2025屆北京市中央民大附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題含解析

2025屆北京市中央民大附中高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．蟋蟀鳴叫可以說是大自然優(yōu)美、和諧的音樂，殊不知蟋蟀鳴叫的頻率（每分鐘鳴叫的次數(shù)）與氣溫（單位：℃）存在著較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系.某地觀測人員根據(jù)如表的觀測數(shù)據(jù)，建立了關(guān)于的線性回歸方程，則下列說法不正確的是（）（次數(shù)/分鐘）2030405060（℃）2527.52932.536A.的值是20B.變量，呈正相關(guān)關(guān)系C.若的值增加1，則的值約增加0.25D.當(dāng)蟋蟀52次/分鳴叫時(shí)，該地當(dāng)時(shí)的氣溫預(yù)報(bào)值為33.5℃2．?dāng)?shù)列滿足，且，是函數(shù)的極值點(diǎn)，則的值是（）A.2 B.3C.4 D.53．若直線與直線垂直，則（）A.6 B.4C. D.4．對于兩個(gè)平面、，“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件5．過雙曲線右焦點(diǎn)F作雙曲線一條漸近線的垂線，垂足為A，與另一條漸近線交于點(diǎn)B，若，則雙曲線C的離心率為（）A.或 B.2或C.或 D.2或6．二項(xiàng)式的展開式中，各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是（）A.2 B.8C.16 D.327．?dāng)?shù)列，，，，，中，有序?qū)崝?shù)對是（）A. B.C. D.8．一條光線從點(diǎn)射出，經(jīng)軸反射后與圓相切，則反射光線所在直線的斜率為（）A.或 B.或C.或 D.或9．已知定義在上的函數(shù)滿足下列三個(gè)條件：①當(dāng)時(shí)，；②的圖象關(guān)于軸對稱；③，都有.則、、的大小關(guān)系是（）A. B.C. D.10．我國古代數(shù)學(xué)典籍《四元玉鑒》中有如下一段話：“河有汛，預(yù)差夫一千八百八十人筑堤，只云初日差六十五人，次日轉(zhuǎn)多七人，今有三日連差三百人，問已差人幾天，差人幾何？”其大意為“官府陸續(xù)派遣1880人前往修筑堤壩，第一天派出65人，從第二天開始每天派出的人數(shù)比前一天多7人.已知最后三天一共派出了300人，則目前一共派出了多少天，派出了多少人？”（）A.6天495人 B.7天602人C.8天716人 D.9天795人11．函數(shù)，則曲線在點(diǎn)處的切線方程為（）A. B.C. D.12．“1＜x＜2”是“x＜2”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，點(diǎn)，分別為該橢圓的左、右焦點(diǎn)，則的最大值為______________.14．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_____.15．在公差不為的等差數(shù)列中，，，成等比數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)和為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）若，且數(shù)列的前項(xiàng)和為，求16．如圖，在棱長為1的正方體中，點(diǎn)M為線段上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論：①存在點(diǎn)M，使得直線AM與直線夾角為30°；②存在點(diǎn)M，使得與平面夾角的正弦值為；③存在點(diǎn)M，使得三棱錐體積為；④存在點(diǎn)M，使得，其中為二面角的大小，為直線與直線AB所成的角則上述結(jié)論正確的有______．（填上正確結(jié)論的序號）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，底面，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求證：平面平面；（3）設(shè)點(diǎn)是平面上任意一點(diǎn)，直接寫出線段長度最小值.（不需證明）18．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求證數(shù)列是等差數(shù)列，并求通項(xiàng)公式；（2）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.19．（12分）已知在等差數(shù)列中，，（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若，求數(shù)列的前項(xiàng)和20．（12分）在等差數(shù)列中，（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求21．（12分）已知p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，.（1）若命題p為真命題，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若p是q的充分不必要條件，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.22．（10分）已知點(diǎn)，，設(shè)動(dòng)點(diǎn)P滿足直線PA與PB的斜率之積為，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線E（1）求曲線E的方程；（2）若動(dòng)直線l經(jīng)過點(diǎn)，且與曲線E交于C，D（不同于A，B）兩點(diǎn)，問：直線AC與BD的斜率之比是否為定值？若為定值，求出該定值；若不為定值，請說明理由

