黑龍江省大慶市2023屆高三第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1大慶市2023屆高三年級(jí)第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)集合，集合，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用交集的運(yùn)算求解.〖詳析〗因?yàn)椋?，且，所以，故選：A2.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，可得的虛部．〖詳析〗因?yàn)椋詮?fù)數(shù)的虛部為．故選：C3.已知，，若，則（）A. B.4 C.3 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解，〖詳析〗因，所以，所以.故選：B4.我國(guó)西北某地區(qū)開(kāi)展改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)對(duì)近5年投入的沙漠治理經(jīng)費(fèi)x（億元）和沙漠治理面積y（萬(wàn)畝）的相關(guān)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)如下表所示．治理經(jīng)費(fèi)x/億元34567治理面積y/萬(wàn)畝1012111220根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，得到y(tǒng)關(guān)于x的線性回歸方程為，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗利用線性回歸直線方程過(guò)定點(diǎn)，可得〖答案〗.〖詳析〗因?yàn)?，因回歸方程過(guò)定點(diǎn)，將其代入，得，解得，故選：C5.已知，，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗由對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)求解，〖詳析〗因?yàn)椋?則，所以.故選：B6.已知不重合的直線，，和不重合的平面，，下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，，，則B.若，，，，則C.若，，則D.若，，，，則〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗由線線垂直得不到面面垂直，可判斷A錯(cuò)；無(wú)法判斷是否相交，故B錯(cuò)誤；存在特殊情況，故C錯(cuò)誤；由線面平行的性質(zhì)和判定定理可判斷D正確.〖詳析〗對(duì)選項(xiàng)A，如圖所示，滿(mǎn)足命題條件，但不一定滿(mǎn)足，故A錯(cuò)；對(duì)選項(xiàng)B，當(dāng)，時(shí)，都滿(mǎn)足，，但推不出，故B錯(cuò)；對(duì)選項(xiàng)C，存在特殊情況，故C錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D，因?yàn)?，，，所以，又，，所?故選：D7.設(shè)x，，則“”是“x，y中至少有一個(gè)大于1”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用反證法可以得到時(shí)x，y中至少有一個(gè)大于1，充分性成立，再舉出反例，證明必要性不成立〖詳析〗假設(shè)x，y均不大于1，即且，則，這與已知條件矛盾，故當(dāng)時(shí)x，y中至少有一個(gè)大于1，故充分性成立；取，，滿(mǎn)足x，y中至少有一個(gè)大于1，但不成立，故必要性不成立，故“”是“x，y中至少有一個(gè)大于1”的充分不必要條件.故選：A8.設(shè)拋物線：焦點(diǎn)為，點(diǎn)在上，，若，則（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗根據(jù)題意得出是拋物線通徑的一半，再由勾股定理即可解決.〖詳析〗由題意可知，，所以.因?yàn)閽佄锞€的通徑長(zhǎng)，所以軸，所以故選：D.9.函數(shù)（，，）的部分圖象如圖所示，將f（x）的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)g（x）的圖象，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗首先根據(jù)函數(shù)圖象得到，再根據(jù)平移變換求解即可.〖詳析〗由圖知：，則，，所以，則，即.因?yàn)?，所以，，即?因?yàn)?，得，所?所以.故選：C10.在三棱錐中，平面ABC，且，，E，F(xiàn)分別為BC，PA的中點(diǎn)，則異面直線EF與PC所成角的余弦值為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗要求異面直線的夾角，利用線線平行進(jìn)行轉(zhuǎn)化，如圖分別取AB，PB的中點(diǎn)M，G，連接FM，ME，GE，F(xiàn)G，則，所以或其補(bǔ)角為異面直線EF與PC所成的角，解三角形即可得解.〖詳析〗如圖所示，分別取AB，PB的中點(diǎn)M，G，連接FM，ME，GE，F(xiàn)G，則，所以（或其補(bǔ)角）為異面直線EF與PC所成的角．因?yàn)?，，所以，．因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，，平面ABC，，平面ABC，所以，且．在中，．在中，，，由余弦定理得，所以異面直線EF與PC所成角的余弦值為．故選：B11.已知函數(shù)，的定義域均為，且，，若的圖象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，，則（）A. B. C.0 D.2〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗依題意可得，再由可得，即可得到為偶函數(shù)，再由得到，即可得到的周期為，再根據(jù)所給條件計(jì)算可得.