湖南省長(zhǎng)沙市2023屆高三上學(xué)期新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高考模擬試題PAGEPAGE1長(zhǎng)沙市2023年新高考適應(yīng)性考試數(shù)學(xué)一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知復(fù)數(shù)z滿足，則（）A. B.C.2 D.〖答案〗B〖解析〗〖祥解〗利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算求得，進(jìn)而求得.〖詳析〗，所以.故選：B2.設(shè)集合，，則的元素個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2C.3 D.4〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗聯(lián)立求出交點(diǎn)坐標(biāo)，從而得到〖答案〗.〖詳析〗聯(lián)立，即，解得：或，即，故的元素個(gè)數(shù)為3.故選：C3.已知，，，則（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)可得，即可得出，則；又，即可得出.〖詳析〗，所以，所以.，所以.所以有.故選：C.4.的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗先求出展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，然后求出其一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，從而可求得結(jié)果.〖詳析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，所以的展開(kāi)式中，常數(shù)項(xiàng)為，故選：D5.在平行六面體中，已知，，，，，則的值為（）A10.5 B.12.5C.22.5 D.42.5〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗將作為基底，然后用基底表示出，再求其數(shù)量積即可.〖詳析〗由題意得，，因?yàn)?，，，，，所以，故選：A6.若，則的值為（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗〖祥解〗由已知可得，進(jìn)而求出.將化為二次齊次式，即可求出結(jié)果.〖詳析〗由可得，，所以，所以.故選：A.7.裴波那契數(shù)列，因數(shù)學(xué)家萊昂納多·裴波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為“兔子數(shù)列”，該數(shù)列滿足，且．盧卡斯數(shù)列是以數(shù)學(xué)家愛(ài)德華·盧卡斯命名，與裴波那契數(shù)列聯(lián)系緊密，即，且，則（）A B.C. D.〖答案〗C〖解析〗〖祥解〗先利用數(shù)列的遞推式推得，從而推得，由此得解.〖詳析〗因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，所以，故，因?yàn)?，所以，，故，所?故選：C.8.在平面直角坐標(biāo)系中,已知,,若該平面中存在點(diǎn),同時(shí)滿足兩個(gè)條件與,則的取值范圍是（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗〖祥解〗設(shè)出點(diǎn)坐標(biāo),根據(jù),求出點(diǎn)的軌跡方程,根據(jù),可求出點(diǎn)的另一個(gè)軌跡方程,只需這兩個(gè)方程的曲線無(wú)交點(diǎn)即可,利用圓與圓的位置關(guān)系列出等式求出范圍即可.〖詳析〗解:由題知,不妨設(shè),因?yàn)?所以,化簡(jiǎn)可得:,故點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,又因?yàn)?所以,化簡(jiǎn)可得:,即點(diǎn)在以為圓心,為半徑的圓上,故若存在點(diǎn)P，只需圓與圓有交點(diǎn)即可,即,同時(shí)平方化簡(jiǎn)可得:,即,解得:.所以不存在點(diǎn)P時(shí)，或.故選:D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知雙曲線的方程為，則（）A.漸近線方程為 B.焦距為C.離心率為 D.焦點(diǎn)到漸近線的距離為8〖答案〗BC〖解析〗〖祥解〗A選項(xiàng)，先判斷出雙曲線焦點(diǎn)在軸上，利用公式求出漸近線方程；B選項(xiàng)，求出，得到焦距；C選項(xiàng)，根據(jù)離心率公式求出〖答案〗；D選項(xiàng)，利用點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解.〖詳析〗焦點(diǎn)在軸上，故漸近線方程為，A錯(cuò)誤；，故，故焦距為，B正確；離心率為，C正確；焦點(diǎn)坐標(biāo)為，故焦點(diǎn)到漸近線的距離為，D錯(cuò)誤.故選：BC10.自然環(huán)境中，大氣壓受到各種因素的影響，如溫度、濕度、風(fēng)速和海拔等方面的改變，都將導(dǎo)致大氣壓發(fā)生相應(yīng)的變化，其中以海拔的影響最為顯著．