1.6完全平方公式（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

1.6完全平方公式一、單選題1．下列式子滿足完全平方公式的是（

）A．（3x﹣y）（﹣y﹣3x） B．（3x﹣y）（3x+y）C．（﹣3x﹣y）（y﹣3x） D．（﹣3x﹣y）（y+3x）【答案】D【分析】首先將各式變形，再根據(jù)完全平方公式的知識(shí)求解即可求得答案．【解析】解：A、∵（3xy）（y3x）=（3xy）（y+3x），∴不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

B、（3xy）（3x+y），不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

C、∵（3xy）（y3x）=（3x+y）（3xy），∴不是完全平方式，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

D、∵（3xy）（y+3x）=（3x+y）（y+3x）=（3x+y）2，∴是完全平方式，故本選項(xiàng)正確．

故選D．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方公式．解題的關(guān)鍵是注意符號(hào)的變化．2．展開后的結(jié)果是（）.A． B．C． D．【答案】B【分析】先把變成，然后根據(jù)完全平方公式展開即可.【解析】，故選B.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)完全平方公式的考查，熟練掌握完全平方公式是解決本題的關(guān)鍵.3．若多項(xiàng)式是一個(gè)完全平方式，則m的值為（）A．12 B． C．6 D．【答案】B【分析】利用完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征解答即可．【解析】解：∵9x2mx+4是一個(gè)完全平方式，∴m=±12，∴m=±12．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，熟練掌握完全平方公式是解本題的關(guān)鍵．4．若，下列等式：①②③④⑤，其中錯(cuò)誤的有（）A．0個(gè) B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)【答案】C【分析】利用完全平方公式以及平方差公式，進(jìn)行逐一判斷即可．【解析】解：故①說法正確；故②說法錯(cuò)誤；故③說法正確，④說法錯(cuò)誤；，故⑤說法正確；錯(cuò)誤的有2個(gè)，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘法公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．5．如圖，將完全相同的四個(gè)矩形紙片拼成一個(gè)正方形，則可得出一個(gè)等式為（）A． B．C． D．【答案】A【分析】我們通過觀察可看出大正方形的面積等于小正方形的面積加上4個(gè)長(zhǎng)方形的面積，從而得出結(jié)論．【解析】解：由圖形可得：大正方形的邊長(zhǎng)為：a+b，則其面積為：（a+b）2，小正方形的邊長(zhǎng)為：（ab），則其面積為：（ab）2，長(zhǎng)方形面積為：ab，大正方形的面積又可以表示為（ab）2+4ab，故（a+b）2=（ab）2+4ab．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景，認(rèn)真觀察，熟練掌握長(zhǎng)方形、正方形、組合圖形的面積計(jì)算方法是正確解題的關(guān)鍵．6．已知a－b＝3，ab＝2，則a2＋b2的值是()A．4 B．9 C．13 D．15【答案】C【分析】先根據(jù)完全平方公式變形：a2+b2=（ab）2+2ab，再整體代入求出即可．【解析】解：∵ab=3，ab=2，

∴a2+b2=（ab）2+2ab=32+2×2=13，

故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)完全平方公式的應(yīng)用，注意：完全平方公式是：（a+b）2=a2+2ab+b2，（ab）2=a22ab+b2．7．如圖所示，有三種卡片，其中邊長(zhǎng)為的正方形卡片有1張，長(zhǎng)為、寬為的矩形卡片有4張，邊長(zhǎng)為的正方形卡片有4張，用這9張卡片剛好能拼成一個(gè)大正方形，則這個(gè)大正方形的邊長(zhǎng)為（）

A． B． C． D．【答案】A【分析】可根據(jù)拼前與拼后面積不變，求出正方形的邊長(zhǎng)．【解析】解：設(shè)拼成后大正方形的邊長(zhǎng)為x，則a2+4ab+4b2＝x2，則（a+2b）2＝x2，∴x＝a+2b，故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式的幾何背景以及整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是依據(jù)面積相等列方程．8．已知（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，則a2+b2的值為（

