18.2.3.1正方形的性質(zhì)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期訓(xùn)練(人教版)

§18.2.3.1正方形的性質(zhì)知識(shí)導(dǎo)航正方形的定義：有一組鄰邊相等且有一個(gè)直角的平行四邊形是正方形.注意：正方形既是矩形，也是菱形.正方形的性質(zhì)（1）邊：四條邊都相等，鄰邊垂直，對(duì)邊相等（2）角：四個(gè)角都是直角（3）對(duì)角線：對(duì)角線相等且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角重難點(diǎn)突破重點(diǎn)1利用正方形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度如圖，正方形ABCD的對(duì)角線AC，BD交于點(diǎn)O，M是邊AD上一點(diǎn)，連接OM，過(guò)點(diǎn)O作ON⊥OM，交CD于點(diǎn)N．若四邊形MOND的面積是1，則AB的長(zhǎng)為（

）A．1 B． C．2 D．【答案】C【分析】先證明，再證明四邊形MOND的面積等于，的面積，繼而解得正方形的面積，據(jù)此解題．【詳解】在正方形ABCD中，對(duì)角線BD⊥AC，又四邊形MOND的面積是1，正方形ABCD的面積是4，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．變式11如圖所示，直線a經(jīng)過(guò)正方形ABCD的頂點(diǎn)A，分別過(guò)正方形的頂點(diǎn)B、D作BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E，若DE＝8，BF＝5，則EF的長(zhǎng)為_(kāi)_．【答案】13【分析】本題是典型的一線三角模型，根據(jù)正方形的性質(zhì)、直角三角形兩個(gè)銳角互余以及等量代換可以證得△AFB≌△AED；然后由全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等推知AF＝DE、BF＝AE，所以EF＝AF+AE＝13．【詳解】∵ABCD是正方形（已知）∴AB＝AD，∠ABC＝∠BAD＝90°又∵∠FAB+∠FBA＝∠FAB+∠EAD＝90°∴∠FBA＝∠EAD（等量代換）∵BF⊥a于點(diǎn)F，DE⊥a于點(diǎn)E∴在Rt△AFB和Rt△AED中∵∴△AFB≌△DEA（AAS）∴AF＝DE＝8，BF＝AE＝5（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等）∴EF＝AF+AE＝DE+BF＝8+5＝13故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)及熟悉一線三角模型是解本題的關(guān)鍵．變式12如圖，，是正方形的對(duì)角線上的兩點(diǎn)，，，則四邊形的周長(zhǎng)是_____．【答案】【分析】連接交于點(diǎn)，則可證得，，可證四邊形為平行四邊形，且，可證得四邊形為菱形；根據(jù)勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，可得結(jié)論．【詳解】如圖，連接交于點(diǎn)，∵四邊形為正方形，∴，，∵，∴，即，∴四邊形為平行四邊形，且，∴四邊形為菱形，∴，∵，，由勾股定理得：，∴四邊形的周長(zhǎng)，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)及勾股定理，掌握對(duì)角線互相垂直平分的四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵．變式13如圖，邊長(zhǎng)為6的正方形繞點(diǎn)按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)后得到正方形，交于點(diǎn)，則____________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)F作FI⊥BC于點(diǎn)I，延長(zhǎng)線IF交AD于J，根據(jù)含30°直角三角形的性質(zhì)可求出FI、FJ和JH的長(zhǎng)度，從而求出HD的長(zhǎng)度．【詳解】過(guò)點(diǎn)F作FI⊥BC于點(diǎn)BC，延長(zhǎng)線AD交AD于J，由題意可知：CF=BC=6，∠FCB=30°，∴FI=3，CI=∵JI=CD=6，∴JF=JIFI=63=3，∵∠HFC=90°，∴∠JFH+∠IFC=∠IFC+∠FCB=90°，∴∠JFH=∠FCB=30°，設(shè)JH=x，則HF=2x，∴由勾股定理可知：（2x）2=x2+32，∴x=，∴DH=DJJH=故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，涉及正方形的性質(zhì)，勾股定理，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，本題屬于中等題型．重點(diǎn)點(diǎn)撥：由于正方形的兩條對(duì)角線互相垂直，因此在解決正方形中的線段的長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，常常利用勾股定理解答.重點(diǎn)2重點(diǎn)點(diǎn)撥：由于正方形的兩條對(duì)角線互相垂直，因此在解決正方形中的線段的長(zhǎng)度問(wèn)題時(shí)，常常利用勾股定理解答.如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是對(duì)角線AC上的一點(diǎn)，且連接DE，則∠CDE的度數(shù)為（

