甘肅省蘭州市第五十八中學2022-2023學年高三上學期第一次模擬考試數(shù)學（理科）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1蘭州市五十八中2022-2023學年度第一次模擬考試數(shù)學試卷（理科）第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.已知全集U＝{x∈Z|0<x<8}，集合M＝{2,3,5}，N＝{x|x2－8x＋12＝0}，則集合{1,4,7}為()A.M∩(?UN) B.?U(M∩N)C.?U(M∪N) D.(?UM)∩N〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗由N中方程解得：x=2或x=6,即N={2,6}，∵全集U={x∈Z|0<x<8}={1,2,3,4,5,6,7},M={2,3,5}，∴M∪N={2,3,5,6}，則M∩(?UN)={1,2,3,4,5,7};?U(M∩N)={1,3,4,5,6,7};?U(M∪N)={1,4,7};(?UM)∩N={2,6}，故選C.『點石成金』：1.用描述法表示集合，首先要弄清集合中代表元素的含義，再看元素的限制條件，明確集合類型，是數(shù)集、點集還是其他的集合．2．求集合的交、并、補時，一般先化簡集合，再由交、并、補的定義求解．3．在進行集合的運算時要盡可能地借助Venn圖和數(shù)軸使抽象問題直觀化．一般地，集合元素離散時用Venn圖表示；集合元素連續(xù)時用數(shù)軸表示，用數(shù)軸表示時要注意端點值的取舍．2.若是虛數(shù)單位，則復數(shù)的實部與虛部之積為A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖詳析〗由復數(shù)的運算法則有：，則實部和虛部之積為.本題選擇B選項.3.直線與平行,則（）A. B.2 C.或2 D.0或1〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)兩條直線平行的條件列方程，由此解出的值，排除兩條直線重合的情況，由此得出正確選項.〖詳析〗由于兩條直線平行，所以，解得或，當時，兩條直線方程都為，即兩條直線重合，不符合題意，故，所以本小題選B.〖『點石成金』〗本小題主要考查兩條直線平行求參數(shù)，考查兩條直線重合，屬于基礎(chǔ)題.4.已知m，n是直線，α是平面，且m∥α，則下列結(jié)論中正確是（）A.?n?α，都有m∥n B.?n?α，使m⊥nC.?n∥m，都有n∥α D.?n⊥α，使m∥n〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)線面位置關(guān)系逐一說明選項.〖詳析〗若m∥α，n?α，則m，n平行或異面，所以A錯誤；若m∥α，則?l?α，使m∥l,因此?n?α，使l⊥n,即m⊥n，所以B正確；若m∥α，n∥m，則n∥α或n在α內(nèi)，所以C錯誤；若m∥α，則?l?α，使m∥l,因此若n⊥α，則l⊥n,即m⊥n，所以D錯誤；故選：B〖『點石成金』〗本題考查線線以及線面位置，考查空間想象能力以及基本判斷能力，屬基礎(chǔ)題.5.等于（）A. B. C. D.1〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由，觀察可得，代入根據(jù)兩角差的正弦定理展開整理即可得出〖答案〗.〖詳析〗因為，所以.故選：C.6.關(guān)于的不等式組表示的平面區(qū)域的面積為A.3 B. C.2 D.〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗可行域為一個直角三角形ABC，其中所以面積為，選C.7.已知數(shù)列為各項均為正數(shù)的等比數(shù)列，是它的前項和，若，且，則（）A.29 B.30 C.31 D.32〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)由求出，進而求出，求出公比，即可求出結(jié)論.〖詳析〗,，設(shè)的公比為，，.故選:C.〖『點石成金』〗本題考查等比數(shù)列性質(zhì)、等比數(shù)列通項基本量的運算，屬于基礎(chǔ)題.8.如圖所示，在中，點在線段上，且，若，則（）A. B. C.2 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由向量的運算法則，化簡得,再由，即可求得的值，即可求解.〖詳析〗由向量的運算法則，可得,因為，所以，從而求得，故選:B．〖『點石成金』〗該題考查的是有關(guān)向量的基本定理，在解題的過程中，需要利用向量直角的關(guān)系，結(jié)合三角形法則，即可求得結(jié)果，屬于基礎(chǔ)題.9.已知函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則的最小值為（）A.2 B.1 C.4 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由題意可知是函數(shù)的最小值,是函數(shù)的最大值,則的最小值就是函數(shù)的半周期.〖詳析〗對任意的,成立,所以,,所以,又的周期,所以,故選:B.〖『點石成金』〗本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)運用,考查分析理解能力,難度不大10.從5名同學中選若干名分別到圖書館、食堂做志愿者，若每個地方至少去2名，則不同的安排方法共有（）A.20種 B.50種 C.80種 D.100種〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗分去4個人或5個人兩種情況進行討論.〖詳析〗當去4個人時，則安排方法有種，當去5個人時，則安排方法有種，綜上，不同的安排方法共有50種.故選：B.11.已知雙曲線右焦點為，過且垂直于軸的直線與雙曲線交于，兩點，拋物線的焦點為，若為銳角三角形，則雙曲線的離心率的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)，可得，根據(jù)離心率公式可得，又，可得.〖詳析〗在拋物線中，，雙曲線中，當時，，?。