下圖是根據(jù)一組觀測(cè)數(shù)據(jù)得到海拔6千米～15千米的大氣壓強(qiáng)散點(diǎn)圖，根據(jù)一元線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，決定系數(shù)為；根據(jù)非線性回歸模型得到經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，決定系數(shù)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.由散點(diǎn)圖可知，大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)B.由方程可知，海拔每升高1千米，大氣壓強(qiáng)必定降低4.0kPaC.由方程可知，樣本點(diǎn)的殘差為D.對(duì)比兩個(gè)回歸模型，結(jié)合實(shí)際情況，方程的預(yù)報(bào)效果更好〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)散點(diǎn)圖即可得出A項(xiàng)；根據(jù)回歸方程的含義可判斷B項(xiàng)；根據(jù)殘差計(jì)算公式求出殘差，可判斷C項(xiàng)；根據(jù)實(shí)際大氣壓強(qiáng)不能為負(fù)，可判斷D項(xiàng).〖詳析〗對(duì)于A項(xiàng)，由圖象知，海拔高度越高，大氣壓強(qiáng)越低，所以大氣壓強(qiáng)與海拔高度負(fù)相關(guān)，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，回歸直線得到的數(shù)據(jù)為估計(jì)值，而非精確值，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，又由散點(diǎn)圖知觀測(cè)值為，所以樣本點(diǎn)的殘差為，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，隨著海拔高度的增加，大氣壓強(qiáng)越來(lái)越小，但不可能為負(fù)數(shù)，因此方程的預(yù)報(bào)效果更好，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)與相交于A，B兩點(diǎn)，與相交于C，D兩點(diǎn)，若A，B，C，D四點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為，，，，且，，則（）A. B.C. D.〖答案〗ABD〖解析〗〖祥解〗根據(jù)，分別代入，即可判斷A,B，根據(jù)，關(guān)于直線的對(duì)稱，因此可知對(duì)稱，對(duì)稱，即可根據(jù)對(duì)稱性判斷CD.〖詳析〗由題意可知是方程的一個(gè)根，則，將代入得，所以也是方程的一個(gè)根，所以，故，故A正確，由題意可知是方程的一個(gè)根，則，則，所以也是方程的一個(gè)根，所以，故，故B正確，設(shè)點(diǎn)在函數(shù)上，則滿足，即點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，將代入得，即可，因此可知在函數(shù)上，即關(guān)于直線的對(duì)稱，又關(guān)于直線的對(duì)稱，因此可知對(duì)稱，對(duì)稱，故和，所以，，故D正確，由于，故C錯(cuò)誤，故選：ABD12.如圖，已知是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形，D，E分別是AB，AC的中點(diǎn)，將沿著DE翻折，使點(diǎn)A到點(diǎn)P處，得到四棱錐，則（）A.翻折過(guò)程中，該四棱錐的體積有最大值為3B.存在某個(gè)點(diǎn)位置，滿足平面平面C.當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值為D.當(dāng)時(shí)，該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為〖答案〗ACD〖解析〗〖祥解〗當(dāng)平面平面時(shí)，體積最大，求出底面積和高，即可求出最值，判斷A項(xiàng)；找出平面與平面所成二面角，根據(jù)題意推導(dǎo)出，即可說(shuō)明B項(xiàng)錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)題意可得即為直線與平面所成的角.根據(jù)余弦定理以及三角函數(shù)可推出，進(jìn)而得出，即可得出結(jié)果，得出C項(xiàng)；由已知可推得平面平面.設(shè)球心為，的外心為，點(diǎn)為等腰梯形的外心，可得四邊形為矩形，進(jìn)而求出即半徑的長(zhǎng)，即可得出外接球的表面積.〖詳析〗如圖1，設(shè)，分別是，的中點(diǎn).則，，，且.對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)平面平面時(shí)，四棱錐的體積最大.的高為，四邊形為高為的梯形，梯形面積，體積，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)平面平面，則，有，，可得平面，即為平面與平面所成的二面角，由可知，，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于C項(xiàng)，如圖1，過(guò)點(diǎn)作，垂足為.由B分析可得，平面，所以平面平面，平面平面，平面，所以平面.所以即為直線與平面所成的角.由題意可知，，，，在中，由余弦定理可得，所以；在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，由，可知，即，又，且，則平面，又平面，則平面平面.四棱錐的外接球球心為，的外心為，則平面.