完成:第一步,有10種撥號(hào)方式,所以m1=10;其次步,有10種撥號(hào)方式,所以m2=10;第三步,有10種撥號(hào)方式,所以m3=10;第四步,有10種撥號(hào)方式,所以m4=10.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成N=10×10×10×10=10000(個(gè))四位數(shù)的號(hào)碼.【素養(yǎng)·探】在分步乘法計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用過(guò)程中,常常利用核心素養(yǎng)中的數(shù)學(xué)運(yùn)算,通過(guò)對(duì)條件的分析,選擇合適的角度,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算.在本例3中,若各位上的數(shù)字不允許重復(fù),那么這個(gè)撥號(hào)盤可以組成多少個(gè)四位數(shù)的號(hào)碼?【解析】按從左到右的依次撥號(hào)可以分四步完成:第一步,有10種撥號(hào)方式,即m1=10;其次步,去掉第一步撥的數(shù)字,有9種撥號(hào)方式,即m2=9;第三步,去掉前兩步撥的數(shù)字,有8種撥號(hào)方式,即m3=8;第四步,去掉前三步撥的數(shù)字,有7種撥號(hào)方式,即m4=7.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共可以組成N=10×9×8×7=5040(個(gè))四位數(shù)的號(hào)碼.【類題·通】1.運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)的兩個(gè)留意點(diǎn)一是要依據(jù)事務(wù)發(fā)生的過(guò)程合理分步,即分步是有先后依次的;二是各步中的方法相互依存,缺一不行,只有各個(gè)步驟都完成才算完成這件事.2.利用分步乘法計(jì)數(shù)原理計(jì)數(shù)時(shí)的解題流程【習(xí)練·破】1.定義集合A與B之間的運(yùn)算A*B={(x,y)|x∈A,y∈B},若A={a,b,c},B={a,c,d,e},則集合A*B中元素個(gè)數(shù)為_(kāi)_______.

【解析】確定有序數(shù)對(duì)(x,y)須要兩個(gè)步驟,第一步,確定x的值有3種不同的方法;其次步,確定y的值有4種不同的方法.所以集合A*B中元素個(gè)數(shù)為3×4=12.答案:122.在平面直角坐標(biāo)系內(nèi),若點(diǎn)P(x,y)的橫、縱坐標(biāo)均在{0,1,2,3}內(nèi)取值,則可以組成多少個(gè)不同的點(diǎn)P.【解析】確定點(diǎn)P的坐標(biāo)必需分兩步,即分步確定點(diǎn)P的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo).第一步,確定橫坐標(biāo),從0,1,2,3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè),有4種方法;其次步,確定縱坐標(biāo),從0,1,2,3四個(gè)數(shù)字中選一個(gè),也有4種方法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,全部不同的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為4×4=16.故可以組成16個(gè)不同的點(diǎn)P.【加練·固】用0,1,2,3,4,5,6這七個(gè)數(shù)字共能組成多少個(gè)兩位數(shù).【解析】第一步,確定十位數(shù)字,1,2,3,4,5,6六個(gè)數(shù)字都可以選擇,有6種方法;其次步,確定個(gè)位數(shù)字,0,1,2,3,4,5,6七個(gè)數(shù)字都可以選擇,有7種選法.依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,不同的兩位數(shù)共有6×7=42(個(gè)).故可以組成42個(gè)兩位數(shù).類型三兩個(gè)原理的綜合應(yīng)用【典例】現(xiàn)有高一學(xué)生50人,高二學(xué)生42人,高三學(xué)生30人,組成冬令營(yíng).(1)若從中選1人作總負(fù)責(zé)人,共有多少種不同的選法?(2)若每年級(jí)各選1名負(fù)責(zé)人,共有多少種不同的選法?(3)若從中推選兩人作為中心發(fā)言人,要求這兩人要來(lái)自不同的年級(jí),則有多少種選法?