）A．20° B．22.5° C．25° D．30°【答案】B【分析】由正方形的性質(zhì)可得∠DAE的度數(shù)，再由AE=AD，即可求得∠ADE的度數(shù)，從而可求得∠CDE的度數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形∴∠ADC=90゜，∠DAE=45゜∵AE=AD∴∴故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，掌握這兩個(gè)性質(zhì)是關(guān)鍵．變式21如圖，正方形ABCD的對(duì)角線BD是菱形BEFD的一邊，菱形BEFD的對(duì)角線BF交CD于點(diǎn)P，則∠FPC的度數(shù)是______．【答案】112.5°【分析】利用正方形的性質(zhì)得到，，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得BF平分，所以，然后根據(jù)三角形外角性質(zhì)計(jì)算的度數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD為正方形，，，∵四邊形BEFD為菱形，∴BF平分∠EBD，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個(gè)角都是直角；正方形的兩條對(duì)角線相等，互相垂直平分，并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角；也考查了菱形的對(duì)角線的性質(zhì)：菱形對(duì)角線平分每對(duì)對(duì)角，且互相垂直；三角形外角的性質(zhì)：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．熟記這些知識(shí)是解題關(guān)鍵．變式22如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，CF與BD交于點(diǎn)E，連接AE，若∠BCF=20°，則∠AEF的度數(shù)（

）A．35° B．40° C．45° D．50°【答案】D【分析】先證明△ABE≌△CBE，得到∠BAE=∠BCE=20°，在Rt△BCF中利用三角形內(nèi)角和180°可求∠BFC度數(shù)．再根據(jù)三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和求出∠AEF的度數(shù)．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴∠ABC=90°，BC=BA，∠ABE=∠CBE=45°．又BE=BE，∴△ABE≌△CBE（SAS）．∴∠BAE=∠BCE=20°．∵∠ABC=90°，∠BCF=20°∴∠BFC=180°∠ABC∠BCF=180°90°20°=70°∵∠BFC=∠BAE+∠AEF∴∠AEF=∠BFC∠BAE=70°20°=50°故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定、以及三角形的外角等于和它不相鄰兩個(gè)內(nèi)角和的性質(zhì)．解決正方形中角的問(wèn)題一般會(huì)涉及對(duì)角線平分對(duì)角成45°．變式23正方形ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，M，N分別在BC，AD上，CE＝MN，∠MCE＝35°，則∠ANM＝______．【答案】55°或125°【分析】分兩種情況：∠ANM是銳角時(shí)，如圖，過(guò)M作MG∥AB交AD于G，由題意易得∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CD，然后可得，進(jìn)而根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可求解；∠ANM是鈍角時(shí)，如圖，同理可求出∠MNG=55°，進(jìn)而可得答案．【詳解】如圖，當(dāng)∠ANM是銳角時(shí)，過(guò)M作MG∥AB交AD于G，∵四邊形ABCD為正方形，∴∠NGM＝∠A＝∠B＝90°，且AB＝MG＝CD，在Rt△GMN和Rt△BCE中，，∴，∴∠ANM＝∠CEB，又∵∠MCE＝35°，∴∠CEB＝90°－35°＝55°，∴∠ANM＝55°．當(dāng)∠ANM是鈍角時(shí)，如圖，同理可求得∠MNG=55°，∴∠ANM=125°；故答案為55°或125°．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)與判定及正方形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的性質(zhì)與判定及正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行角度計(jì)算時(shí)，有時(shí)候要用到等腰三角形和等邊三角形的性質(zhì).