廣東省揭陽(yáng)市惠來(lái)一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題含解析

廣東省揭陽(yáng)市惠來(lái)一中2025屆數(shù)學(xué)高二上期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．考試停課復(fù)習(xí)期間，小王同學(xué)計(jì)劃將一天中的7節(jié)課全部用來(lái)復(fù)習(xí)4門不同的考試科目，每門科目復(fù)習(xí)1或2節(jié)課，則不同的復(fù)習(xí)安排方法有（）種A.360 B.630C.2520 D.151202．在正項(xiàng)等比數(shù)列中，，，則（）A27 B.64C.81 D.2563．已知長(zhǎng)方體中，，，則平面與平面所成的銳二面角的余弦值為（）A. B.C. D.4．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，則的最小值為（）A. B.C. D.5．雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是（）A.和 B.和C.和 D.和6．已知等差數(shù)列{an}中，a4+a9=8，則S12=（）A.96 B.48C.36 D.247．在棱長(zhǎng)為2的正方體中，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)是面的中心，則的值為（）A.4 B.C.2 D.不確定8．已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，則該橢圓的短軸長(zhǎng)等于（）A.3 B.6C.8 D.129．中國(guó)景德鎮(zhèn)陶瓷世界聞名，其中青花瓷最受大家的喜愛(ài)，如圖1這個(gè)精美的青花瓷花瓶，它的頸部（圖2）外形上下對(duì)稱，基本可看作是離心率為的雙曲線的一部分繞其虛軸所在直線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面，若該頸部中最細(xì)處直徑為16厘米，瓶口直徑為20厘米，則頸部高為（）A.10 B.20C.30 D.4010．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖像如圖所示，則下列判斷正確的是（）A.在區(qū)間上，函數(shù)增函數(shù) B.在區(qū)間上，函數(shù)是減函數(shù)C.為函數(shù)的極小值點(diǎn) D.2為函數(shù)的極大值點(diǎn)11．若傾斜角為的直線過(guò)，兩點(diǎn)，則實(shí)數(shù)（）A. B.C. D.12．下列直線中，與直線垂直的是（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在2021件產(chǎn)品中有10件次品，任意抽取3件，則抽到次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值是______.14．雙曲線的漸近線方程是____________15．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝n2+n，則an＝_____16．如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，P為BC的中點(diǎn)，Q為線段上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題正確的是_________（寫(xiě)出所有正確命題的編號(hào)）.①當(dāng)時(shí)，S為四邊形；②當(dāng)時(shí)，S為等腰梯形；③當(dāng)時(shí)，S與的交點(diǎn)R滿足；④當(dāng)時(shí)，S為六邊形；⑤當(dāng)時(shí)，S的面積為.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．（其中為的導(dǎo)函數(shù)．）18．（12分）已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）某省電視臺(tái)為了解該省衛(wèi)視一檔成語(yǔ)類節(jié)目的收視情況，抽查東西兩部各5個(gè)城市，得到觀看該節(jié)目的人數(shù)（單位：千人）如下莖葉圖所示：其中一個(gè)數(shù)字被污損.（1）求東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的概率.（2）隨著節(jié)目的播出，極大激發(fā)了觀眾對(duì)成語(yǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)積累的熱情，從中獲益匪淺.現(xiàn)從觀看該節(jié)目的觀眾中隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了4位觀眾的周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)的時(shí)間（單位：小時(shí)）與年齡（單位：歲），并制作了對(duì)照表（如下表所示）年齡（歲）20304050周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間（小時(shí)）2.5344.5由表中數(shù)據(jù)，試求線性回歸方程，并預(yù)測(cè)年齡為55歲觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間.參考公式：，.20．（12分）已知點(diǎn)是橢圓E：一點(diǎn)，且橢圓的離心率為.（1）求此橢圓E方程；（2）設(shè)橢圓的左頂點(diǎn)為A，過(guò)點(diǎn)A向上作一射線交橢圓E于點(diǎn)B，以AB為邊作矩形ABCD，使得對(duì)邊CD經(jīng)過(guò)橢圓中心O.（i）求矩形ABCD面積的最大值；（ii）問(wèn)：矩形ABCD能否為正方形？