專題02生活中的軸對稱重難點題型-2021-2022學(xué)年七年級數(shù)學(xué)下冊高頻考點專題突破（北師大版）（原卷版）

專題02生活中的軸對稱重難點題型題型1軸對稱圖形的識別【解題技巧】掌握軸對稱圖形的概念：把一個圖形沿著某一條直線翻折，如果直線兩旁的部分能夠互相重合，那么稱這個圖形是軸對稱圖形，這條直線就是對稱軸。注意：理解軸對稱圖形的定義應(yīng)注意兩點：（1）軸對稱圖形是一個圖形，反映的是這個圖形自身的性質(zhì)。（2）符合要求的“某條直線”可能不止一條，但至少要有一條。1．（2021·江蘇揚州市·八年級期末）下面是四家醫(yī)院標(biāo)志的圖案部分，其中是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．2．（2021·福建三明市·九年級一模）2021年1月1日起，三明市全面鋪開市區(qū)生活垃圾分類工作，分門別類打造適合三明實際的生活垃圾分類處置體系．將垃圾分為可回收物、廚余垃圾（含餐廚垃圾）、有害垃圾、其他垃圾．以下圖標(biāo)是幾類垃圾的標(biāo)志，其中軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．3．（2021·沙坪壩區(qū)·重慶一中九年級開學(xué)考試）剪紙是中國民間傳統(tǒng)藝術(shù)，下列剪紙圖形中，屬于軸對稱圖形的是（）A． B．C． D．4．（2021·吉林延邊朝鮮族自治州·八年級期末）京劇是我國的國粹，是介紹、傳播中國傳統(tǒng)藝術(shù)文化的重要媒介．在下面的四個京劇臉譜中，不是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．5．（2021·富順第二中學(xué)校八年級開學(xué)考試）下列各圖中，軸對稱圖形是（）A． B． C． D．6．（2021·山東臨沂市·八年級期末）下面的圖形是用數(shù)學(xué)家名字命名的，其中軸對稱圖形的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．4題型2軸對稱的性質(zhì)【解題技巧】掌握軸對稱的性質(zhì)：1).成軸對稱的兩個圖形全等。2).成軸對稱的兩個圖形中，對應(yīng)點的連線被對稱軸垂直平分。3).成軸對稱的兩個圖形的任何對應(yīng)部分也成軸對稱。1．（2021·廣東佛山市·九年級其他模擬）如圖，在矩形中，，一發(fā)光電子開始置于邊的點處，并設(shè)定此時為發(fā)光電子第一次與矩形的邊碰撞，將發(fā)光電子沿著方向發(fā)射，碰撞到矩形的邊時均反射，每次反射的反射角和入射角都等于45°，若發(fā)光電子與矩形的邊碰撞次數(shù)經(jīng)過2021次后，則它與邊的碰撞次數(shù)是_________．2．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·八年級期末）如圖，點P關(guān)于OA、OB的對稱點分別是P1、P2，P1、P2分別交OA、OB于點C、D，，則△PCD的周長是_______．3．（2020·全國九年級課時練習(xí)）有一種電腦軟件叫做“畫圖”，它有個功能，可以復(fù)制已經(jīng)出現(xiàn)在窗口的所有圖形或部分圖形，粘貼的圖形又可以進行任意的平移．如圖，在畫圖窗口中已有一個正方形．從窗口中已有圖形開始，復(fù)制、粘貼已有圖形或部分圖形一次，且通過平移后與原圖形拼接，叫做一次操作．則要出現(xiàn)一個4×6的網(wǎng)格，至少需要操作_____次．4．（2021·廣西欽州市·八年級期末）如圖，點P是內(nèi)的一點，分別作點P關(guān)于、的對稱點，，連接交于M，交于N，若，則的周長為（）A．15 B．20 C．25 D．305.（2021?貴陽期末）如圖，點P是△ACB外的一點，點D，E分別是△ACB兩邊上的點，點P關(guān)于CA的對稱點P1恰好落在線段ED上，P點關(guān)于CB的對稱點P2落在ED的延長線上，若PE＝2.5，PD＝3，ED＝4，則線段P1P2的長為．6．（2020·山東濱州市·八年級期中）作圖與計算：如圖，已知∠AOB及∠AOB內(nèi)的一點P．