〖詳析〗因?yàn)榈膱D象關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)，所以，所以，因?yàn)椋?，所以為偶函?shù)．因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以的周期為，所以．因?yàn)椋?，故．故選：A12.設(shè)，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P，Q在橢圓C上，若，且，則橢圓C的離心率為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗利用數(shù)量積知識(shí)得，然后利用第一定義及勾股定理得到a、c關(guān)系，即可求出離心率〖詳析〗由，得，則點(diǎn)P是以為直徑的圓與橢圓C的交點(diǎn)，不妨設(shè)和點(diǎn)P在第一象限，如圖連接，令，則，，．因?yàn)椋?，即，得，又，所以，將代入，得．故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.函數(shù)的圖象在點(diǎn)處的切線方程為_(kāi)_____．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗先求導(dǎo)，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義和點(diǎn)斜式即可求解〖詳析〗因?yàn)?，所以．因?yàn)?，，所以所求切線方程為，即.故〖答案〗為：14.已知直線與圓相離，則整數(shù)的一個(gè)取值可以是______．〖答案〗或或（注意：只需從中寫(xiě)一個(gè)作答即可）〖解析〗〖祥解〗利用直線與圓的位置關(guān)系列出不等式組，解出整數(shù)的范圍．〖詳析〗因?yàn)閳A的圓心為，所以圓心到直線的距離，因?yàn)閳A的方程可化簡(jiǎn)為，即半徑為，所以，所以，故整數(shù)的取值可能是．故〖答案〗為：或或（注意：只需從中寫(xiě)一個(gè)作答即可）15.一個(gè)口袋里有大小相同的白球個(gè)，黑球個(gè)，現(xiàn)從中隨機(jī)一次性取出個(gè)球，若取出的兩個(gè)球都是白球的概率為，則黑球的個(gè)數(shù)為_(kāi)_____．〖答案〗5〖解析〗〖祥解〗根據(jù)古典概型的概率公式及組合數(shù)公式得到方程，解得即可.〖詳析〗由題意得，所以，解得或（舍去），即黑球的個(gè)數(shù)為．故〖答案〗為：16.已知的展開(kāi)式中第4項(xiàng)與第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之比是，則______，展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____．（用數(shù)字作答）〖答案〗①.9②.〖解析〗〖祥解〗空1：根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)得，解出即可；空2：由題化簡(jiǎn)得其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解出值，代回即可得到其常數(shù)項(xiàng).〖詳析〗由題意得，即，解得．展開(kāi)式的通項(xiàng)為．令，解得，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為．故〖答案〗為：9；.三、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.設(shè)是公差不為0的等差數(shù)列，，是，的等比中項(xiàng).（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)的公差為，由題意可得，求出，即可求出的通項(xiàng)公式；（2）由裂項(xiàng)相消法求和即可得出〖答案〗〖小問(wèn)1詳析〗設(shè)的公差為，因?yàn)椋?，的等比中?xiàng)，所以，所以.因?yàn)?，所以，?〖小問(wèn)2詳析〗因?yàn)椋?18.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知.（1）求角A；（2）若，D為BC邊的中點(diǎn)，，求a的值.〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）由兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求解，（2）由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律與余弦定理求解，〖小問(wèn)1詳析〗由題意得，所以，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?〖小問(wèn)2詳析〗由，可得.因?yàn)?，，，所以，解?因?yàn)?，所?19.如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，，分別是，的中點(diǎn).（1）證明：∥平面；（2）求平面與平面夾角的余弦值.〖答案〗（1）證明見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）取的中點(diǎn)，連接，，由三角形中位線定理結(jié)合已知條件可得四邊形是平行四邊形，則∥，再由線面平行的判定定理可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解.〖小問(wèn)1詳析〗證明：取的中點(diǎn)，連接，，∵，分別是，的中點(diǎn)，∴∥，∵底面是矩形，是的中點(diǎn)，∴∥∥，∴四邊形是平行四邊形，∴∥，∵平面，平面，∴∥平面.