2024高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第二節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式教師文檔教案文北師大版

PAGE其次節(jié)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第53頁[基礎(chǔ)梳理]1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系：sin2x＋cos2x＝1．(2)商數(shù)關(guān)系：eq\f(sinx,cosx)＝tan__x．2．三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式組數(shù)一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－αeq\f(π,2)－αeq\f(π,2)＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tanαtanα－tanα－tanα1．“一個口訣”誘導(dǎo)公式可簡記為：奇變偶不變，符號看象限．“奇”與“偶”指的是k·eq\f(π,2)＋α中的整數(shù)k是奇數(shù)還是偶數(shù)．“變”與“不變”是指函數(shù)的名稱的改變，若k是奇數(shù)，則正、余弦互變；若k為偶數(shù)，則函數(shù)名稱不變．“符號看象限”指的是在k·eq\f(π,2)＋α中，將α看成銳角時k·eq\f(π,2)＋α所在的象限．2．兩個留意(1)在利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式中的平方關(guān)系時，要依據(jù)角的范圍對開方結(jié)果進行探討．(2)利用誘導(dǎo)公式化簡時要對題中整數(shù)k是奇數(shù)或偶數(shù)進行探討．3．兩個推廣tan(eq\f(π,2)－α)＝eq\f(cosα,sinα)，tan(eq\f(π,2)＋α)＝－eq\f(cosα,sinα).[四基自測]1．(基礎(chǔ)點：同角關(guān)系)已知sinα＝eq\f(\r(5),5)，eq\f(π,2)≤α≤π，則tanα＝()A．－2 B．2C.eq\f(1,2) D．－eq\f(1,2)答案：D2．(基礎(chǔ)點：誘導(dǎo)公式)sin210°cos120°的值為()A.eq\f(1,4) B．－eq\f(\r(3),4)C．－eq\f(3,2) D．eq\f(\r(3),4)答案：A3．(基礎(chǔ)點：誘導(dǎo)公式)tan225°＝________．答案：1授課提示：對應(yīng)學(xué)生用書第54頁考點一同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用挖掘1公式的干脆應(yīng)用/自主練透[例1](1)(2024·濟南質(zhì)檢)若sinα＝－eq\f(5,13)，且α為第四象限角，則tanα＝()A.eq\f(12,5) B．－eq\f(12,5)C.eq\f(5,12) D．－eq\f(5,12)[解析]cosα＝eq\r(1－sin2α)＝eq\f(12,13)，∴tanα＝eq\f(sinα,cosα)＝－eq\f(5,12).[答案]D(2)已知cosα＝k，k∈R，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，則sinα＝()A．－eq\r(1－k2) B．eq\r(1－k2)C．±eq\r(1－k2) D．eq\r(1＋k2)[解析]由cosα＝k，k∈R，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，可知k＜0，設(shè)角α終邊上一點P(k，y)(y＞0)，OP＝1，所以eq\r(k2＋y2)＝1，得y＝eq\r(1－k2)，由三角函數(shù)定義可知sinα＝eq\r(1－k2).[答案]B在本例(1)中，假如只知sinα＝－eq\f(5,13)，則tanα＝________．答案：±eq\f(5,12)挖掘2關(guān)于sinα、cosα的齊次式問題/互動探究[例2](1)(2024·平頂山聯(lián)考)已知eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5，則cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝()A.eq\f(3,5) B．－eq\f(3,5)C．－3 D．3[解析]由eq\f(sinα＋3cosα,3cosα－sinα)＝5知tanα＝2，∴cos2α＋eq\f(1,2)sin2α＝eq\f(cos2α＋sinαcosα,sin2α＋cos2α)＝eq\f(1＋tanα,1＋tan2α)＝eq\f(3,5).[答案]A(2)已知tanα＝－eq\f(4,3)，求2sin2α＋sinαcosα－3cos2α的值．[解析]∵sin2α＋cos2α＝1，cosα≠0，∴原式＝eq\f(2sin2α＋sinαcosα－3cos2α,sin2α＋cos2α)＝eq\f(2tan2α＋tanα－3,tan2α＋1)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))－3,1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,3)))\s\up12(2))＝－eq\f(7,25).挖掘3“sinα±cosα”“sinαcosα”及“1”之間的轉(zhuǎn)化/自主練透[例3](1)已知sinθ＋cosθ＝eq\f(4,3)，θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，則sinθ－cosθ的值為()A.eq\f(\r(2),3) B．－eq\f(\r(2),3)C.eq\f(1,3) D．－eq\f(1,3)[解析]因為(sinθ＋cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ＋2sinθ·cosθ＝1＋2sinθcosθ＝eq\f(16,9)，所以2sinθcosθ＝eq\f(7,9)，則(sinθ－cosθ)2＝sin2θ＋cos2θ－2sinθ·cosθ＝1－2sinθcosθ＝eq\f(2,9).又因為θ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，所以sinθ<cosθ，即sinθ－cosθ<0，所以sinθ－cosθ＝－eq\f(\r(2),3).[答案]B(2)sin21°＋sin22°＋…＋sin289°＝________．[解析]因為sin1°＝cos89°，所以sin21°＋sin289°＝cos289°＋sin289°＝1，同理sin22°＋sin288°＝1，…，sin244°＋sin246°＝1，而sin245°＝eq\f(1,2)，故原式＝44＋eq\f(1,2)＝44eq\f(1,2).[答案]44eq\f(1,2)(3)(2024·高考全國卷Ⅱ)已知sinα＋cosβ＝1，cosα＋sinβ＝0，則sin(α＋β)＝________．[解析]∵sinα＋cosβ＝1，①cosα＋sinβ＝0，②∴①2＋②2得1＋2(sinαcosβ＋cosαsinβ)＋1＝1.∴sinαcosβ＋cosαsinβ＝－eq\f(1,2)，∴sin(α＋β)＝－eq\f(1,2).[答案]－eq\f(1,2)[破題技法]同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧技巧解讀適合題型切弦互化主要利用公式tanθ＝eq\f(sinθ,cosθ)化成正弦、余弦，或者利用公式eq\f(sinθ,cosθ)＝tanθ化成正切表達(dá)式中含有sinθ，cosθ與tanθ“1”1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝(sinθ±cosθ)2?2sinθcosθ表達(dá)式中須要利用“1”轉(zhuǎn)化和積轉(zhuǎn)換利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進行變形、轉(zhuǎn)化表達(dá)式中含有sinθ±cosθ或sinθcosθ次冪升降(1)對于含有根號的，即形如eq\r(A)(其中A是可以轉(zhuǎn)化為形如a2的三角函數(shù)式)的式子，常把根號下的式子化為完全平方式，依據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡或求值.