若能，求出直線AB的方程；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由.21．（12分）已知橢圓的下焦點(diǎn)為、上焦點(diǎn)為，其離心率．過(guò)焦點(diǎn)且與x軸不垂直的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)（1）求實(shí)數(shù)m的值；（2）求△ABO(O為原點(diǎn))面積的最大值22．（10分）求滿足下列條件的圓錐曲線方程的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）經(jīng)過(guò)點(diǎn)，兩點(diǎn)的橢圓；（2）與雙曲線－＝1有相同的漸近線且經(jīng)過(guò)點(diǎn)的雙曲線.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、C【解析】，先安排復(fù)習(xí)節(jié)的科目，然后安排其余科目，由此計(jì)算出不同的復(fù)習(xí)安排方法數(shù).【詳解】第步，門科目選門，安排節(jié)課，方法數(shù)有種，第步，安排其余科目，每門科目節(jié)課，方法數(shù)有種，所以不同的復(fù)習(xí)安排方法有種.故選：C2、C【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比，進(jìn)而求得答案.【詳解】設(shè)的公比為，則（負(fù)值舍去），所以.故選：C.3、A【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，求得平面的一個(gè)法向量為，易知平面的一個(gè)法向量為，由求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，令，則，易知平面的一個(gè)法向量為，所以，所以平面與平面所成的銳二面角的余弦值為，故選：A4、B【解析】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，由可得，可得出，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，則，因?yàn)?，則，所以，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故選：B.5、C【解析】由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程可得到焦點(diǎn)所在軸及半焦距的長(zhǎng)，進(jìn)而得到兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】雙曲線中，，則又雙曲線焦點(diǎn)在y軸，故雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是和故選：C6、B【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可.【詳解】解：由等差數(shù)列的性質(zhì)得.故選：B7、A【解析】畫(huà)出圖形，建立空間直角坐標(biāo)系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)是面的中心，是棱上一動(dòng)點(diǎn)，所以，，，故選：A8、B【解析】根據(jù)橢圓中的關(guān)系即可求解.【詳解】橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，焦距為8，所以，，可得，，所以，可得，所以該橢圓的短軸長(zhǎng)，故選：B.9、B【解析】設(shè)雙曲線方程為，根據(jù)已知條件可得的值，由可得雙曲線的方程，再將代入方程可得的值，即可求解.【詳解】因?yàn)殡p曲線焦點(diǎn)在軸上，設(shè)雙曲線方程為由雙曲線的性質(zhì)可知：該頸部中最細(xì)處直徑為實(shí)軸長(zhǎng)，所以，可得，因?yàn)殡x心率為，即，可得，所以，所以雙曲線的方程為：，因瓶口直徑為20厘米，根據(jù)對(duì)稱性可知頸部最右點(diǎn)橫坐標(biāo)為，將代入雙曲線可得，解得：，所以頸部高為，故選：B10、D【解析】根據(jù)導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可求解.【詳解】對(duì)于A，在區(qū)間，，故A不正確；對(duì)于B，在區(qū)間，，故B不正確；對(duì)于C、D，由圖可知在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，所以為函數(shù)的極大值點(diǎn)，故C不正確，D正確.故選：D11、C【解析】根據(jù)直線的傾斜角和斜率的關(guān)系得到直線的斜率為，再根據(jù)兩點(diǎn)的斜率公式計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)橹本€的傾斜角為，所以直線的斜率為，所以，解得；故選：C12、C【解析】，，若，則，項(xiàng)，符合條件，故選二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)抽到的次品的個(gè)數(shù)為，則，求出對(duì)應(yīng)的概率即得解.【詳解】解：設(shè)抽到的次品的個(gè)數(shù)為，則，所以所以抽到次品個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望的值是故答案為：14、【解析】由雙曲線的方程可知，，即可直接寫(xiě)出其漸近線的方程.【詳解】由雙曲線的方程為，可知，；則雙曲線的漸近線方程為.故答案：.15、2n【解析】根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求解即可.【詳解】由題,當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí).當(dāng)時(shí)也滿足.故.