廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)聯(lián)考2025屆高二上數(shù)學期末考試試題含解析

廣東省廣州市越秀區(qū)荔灣區(qū)聯(lián)考2025屆高二上數(shù)學期末考試試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知圓：和點，是圓上一點，線段的垂直平分線交于點，則點的軌跡方程是:（）A. B.C. D.2．用反證法證明“若a，b∈R，，則a，b不全為0”時，假設正確的是（）A.a，b中只有一個為0 B.a，b至少一個不為0C.a，b至少有一個為0 D.a，b全為03．已知等比數(shù)列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，則下列說法不正確的是（）A.一定單調(diào)遞減 B.一定單調(diào)遞增C.式子-≥0恒成立 D.可能滿足=，且k≠14．若連續(xù)拋擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m，n，則點P(m，n)在直線x＋y＝4上的概率是()A. B.C. D.5．拋物線的焦點到準線的距離為（）A. B.C. D.16．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出的值為（）A. B.C. D.7．直線：和圓的位置關(guān)系是（）A.相離 B.相切或相交C.相交 D.相切8．已知數(shù)列中，，()，則（）A. B.C. D.29．已知圓，若存在過點的直線與圓C相交于不同兩點A，B，且，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.10．在正方體中，為棱的中點，為棱的中點，則直線與平面所成角的正弦值為（）A. B.C. D.11．已知某班有學生48人，為了解該班學生視力情況，現(xiàn)將所有學生隨機編號，用系統(tǒng)抽樣的方法抽取一個容量為4的樣本已知3號，15號，39號學生在樣本中，則樣本中另外一個學生的編號是（）A.26 B.27C.28 D.2912．已知橢圓的右焦點為，為坐標原點，為軸上一點，點是直線與橢圓的一個交點，且，則橢圓的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在處有極值2，則______.14．過直線上一動點P作圓的兩條切線，切點分別為A，B，則四邊形PACB面積的最小值為______15．點到直線的距離為_______.16．已知函數(shù)，則________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知直線：和：（1）若，求實數(shù)m的值；（2）若，求實數(shù)m的值18．（12分）已知橢圓上的點到焦點的最大距離為3，離心率為.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線與橢圓交于不同兩點，與軸交于點，且滿足,若，求實數(shù)的取值范圍.19．（12分）已知為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，且，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）令，求數(shù)列前n項和.20．（12分）已知函數(shù)，是的一個極值點.（1）求b的值；（2）當時，求函數(shù)的最大值.21．（12分）某初中學校響應“雙減政策”，積極探索減負增質(zhì)舉措，優(yōu)化作業(yè)布置，減少家庭作業(yè)時間．現(xiàn)為調(diào)查學生的家庭作業(yè)時間，隨機抽取了名學生，記錄他們每天完成家庭作業(yè)的時間（單位：分鐘），將其分為，，，，，六組，其頻率分布直方圖如下圖：（1）求的值，并估計這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)（中位數(shù)結(jié)果保留一位小數(shù)）；（2）現(xiàn)用分層抽樣的方法從第三組和第五組中隨機抽取名學生進行“雙減政策”情況訪談，再從訪談的學生中選取名學生進行成績跟蹤，求被選作成績跟蹤的名學生中，第三組和第五組各有名的概率22．（10分）已知圓C經(jīng)過、兩點，且圓心在直線上（1）求圓C的方程；（2）若直線經(jīng)過點且與圓C相切，求直線的方程