如圖2，易知點(diǎn)為等腰梯形的外心，則平面，則四邊形為矩形，且，從而有，從而該四棱錐的五個(gè)頂點(diǎn)所在球的表面積為，故D項(xiàng)正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知，，，若，則________．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)向量垂直數(shù)量積為零，列出方程即可求解.〖詳析〗因?yàn)橐阎?，，，所以，又因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：14.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,且關(guān)于直線軸對(duì)稱,則的最小值為_(kāi)_____．〖答案〗3〖解析〗〖祥解〗圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,且關(guān)于直線軸對(duì)稱,即與之間相差,列出等式,根據(jù)范圍求解即可.〖詳析〗解:由題知的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱,且關(guān)于直線軸對(duì)稱,則與之間的距離為,即,,即,,

因?yàn)?所以當(dāng)時(shí),的最小值為3.故〖答案〗為:315.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)F作傾斜角為60°的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)（其中點(diǎn)A在第一象限）．若直線AO與拋物線的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)D，設(shè)，的面積分別為，，則______．〖答案〗##0.5625〖解析〗〖祥解〗直線方程為.聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而得到的坐標(biāo)，表示出，，即可得出結(jié)果.〖詳析〗由題意知，，直線方程為.設(shè)，.聯(lián)立直線方程與拋物線的方程，解得或.因?yàn)辄c(diǎn)A在第一象限，所以，，直線方程為，點(diǎn)坐標(biāo)為.因?yàn)?，所以軸.所以，，所以.故〖答案〗為：.16.已知函數(shù)，若關(guān)于x的方程恰有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且，則的取值范圍是______．〖答案〗〖解析〗〖祥解〗根據(jù)給定分段函數(shù)，求出函數(shù)的〖解析〗式，確定給定方程有兩個(gè)不等實(shí)根的a的取值范圍，再將目標(biāo)函數(shù)用a表示出即可求解作答.〖詳析〗函數(shù)在上單調(diào)遞增，，在上單調(diào)遞增，，當(dāng)，即時(shí)，，且，當(dāng)，即時(shí)，，且，當(dāng)，即時(shí)，，且，因此，在坐標(biāo)系內(nèi)作出函數(shù)的圖象，如圖，再作出直線，則方程有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同交點(diǎn)，觀察圖象知方程有兩個(gè)不等實(shí)根，當(dāng)且僅當(dāng)，此時(shí)，且，即，且，則有，令，求導(dǎo)得，令，當(dāng)時(shí)，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，，而，于是當(dāng)時(shí)，，有，所以的取值范圍是.故〖答案〗為：〖『點(diǎn)石成金』〗思路『點(diǎn)石成金』：涉及給定函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，可以通過(guò)分離參數(shù)，等價(jià)轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)圖象交點(diǎn)個(gè)數(shù)，數(shù)形結(jié)合推理作答.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17.已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列為等比數(shù)列，滿足，，．（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和．〖答案〗（1），；（2）.〖解析〗〖祥解〗（1）由等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本量法求得公差和公比后可得通項(xiàng)公式；（2）用錯(cuò)位相減法求數(shù)列的和．〖小問(wèn)1詳析〗解：設(shè)的公差為，的公比為，，，聯(lián)立，整理可得，解得，所以，.〖小問(wèn)2詳析〗解：由（1）知，則，①，②①-②，得.所以.18.在銳角中，角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角B的值；（2）若，求的周長(zhǎng)的取值范圍．〖答案〗（1）（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)正弦定理得到，再利用余弦定理求出；（2）根據(jù)正弦定理得到，從而得到，求出，得到，，從而求出周長(zhǎng)的取值范圍.〖小問(wèn)1詳析〗，由正弦定理得：，即，由余弦定理得：，因?yàn)?，所以；〖小?wèn)2詳析〗銳角中，，，由正弦定理得：，故，則，因?yàn)殇J角中，，則，，解得：，故，，則，故，所以三角形周長(zhǎng)的取值范圍是.