安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考2025屆高二上數學期末調研試題含解析

安徽省宿州市汴北三校聯(lián)考2025屆高二上數學期末調研試題注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合，角終邊上有一點，為銳角，且，則（）A. B.C. D.2．“橢圓的離心率為”是“”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件3．已知F是橢圓C的一個焦點，B是短軸的一個端點，直線BF與橢圓C的另一個交點為D，且，則C的離心率為（）A. B.C. D.4．若雙曲線的漸近線方程為，則實數a的值為（）A B.C.2 D.5．在數列中，若，則稱為“等方差數列”，下列對“等方差數列”的判斷，其中不正確的為（）A.若是等方差數列，則是等差數列 B.若是等方差數列，則是等方差數列C.是等方差數列 D.若是等方差數列，則是等方差數列6．在數列中抽取部分項（按原來的順序）構成一個新數列，記為，再在數列插入適當的項，使它們一起能構成一個首項為1，公比為3的等比數列.若，則數列中第項前（不含）插入的項的和最小為（）A.30 B.91C.273 D.8207．已知雙曲線，過左焦點且與軸垂直的直線與雙曲線交于、兩點，若弦的長恰等于實鈾的長，則雙曲線的離心率為（）A. B.C. D.8．已知雙曲線的兩個焦點，，是雙曲線上一點，且，，則雙曲線的標準方程是（）A. B.C. D.9．函數的圖像在點處的切線方程為（）A. B.C. D.10．等差數列的首項為正數，其前n項和為.現(xiàn)有下列命題，其中是假命題的有（）A.若有最大值，則數列的公差小于0B.若，則使的最大的n為18C.若，，則中最大D.若，，則數列中的最小項是第9項11．已知定義在R上的函數滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.12．橢圓的左、右焦點分別為、，上存在兩點、滿足，，則的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知曲線的焦距是10，曲線上的點到一個焦點的距離是2，則點到另一個焦點的距離為__________.14．=______.15．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，點是圓上一個動點，且線段的中點在的一條漸近線上，若，則的離心率的取值范圍是________16．給定點、、與點，求點到平面的距離______.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）2021年7月25日，在東京奧運會自行車公路賽中，奧地利數學女博士安娜·基秣崔天以3小時52分45秒的成績獲得冠軍，震驚了世界！廣大網友驚呼“學好數理化，走遍天下都不怕”．某市對中學生的體能測試成績與數學測試成績進行分析，并從中隨機抽取了200人進行抽樣分析，得到下表（單位：人）：體能一般體能優(yōu)秀合計數學一般5050100數學優(yōu)秀4060100合計90110200（1）根據以上數據，能否在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數學成績有關？（結果精確到小數點后兩位）（2）①現(xiàn)從抽取的數學優(yōu)秀的人中，按“體能優(yōu)秀”與“體能一般”這兩類進行分層抽樣抽取10人，然后，再從這10人中隨機選出4人，求其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率；②將頻率視為概率，以樣本估計總體，從該市中學生中隨機抽取10人參加座談會，記其中“體能優(yōu)秀”的人數為X，求X的數學期望和方差參考公式：，其中參考數據：0.150.100.050.250.0102.0722.7063.8415.0246.63518．（12分）已知的內角的對邊分別為a，，若向量，且（1）求角的值；（2）已知的外接圓半徑為，求周長的最大值.19．（12分）已知滿足，.（1）求證：是等差數列，求的通項公式；（2）若，的前項和是，求證：.20．（12分）已知公差不為0的等差數列滿足：且成等比數列（1）求數列的通項公式；（2）記為數列的前n項和，求證是等差數列21．（12分）2020年8月，總書記對制止餐飲浪費行為作出重要指示，要求進一步加強宣傳教育，切實培養(yǎng)節(jié)約習慣，在全社會營造浪費可恥、節(jié)約光榮的氛圍．為貫徹總書記指示，大慶市某學校食堂從學生中招募志愿者，協(xié)助食堂宣傳節(jié)約糧食的相關活動．