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】先由在線段的垂直平分線上得出，再由題意得出，進而由橢圓定義可求出點的軌跡方程.【詳解】如圖，因為在線段的垂直平分線上，所以，又點在圓上，所以，因此，點在以、為焦點的橢圓上.其中，，則.從而點的軌跡方程是.故選：B.2、D【解析】把要證的結(jié)論否定之后，即得所求的反設【詳解】由于“a，b不全為0”的否定為：“a，b全為0”，所以假設正確的是a，b全為0.故選：D3、D【解析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，前n項和的意義，可逐項分析求解.【詳解】因為等比數(shù)列的前n項和為，且滿足公比0＜q＜1，＜0，所以當時，由可得，故數(shù)列為增函數(shù)，故B正確；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定單調(diào)遞減，故A正確；因為當時，，，所以，即-，當時，，綜上，故C正確；若=，且k≠1，則，即，因為，故，故矛盾，所以D不正確.故選：D4、D【解析】利用分布計數(shù)原理求出所有的基本事件個數(shù)，在求出點落在直線x+y=4上包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型的概率個數(shù)求出.解：連續(xù)拋擲兩次骰子出現(xiàn)的結(jié)果共有6×6=36，其中每個結(jié)果出現(xiàn)的機會都是等可能的，點P（m，n）在直線x+y=4上包含的結(jié)果有（1，3），（2，2），（3，1）共三個，所以點P（m，n）在直線x+y=4上的概率是3:36=1:12,故選D考點：古典概型點評:本題考查先判斷出各個結(jié)果是等可能事件，再利用古典概型的概率公式求概率，屬于基礎題5、B【解析】由可得拋物線標椎方程為：，由焦點和準線方程即可得解.【詳解】由可得拋物線標準方程為：，所以拋物線的焦點為，準線方程為，所以焦點到準線的距離為，故選：B【點睛】本題考了拋物線標準方程，考查了焦點和準線相關(guān)基本量，屬于基礎題.6、B【解析】計算出、的值，執(zhí)行程序框圖中的程序，進而可得出輸出結(jié)果.【詳解】，，則，執(zhí)行如圖所示的程序，，成立，則，不成立，輸出的值為.故選：B.7、C【解析】直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上，直線的斜率存在，故可知直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系【詳解】圓C：x2+y2﹣2y＝0可化為x2+（y﹣1）2＝1∴圓心為（0，1），半徑為1∵直線l：y﹣1＝k（x﹣1）恒過點（1，1），且點（1，1）在圓上且直線的斜率存在∴直線l：y﹣1＝k（x﹣1）和圓C：x2+y2﹣2y＝0的關(guān)系是相交，故選C【點睛】本題考查的重點是直線與圓的位置關(guān)系，解題的關(guān)鍵是確定直線恒過定點，此題易誤選B，忽視直線的斜率存在8、A【解析】由已知條件求出，可得數(shù)是以3為周期的周期數(shù)列，從而可得，進而可求得答案【詳解】因為，()，所以，所以數(shù)列的周期為3，，故選：A9、D【解析】根據(jù)圓的割線定理，結(jié)合圓的性質(zhì)進行求解即可.【詳解】圓的圓心坐標為：，半徑，由圓的割線定理可知：，顯然有，或，因為，所以，于是有，因為，所以，而，或，所以，故選：D10、D【解析】建立空間直角坐標系，計算平面的法向量，利用線面角的向量公式即得解【詳解】不妨設正方體的棱長為2，連接，以為坐標原點如圖建立空間直角坐標系，則，，，，，，由于平面，平面，故又正方形，故平面故平面，所以為平面的一個法向量，故直線與平面所成角正弦值為.故選：D11、B【解析】由系統(tǒng)抽樣可知抽取一個容量為4的樣本時,將48人按順序平均分為4組,由已知編號可得所求的學生來自第三組,設其編號為,則,進而求解即可【詳解】由系統(tǒng)抽樣可知,抽取一個容量為4的樣本時,將48人分為4組,第一組編號為1號至12號；第二組編號為13號至24號；第三組編號為25號至36號；第四組編號為37號至48號,故所求的學生來自第三組,設其編號為,則,所以,故選:B【點睛】本題考查系統(tǒng)抽樣的編號,屬于基礎題12、D【解析】設橢圓的左焦點為，由橢圓的對稱性可知，則，所以，即可得到的關(guān)系，利用橢圓的定義進而求得離心率.