重點(diǎn)3利用正方形的性質(zhì)解決與面積有關(guān)的問(wèn)題如圖，邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】圓的面積減去正方形的面積除以4即可求得答案．【詳解】∵正方形的邊長(zhǎng)為2，∴圓的半徑為，∴陰影部分的面積：，故選B．【點(diǎn)睛】此題考查圓的面積，正方形面積，解題關(guān)鍵在于掌握面積公式變式31如圖，正方形中，垂直于，且，，則陰影部分的面積是A．16 B．18 C．19 D．21【答案】C【分析】已知得為直角三角形，用勾股定理求正方形的邊長(zhǎng)，用求面積．【詳解】垂直于，且，，在中，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是判斷為直角三角形，運(yùn)用勾股定理及面積公式求解．變式32正方形OGHK繞邊長(zhǎng)為10cm的正方形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到如圖所示的位置，則陰影部分的面積為(

)A．100cm2 B．75cm2 C．50cm2 D．25cm2【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOE≌△BOF，得到陰影部分的面積=S正方形ABCD，即可得出答案.【詳解】∵∠AOB=∠EOF=90°，∴∠AOE=∠BOF，在△AOE和△BOF中，，∴△AOE≌△BOF，∴S△AOE=S△BOF，∴陰影部分的面積=S正方形ABCD=×10×10=25cm2，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)和三角形全等的判定和性質(zhì)，證明得出陰影部分的面積=S正方形ABCD是解題關(guān)鍵.變式33七巧板是大家熟悉的一種益智玩具，用七巧板能拼出許多有趣的圖案．小李將塊等腰直角三角形硬紙板（如圖①）切割七塊，正好制成一副七巧板（如圖②），已知，則圖中陰影部分的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，設(shè)OF＝EF＝FG＝x，可得EH＝2x＝20，解方程即可解決問(wèn)題．【詳解】如圖，設(shè)OF＝EF＝FG＝x，∴OE＝OH＝2x，在Rt△EOH中，EH＝2x，由題意EH＝20cm，∴20＝2x，∴x＝5，∴陰影部分的面積＝（5）2＝50（cm2），故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、勾股定理、等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：在解決與正方形有關(guān)的面積問(wèn)題時(shí)，常常結(jié)合軸對(duì)稱(chēng)、等腰直角三角形以及全等三角形的性質(zhì)和判定來(lái)求解.重點(diǎn)4利用正方形的性質(zhì)進(jìn)行證明如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E、F分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且BE＝CF．求證：（1）AE＝BF；（2）AE⊥BF．【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)可得AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△BCF全等，即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得AE＝BF，全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BAE＝∠CAF，然后求出∠BAE+∠ABF＝∠ABC＝90°，判斷出AE⊥BF．【詳解】證明：（1）在正方形ABCD中，AB＝BC，∠ABE＝∠BCF，在△ABE和△BCF中，，∴△ABE≌△BCF（SAS），∴AE＝BF；（2）∵△ABE≌△BCF，∴∠BAE＝∠CBF，∴∠BAE+∠ABF＝∠CBF+∠ABF＝∠ABC＝90°，∴AE⊥BF．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，確定出AE與BF所在的三角形并證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．變式41如圖，在正方形中，點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）證明：；（2）連接，證明：．【分析】（1）依據(jù)正方形的性質(zhì)以及垂線的定義，即可得到∠ADG=∠C=90°，AD=DC，∠DAG=∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延長(zhǎng)DE交AB的延長(zhǎng)線于H，根據(jù)△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中點(diǎn)，進(jìn)而得到AB=FB．【詳解】證明：（1）四邊形是正方形，，又，，，（2）如圖所示，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于，是的中點(diǎn)，，又，，，即是的中點(diǎn)，又，中，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)，在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．