2025屆江蘇省蘇州市吳江汾湖高級中學數(shù)學高三上期末學業(yè)水平測試試題含解析_第1頁
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2025屆江蘇省蘇州市吳江汾湖高級中學數(shù)學高三上期末學業(yè)水平測試試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.已知定義在上的函數(shù)的周期為4,當時,,則()A. B. C. D.2.直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓x2a2+y2bA.3-1 B.3-12 C.3.已知中內(nèi)角所對應的邊依次為,若,則的面積為()A. B. C. D.4.已知四棱錐,底面ABCD是邊長為1的正方形,,平面平面ABCD,當點C到平面ABE的距離最大時,該四棱錐的體積為()A. B. C. D.15.若雙曲線的漸近線與圓相切,則雙曲線的離心率為()A.2 B. C. D.6.已知角的終邊與單位圓交于點,則等于()A. B. C. D.7.設,隨機變量的分布列是01則當在內(nèi)增大時,()A.減小,減小 B.減小,增大C.增大,減小 D.增大,增大8.已知函數(shù),,則的極大值點為()A. B. C. D.9.設為銳角,若,則的值為()A. B. C. D.10.已知定點,,是圓上的任意一點,點關于點的對稱點為,線段的垂直平分線與直線相交于點,則點的軌跡是()A.橢圓 B.雙曲線 C.拋物線 D.圓11.已知,,,,則()A. B. C. D.12.小明有3本作業(yè)本,小波有4本作業(yè)本,將這7本作業(yè)本混放在-起,小明從中任取兩本.則他取到的均是自己的作業(yè)本的概率為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.數(shù)列滿足遞推公式,且,則___________.14.如圖所示梯子結(jié)構的點數(shù)依次構成數(shù)列,則________.15.在矩形中,,為的中點,將和分別沿,翻折,使點與重合于點.若,則三棱錐的外接球的表面積為_____.16.函數(shù)過定點________.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式,其中M,N.18.(12分)已知橢圓經(jīng)過點,離心率為.(1)求橢圓的方程;(2)過點的直線交橢圓于、兩點,若,在線段上取點,使,求證:點在定直線上.19.(12分)設函數(shù)f(x)=ax2–a–lnx,g(x)=,其中a∈R,e=2.718…為自然對數(shù)的底數(shù).(Ⅰ)討論f(x)的單調(diào)性;(Ⅱ)證明:當x>1時,g(x)>0;(Ⅲ)確定a的所有可能取值,使得f(x)>g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)恒成立.20.(12分)已知函數(shù),.(1)討論的單調(diào)性;(2)當時,證明:.21.(12分)已知數(shù)列滿足:對任意,都有.(1)若,求的值;(2)若是等比數(shù)列,求的通項公式;(3)設,,求證:若成等差數(shù)列,則也成等差數(shù)列.22.(10分)在數(shù)列中,已知,且,.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)設,數(shù)列的前項和為,證明:.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】

因為給出的解析式只適用于,所以利用周期性,將轉(zhuǎn)化為,再與一起代入解析式,利用對數(shù)恒等式和對數(shù)的運算性質(zhì),即可求得結(jié)果.【詳解】定義在上的函數(shù)的周期為4,當時,,,,.故選:A.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值,對數(shù)的運算性質(zhì),屬于中檔題.2、A【解析】

由直線x-3y+3=0過橢圓的左焦點F,得到左焦點為再由FC=2CA,求得A3【詳解】由題意,直線x-3y+3=0經(jīng)過橢圓的左焦點F,令所以c=3,即橢圓的左焦點為F(-3,0)直線交y軸于C(0,1),所以,OF=因為FC=2CA,所以FA=3又由點A在橢圓上,得3a由①②,可得4a2-24所以e2所以橢圓的離心率為e=3故選A.【點睛】本題考查了橢圓的幾何性質(zhì)——離心率的求解,其中求橢圓的離心率(或范圍),常見有兩種方法:①求出a,c,代入公式e=ca;②只需要根據(jù)一個條件得到關于a,b,c的齊次式,轉(zhuǎn)化為a,c的齊次式,然后轉(zhuǎn)化為關于e的方程,即可得3、A【解析】

由余弦定理可得,結(jié)合可得a,b,再利用面積公式計算即可.【詳解】由余弦定理,得,由,解得,所以,.故選:A.【點睛】本題考查利用余弦定理解三角形,考查學生的基本計算能力,是一道容易題.4、B【解析】

