甘肅省蘭州市第五十中學(xué)2022-2023學(xué)年高三第一次模擬考試數(shù)學(xué)（理科）試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1蘭州市五十中2022-2023學(xué)年度第一次模擬考試數(shù)學(xué)試卷（理科）第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共12小題，每小題5分，共60分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知集合，，則真子集的個(gè)數(shù)（）A.8 B.7 C.4 D.6〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用對(duì)數(shù)不等式的解法及交集的定義，結(jié)合真子集的個(gè)數(shù)公式即可求解.〖詳析〗由題，則，得，所以，，所以真子集的個(gè)數(shù)為．故選：B.2.設(shè)i是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)z的模為（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，計(jì)算出的模.〖詳析〗依題意，，故選D.〖『點(diǎn)石成金』〗本小題主要考查復(fù)數(shù)模的概念及運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3.下列命題中是假命題的是()A.?x∈R， B.?x∈R，cosx＝1C.?x∈R，>0 D.?x∈R，>0〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗；；；，所以假命題是C4.已知為第二象限角，則（）A.3 B. C.1 D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗由為第二象限角，可得，再結(jié)合，化簡(jiǎn)即可.〖詳析〗由題意，，因?yàn)闉榈诙笙藿?，所以，所?故選：C.〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查同角三角函數(shù)基本關(guān)系的運(yùn)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5.總體由編號(hào)為01，02，，49，50的50個(gè)個(gè)體組成，利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取6個(gè)個(gè)體，選取方法是從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，則選出的第4個(gè)個(gè)體的編號(hào)為附：第6行至第9行的隨機(jī)數(shù)表27486198716441487086288885191620747701111630240429797991968351253211491973064916767787339974673226357900337091601620388277574950A.3 B.19 C.38 D.20〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗根據(jù)用用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法，得出結(jié)論．〖詳析〗解：從隨機(jī)數(shù)表第6行的第9列和第10列數(shù)字開始從左到右依次選取兩個(gè)數(shù)字，位于01至50中間，含端點(diǎn)，則這四個(gè)數(shù)為：41、48、28，19，故選：B．〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查用隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，屬于基礎(chǔ)題．6.已知非零單位向量滿足，則與夾角是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由等式兩邊同時(shí)平方可得，同時(shí)計(jì)算出的值，設(shè)與的夾角為，代入公式，計(jì)算可得〖答案〗.〖詳析〗解：由等式兩邊同時(shí)平方可得：，化簡(jiǎn)可得：，又因?yàn)?，所以，設(shè)與的夾角為，則，又，所以，故選：D.〖『點(diǎn)石成金』〗本題主要考查向量的模、夾角及平面向量數(shù)量積的公式，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.7.若存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命題，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A.(－∞，1) B.(－∞，1〗C.(－1，1) D.(－1，1〗〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗求得特稱命題的否定，結(jié)合一元二次不等式在上恒成立求參數(shù)范圍即可.〖詳析〗命題：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0的否定是：對(duì)任意的，.若對(duì)任意的，為真命題，則：當(dāng)時(shí)，，顯然不是恒成立，故舍去；當(dāng)時(shí)，，且，解得.綜上所述，.又因?yàn)樵}：存在x∈R，使ax2＋2x＋a<0是真命題，故任意的，是假命題.故.故選：.〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查由特稱命題的真假求參數(shù)的范圍，涉及一元二次不等式在上恒成立求參數(shù)范圍，屬綜合基礎(chǔ)題.8.數(shù)列滿足，且對(duì)任意的都有，則的前100項(xiàng)和為A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖詳析〗試題分析：由可得,取,并將這些等式兩邊相加可得因,因,故,故應(yīng)選D.考點(diǎn)：數(shù)列求和的疊加和裂項(xiàng)相消等方法．〖易錯(cuò)點(diǎn)晴〗本題重點(diǎn)考查是數(shù)列求和的方法,解答時(shí)可充分借助題設(shè)條件,先想方設(shè)法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式,再求數(shù)列的前項(xiàng)和.在求數(shù)列一的通項(xiàng)公式時(shí),依據(jù)道可得,再對(duì)取值,并將所得這個(gè)等式兩邊相加,抵消去相同的項(xiàng)并化簡(jiǎn)計(jì)算可得,當(dāng)?shù)玫綍r(shí),再巧妙地將其變形為,運(yùn)用裂項(xiàng)相消的方法從而使問(wèn)題獲解.9.一個(gè)幾何體三視圖如下圖所示，則該幾何體體積為（）A.12 B.8 C.6 D.4〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)三視圖還原立體幾何圖得該幾何體為三棱錐，然后代入棱錐體積計(jì)算公式求解.〖詳析〗由三視圖可知該幾何體為三棱錐，如圖，故其體積，故選：D．10.已知是橢圓：的左焦點(diǎn)，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓交于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，根據(jù)正弦定理即可求得和的關(guān)系，即可求得橢圓的離心率．〖詳析〗解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)，連接，，根據(jù)橢圓對(duì)稱性可知四邊形為平行四邊形，則，且由，可得，所以，則，由余弦定理可得，即，∴橢圓離心率，故選：A．〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查橢圓離心率的求解，其中涉及到橢圓的定義以及余弦定理，對(duì)學(xué)生的分析與計(jì)算能力要求較高，難度較難.11.李雷和韓梅梅兩人都計(jì)劃在國(guó)慶節(jié)的7天假期中，到“東亞文化之都--泉州”“二日游”，若他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有A.16種 B.18種 C.20種 D.24種〖答案〗C〖解析〗〖詳析〗分析：根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，“東亞文化之都﹣﹣泉州”“二日游”，任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，分兩種情況討論即可．詳情：任意相鄰兩天組合一起，一共有6種情況，如①②，②③，③④，④⑤，⑤⑥，⑥⑦，若李雷選①②或⑥⑦，則韓梅梅有4種選擇，選若李雷選②③或③④或④⑤或⑤⑥，則韓梅梅有3種選擇，故他們不同一天出現(xiàn)在泉州，則他們出游的不同方案共有2×（4+6）=20，故〖答案〗為C『點(diǎn)石成金』：本題主要考查計(jì)數(shù)原理，意在考查計(jì)數(shù)原理等基礎(chǔ)知識(shí)的掌握能力和分類討論思想的運(yùn)用能力.12.已知函數(shù)，若函數(shù)在上的最小值為，則的值為A B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖詳析〗由題意，，若，則，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，矛盾；若，函數(shù)在上遞減，在上遞增，所以，解得；若，函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以，矛盾；若，函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，解得，矛盾.綜上.故選：A.第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分，把〖答案〗填在答題卡中的橫線上．）13.如圖為計(jì)算函數(shù)值的程序框圖，則此程序框圖中的判斷框內(nèi)應(yīng)填________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗將化簡(jiǎn)成分段函數(shù)即可求解〖詳析〗由知，判斷框內(nèi)應(yīng)填故〖答案〗為：14.已知，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________．〖答案〗〖解析〗〖詳析〗由于恒成立，需，由基本不等式得，因此，．『點(diǎn)石成金』：在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.15.已知直線，則過(guò)圓的圓心且與直線垂直的直線的方程為________.〖答案〗〖解析〗〖祥解〗將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,求得圓心.由兩條直線垂直可得直線的斜率.由點(diǎn)斜式即可求得直線的方程.〖詳析〗圓,化為標(biāo)準(zhǔn)方程可得則圓心坐標(biāo)為因?yàn)?直線與直線垂直由兩條直線垂直的斜率關(guān)系可得直線的斜率為由點(diǎn)斜式方程可得化簡(jiǎn)即故〖答案〗為:〖『點(diǎn)石成金』〗本題考查了圓的一般方程與標(biāo)準(zhǔn)方程的轉(zhuǎn)化,兩條直線垂直時(shí)斜率關(guān)系,點(diǎn)斜式方程的簡(jiǎn)單應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.16.對(duì)大于或等于的自然數(shù)的次方冪有如下分解方式：根據(jù)上述分解規(guī)律，則,若的分解中最小的數(shù)是73，則的值為__________.〖答案〗9〖解析〗〖詳析〗試題分析：根據(jù)23=3+5，33=7+9+11，43=13+15+17+19，從23起，m3的分解規(guī)律恰為數(shù)列3，5，7，9，若干連續(xù)項(xiàng)之和，23為前兩項(xiàng)和，33為接下來(lái)三項(xiàng)和，故m3的首數(shù)為m2－m+1．∵m3（m∈N*）的分解中最小的數(shù)是73，∴m2-m+1=73，∴m=9．故〖答案〗為9．考點(diǎn)：本題主要考查歸納推理，等差數(shù)列通項(xiàng)公式．點(diǎn)評(píng)：中檔題，歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.在四邊形中，∥，．（1）若，求；（2）若，求．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）在三角形中，根據(jù)余弦定理可求出的大小，即為的大小，然后在三角形中根據(jù)余弦定理可以求出的值（2）根據(jù)，分別表示出兩角的余弦令其相等，可求出的長(zhǎng)度，從而求出〖小問(wèn)1詳析〗在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，由題得：，所以，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，所以，〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，在三角形中，根據(jù)余弦定理可得，，所以，得：或（舍），則18.如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD為直角梯形，，AB⊥AD，四邊形ADEF為正方形，平面ADEF⊥平面ABCD．BC＝3AB＝3AD，M為線段BD的中點(diǎn)．（1）求證：BD⊥平面AFM；（2）求平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值．〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗；（2）.〖解析〗〖祥解〗(1)證明AF⊥BD以及BD⊥AM即可求證BD⊥AM；(2)在點(diǎn)A處建立空間坐標(biāo)系，分別計(jì)算平面AFM與平面ACE的法向量，結(jié)合空間角與向量角的聯(lián)系計(jì)算即可.〖小問(wèn)1詳析〗因?yàn)樗倪呅蜛DEF為正方形，所以AF⊥AD．又因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，且平面平面ABCD＝AD，平面，所以AF⊥平面ABCD，而平面，所以AF⊥BD，因?yàn)锳B＝AD，M線段BD的中點(diǎn)，所以BD⊥AM，且AM∩AF＝A，平面，所以BD⊥平面AFM小問(wèn)2詳析〗由（1）知AF⊥平面ABCD，所以AF⊥AB，AF⊥AD，又AB⊥AD，所以AB，AD，AF兩兩垂直．分別以為x軸，y軸，z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)－xyz（如圖）．設(shè)AB＝1，則A，B，C，D，E，所以，，，設(shè)平面ACE的一個(gè)法向量為，則即，令y＝1，則，則．由（1）知，為平面AFM的一個(gè)法向量．設(shè)平面AFM與平面ACE所成的銳二面角為，則．所以平面AFM與平面ACE所成的銳二面角的余弦值為．19.清華大學(xué)自主招生考試題中要求考生從A，B，C三道題中任選一題作答，考試結(jié)束后，統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示共有600名學(xué)生參加測(cè)試，選擇A，B，C三題答卷數(shù)如下表：題