〖小問(wèn)2詳析〗解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，的方向分別為，，軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，設(shè)平面的法向量為，則，令，得.取平面的一個(gè)法向量.設(shè)平面與平面的夾角為，由圖可知為銳角，則故平面與平面夾角的余弦值為.20.鹽水選種是古代勞動(dòng)人民的智慧結(jié)晶，其原理是借助鹽水估測(cè)種子的密度，進(jìn)而判斷其優(yōu)良.現(xiàn)對(duì)一批某品種種子的密度（單位：）進(jìn)行測(cè)定，認(rèn)為密度不小于的種子為優(yōu)種，小于的為良種.自然情況下，優(yōu)種和良種的萌發(fā)率分別為和.（1）若將這批種子的密度測(cè)定結(jié)果整理成頻率分布直方圖，如圖所示，據(jù)圖估計(jì)這批種子密度的平均值；（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）（2）在（1）的條件下，用頻率估計(jì)概率，從這批種子（總數(shù)遠(yuǎn)大于2）中選取2粒在自然情況下種植，設(shè)萌發(fā)的種子數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望（各種子的萌發(fā)互相獨(dú)立）；（3）若該品種種子的密度，任取該品種種子20000粒，估計(jì)其中優(yōu)種的數(shù)目.附：假設(shè)隨機(jī)變量，則.〖答案〗（1）1.24（2）分布列見(jiàn)〖解析〗，期望1.44；（3）粒.〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)頻率分布直方圖直接計(jì)算平均值即可；（2）求出一粒種子發(fā)芽的概率，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布求解分布列與期望；（3）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性，利用參考數(shù)據(jù)直接求指定區(qū)間的概率即可得解.〖小問(wèn)1詳析〗種子密度的平均值為：（）〖小問(wèn)2詳析〗由頻率分布直方圖知優(yōu)種占比為，任選一粒種子萌發(fā)的概率，因?yàn)闉檫@批種子總數(shù)遠(yuǎn)大于2，所以，，，，所以布列為：0期望.〖小問(wèn)3詳析〗因?yàn)樵撈贩N種子的密度，所以，，即，所以20000粒種子中約有優(yōu)種（粒）即估計(jì)其中優(yōu)種的數(shù)目為粒.21.已知雙曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，且焦點(diǎn)到漸近線的距離為2.（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)為雙曲線的右頂點(diǎn)，直線與雙曲線交于不同于的，兩點(diǎn)，若以為直徑的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)且于，證明：存在定點(diǎn)，使得為定值.〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥解〗（1）由已知可設(shè)，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，根據(jù)條件列出a，c關(guān)系式，解出代入方程即可；（2）對(duì)直線的斜率能否為0進(jìn)行討論.斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立直線與橢圓的方程，有垂直關(guān)系時(shí)，在圓錐曲線中常用向量法，化簡(jiǎn)得到m，k的關(guān)系式；斜率不存在時(shí)，寫(xiě)出直線方程，驗(yàn)證即可.〖小問(wèn)1詳析〗設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，焦點(diǎn)為，，因?yàn)殡p曲線與橢圓有相同的焦點(diǎn)，所以.因?yàn)榻裹c(diǎn)到漸近線的距離為2，所以，從而，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為〖小問(wèn)2詳析〗證明：設(shè)，.①當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)的方程為，聯(lián)立方程組化簡(jiǎn)得，則，即，且因?yàn)椋?，化?jiǎn)得所以或，且均滿(mǎn)足.當(dāng)時(shí)，直線的方程為，直線過(guò)定點(diǎn)，與已知矛盾；當(dāng)時(shí)，直線的方程為，過(guò)定點(diǎn)②當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱(chēng)性，不妨設(shè)DE方程為：y=x-1，聯(lián)立方程組，得得，，此時(shí)直線過(guò)定點(diǎn)因?yàn)?，所以點(diǎn)在以為直徑的圓上，為該圓的圓心,為該圓的半徑，故存在定點(diǎn)，使得為定值〖『點(diǎn)石成金』〗圓錐曲線中的定值問(wèn)題通常是通過(guò)設(shè)參數(shù)或取“特殊值”來(lái)確定定值是多少.因此求解時(shí)應(yīng)設(shè)參數(shù)，運(yùn)用推理，到最后必定參數(shù)統(tǒng)消，定值顯現(xiàn).22.已知函數(shù)的兩個(gè)不同極值點(diǎn)分別為，（）.（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：（為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.〖答案〗（1）（2）證明見(jiàn)〖解析〗〖解析〗〖祥