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了根據(jù)數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和的關(guān)系求通項(xiàng)公式的方法,屬于基礎(chǔ)題.16、①②③⑤【解析】①由如圖當(dāng)點(diǎn)向移動(dòng)時(shí)，滿足，只需在上取點(diǎn)滿足，即可得截面為四邊形，如圖所示，是四邊形，故①正確；②當(dāng)時(shí)，即為中點(diǎn)，此時(shí)可得PQ∥AD，AP=QD==，故可得截面APQD為等腰梯形，等腰梯形，故②正確；③當(dāng)時(shí)，如圖，延長(zhǎng)至，使，連接交于，連接交于，連接，可證，由∽，可得，故可得，故③正確；④由③可知當(dāng)時(shí)，只需點(diǎn)上移即可，此時(shí)的截面形狀仍然如圖所示的，如圖是五邊形，故④不正確；⑤當(dāng)時(shí)，與重合，取的中點(diǎn)，連接，可證，且，可知截面為為菱形，故其面積為，如圖是菱形，面積為，故⑤正確，故答案為①②③⑤考點(diǎn)：正方體的性質(zhì).三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)椋?，分和兩種情況解不等式和即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可得對(duì)于恒成立，分離可得，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得；由可得；此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（Ⅱ）若，由可得，因?yàn)?，所以，所以所以?duì)于恒成立，令，則，，令，則對(duì)于恒成立，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，即，可得：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)?，所以的最大值?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對(duì)應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負(fù)，由符號(hào)確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.18、（1）（2）【解析】(1)根據(jù)所給條件先求出首項(xiàng)，然后仿寫(xiě)，作差即可得到的通項(xiàng)公式；(2)根據(jù)（1）求出的通項(xiàng)公式，觀察是由一個(gè)等差數(shù)列加上一個(gè)等比數(shù)列得到，要求其前項(xiàng)和，采用分組求和法結(jié)合公式法可求出前項(xiàng)和【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，∴，化簡(jiǎn)得，∴是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列，∴，因此的通項(xiàng)公式為.【小問(wèn)2詳解】由（1）得，∴，∴，∴19、（1）；（2）詳見(jiàn)解析.【解析】（1）先根據(jù)兩個(gè)平均值的大小得到的取值范圍，再利用古典概型的概率公式進(jìn)行求解；（2）先利用最小二乘法求出線性回歸方程，再利用方程進(jìn)行預(yù)測(cè).試題解析：（1）設(shè)被污損的數(shù)字為，則的所有可能取值為：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9共10種等可能結(jié)果，令，解得，則滿足“東部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)超過(guò)西部各城市觀看該節(jié)目觀眾平均人數(shù)的”的取值有0,1,2,3,4,5,6,7共8個(gè)，所以其概率為.（2）由表中數(shù)據(jù)得，，∴，線性回歸方程.可預(yù)測(cè)年齡為55觀眾周均學(xué)習(xí)成語(yǔ)知識(shí)時(shí)間為4.9小時(shí).20、（1）；（2）(i)；(ii).【解析】(1)根據(jù)給定條件列出關(guān)于a，b的方程組，解方程組代入得解.(2)(i)設(shè)直線AB方程，與橢圓方程聯(lián)立求出線段AB長(zhǎng)，再求出原點(diǎn)O到直線AB距離列出矩形面積求解即可；(ii)由(i)及列出方程，由方程解的情況即可判斷計(jì)算作答.【小問(wèn)1詳解】令橢圓半焦距為c，依題意，，解得，所以橢圓E的方程為：.【小問(wèn)2詳解】(i)由(1)知，，設(shè)直線AB的斜率為，則直線AB的方程為：，由消去y并整理得：，點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)有：，解得，則有，因矩形的邊CD過(guò)原點(diǎn)O，則，因此，矩形的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以矩形ABCD面積的最大值是.(ii)假定矩形ABCD能成為正方形，則，由(i)知：，整理得：，即，而，解得，所以矩形ABCD能成為正方形，此時(shí)，直線AB的方程為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：圓錐曲線中的最值問(wèn)題，往往需要利用韋達(dá)定理構(gòu)建目標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，自變量可以斜率或點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)等.而目標(biāo)函數(shù)的最值可以通過(guò)二次函數(shù)或基本不等式或?qū)?shù)等求得.21、（1）2；（2）﹒【解析】(1)根據(jù)已知條件得，，結(jié)合離心率，即可解得答案(2)設(shè)直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用弦長(zhǎng)公式以及三角形的面積公式，基本不等式即可得出答案【小問(wèn)1詳解】由題意可得