A

B

C

答卷數(shù)

180

300

120

（Ⅰ）負(fù)責(zé)招生的教授為了解參加測(cè)試的學(xué)生答卷情況，現(xiàn)用分層抽樣的方法從600份〖答案〗中抽出若干份答卷，其中從選擇A題作答的答卷中抽出了3份，則應(yīng)分別從選擇B，C題作答的答卷中各抽出多少份？（Ⅱ）測(cè)試后的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，A題的答卷得優(yōu)的有60份，若以頻率作為概率，在（Ⅰ）問(wèn)中被抽出的選擇A題作答的答卷中，記其中得優(yōu)的份數(shù)為，求的分布列及其數(shù)學(xué)期望．〖答案〗(Ⅰ)5份，2份；（Ⅱ）詳見(jiàn)〖解析〗．〖解析〗〖詳析〗試題分析：(Ⅰ)根據(jù)分層比是，所以每一層都是按此分層比抽取，題抽取，題抽取的是；（Ⅱ）由題可知得優(yōu)的概率是，所以題抽取的3人中，〖答案〗滿足優(yōu)的份數(shù),根據(jù)二項(xiàng)分布的公式列出分布列，和期望．試題〖解析〗解：（Ⅰ）由題意可得：題

A

B

C

答卷數(shù)

180

300

120

抽出的答卷數(shù)

3

5

2

應(yīng)分別從題的答卷中抽出份，份．（Ⅱ）由題意可知，A題〖答案〗得優(yōu)的概率為，顯然被抽出的A題的〖答案〗中得優(yōu)的份數(shù)的可能取值為0,1,2,3，且．；；；隨機(jī)變量的分布列為：

所以．考點(diǎn)：1．分層抽樣；2．二項(xiàng)分布．20.已知橢圓的離心率為，直線交于，兩點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，.（1）求E的方程；（2）設(shè)A在直線上的射影為D，證明：直線過(guò)定點(diǎn)，并求定點(diǎn)坐標(biāo).〖答案〗（1）；（2）證明見(jiàn)〖解析〗，定點(diǎn).〖解析〗〖祥解〗（1）首先根據(jù)題意得到，橢圓過(guò)點(diǎn)，從而得到，，即可得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）首先設(shè)，，則，聯(lián)立橢圓與直線得到，利用根系關(guān)系得到，再寫出直線，利用根系關(guān)系即可得到定點(diǎn).〖詳析〗（1）由題意得，整理得，由時(shí)，，得到橢圓過(guò)點(diǎn)，得.因此，，故的方程是.（2）設(shè)，，則.將代入得，，，.從而①.直線，設(shè)直線與x軸的交點(diǎn)為，則，.所以，.將①式代入上式可得.故直線過(guò)定點(diǎn).〖『點(diǎn)石成金』〗本題第一問(wèn)考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，第二問(wèn)考查直線與橢圓的位置關(guān)系，同時(shí)考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.21.設(shè)函數(shù)其中(Ⅰ)若曲線在點(diǎn)處切線的傾斜角為，求的值;(Ⅱ)已知導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上存在零點(diǎn)，證明:當(dāng)時(shí)，.〖答案〗(Ⅰ)；(Ⅱ)證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗(Ⅰ)求導(dǎo)得到，，解得〖答案〗.(Ⅱ)，故，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，設(shè)，證明函數(shù)單調(diào)遞減，故，得到證明.〖詳析〗(Ⅰ)，故，，故.(