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)樣本中心過經(jīng)過線性回歸方程、正相關(guān)的性質(zhì)和線性回歸方程的意義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意，得，，則，故A正確；由線性回歸方程可知，，變量，呈正相關(guān)關(guān)系，故B正確；若的值增加1，則的值約增加0.25，故C正確；當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤.故選：D.2、C【解析】利用導(dǎo)數(shù)即可求出函數(shù)的極值點(diǎn)，再利用等差數(shù)列的性質(zhì)及其對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解即可【詳解】由，得，因?yàn)?，是函?shù)的極值點(diǎn)，所以，是方程兩個(gè)實(shí)根，所以，因?yàn)閿?shù)列滿足，所以，所以數(shù)列為等差數(shù)列，所以，所以，故選：C3、A【解析】由兩條直線垂直的條件可得答案.【詳解】由題意可知，即故選：A.4、B【解析】根據(jù)平面的性質(zhì)分別判斷充分性和必要性.【詳解】充分性：若內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等，當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)不在一條直線上時(shí)，可得；當(dāng)這三個(gè)點(diǎn)在一條直線上時(shí)，則、平行或相交，故充分性不成立；必要性：若，則內(nèi)每個(gè)點(diǎn)到的距離相等，故必要性成立，所以“內(nèi)有三個(gè)點(diǎn)到的距離相等”是“”的必要不充分條件.故選：B.5、D【解析】求得點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，利用轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)比求解.【詳解】不妨設(shè)直線，由題意得，解得，即；由得，即，因?yàn)?，所以，所以?dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，則，故選：D6、D【解析】根據(jù)給定條件利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)直接計(jì)算作答.【詳解】二項(xiàng)式的展開式的各項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)的和是.故選：D7、A【解析】根據(jù)數(shù)列的概念，找到其中的規(guī)律即可求解.【詳解】由數(shù)列，，，，，可知，，，，，則，解得，故有序?qū)崝?shù)對是，故選：8、D【解析】由光的反射原理知，反射光線的反向延長線必過點(diǎn)，設(shè)反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線方程為：，即：.又因?yàn)楣饩€與圓相切，所以，,整理：，解得：，或,故選D考點(diǎn)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；2、直線的方程；3、直線與圓的位置關(guān)系.9、A【解析】推導(dǎo)出函數(shù)為偶函數(shù)，結(jié)合已知條件可得出，，，利用導(dǎo)數(shù)可知函數(shù)在上為減函數(shù)，由此可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于軸對稱，則，故，，又因?yàn)?，都有，所以，，所以，，，，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，且不恒為零，故函數(shù)在上為減函數(shù)，因?yàn)椋瑒t，故.故選：A.10、B【解析】根據(jù)題意，設(shè)每天派出的人數(shù)組成數(shù)列，可得數(shù)列是首項(xiàng)，公差數(shù)7的等差數(shù)列，解方程可得所求值【詳解】解：設(shè)第天派出的人數(shù)為，則是以65為首項(xiàng)、7為公差的等差數(shù)列，且，，∴，，∴天則目前派出的人數(shù)為人，故選：B11、D【解析】對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率即可計(jì)算作答.【詳解】依題意，，即有，而，則過點(diǎn)，斜率為1的直線方程為：，所以曲線在點(diǎn)處切線方程為.故選：D12、A【解析】因?yàn)椤叭?，則”是真命題，“若，則”是假命題，所以“”是“”成立的充分不必要條件．選A考點(diǎn)：充分必要條件的判斷【易錯(cuò)點(diǎn)睛】本題主要考查了充分條件,必要條件,充要條件的判斷,屬于基礎(chǔ)題.對于命題“若,則”是真命題,我們說,并且說是的充分條件，是的必要條件，命題“若,則”是假命題,我們說,由充分條件，必要條件的定義，可以判斷出“”是“”成立的充分不必要條件．