驗槭卿J角三角形，所以，則，即．因為雙曲線中，所以，所以，解得，所以．因為，則，所以雙曲線的離心率的取值范圍是．故選：D．〖『點石成金』〗本題考查了拋物線的幾何性質(zhì)，考查了雙曲線的離心率，屬于基礎(chǔ)題.12.已知是偶函數(shù)，在(－∞，0)上滿足恒成立，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由題干條件得到時，，故在上單調(diào)遞減，結(jié)合為偶函數(shù)，得到在上單調(diào)遞增，從而判斷出大小關(guān)系.〖詳析〗時，即，∴在上單調(diào)遞減，又為偶函數(shù)，∴在上單調(diào)遞增．∴，∴.故選：A．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．）13.直線與函數(shù)的圖象恰有三個公共點，則實數(shù)的取值范圍是_______.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗因為分段函數(shù)的分段點是含有參數(shù)的，所以需要將兩個部分函數(shù)圖象先行畫出，并且畫出的圖象，然后平移，查看交點的個數(shù)，由此判斷的取值范圍即可.〖詳析〗，即，解得，；時，解得，當時，直線與函數(shù)有一個交點，為處，不滿足；當時，直線與函數(shù)有兩個交點，為、處，不滿足；當時，直線與函數(shù)有三個交點，為、、，滿足；當，直線與函數(shù)有兩個交點，為、，不滿足；故的取值范圍是.故〖答案〗為：14.已知向量，滿足，，，則向量在向量上的投影為__________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗由已知結(jié)合向量數(shù)量積的性質(zhì)可求，然后代入到向量在向量上的投影公式可求．〖詳析〗，，，，5，則向量在向量上的投影為1，故〖答案〗為﹣1．〖『點石成金』〗本題主要考查了平面向量數(shù)量積的性質(zhì)的簡單應用，熟練掌握基本性質(zhì)是求解問題的關(guān)鍵．15.袋中裝有3個紅球2個白球，從中隨機取球，每次一個，直到取得紅球為止，則取球次數(shù)的數(shù)學期望為_____．〖答案〗##〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意，寫出的所有可能值并求出每個值對應的概率，代入期望的計算公式即可求解.〖詳析〗由題意得的所有可能值為1，2，3，，；，∴．故〖答案〗為：.16.數(shù)列的前項積為，那么當時，______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗設(shè)數(shù)列的前項積為，則即可得解.〖詳析〗解：設(shè)數(shù)列的前項積為，則，當時，．故〖答案〗為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市學校放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間（單位：小時）收看人數(shù)143016282012（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達人”，否則定義為“非體育達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表：男女合計體育達人40非體育達人30合計并判斷能否有90％的把握認為該校教職工是否為“體育達人”與“性別”有關(guān)；（2）在全?！绑w育達人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率.附表及公式：.〖答案〗（1）填表見〖解析〗；有90％的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關(guān)；（2）.〖解析〗〖祥解〗(1)依題意完善列聯(lián)表，計算卡方，再跟參考值相比較，即可判斷；（2）記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為事件，則，計算可得；〖詳析〗解:（1）由題意得下表：男女合計體育達人402060非體育達人303060合計7050120的觀測值為.所以有90％的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關(guān).（2）由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2名女職工，記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為事件，.答：抽取這兩人恰好是一男一女的概率為.〖『點石成金』〗本題考查獨立性檢驗以及古典概型的概率計算，屬于基礎(chǔ)題.18.在直角梯形(如圖1)，，，AD＝8，AB＝BC＝4，M為線段AD中點．將△ABC沿AC折起，使平面ABC⊥平面ACD，得到幾何體B－ACD(如圖2)．（1）求證：CD⊥平面ABC；（2）求AB與平面BCM所成角的正弦值．〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）先根據(jù)勾股定理得到，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可證CD⊥平面ABC；（2）取AC的中點O，連接OB，先證明兩兩垂直，再以為原點，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，利用線面角的向量公式可求出結(jié)果.〖小問1詳析〗由題設(shè)可知，，AD＝8，∴，∴CD⊥AC，又∵平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，∴CD⊥平面ABC．〖小問2詳析〗取AC的中點O，連接OB，由題設(shè)可知△ABC為等腰直角三角形，所以，又因為平面ABC⊥平面ACD，平面平面ACD＝AC，平面，所以平面,連接OM，因為平面,所以，因為M、O分別為AD和AC的中點，所以，所以O(shè)M⊥AC，故以為原點，OM、OC、OB所在直線為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，如圖所示：則，，，，∴，，，設(shè)平面BCM的一個法向量為，則，得，令，得，∴．