【思維·引】(1)從全部的學(xué)生中選一人;(2)從每一年級(jí)各選一人;(3)可分三種狀況:從高一、二各選一人,從高二、三各選一人,從高一、三各選一人.【解析】(1)從高一選1人作總負(fù)責(zé)人有50種選法;從高二選1人作總負(fù)責(zé)人有42種選法;從高三選1人作總負(fù)責(zé)人有30種選法.由分類加法計(jì)數(shù)原理,可知共有50+42+30=122(種)選法.(2)從高一選1名負(fù)責(zé)人有50種選法;從高二選1名負(fù)責(zé)人有42種選法;從高三選1名負(fù)責(zé)人有30種選法.由分步乘法計(jì)數(shù)原理,可知共有50×42×30=63000(種)選法.(3)①高一和高二各選1人作為中心發(fā)言人,有50×42=2100(種)選法;②高二和高三各選1人作為中心發(fā)言人,有42×30=1260(種)選法;③高一和高三各選1人作為中心發(fā)言人,有50×30=1500(種)選法.故共有2100+1260+1500=4860(種)選法.【類題·通】利用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的解題策略用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理解決詳細(xì)問(wèn)題時(shí),首先,要分清是“分類”還是“分步”,區(qū)分分類還是分步的關(guān)鍵是看這種方法能否完成這件事情.其次,要清晰“分類”或“分步”的詳細(xì)標(biāo)準(zhǔn),在“分類”時(shí)要遵循“不重不漏”的原則,在“分步”時(shí)要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序,留意步與步之間的連續(xù)性;有些題目中“分類”與“分步”同時(shí)進(jìn)行,即“先分類后分步”或“先分步后分類”.【習(xí)練·破】用0,1,2,3,…,9十個(gè)數(shù)字可組成多少個(gè)不同的:(1)三位數(shù)?(2)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)?(3)小于500且沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的自然數(shù)?【解析】(1)由于0不能在百位,所以百位上的數(shù)字有9種選法,十位與個(gè)位上的數(shù)字均有10種選法,所以不同的三位數(shù)共有9×10×10=900(個(gè)).(2)百位上的數(shù)字有9種選法,十位上的數(shù)字有除百位上的數(shù)字以外的9種選法,個(gè)位上的數(shù)字應(yīng)從剩余8個(gè)數(shù)字中選取,所以共有9×9×8=648個(gè)無(wú)重復(fù)數(shù)字的三位數(shù).(3)滿意條件的一位自然數(shù)有10個(gè),二位自然數(shù)有9×9=81(個(gè)),三位自然數(shù)有4×9×8=288(個(gè)).因?yàn)?0+81+288=379(個(gè)),所以共有379個(gè)小于500且無(wú)重復(fù)數(shù)字的自然數(shù).課堂檢測(cè)·素養(yǎng)達(dá)標(biāo)1.某一數(shù)學(xué)問(wèn)題可用綜合法和分析法兩種方法證明,有6名同學(xué)只會(huì)用綜合法證明,有4名同學(xué)只會(huì)用分析法證明,現(xiàn)從這些同學(xué)中任選1名同學(xué)證明這個(gè)問(wèn)題,不同的選法種數(shù)為()A.10 B.16【解析】選A.每一種方法都能證明該問(wèn)題,依據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,不同的選法共有6+4=10(種).2.由數(shù)字0,1,2,3組成的無(wú)重復(fù)數(shù)字的4位數(shù)中,比2019大的數(shù)的個(gè)數(shù)為()A.10 B.11 C.12 D.13【解析】選B.依據(jù)題意,分2種狀況探討:①當(dāng)千位為3時(shí),百位有3種狀況;十位有2種狀況,個(gè)位有1種狀況,共有3×2×1=6種狀況.②當(dāng)千位為2時(shí),若百位為1或3時(shí),則剩下的十位有2種狀況:個(gè)位有1種狀況,總共2×2×1=4種狀況,即有4個(gè)符合條件的4位數(shù);若百位為0時(shí),只有2031一個(gè)符合條件的4位數(shù);綜上共有6+4+1=11個(gè)符合條件的4位數(shù).3.一個(gè)科技小組中有4名女同學(xué)