過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.設,將表示成關于的函數(shù),再求函數(shù)的最值,即可得答案.【詳解】過點E作,垂足為H,過H作,垂足為F,連接EF.因為平面平面ABCD,所以平面ABCD,所以.因為底面ABCD是邊長為1的正方形,,所以.因為平面ABE,所以點C到平面ABE的距離等于點H到平面ABE的距離.易證平面平面ABE,所以點H到平面ABE的距離,即為H到EF的距離.不妨設,則,.因為,所以,所以,當時,等號成立.此時EH與ED重合,所以,.故選:B.【點睛】本題考查空間中點到面的距離的最值,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查空間想象能力和運算求解能力,求解時注意輔助線及面面垂直的應用.5、C【解析】

利用圓心到漸近線的距離等于半徑即可建立間的關系.【詳解】由已知,雙曲線的漸近線方程為,故圓心到漸近線的距離等于1,即,所以,.故選:C.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求法,求雙曲線離心率問題,關鍵是建立三者間的方程或不等關系,本題是一道基礎題.6、B【解析】

先由三角函數(shù)的定義求出,再由二倍角公式可求.【詳解】解:角的終邊與單位圓交于點,,故選:B【點睛】考查三角函數(shù)的定義和二倍角公式,是基礎題.7、C【解析】

,,判斷其在內(nèi)的單調(diào)性即可.【詳解】解:根據(jù)題意在內(nèi)遞增,,是以為對稱軸,開口向下的拋物線,所以在上單調(diào)遞減,故選:C.【點睛】本題考查了利用隨機變量的分布列求隨機變量的期望與方差,屬于中檔題.8、A【解析】

求出函數(shù)的導函數(shù),令導數(shù)為零,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性,求得極大值點即可.【詳解】因為,故可得,令,因為,故可得或,則在區(qū)間單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,故的極大值點為.故選:A.【點睛】本題考查利用導數(shù)求函數(shù)的極值點,屬基礎題.9、D【解析】

用誘導公式和二倍角公式計算.【詳解】.故選:D.【點睛】本題考查誘導公式、余弦的二倍角公式,解題關鍵是找出已知角和未知角之間的聯(lián)系.10、B【解析】

根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì),結(jié)合三角形中位線定理、圓錐曲線和圓的定義進行判斷即可.【詳解】因為線段的垂直平分線與直線相交于點,如下圖所示:所以有,而是中點,連接,故,因此當在如下圖所示位置時有,所以有,而是中點,連接,故,因此,綜上所述:有,所以點的軌跡是雙曲線.故選:B【點睛】本題考查了雙曲線的定義,考查了數(shù)學運算能力和推理論證能力,考查了分類討論思想.11、D【解析】

令,求,利用導數(shù)判斷函數(shù)為單調(diào)遞增,從而可得,設,利用導數(shù)證出為單調(diào)遞減函數(shù),從而證出,即可得到答案.【詳解】時,令,求導,,故單調(diào)遞增:∴,當,設,,又,,即,故.故選:D【點睛】本題考查了作差法比較大小,考查了構造函數(shù)法,利用導數(shù)判斷式子的大小,屬于中檔題.12、A【解析】

利用計算即可,其中表示事件A所包含的基本事件個數(shù),為基本事件總數(shù).【詳解】從7本作業(yè)本中任取兩本共有種不同的結(jié)果,其中,小明取到的均是自己的作業(yè)本有種不同結(jié)果,由古典概型的概率計算公式,小明取到的均是自己的作業(yè)本的概率為.故選:A.【點睛】本題考查古典概型的概率計算問題,考查學生的基本運算能力,是一道基礎題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、2020【解析】

可對左右兩端同乘以得,依次寫出,,,,累加可得,再由得,代入即可求解【詳解】左右兩端同乘以有,從而,,,,將以上式子累加得.由得.令,有.故答案為:2020【點睛】本題考查數(shù)列遞推式和累加法的應用,屬于基礎題14、【解析】

根據(jù)圖像歸納,根據(jù)等差數(shù)列求和公式得到答案.【詳解】根據(jù)圖像:,,故,故.故答案為:.【點睛】本題考查了等差數(shù)列的應用,意在考查學生的計算能力和應用能力.15、.【解析】

計算外接圓的半徑,并假設外接球的半徑為R,可得球心在過外接圓圓心且垂直圓面的垂線上,然后根據(jù)面,即可得解.【詳解】由題意可知,,所以可得面,設外接圓的半徑為,由正弦定理可得,即,,設三棱錐外接球的半徑,因為外接球的球心為過底面圓心垂直于底面的直線與中截面的交點,則,所以外接球的表面積為.故答案為:.【點睛】本題考查三棱錐的外接球的應用,屬于中檔題.16、【解析】