【詳解】設橢圓的左焦點為，連接，因為，所以，如圖所示，所以，設，，則，所以，故選：D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、6【解析】根據(jù)函數(shù)在處有極值2，可得，解方程組即可得解.【詳解】解：，因為函數(shù)在處有極值2，所以，即，解得，則，故當時，，當時，，所以函數(shù)在處有極大值，所以，所以.故答案為：6.14、【解析】當圓心與點的距離最小時，切線長，最小，則四邊形的面積最小，此時是點到已知直線的垂線段.然后利用點到直線的距離公式求出圓心到直線的距離，再結(jié)合弦長公式和面積公式進行計算即可.【詳解】解：根據(jù)題意可知：當圓心與點的距離最小時，切線長，最小，則四邊形的面積最小，此時是點到已知直線的垂線段.圓心到直線的距離為四邊形面積的最小值為故答案為：15、【解析】應用點線距離公式求點線距離.【詳解】由題設，點到距離為.故答案為：16、2【解析】根據(jù)導數(shù)的計算法則計算即可.【詳解】∵，∴，∴∴.故答案為：2.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）2（2）或【解析】（1）易知兩直線的斜率存在，根據(jù)，由斜率相等求解.（2）分和，根據(jù)，由直線的斜率之積為-1求解.【小問1詳解】由直線的斜率存在，且為，則直線的斜率也存在，且為，因為，所以，解得或2，①當時，由此時直線，重合，②當時，，此時直線，平行，綜上：若，則實數(shù)m的值為2【小問2詳解】①當時，直線斜率為0，此時若必有，不可能.②當時，若必有，解得，由上知若，則實數(shù)m的值為或18、(1)(2)，或【解析】（1）由橢圓的性質(zhì)可知：，解得a和c的值，即可求得橢圓C的標準方程；（2）將直線方程代入橢圓方程，由韋達定理求得：，，λ，根據(jù)向量的坐標坐標，（x1+1，y1）＝λ（x2+1，y2），求得，由，代入即可求得實數(shù)m的取值范圍【詳解】(1)由已知，解得，所以，所以橢圓的標準方程為.（2）由已知,設，聯(lián)立方程組，消得，由韋達定理得①②因為，所以，所以③，將③代入①②，，消去得，所以.因為，所以，即，解得，所以，或.【點睛】本題考查橢圓的標準方程及簡單性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，向量的坐標表示，不等式的解法，考查計算能力，屬于中檔題19、（1）；（2）.【解析】（1）先通過等比數(shù)列的基本量運算求出公比，進而求出通項公式；（2）結(jié)合（1）求出，然后根據(jù)錯位相減法求得答案.【小問1詳解】設等比數(shù)列公比為q,,,，（負值舍去），所以.【小問2詳解】，，所以，解得：.20、（1）；（2）【解析】（1）先求出導函數(shù)，再根據(jù)x=2是的一個極值點對應x=2是導數(shù)為0的根即可求b的值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出函數(shù)的極值點，通過比較極值與端點值的大小從而確定出最大值.【小問1詳解】由題設，.∵x=2是的一個極值點，∴x=2是的一個根，代入解得：.經(jīng)檢驗，滿足題意.【小問2詳解】由（1）知：，則.令，解得x=1或x=2.x1(1,2)2(2,3)30﹣0+遞減遞增∵當x∈(1,2)時，即在(1,2)上單調(diào)遞減；當x∈(2,3)時，即在(2,3)上單調(diào)遞增.∴當x∈[1,3]時，函數(shù)的最大值為與中的較大者.∴函數(shù)的最大值為.21、（1）；這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘（2）【解析】（1）由頻率分布直方圖頻率之和為，建立方程求解即可；設中位數(shù)為，利用頻率分布直方圖中位數(shù)定義列出方程即可求解；（2）頻率分布直方圖頻率得到第三組和第五組的人數(shù)，從而列出所有樣本點，再根據(jù)題意利用古典概率模型求解即可.【小問1詳解】根據(jù)頻率分布直方圖可得：，解得．設中位數(shù)為，由題意得，解得所以這名學生完成家庭作業(yè)時間的中位數(shù)約為分鐘【小問2詳解】由頻率分布直方圖知，第三組和第五組的人數(shù)之比為，所以分層抽樣抽出的人中，第三組和第五組的人數(shù)分別為人和人，第三組的名學生記為，，，，第五組的名學生記為，，所以從名學生中抽取名的樣本空間，共15個樣本點，記事件“名中學生，第三組和第五組各名”則，共有個樣本點，所以這名學生中，兩組各有名的概率22、（１）；（２）【解析】（1）根據(jù)圓心在弦的垂直平