變式42如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，且，把繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到．（1）求證：≌．（2）若，，求正方形的邊長(zhǎng)．【分析】（1）先根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，再根據(jù)正方形的性質(zhì)、角的和差可得，然后根據(jù)三角形全等的判定定理即可得證；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，從而可得，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得，從而可得，然后根據(jù)三角形全等的性質(zhì)可得，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】（1）由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：四邊形ABCD是正方形，即，即在和中，；（2）設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得：由（1）已證：又四邊形ABCD是正方形則在中，，即解得或（不符題意，舍去）故正方形的邊長(zhǎng)為6．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，較難的是題（2），熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．重點(diǎn)點(diǎn)撥：重點(diǎn)點(diǎn)撥：根據(jù)正方形的性質(zhì)可以得到許多邊、角的等量關(guān)系，故正方形與全等三角形經(jīng)常結(jié)合在一起考察，充分利用正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.提升訓(xùn)練下列說(shuō)法中，是正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是（

）A．兩組對(duì)邊分別平行 B．對(duì)角線互相垂直 C．四個(gè)角都為直角 D．對(duì)角線互相平分【答案】B【分析】根據(jù)正方形、矩形的性質(zhì)即可判斷．【詳解】因?yàn)檎叫蔚膶?duì)角相等，對(duì)角線相等、垂直、且互相平分，矩形的對(duì)角相等，對(duì)角線相等，互相平分，所以正方形具有而矩形不具有的性質(zhì)是對(duì)角線互相垂直．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)等知識(shí)，記住正方形、矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，下列結(jié)論中正確的是（

）A．當(dāng)是矩形時(shí)，B．當(dāng)是菱形時(shí)，C．當(dāng)是正方形時(shí)，D．當(dāng)是菱形時(shí)，【答案】C【分析】分別根據(jù)矩形、菱形、正方形、菱形的性質(zhì)逐項(xiàng)判斷即可求解．【詳解】A.當(dāng)是矩形時(shí)，，故原結(jié)論錯(cuò)誤，不合題意；B.當(dāng)是菱形時(shí)，，故原結(jié)論錯(cuò)誤，不合題意；C.當(dāng)是正方形時(shí)，，故原結(jié)論正確，符合題意；D.當(dāng)是菱形時(shí)，，故原結(jié)論錯(cuò)誤，不合題意．故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，熟知三種特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵，注意三種特殊平行四邊形的性質(zhì)不要混淆．順次聯(lián)結(jié)直角梯形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形可能是（

）A．菱形 B．矩形 C．梯形 D．正方形【答案】B【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，證明四邊形是平行四邊形，即可排除C，根據(jù)鄰邊邊相等，即可求解．【詳解】如圖，四邊形是直角梯形，分別為各邊中點(diǎn)，則四邊形是平行四邊形四邊形不能是菱形或正方形，四邊形可能是矩形，如圖故選B【點(diǎn)睛】本題考查了中點(diǎn)四邊形，掌握那個(gè)特殊四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．如圖，在正方形ABCD中，AB=9，點(diǎn)E在CD邊上，且DE=2CE，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PE+PD的最小值是（）A． B． C．9 D．【答案】A【分析】根據(jù)點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，連接BE，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，即P在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度．