令,,與參數(shù)無關,即可得到定點.【詳解】由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì),可得,函數(shù)值與參數(shù)無關,所有過定點.故答案為:【點睛】此題考查函數(shù)的定點問題,關鍵在于找出自變量的取值使函數(shù)值與參數(shù)無關,熟記常見函數(shù)的定點可以節(jié)省解題時間.三、解答題:共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、y=2sin2x.【解析】

計算MN,計算得到函數(shù)表達式.【詳解】∵M,N,∴MN,∴在矩陣MN變換下,→∴曲線y=sinx在矩陣MN變換下的函數(shù)解析式為y=2sin2x.【點睛】本題考查了矩陣變換,意在考查學生的計算能力.18、(1);(2)見解析.【解析】

(1)根據(jù)題意得出關于、、的方程組,解出、的值,進而可得出橢圓的標準方程;(2)設點、、,設直線的方程為,將該直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立,并列出韋達定理,由向量的坐標運算可求得點的坐標表達式,并代入韋達定理,消去,可得出點的橫坐標,進而可得出結(jié)論.【詳解】(1)由題意得,解得,.所以橢圓的方程是;(2)設直線的方程為,、、,由,得.,則有,,由,得,由,可得,,,綜上,點在定直線上.【點睛】本題考查橢圓方程的求解,同時也考查了點在定直線上的證明,考查計算能力與推理能力,屬于中等題.19、(Ⅰ)當時,<0,單調(diào)遞減;當時,>0,單調(diào)遞增;(Ⅱ)詳見解析;(Ⅲ).【解析】試題分析:本題考查導數(shù)的計算、利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.第(Ⅰ)問,對求導,再對a進行討論,判斷函數(shù)的單調(diào)性;第(Ⅱ)問,利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而證明結(jié)論,第(Ⅲ)問,構造函數(shù)=(),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性,從而求解a的值.試題解析:(Ⅰ)<0,在內(nèi)單調(diào)遞減.由=0有.當時,<0,單調(diào)遞減;當時,>0,單調(diào)遞增.(Ⅱ)令=,則=.當時,>0,所以,從而=>0.(Ⅲ)由(Ⅱ),當時,>0.當,時,=.故當>在區(qū)間內(nèi)恒成立時,必有.當時,>1.由(Ⅰ)有,而,所以此時>在區(qū)間內(nèi)不恒成立.當時,令=().當時,=.因此,在區(qū)間單調(diào)遞增.又因為=0,所以當時,=>0,即>恒成立.綜上,.【考點】導數(shù)的計算,利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題【名師點睛】本題考查導數(shù)的計算,利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)性,解決恒成立問題,考查學生的分析問題、解決問題的能力和計算能力.求函數(shù)的單調(diào)性,基本方法是求,解方程,再通過的正負確定的單調(diào)性;要證明不等式,一般證明的最小值大于0,為此要研究函數(shù)的單調(diào)性.本題中注意由于函數(shù)的極小值沒法確定,因此要利用已經(jīng)求得的結(jié)論縮小參數(shù)取值范圍.比較新穎,學生不易想到,有一定的難度.20、(1)見解析;(2)見解析【解析】

(1)求導得,分類討論和,利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性;(2)根據(jù)(1)中求得的的單調(diào)性,得出在處取得最大值為,構造函數(shù),利用導數(shù),推出,即可證明不等式.【詳解】解:(1)由于,得,當時,,此時在上遞增;當時,由,解得,若,則,若,,此時在遞增,在上遞減.(2)由(1)知在處取得最大值為:,設,則,令,則,則在單調(diào)遞減,∴,即,則在單調(diào)遞減∴,∴,∴.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值,涉及分類討論和構造新函數(shù),通過導數(shù)證明不等式,考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.21、(1)3;(2);(3)見解析.【解析】

(1)依據(jù)下標的關系,有,,兩式相加,即可求出;(2)依據(jù)等比數(shù)列的通項公式知,求出首項和公比即可。利用關系式,列出方程,可以解出首項和公比;(3)利用等差數(shù)列的定義,即可證出?!驹斀狻浚?)因為對任意,都有,所以,,兩式相加,,解得;(2)設等比數(shù)列的首項為,公比為,因為對任意,都有,所以有,解得,又,即有,化簡得,,即,或,因為,化簡得,所以故。(3)因為對任意,都有,所以有,成等差數(shù)列,設公

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