掌握充分條件，必要條件的定義是解題關(guān)鍵二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用正弦定理表示出，再求t，再利用求的最大值即可.【詳解】在中，由正弦定理得，所以，，即求的最大值，也就是求t的最小值，而，即最大時(shí)，由橢圓的性質(zhì)知當(dāng)P為橢圓上頂點(diǎn)時(shí)最大，此時(shí)，，所以，所以的最大值是1，，所以，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓焦點(diǎn)三角形的問題，考查正弦定理的應(yīng)用.14、【解析】根據(jù)拋物線方程求得p，則根據(jù)拋物線性質(zhì)可求得拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)．解：拋物線方程中p=2，∴拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，0）故填寫考點(diǎn)：拋物線的簡單性質(zhì)點(diǎn)評：本題主要考查了拋物線的簡單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題15、（1）（2）【解析】（1）由解出，再由前項(xiàng)和為55求得，由等差數(shù)列通項(xiàng)公式即可求解；（2）先求出，再由裂項(xiàng)相消求和即可.【小問1詳解】設(shè)公差為，由，，成等比數(shù)列，可得，即有，整理得，數(shù)列的前項(xiàng)和為55，可得，解得1，1，則；【小問2詳解】，則16、②③【解析】對①：由連接，，由平面，即可判斷；對③：設(shè)到平面的距離為，則，所以即可判斷；對④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出與，比較大小即可判斷；對②：設(shè)與平面夾角為，利用向量法求出，即可求解判斷.【詳解】解：對①：連接，，在正方體中，由平面，可得，又，，所以平面，所以，故①錯(cuò)誤；對③：設(shè)到平面的距離為，則，所以，故③正確；對④：以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，0，，，0，，，，，，，，所以，，，，，，設(shè)平面的法向量為，，，則，即，取，，，又，1，是平面的一個(gè)法向量，又二面角為銳二面角或直角，所以，，，又，，，故④錯(cuò)誤對②：由④的解析知，，，，設(shè)平面的法向量為，則，即，取，則，設(shè)與平面夾角為，令，即，又，解得或，故②正確.故答案為：②③.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析（2）證明見解析（3）【解析】（1）設(shè)，連結(jié)，根據(jù)中位線定理即可證，再根據(jù)線面平行的判定定理，即可證明結(jié)果；（2）由菱形的性質(zhì)可知，可證，又底面，可得，再根據(jù)面面垂直的判定定理，即可證明結(jié)果；（3）根據(jù)等體積法，即，經(jīng)過計(jì)算直接寫出結(jié)果即可.【小問1詳解】證明：設(shè)，連結(jié).因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所以為的中點(diǎn)，又因?yàn)镋是PC的中點(diǎn)，所以.又因?yàn)槠矫?，平面，所以平?【小問2詳解】證明：因?yàn)榈酌鏋榱庑?，所?因?yàn)榈酌妫?又因?yàn)?，所以平?又因?yàn)槠矫?，所以平面平?【小問3詳解】解：線段長度的最小值為.18、（1）證明見詳解，（2）【解析】（1）由題意將原式化簡變形得到，可證明數(shù)列是等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式則可得，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式；（2）由（1）把的通項(xiàng)公式代入，得到，利用乘公比錯(cuò)位相減法求和即可.【小問1詳解】若，則，這與矛盾，，由已知得，，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，，即.【小問2詳解】設(shè)，則由（1）知，所以，，兩式相減，則，所以.19、（1）（2）【解析】（1）設(shè)的公差為，由等差數(shù)列的通項(xiàng)公式結(jié)合條件可得答案.（2）由（1）可得，由錯(cuò)位相減法可得答案.【小問1詳解】設(shè)的公差為，由已知得且，解得，，所以的通項(xiàng)公式為【小問2詳解】由（1）可得，所以，所以，兩式相減得：，所以，所以20、（1）（2）【解析】（1）直接利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可求解；（2）先判斷出數(shù)列單調(diào)性，由時(shí)，，時(shí)，；然后去掉絕對值，利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式求解即可.【小問1詳解】是等差數(shù)列，公差；即；【小問2詳解】，則由（1）可知前五項(xiàng)為正，第六項(xiàng)開始為負(fù).21、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)命題p為真命題，可得，解之即可得解；（2）若p是q的充分不必要條件，則，列出不等式組，解之即可得出答案.【小問1詳解】解：命題p：關(guān)于x的方程至多有一個(gè)實(shí)數(shù)解，∴，解得，∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是；【小問2詳解】