再利用勾股定理即可得出結(jié)果．【詳解】如圖，連接BE，設(shè)BE與AC交于點(diǎn)P′，∵四邊形ABCD是正方形，∴點(diǎn)B與D關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，∴P′D=P′B，∴P′D+P′E=P′B+P′E=BE最?。碢在AC與BE的交點(diǎn)上時(shí)，PD+PE最小，為BE的長(zhǎng)度．∵直角△CBE中，∠BCE=90°，BC=3，CE=CD=1，∴BE==．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱(chēng)﹣﹣?zhàn)疃搪肪€問(wèn)題，正方形的性質(zhì)，要靈活運(yùn)用對(duì)稱(chēng)性解決此類(lèi)問(wèn)題，找出P點(diǎn)位置是解題的關(guān)鍵．如圖，正方形ABCD的面積為144，菱形BCEF面積為108，則△ABF面積為（

）A．18 B．36 C．18 D．36【答案】C【分析】由題意易得AB=BC=BF=EF=EC=12，設(shè)CD與EF的交點(diǎn)為G，根據(jù)菱形的面積可得CG的長(zhǎng)，在Rt△CEG中，可根據(jù)勾股定理求得EG，又有EG=陰影部分三角形AB邊上的高，進(jìn)而可得S陰影的值．【詳解】如圖，由題意，正方形邊長(zhǎng)為12，則CG=108÷12=9，在Rt△CEG中，又CE=BC，EG=，∴陰影部分三角形AB邊上的高=EG=，∴S陰影=×12×=，故選：C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的性質(zhì)和面積計(jì)算以及正方形的性質(zhì)，根據(jù)已知得出CG=9，進(jìn)而求出EG的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．如圖，在矩形ABCD內(nèi)有一點(diǎn)F，F(xiàn)B與FC分別平分∠ABC和∠BCD，點(diǎn)E為矩形ABCD外一點(diǎn)，連接BE，CE．現(xiàn)添加下列條件：①EB∥CF，CE∥BF；②BE=CE，BE=BF；③BE∥CF，CE⊥BE；④BE=CE，CE∥BF，其中能判定四邊形BECF是正方形的共有(

)A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【分析】根據(jù)題意可得CF=BF，∠F=90°，根據(jù)平行四邊形與正方形的的判定即可判斷①；根據(jù)菱形與正方形的判定即可判斷②；根據(jù)矩形與正方形的判定即可判斷③；根據(jù)正方形的判定即可判斷.【詳解】∵四邊形ABCD是矩形，∴∠DCB=∠ABC=90°，∵FB與FC分別平分∠ABC和∠BCD，∴∠FCB=∠DCB=45°，∠FBC=∠ABC=45°，∴∠FCB=∠FBC=45°，∴CF=BF，∠F=180°﹣45°﹣45°=90°，①∵EB∥CF，CE∥BF，∴四邊形BFCE是平行四邊形，∵CF=BF，∠F=90°，∴四邊形BFCE是正方形，故①正確；∵BE=CE，BF=BE，CF=BF，∴BF=CF=CE=BE，∴四邊形BFCE是菱形，∵∠F=90°，∴四邊形BFCE是正方形，故②正確；∵BE∥CF，CE⊥BE，∴CF⊥CE，∴∠FCE=∠E=∠F=90°，∴四邊形BFCE是矩形，∵BF=CF，∴四邊形BFCE是正方形，故③正確；∵CE∥BF，∠FBC=∠FCB=45°，∴∠ECB=∠FBC=45°，∠EBC=∠FCB=45°，∵∠F=90°，∴∠FCE=∠FBE=∠F=90°，∵BF=CF，∴四邊形BFCE是正方形，故④正確；即正確的個(gè)數(shù)是4個(gè).故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的判定，平行四邊形的判定，菱形的判定，矩形的判定.解此題的關(guān)鍵在于熟練掌握其知識(shí)點(diǎn).若一個(gè)正方形的對(duì)角線長(zhǎng)是2cm，則它的面積是【答案】2cm2【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可求得邊長(zhǎng)，從而根據(jù)面積公式即可求得其面積．【詳解】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得，正方形的邊長(zhǎng)為cm，則其面積為2cm2，【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，熟練掌握正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.如圖，在正方形ABCD內(nèi)，以AB為邊作等邊△ABE，則∠BEG＝_____°．【答案】45【分析】本題通過(guò)正方形的性質(zhì)得到AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°，在由等邊三角形的性質(zhì)得到AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°，進(jìn)而得到∠ADE＝∠AED＝75°，從而得到答案即可．