所以AB與平面BCM所成角的正弦值為.19.已知各項都為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足an＋2＝2an＋1＋3an.（1）證明：數(shù)列{an＋an＋1}為等比數(shù)列；（2）若a1＝，a2＝，求{an}通項公式.〖答案〗（1）證明見〖解析〗（2）an＝×3n－1〖解析〗〖祥解〗（1）將an＋2＝2an＋1＋3an，變形為an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，利用等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）得到an＋an＋1＝2×3n－1，再由an＋2＝2an＋1＋3an，得到an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，結(jié)合求解.〖小問1詳析〗證明：因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2＋an＋1＝3(an＋1＋an)，因為{an}中各項均為正數(shù)，所以an＋1＋an＞0，所以＝3，所以數(shù)列{an＋an＋1}是公比為3的等比數(shù)列.〖小問2詳析〗由題意及（1）知，an＋an＋1＝(a1＋a2)3n－1＝2×3n－1，因為an＋2＝2an＋1＋3an，所以an＋2－3an＋1＝－(an＋1－3an)，a2＝3a1，所以a2－3a1＝0，所以an＋1－3an＝0，故an＋1＝3an，所以4an＝2×3n－1，即an＝×3n－1.20.已知函數(shù)（1）若函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；（2）若函數(shù)在〖1,4〗上單調(diào)遞減，求a取值范圍.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由題意整理函數(shù)的函數(shù)〖解析〗式，明確定義域并求導，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為不等式在閉區(qū)間有解問題，分情況討論，利用二次函數(shù)的性質(zhì)，可得〖答案〗；（2）由題意，將問題轉(zhuǎn)化為不等式在閉區(qū)間上恒成立問題，利用分情況求最值，可得〖答案〗.〖小問1詳析〗由，易知其定義域為，則，因為函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，所以在上有解，當時，不等式為，解得，則當時，不等式成立，符合題意；令，當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，則在上必定有解，符合題意；當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，令，解得，即時，在上有解，符合題意；綜上，.〖小問2詳析〗由（1）可知，，令，由函數(shù)在〖1，4〗上單調(diào)遞減，則在上恒成立，當時，由（1）可知，，解得，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，符合題意；當時，函數(shù)為開口向下的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即，令，解得，符合題意；當時，函數(shù)為開口向上的二次函數(shù)，其對稱軸為直線，①當，即時，則函數(shù)在上，令，解得，即當時，符合題意；②當，即時，則函數(shù)在上，令，解得，即當時，符合題意.綜上，.21.已知，分別是橢圓的左、右焦點.（1）若P是第一象限內(nèi)該橢圓上的一點，，求點P的坐標；（2）設(shè)過定點的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，且為銳角（其中O為坐標原點），求直線l的斜率k的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由題得，聯(lián)立橢圓方程，解方程組即得解；（2）顯然不滿足題意，可設(shè)l的方程為，聯(lián)立直線和橢圓方程得到韋達定理，由為銳角，得到，把韋達定理代入化簡即得解.〖詳析〗（1）因為橢圓方程為，所以，，，可得，，設(shè)（，），則，所以，聯(lián)立解得，即.（2）顯然不滿足題意，可設(shè)l的方程為，，，聯(lián)立，由，得.，.又為銳角，即，即，，，可得.又，即為，解得.〖『點石成金』〗關(guān)鍵點『點石成金』：解答本題的關(guān)鍵是由為銳角，聯(lián)想到，再利用數(shù)量積的坐標運算和韋達定理得到關(guān)于的不等式，解不等式即得解.（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．〖選修4-4：坐標系與參數(shù)方程〗22.在平面直角坐標系xOy中，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以該直角坐標系的原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為．（1）求直線l的普通方程和曲線C的直角坐標方程；（2）求直線l被曲線C截得的弦長是多少？〖答案〗（1），（2）8〖解析〗〖祥解〗（1）消去參數(shù)可得直線l的普通方程，根據(jù)公式，可得曲線C的直角坐標方程；（2）聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式可求出結(jié)果.〖小問1詳析〗由消去參數(shù)t，得直線l的普通方程為．∵曲線C的極坐標方程為，即，將，代入得，即.∴曲線C的直角坐標方程為．〖小問2詳析〗聯(lián)立，得，，設(shè)直線l與拋物線C交于點，，則，，故直線l被曲線C截得的弦長為．〖選修4-5：不等式〗23.已知.（1）當時，求不等式的解集；（2）若時不等式成立，求的取值范圍.〖答案〗（1）；（2）．