現(xiàn)已有高一63人、高二42人，高三21人報名參加志愿活動．根據活動安排，擬采用分層抽樣的方法，從已報名的志愿者中抽取12名志愿者，參加為期20天的第一期志愿活動（1）第一期志愿活動需從高一、高二、高三報名的學生中各抽取多少人？（2）現(xiàn)在要從第一期志愿者中的高二、高三學生中抽取2人粘貼宣傳標語，求抽出兩人都是高二學生的概率是多少？（3）食堂每天約有400人就餐，其中一組志愿者的任務是記錄學生每天倒掉的剩菜剩飯的重量（單位：公斤），以10天為單位來衡量宣傳節(jié)約糧食的效果．在一個周期內，這組志愿者記錄的數據如下：前10天剩菜剩飯的重量為：后天剩菜剩飯的重量為：借助統(tǒng)計中的圖、表、數字特征等知識，分析宣傳節(jié)約糧食活動的效果（選擇一種方法進行說明即可）22．（10分）已知函數.（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）試討論函數的單調性.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、C【解析】根據角終邊上有一點，得到，再根據為銳角，且，求得，再利用兩角差的正切函數求解.【詳解】因為角終邊上有一點，所以，又因為為銳角，且，所以，所以，故選：C2、C【解析】討論橢圓焦點的位置，根據離心率分別求出參數m，由充分必要性的定義判斷條件間的充分、必要關系.【詳解】當橢圓的焦點在軸上時，，得；當橢圓的焦點在軸上時，，得故“橢圓的離心率為”是“”的必要不充分條件故選：C.3、A【解析】設，根據得，代入橢圓方程即可求得離心率.【詳解】設橢圓方程，所以，設，所以，所以，在橢圓上，所以，.故選：A4、D【解析】由雙曲線的漸近線方程結合已知可得.【詳解】雙曲線方程為所以漸近線為，故，解得：.故選：D5、B【解析】根據等方差數列的定義逐一進行判斷即可【詳解】選項A中，符合等差數列的定義，所以是等差數列，A正確；選項B中，不是常數，所以不是等方差數列，選項B錯誤；選項C中，，所以是等方差數列，C正確；選項D中，所以是等方差數列，D正確故選：B6、C【解析】先根據等比數列的通項公式得到，列出數列的前6項，將其中是數列的項的所有數去掉即可求解.【詳解】因為是以1為首項、3為公比的等比數列，所以，則由，得，即數列中前6項分別為：1、3、9、27、81、243，其中1、9、81是數列的項，3、27、243不是數列的項，且，所以數列中第7項前（不含）插入的項的和最小為.故選：C.7、B【解析】求出，進而求出，之間的關系，即可求解結論【詳解】解：由題意，直線方程為：，其中，因此，設，，，，解得，得，，弦的長恰等于實軸的長，，，故選：B8、D【解析】根據條件設，，由條件求得，即可求得雙曲線方程.【詳解】設，則由已知得，，又，，又，，雙曲線的標準方程為.故選：D9、B【解析】求得函數的導數，計算出和的值，可得出所求切線的點斜式方程，化簡即可.詳解】，，，，因此，所求切線的方程為，即.故選：B.【點睛】本題考查利用導數求解函圖象的切線方程，考查計算能力，屬于基礎題10、B【解析】由有最大值可判斷A；由，可得，，利用可判斷BC；，得，，可判斷D.【詳解】對于選項A，∵有最大值，∴等差數列一定有負數項，∴等差數列為遞減數列，故公差小于0，故選項A正確；對于選項B，∵，且，∴，，∴，，則使的最大的n為17，故選項B錯誤；對于選項C，∵，，∴，，故中最大，故選項C正確；對于選項D，∵，，∴，，故數列中的最小項是第9項，故選項D正確.故選：B.11、A【解析】構造，應用導數及已知條件判斷的單調性，而題設不等式等價于即可得解.【詳解】設，則，∴在R上單調遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A12、A【解析】作點關于原點的對稱點，連接、、、，推導出、、三點共線，利用橢圓的定義可求得、、、，推導出，利用勾股定理可得出關于、的齊次等式，即可求得該橢圓的離心率.【詳解】作點關于原點的對稱點，連接、、、，則為、的中點，故四邊形為平行四邊形，故且，則，所以，，故、、三點共線，由橢圓定義，，有，所以，則，再由橢圓定義，有，因為，所以，在中，即，所以，離心率故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、或10.【解析】對參數a進行討論，考慮曲線是橢圓和雙曲線的情況，進而結合橢圓與雙曲線的定義和性質求得答案.【詳解】由題意，曲線的半焦距為5，若曲線是焦點在x軸上的橢圓，則a>16，所以，而橢圓上的點到一個焦點距離是2，則點到另一個焦點的距離為；若曲線是焦點在y軸上的橢圓，則0<a<16，所以，舍去；若曲線是雙曲線，則a<0，容易判斷雙曲線的焦點在y軸，所以，不妨設點P在雙曲線的上半支，上下焦點分別為，因為實半軸長為4，容易判斷點P到下焦點的距離的最小值為4+5=9>2，不合題意，所以點P到上焦點的距離為2，則它到下焦點的距離.