（1）求作：點P1、點P2，與點P分別關(guān)于射線OA、OB對稱；（2）連接P1P2，交OA，OB分別于點E，若P1P2＝12cm，求△PEF的周長．題型3利用軸對稱設(shè)計圖案【解題技巧】設(shè)計軸對稱圖案往往以正方形、菱形、等邊三角形和網(wǎng)格紙（或格點紙）為基礎(chǔ)，因為這些圖形本身就是軸對稱圖形，利用軸對稱的有關(guān)性質(zhì)容易設(shè)計出它們的對稱點或?qū)ΨQ部分。設(shè)計軸對稱圖案時，要先確定出有幾條對稱軸，然后根據(jù)對稱軸的不同，合理地設(shè)計出整體的軸對稱圖案。具體設(shè)計時，我們通常先以一條對稱軸為基線，根據(jù)構(gòu)思或需要，再添加其他的對稱軸，進一步設(shè)計美觀、完善的圖案。注意：（1）要設(shè)計的圖案是由哪些基本圖形組成的；（2）是不是軸對稱圖形，如果是軸對稱圖形，要先確定它的對稱軸；（3）設(shè)計軸對稱的美術(shù)圖案時，除圖形對稱外，有時顏色也要“對稱”。1．（2020·江蘇揚州市·八年級月考）在下列各圖中分別補一個小正方形，使其成為不同的軸對稱圖形．2．（2021·石家莊市第四十四中學(xué)九年級一模）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，格線的交點稱為格點，以格點為頂點的三角形稱為格點三角形，圖中的為格點三角形，在圖中與成軸對稱的格點三角形可以畫出（）A．1個 B．2個 C．3個 D．3個以上3．（2021·浙江九年級專題練習(xí)）請在如圖四個3×3的正方形網(wǎng)格中，畫出與格點三角形（陰影部分）成軸對稱且以格點為頂點的三角形，并將所畫三角形涂上陰影．（注：所畫的四個圖不能重復(fù)）4．（2021·內(nèi)蒙古赤峰市·八年級期末）認真觀察如圖的四個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回答下列問題：（1）請寫出這四個圖案都具有的兩個特征特征1：_____________；特征2：_______________．（2）請在圖中設(shè)計出你心中最美的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征．5．（2020·吉林吉林市·八年級期末）圖①、圖②、圖③都是的正方形網(wǎng)格，每個小正方形的頂點稱為格點．按下列要求畫圖：在圖①、圖②、圖③中各畫一個以格點為頂點的三角形，要求所畫三角形是圖中三角形經(jīng)過軸對稱變換后得到的圖形，并將所畫三角形涂上陰影．(注：所畫三角形不能重復(fù))6．（2021·北京九年級專題練習(xí)）如圖，在的正方形網(wǎng)格中，選取13個格點，以其中的三個格點，，為頂點畫，請你在圖中以選取的格點為頂點再畫出一個，使與成軸對稱．這樣的點有___個．（填點的個數(shù)）題型4利用軸對稱性質(zhì)求最值1.（2021?邗江區(qū)校級期末）如圖，∠AOB＝30°，OC為∠AOB內(nèi)部一條射線，點P為射線OC上一點，OP＝6，點M、N分別為OA、OB邊上動點，則△MNP周長的最小值為（）A．3 B．6 C．3 D．62.（2021?蕪湖期末）如圖，在銳角三角形ABC中，AB＝4，△ABC的面積為8，BD平分∠ABC．若M、N分別是BD、BC上的動點，則CM+MN的最小值是（）A．2 B．4 C．6 D．83．（2021·河南安陽市·八年級期末）如圖，在中，，，的面積為12，于點D，直線EF垂直平分BC交AB于點E，交BC于點F，P是線段EF上的一個動點，則的周長的最小值是（）A．6 B．7 C．10 D．124．（2021·全國八年級單元測試）如圖所示，在四邊形ABCD中，，AC=1，，直線MN為線段AD的垂直平分線，P為MN上的一個動點，則PC+PD的最小值為（）A．1 B． C． D．35．（2021·南陽市第三中學(xué)八年級月考）如圖，等腰中，，，是等邊三角形，點是的角平分線上一動點，連接、，則的最小值為（）A．8 B．10 C．12 D．166．（2021·云南昆明市·八年級期末）如圖，在直角坐標(biāo)系中，，，．（1）在圖中作出關(guān)于軸對稱的圖形，并寫出點的坐標(biāo)．