(2)對于含有高次的三角函數(shù)式，一般借助于因式分解、約分、構(gòu)造sin2θ＋cos2θ＝1來降低次數(shù)出現(xiàn)根號或高次冪的結(jié)構(gòu)形式考點二誘導(dǎo)公式的應(yīng)用[例](1)已知coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝eq\f(2,3)，則sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝________．[解析]sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(2π,3)))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,3)－α))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))))＝－sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)＋α))＝－sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(2,3).[答案]－eq\f(2,3)(2)設(shè)f(α)＝eq\f(2sin（π＋α）cos（π－α）－cos（π＋α）,1＋sin2α＋cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)＋α))－sin2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α)))(1＋2sinα≠0)．①化簡f(α)；②若α＝－eq\f(23π,6)，求f(α)的值．[解析]①f(α)＝eq\f(（－2sinα）·（－cosα）－（－cosα）,1＋sin2α＋sinα－cos2α)＝eq\f(2sinαcosα＋cosα,2sin2α＋sinα)＝eq\f(cosα（2sinα＋1）,sinα（2sinα＋1）)＝eq\f(cosα,sinα)＝eq\f(1,tanα).②當(dāng)α＝－eq\f(23π,6)時，f(α)＝f(－eq\f(23π,6))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(23π,6))))＝eq\f(1,tan\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－4π＋\f(π,6))))＝eq\f(1,tan\f(π,6))＝eq\f(1,\f(\r(3),3))＝eq\r(3).[破題技法]1.誘導(dǎo)公式的作用是異角化同角：eq\x(\a\al(隨意角的,三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up7(負(fù)化正))eq\x(\a\al(正角的,三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up7(大化小))eq\x(\a\al(0°～360°角,的三角函數(shù)))eq\o(→,\s\up7(小化銳))eq\x(\a\al(銳角的,三角函數(shù)))2．應(yīng)用誘導(dǎo)公式時，留意：(1)明確函數(shù)名是變，還是不變；(2)明確函數(shù)值符號是正還是負(fù)；(3)明確是否干脆用公式；(4)明確各公式的應(yīng)用依次．3．含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可干脆將2π的整數(shù)倍去掉后再進行運算．若本例(1)中條件不變，求sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π＋α))的值．解析：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)π＋α))＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))))＝－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝－eq\f(2,3).考點三同角關(guān)系的誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用挖掘1以化為“同名”函數(shù)為主線/自主練透[例1](1)已知tanα＝2，則cos(π＋α)·coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))的值為________．[解析]依題意得cos(π＋α)coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cosαsinα＝eq\f(cosαsinα,cos2α＋sin2α)＝eq\f(tanα,1＋tan2α)＝eq\f(2,5).[答案]eq\f(2,5)(2)已知α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，tanα＝2，求coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))值．[解析]由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(sinα,cosα)＝2,sin2α＋cos2α＝1))，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).∴sinα＝eq\f(2,\r(5))，cosα＝eq\f(1,\r(5)).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4)))＝cosαcoseq\f(π,4)＋sinαsineq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,\r(5))＋\f(1,\r(5))))＝eq\f(3\r(10),10).挖掘2以化為“同角”函數(shù)為主線/互動探究[例2](1)已知sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，則coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝()A．－eq\f(2\r(2),3) B.eq\f(2\r(2),3)C．－eq\f(1,3) D．eq\f(1,3)[解析]由sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosα＝－eq\f(\r(3),3)，綻開化簡可得sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,3)，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)－α))＝coseq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))))＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))＝－eq\f(1,3).故選C.[答案]C(2)已知θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，則taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝__________．[解析]因為θ是第四象限角，且sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(3,5)，所以θ＋eq\f(π,4)為第一象限角，所以coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝eq\f(4,5)，所以taneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))),cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))＝eq\f(－cos\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))),sin\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))))))＝－eq\f(cos\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))),sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4))))＝－eq\f(4,3).[答案]－eq\f(4,3)(3)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，角α與角β均以O(shè)x為