故答案為：或10.14、【解析】根據被積函數（）表示一個半圓，利用定積分的幾何意義即可得解.【詳解】被積函數（）表示圓心為，半徑為2的圓的上半部分，所以.故答案為：.【點睛】本題考查了利用定積分的幾何意義來求定積分，在用該方法求解時需注意被積函數的在給定區(qū)間內的函數值符號，本題屬于中檔題.15、【解析】設，，因為點是線段中點，所以有，代入坐標求出點的軌跡為圓，因為點在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點，利用點到直線的距離求出臨界狀態(tài)下漸近線的斜率，數形結合求出有公共點時漸近線斜率的范圍，從而求出離心率的范圍.【詳解】解：設，，因為點是線段的中點，所以有，即有，因為點在圓上，所以滿足：，代入可得：，即，所以點的軌跡是以為圓心，以1為半徑的圓，如圖所示：因為點在漸近線上，所以圓與漸近線有公共點，當兩條漸近線與圓恰好相切時為臨界點，則：圓心到漸近線的距離為，因為，所以，即，且，所以，此時，，當時，漸近線與圓有公共點，.故答案為：.16、【解析】先求出平面的法向量，再利用點到面的距離公式計算即可.【詳解】設平面的法向量為，點到平面的距離為，，，即，令，得故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）不能，理由見解析；（2）①，②，【解析】（1）運用公式求出，比較得出結論.（2）①先用分層抽樣得到“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的人數，再利用公式計算至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率.②根據已知條件知此分布列為二項分布，故利用數學期望和方差的公式即可求出答案【小問1詳解】由表格的數據可得，，故不能在犯錯誤的概率不超過0.10的前提下認為“體能優(yōu)秀”還是“體能一般”與數學成績有關.【小問2詳解】①在數學優(yōu)秀的人群中，“體能優(yōu)秀”與“體能一般”的比例為“體能一般”的人數為，“體能優(yōu)秀”的人數為故再從這10人中隨機選出4人，其中至少有2人是“體能優(yōu)秀”的概率為.②由題意可得，隨機抽取一人“體能優(yōu)秀”的概率為，且故，18、（1）（2）6【解析】（1）由可得，再利用正弦定理和三角函數恒等變換公可得，從而可求出角的值，（2）利用正弦定理求出，再利用余弦定理結合基本不等式可得的最大值為4，從而可求出三角形周長的最大值【小問1詳解】由，得

，由正弦定理，得，即.在中，由，得.又，所以.【小問2詳解】根據題意，得，由余弦定理，得，即，整理得，當且僅當時，取等號，所以的最大值為所以.所以的周長的最大值為

.19、（1）證明見解析，（2）證明見解析【解析】（1）在等式兩邊同時除以，結合等差數列的定義可證得數列為等差數列，確定該數列的首項和公差，可求得的表達式；（2）求得，利用裂項相消法求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：在等式兩邊同時除以可得且，所以，數列是以為首項，以為公差的等差數列，則，因此，.【小問2詳解】證明：，所以，.故原不等式得證.20、（1）；（2）證明見解析.【解析】(1)根據等比中項的應用可得，結合等差數列的定義和求出公差，進而得出通項公式；(2)根據等差數列前n項求和公式可得，結合等差數列定義即可證明.【小問1詳解】設等差數列的公差為()，由成等比數列，得，又，所以，解得，所以；【小問2詳解】由(1)可得，所以，有，故，又，所以數列是以2為首項，以2為公差的等差數列.21、（1）6，4，2；（2）；（3）答案見解析.【解析】（1）先求出抽樣比，然后每次按比例抽取即可求出；（2）先求出抽出兩人的基本事件，再求出兩人都是高二學生包含的基本事件，即可求出概率；（3）可求出平均值進行判斷；也可畫出莖葉圖觀察判斷.【詳解】解：（1）報名的學生共有126人，抽取的比例為，所以高一抽取人，高二抽取人，高三抽取人.（2）記高二四個學生為1，2，3，4，高三兩個學生為5，6，抽出兩人表示為（x，y），則抽出兩人的基本事件為（1，2），（1，3），（1，4），（1，5），（1，6），（2，3），（2，4），（2，5），（2，6），（3，4），（3，5），（3，6），（4，5），（4，6），（5，6）共15個基本事件，其中高二學生都在同一組包含（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4），共6個基本事件.記抽出兩人都是高二學生為事件，則，所以高二學生都在同一組的概率是.（3）法