〖『點(diǎn)石成金』〗解三角形中最值或范圍問(wèn)題，通常涉及與邊長(zhǎng)，周長(zhǎng)有關(guān)的范圍問(wèn)題，與面積有關(guān)的范圍問(wèn)題，或與角度有關(guān)的范圍問(wèn)題，常用處理思路：①余弦定理結(jié)合基本不等式構(gòu)造不等關(guān)系求出〖答案〗；②采用正弦定理邊化角，利用三角函數(shù)的范圍求出最值或范圍，如果三角形為銳角三角形，或其他的限制，通常采用這種方法；③巧妙利用三角換元，實(shí)現(xiàn)邊化角，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為正弦或余弦函數(shù)求出最值19.如圖，在以A，B，C，D，E，F(xiàn)為頂點(diǎn)的六面體中（其中平面EDC），四邊形ABCD是正方形，平面ABCD，，且平面平面．（1）設(shè)為棱的中點(diǎn)，證明：四點(diǎn)共面；（2）若，求平面與平面的夾角的余弦值．〖答案〗（1）見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）根據(jù)線面垂直以及面面垂直的性質(zhì)證明平面，平面，進(jìn)而證明，即可求解，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)平面法向量以及向量的夾角即可求解平面夾角.〖小問(wèn)1詳析〗連接,由于四邊形ABCD是正方形，所以,又平面，平面,所以,平面，所以平面，由于為棱的中點(diǎn)，，所以,又平面平面，平面平面，平面,所以平面,因此,所以四點(diǎn)共面，〖小問(wèn)2詳析〗由于兩兩垂直，故建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，,,設(shè)，由（1）知,故，解得，故,,設(shè)平面，的法向量分別為則即，取，則，即，取，則，設(shè)平面與平面的夾角為，則20.為了調(diào)動(dòng)大家積極學(xué)習(xí)黨的二十大精神，某市舉辦了黨史知識(shí)的競(jìng)賽．初賽采用“兩輪制”方式進(jìn)行，要求每個(gè)單位派出兩個(gè)小組，且每個(gè)小組都要參加兩輪比賽，兩輪比賽都通過(guò)的小組才具備參與決賽的資格．某單位派出甲、乙兩個(gè)小組參賽，在初賽中，若甲小組通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，乙小組通過(guò)第一輪與第二輪比賽的概率分別是，，且各個(gè)小組所有輪次比賽的結(jié)果互不影響.（1）若該單位獲得決賽資格的小組個(gè)數(shù)為X，求X的數(shù)學(xué)期望；（2）已知甲、乙兩個(gè)小組都獲得了決賽資格，決賽以搶答題形式進(jìn)行．假設(shè)這兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率．若最后一道題被該單位的某小組搶到，且甲、乙兩個(gè)小組搶到該題的可能性分別是45%，55%，該題如果被答對(duì)，計(jì)算恰好是甲小組答對(duì)的概率．〖答案〗（1）見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）先算出甲乙通過(guò)兩輪制的初賽的概率，的取值有分三種情況解決.(2)先算出一個(gè)題被答對(duì)的概率，然后再算出被甲答對(duì)的概率，然后再根據(jù)條件概率求解.〖小問(wèn)1詳析〗設(shè)甲乙通過(guò)兩輪制的初賽分別為事件則由題意可得，的取值有則的分布列為：所以〖小問(wèn)2詳析〗設(shè)甲乙兩組對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確的概率分別為，兩組在決賽中對(duì)每個(gè)問(wèn)題回答正確的概率恰好是各自獲得決賽資格的概率，則一個(gè)題被甲小組搶到為事件，則，設(shè)一個(gè)題答對(duì)為事件，則該題如果被答對(duì)，恰好是甲小組答對(duì)即為21.設(shè)A，B是橢圓上異于的兩點(diǎn)，且直線AB經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，直線PA，PB分別交直線于C，D兩點(diǎn)．（1）求證：直線PA，AB，PB的斜率成等差數(shù)列；（2）求面積的最小值．〖答案〗（1）證明過(guò)程見(jiàn)〖解析〗（2）〖解析〗〖祥解〗（1）設(shè)，，表達(dá)出直線，直線，直線的斜率，由證明出結(jié)論；（2）寫(xiě)出直線PA的方程，與聯(lián)立求出，同理求出，求出，利用三角換元，求出的最小值，結(jié)合到直線的距離，求出面積的最小值.〖小問(wèn)1詳析〗設(shè)，則，，直線的斜率，直線的斜率為，直線的斜率為，，故直線PA，AB，PB的斜率成等差數(shù)列；〖小問(wèn)2詳析〗直線PA的方程為，與聯(lián)立得：，同理可得：直線PB的方程為，與聯(lián)立得：，故，因?yàn)椋O(shè)，故，其中，故當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為，又點(diǎn)到直線的距離，故面積的最小值為.〖『點(diǎn)石成金』〗圓錐曲線中最值或范圍問(wèn)題的常見(jiàn)解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來(lái)解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值或范圍．22.已知函數(shù)，其中．（1）求的最大值；（2）若不等式對(duì)于任意恒