【詳解】∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝DA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDA＝∠DAB＝90°．又∵三角形ABE是等邊三角形，∴AB＝AE＝BE，∠EAB＝∠ABE＝∠AEB＝60°．∴∠DAE＝∠DAB﹣∠EAB＝90°﹣60°＝30°，∴AE＝AD，∴∠ADE＝∠AED＝75°，∴∠BEG＝180°﹣∠DAE﹣∠AEB＝180°﹣75°﹣60°＝45°．故答案為：45．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，熟練掌握基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，E為BC上的一點(diǎn)，BE=1，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，AF=2，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則PF＋PE的最小值為_(kāi)_____________【答案】【分析】作點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′根據(jù)正方形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，AC是一條對(duì)稱(chēng)軸,可得點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在線段AD上，連結(jié)EF′，P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PF=PF′，則PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值為EF′的長(zhǎng)即可．【詳解】作點(diǎn)F關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)點(diǎn)F′，∵正方形ABCD是軸對(duì)稱(chēng)圖形，AC是一條對(duì)稱(chēng)軸，∴點(diǎn)F關(guān)于AC的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)在線段AD上，連結(jié)EF′，∵P為AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，∴PF=PF′則PF+PE=PF′+PE≥EF′，PF+PE的最小值為EF′的長(zhǎng)，∵AB=4，AF=2，∴AF′=AF=2，∴EF′=．【點(diǎn)睛】本題考查正方形性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短，掌握正方形性質(zhì)，軸對(duì)稱(chēng)性質(zhì)，兩點(diǎn)之間線段最短是解題關(guān)鍵．如圖，PA＝2，PB＝4，以AB為邊作正方形ABCD，使得P、D兩點(diǎn)落在直線AB的兩側(cè)，當(dāng)∠APB變化時(shí)，則PD的最大值為_(kāi)________．【答案】＋4【分析】過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AP，使AQ=AP=2，連接BQ，先證明△QAB≌△PAD，得到BQ=PD，得到當(dāng)Q、P、B在同一直線時(shí)，BQ最大，最大值為PQ+PB，根據(jù)勾股定理求出PQ，即可求出PD最大值．【詳解】過(guò)點(diǎn)A作AQ⊥AP，使AQ=AP=2，連接BQ，∴∠QAP=90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=AB，∠DAB=90°，∴∠QAP=∠BAD，∴∠QAP+∠PAB=∠BAD∠PAB，即∠QAB=∠PAD，∴△QAB≌△PAD，∴BQ=PD，∴PD最大值即為BQ最大值，∵BQ≤PQ+PB，∴當(dāng)Q、P、B在同一直線時(shí)，BQ最大，最大值為PQ+PB，在Rt△AQP中，,∴PQ+PB最大值為+4，∴PD最大值為＋4．故答案為：＋4．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，勾股定理、求線段的最大值等問(wèn)題，根據(jù)題意添加輔助線，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行線段轉(zhuǎn)化是解題重點(diǎn)．如圖，四邊形ABCD是正方形，M為BC上一點(diǎn)，連接AM，延長(zhǎng)AD至點(diǎn)E，使得AE=AM，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AM，垂足為F，求證：AB=EF．【分析】根據(jù)AAS證明△ABM≌△EFA，可得結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠B=90°，AD∥BC，∴∠EAF=∠BMA，∵EF⊥AM，∴∠AFE=90°=∠B，在△ABM和△EFA中，∵，∴△ABM≌△EFA（AAS），∴AB=EF．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定，熟練掌握三角形全等的判定是關(guān)鍵．如圖，在正方形ABCD中