（2）在軸上找一點，使最?。ú灰髮懽龇?，請保留作圖痕跡）．題型5角平分線的相關(guān)計算【解題技巧】掌握角平分線的性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等（1）角平分線的性質(zhì)是證明線段相等的一個比較簡單的方法；（2）當(dāng)遇到有關(guān)角平分線的問題時，通常過角平分線上的點向角的兩邊作垂線，構(gòu)造相等的線段。1．（2021·云南紅河哈尼族彝族自治州·八年級期末）如圖，是的平分線上一點，于點，是射線上一個動點，若，則的最小值為______．2．（2021·全國八年級單元測試）如圖，射線是的平分線，是射線上一點，于點，若是射線上一點，則的面積是_______________________．3．（2021·寧夏石嘴山市·）如圖，平分交于點，于點，若，，，則的長為______．4．（2021·全國）如圖，△ABC的外角∠MBC和∠NCB的平分線BP、CP相交于點P，PE⊥BC于E且PE＝3cm，若△ABC的周長為14cm，S△BPC＝7.5，則△ABC的面積為______cm2．5．（2021·成都天府四中七年級期中）如圖，在中，平分交于點為上一點，且.若，則________________．6．（2021·羅山縣實驗中學(xué)八年級月考）如圖所示，己知的周長是分別平分和,且，則的面積是__________．7．（2021·山東濰坊市·八年級期末）如圖，在ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，以點A為圓心，任意長為半徑畫弧分別交AB，AC于點M和N，再分別以M，N為圓心，大于MN的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，連接AP并延長交BC于點D，則下列結(jié)論不正確的是（）A．AD平分∠BACB．∠ADC=60°C．點D在AB的垂直平分線上D．＝1：2題型6與線段垂直平分線相關(guān)的計算【解題技巧】掌握線段垂直平分線的性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端的距離相等注意：（1）這里的距離指的是點與點之間的距離，也就是兩點之間線段的長度。（2）在使用該定理時必須保證兩個前提條件：一是垂直于這條線段，二是平分這條線段。1.（2021?普寧市期中）如圖：在△ABC中，AB和AC的垂直平分線分別交BC于點D、E，且點D在點E的左側(cè)，BC＝6cm，則△ADE的周長是（）A．3cm B．12cm C．9cm D．6cm2.（2021?南華縣期中）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB的垂直平分線交BC于點D，連接AD，則△ACD的周長是（）A．7 B．8 C．9 D．103．（2021·山西長治市·八年級期末）如圖所示的是學(xué)校行知苑中亭子的頂部，將其頂部抽象成一個三角形，在中，DE是AC的垂直平分線，厘米，的周長等于13厘米，則的周長是_________．4．（2021·江西贛州市·八年級期末）如圖，在中，，，AB的垂直平分線MN交AC于D點，連接BD，則的度數(shù)是________．5．（2021·河南安陽市·八年級期末）如圖，在中，，，DE垂直平分AC，交BC于點E，，則_______．6．（2021·江蘇鎮(zhèn)江市·八年級期末）如圖，在中，邊的垂直平分線與邊的垂直平分線交于點這兩條垂直平分線分別交于點．（1）若，求的度數(shù)；（2）已知的周長，分別連接，若的周長為，求的長．題型7等腰三角形的性質(zhì)【解題技巧】掌握等腰三角形的性質(zhì)：1.等腰三角形是軸對稱圖形，頂角平分線所在的直線是它的對稱軸。2.等腰三角形的兩底角相等（簡稱“等邊對等角”）。3.等腰三角形底邊上的高線、中線及頂角平分線重合（簡稱“三線合一”）。1．（2021·安徽蕪湖市·八年級期末）等腰三角形的兩邊，滿足，則它的周長是（）A．17 B．13或17 C．13 D．192.（2021?金水區(qū)期中）已知等腰三角形一腰的垂直平分線與另一腰所在的直線的夾角為40°，則此等腰三角形的頂角是（）A．50° B．130° C．50°或140° D．50°或130°3.（2021?洪山區(qū)期中）如圖，已知AB＝AC＝BD，則∠1與∠2的關(guān)系是（）A．3∠1﹣∠2＝180°B．2∠1+∠2＝180° C．∠1+3∠2＝180°D．∠1＝2∠24．（2021·廣東八年級期末）如圖，∠ABE＝∠ACD，∠EBC＝∠DCB，則下列結(jié)論正確的有（）①AB＝AC；②AD＝AE；③BD＝CE；④CD＝BE．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個5．（2021·浙江湖州市·八年級期末）如圖，在等腰三角形中，，，是的中點，于點，延長至點，使，連接，則的度數(shù)為________°.6．（2021·福建九年級二模）如圖，正五邊形中，F(xiàn)為邊中點，連接，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．題型8.等腰三角形的判定【解題技巧】掌握等腰三角形的判定：等腰三角形的判定定理：有兩個角相等的三角形是等腰三角形。簡稱“等角對等邊”牢記：（1）等腰三角形的性質(zhì)“等邊對等角”與等腰三角形的判定“等角對等邊”的條件和結(jié)論正好相反，要注意區(qū)分；（2）判定定理可以用來判定一個三角形是等腰三角形，同時也是今后證明兩條線段相等的重要依據(jù)。1．（2021·內(nèi)蒙古松山·期中）如圖，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°圖中的等腰三角形個數(shù)是（）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個2．（2021·江蘇中考真題）如圖，在的正方形網(wǎng)格中有兩個格點A、B，連接，在網(wǎng)格中再找一個格點C，使得是等腰直角三角形，滿足條件的格點C的個數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．53．（2020·遼寧順城·初二期末）已知：如圖，下列三角形中，，則經(jīng)過三角形的一個頂點的一條直線能夠?qū)⑦@個三角形分成兩個小等腰三角形的有（）A．個 B．個 C．個 D．個4．（2020·無錫市羊尖中學(xué)初二月考）下列能判定△ABC為等腰三角形的是（）A．∠A＝50°，∠B＝40° B．∠A＝70°，∠B＝40°C．AB＝AC＝4，BC＝8 D．AB＝3，BC＝8，周長為165．（2021·淮安市浦東實驗中學(xué)八年級期中）如圖，，是延長線上一點，若，動點從點出發(fā)沿以的速度移動，動點從點沿以的速度移動，如果點、同時出發(fā)，用表示移動的時間，當(dāng)______時，是等腰三角形？6．（2020·南京師范大學(xué)附屬中學(xué)樹人學(xué)校初二月考）如圖，點D是內(nèi)部的一點，，過點D作，，垂足分別為E、F，且求證：為等腰三角形．題型9.等邊三角形的性質(zhì)與判定【解題技巧】等邊三角形的性質(zhì)：（1）等邊三角形是軸對稱圖形，并且具有3條對稱軸；（2）等邊三角形的每個角都等于60°。等邊三角形的判定：（1）三邊相等的三角形是等邊三角形。（2）三個角都相等的三角形是等邊三角形。（3）有兩個角是60°的三角形是等邊三角形。（4）有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形。1．（2021·山東九年級一模）如圖，等邊三角形紙片ABC的周長為6，E，F(xiàn)是邊BC上的三等分點．分別過點E，F(xiàn)沿著平行于BA，CA的方向各剪一刀，則剪下的△DEF的周長是（）A．1 B．2 C．3 D．42．（2021·廣西欽州市·八年級期末）如圖，是等邊三角形，是中線，延長至E，使，則下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．3．（2021·遼寧九年級一模）如圖，是等邊三角形，是邊上的中線，點在上，且，則（）A．100° B．105° C．110° D．115°4．（2021·四川省宜賓市第二中學(xué)校九年級一模）如圖，，，三點在同一直線上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④5．（2020·卓尼縣第一中學(xué)初二期中）已知，點在的內(nèi)部，點與點關(guān)于對稱，點與點關(guān)于對稱，則以點，，為頂點的三角形是（）A．直角三角形 B．鈍角三角形 C．等腰三角形 D．等邊三角形6．（2021·湖南長沙一中岳麓中學(xué)初二月考）下列條件不能得到等邊三角形的是()A．有兩個內(nèi)角是的三角形 B．有一個角是的等腰三角形C．腰和底相等的等腰三角形 D．有兩個角相等的等腰三角形7.（2020·山東昌樂二中月考）如圖，點O是等邊三角形ABC內(nèi)一點，連接OA、OB、OC，并以O(shè)C為一邊向外作等邊三角形OCD，連接AD．若∠AOB=110°，∠BOC=150°，則∠OAD的度數(shù)為（）A．45° B．50° C．55° D．60°題型10解決生活中的實際問題1．（2020·湖南長沙市·八年級月考）在元旦聯(lián)歡會上，三個小朋友分別站在三角形的三個頂點的位置上，他們玩搶凳子游戲，要求在他們中間放一個木凳，誰先做到凳子上誰就獲勝，為使游戲公平，則凳子應(yīng)放在三角形的（）A．三條角平分線的交點B．三條中線的交點C．三條高的交點D．三條邊的垂直平分線的交點2．（2021·上海奉教院附中八年級期末）隨著人們生活水平的不斷提高,汽車逐步進入到千家萬戶,小紅的爸爸想在本鎮(zhèn)的三條相互交叉的公路(如圖所示),建一個加油站,要求它到三條公路的距離相等,這樣可供選擇的地址有_______處.3．（2021·遼寧大連市·八年級期末）如圖，電信部門要在公路l旁修建一座移動信號發(fā)射塔．按照設(shè)計要求，發(fā)射塔到兩個城鎮(zhèn)M，N的距離必須相等，則發(fā)射塔應(yīng)該建（）A．A處 B．B處 C．C處 D．D處4．（2021·四川省自貢市貢井區(qū)成佳中學(xué)校八年級月考）近年來，國家實施“村村通”工程和農(nóng)村醫(yī)療衛(wèi)生改革，某縣計劃在張村、李村之間建一座定點醫(yī)療站P，張、李兩村座落在兩相交公路內(nèi)(如圖所示)．醫(yī)療站必須滿足下列條件：①使其到兩公路距離相等，②到張、李兩村的距離也相等，請你通過作圖確定P點的位置（不寫作法，但要保留痕跡）5．（2020?花垣縣期末）茅坪民族中學(xué)八（2）班舉行文藝晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的AO，BO），AO桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，站在C處的學(xué)生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到C處，請你在下圖幫助他設(shè)計一條行走路線，使其所走的總路程最短？6.（2020?東西湖區(qū)期末）如圖，為了做好元旦期間的交通安全工作，自貢市交警執(zhí)勤小隊從A處出發(fā)，先到公路m上設(shè)卡檢査，再到公路n上設(shè)卡檢査，最后再到達B地執(zhí)行任務(wù)，他們應(yīng)如何走才能使總路程最短？畫出圖形并說明做法．7.（2021?西湖區(qū)校級月考）如圖直線l1，l2表示一條河的兩岸，且l1∥l2，現(xiàn)要在這條河上建一座橋．橋建在何處才能使從村莊A經(jīng)過河到村莊B的路線最短？畫出示意圖，并說明理由．題型11等腰三角形相關(guān)的綜合問題【解題技巧】等腰三角形的性質(zhì)與其他知識的綜合（1）等腰三角形與線段垂直平分線相結(jié)合線段垂直平分線的性質(zhì)常用來說明線段相等，比較常見的就是與等腰三角形的性質(zhì)結(jié)合考慮，一般要結(jié)合具體圖形及條件，理解該性質(zhì)滿足的條件，得出相應(yīng)的結(jié)論．（2）等腰三角形與角平分線相結(jié)合利用角平分線可以得到兩個角相等，若這兩個角可轉(zhuǎn)化到一個等腰三角形中，則可運用等腰三角形的“三線合一”得到其他的結(jié)論．1．（2021·河北石家莊市·九年級一模）如圖，已知，，點為的