）A．11 B．3 C．32 D．【答案】D【解析】【分析】直接利用完全平方公式把兩個(gè)等式展開，然后相加化簡(jiǎn)求出答案即可【解析】∵（a+b）2=7，（a﹣b）2=4，∴a2+2ab+b2=7，a2﹣2ab+b2=4，∴2（a2+b2）=11，∴a2+b2=112故選：D．【點(diǎn)睛】此題考查了完全平方式，牢記公式是解題的關(guān)鍵.9．已知，則的值是A．3 B．7 C．9 D．11【答案】B【分析】利用完全平方公式將兩邊平方，即可得出的值．【解析】解：，，，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握公式的特征是解題的關(guān)鍵．10．不論x，y為何有理數(shù)，x2+y2﹣10x+8y+45的值均為（）A．正數(shù) B．零 C．負(fù)數(shù) D．非負(fù)數(shù)【答案】A【解析】【解析】因?yàn)閤2+y2－10x+8y+45=,所以x2+y2－10x+8y+45的值為正數(shù),故選A.二、填空題11．（1）________；（2）________；（3）________；（4）________．【答案】【分析】（1）先提取一個(gè)負(fù)號(hào)，然后利用完全平方公式求解即可；（2）先提取一個(gè)負(fù)號(hào)，然后利用平方差公式求解即可；（3）先提取一個(gè)負(fù)號(hào)，然后利用平方差公式求解即可；（4）先提取一個(gè)負(fù)號(hào)，然后利用完全平方公式求解即可．【解析】解：（1）原式＝；（2）；（3）；（4）．故答案為：；；；．【點(diǎn)睛】本題主要考察了完全平方公式和平方差公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握兩個(gè)公式．12．（1）________________；（2）________；（3）________；（4）________；（5）________．【答案】【分析】（1）根據(jù)，求解即可；（2）根據(jù)，求解即可；（3）根據(jù)，求解即可；（4）根據(jù)，求解即可；（5）根據(jù)，求解即可．【解析】解：（1）∵，；（2）∵，∴；（3）∵，∴；（4）∵，∴；（5）∵，∴．故答案為：，；；；；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．13．若多項(xiàng)式是完全平方式，則的值為________．【答案】或【分析】根據(jù)完全平方公式，這里首末兩項(xiàng)是x和3y這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去x和3y積的2倍．【解析】解：∵x2?kxy＋9y2是一個(gè)完全平方式，

∴?kxy＝±6xy，

∴k＝±6．

故填或．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式，掌握兩數(shù)的平方和，再加上或減去它們積的2倍，就構(gòu)成了一個(gè)完全平方式．注意積的2倍的符號(hào)，避免漏解．14．如果是一個(gè)完全平方式，則__________．【答案】1或3【分析】先根據(jù)兩平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)，再根據(jù)完全平方公式的乘積二倍項(xiàng)即可確定m的值．【解析】解：∵=，∴2(m1)x=±2×x×2，解得m=1或m=3．故答案為1或3【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方式，根據(jù)平方項(xiàng)確定出這兩個(gè)數(shù)是解題的關(guān)鍵，也是難點(diǎn)，熟記完全平方公式對(duì)解題非常重要．15．要使成為一個(gè)完全平方式，可以加上一個(gè)單項(xiàng)式______.【答案】或【分析】根據(jù)完全平方公式的特征即可得出答案.【解析】①若把看成，把1看成，則缺少了中間項(xiàng)，中間項(xiàng)為±8x；②若把看成2ab，把1看成，則缺少了項(xiàng)，項(xiàng)為；故答案為：或.【點(diǎn)睛】本題考查的是完全平方公式，需要熟練掌握完全平方公式的特征.16．已知a、b滿足等式，，則m、n的大小關(guān)系為________．【答案】【分析】利用作差法求出，然后根據(jù)完全平方公式將其配方，最后利用平方的非負(fù)性即可判斷．【解析】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是用作差法比較大小，掌握完全平方公式和平方的非負(fù)性是解決此題的關(guān)鍵．17．已知，則______．【答案】0【分析】將變形得到，從而利用完全平方式的非負(fù)性求得x,y的值，代入求值即可【解析】解：∴∴原式=故答案為：0【點(diǎn)睛】本題考查利用完全平方公式求值，掌握公式結(jié)果正確計(jì)算是本題的解題關(guān)鍵.18．代數(shù)式的最大值是______，當(dāng)取得最大值時(shí)，與的關(guān)系是______.【答案】4【分析】求代數(shù)式的最大值，即求的最小值，然后回答即可.【解析】求代數(shù)式的最大值，即求的最小值，，則代數(shù)式的最大值是4，則，則.【點(diǎn)睛】本題是對(duì)完全平方式的考查，熟練掌握完全平方式是解決本題的關(guān)鍵.19．兩個(gè)邊長(zhǎng)分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)小正方形疊合部分（陰影）面積為．若，則＋＝_______；當(dāng)＋＝40時(shí)，則圖3中陰影部分的面積_________．【答案】3420【分析】①分別用代數(shù)式表示出和，利用完全平方公式的變形化簡(jiǎn)，即可求得；②利用兩個(gè)正方形的面積減去2個(gè)三角形的面積即得,運(yùn)用①中的結(jié)論，即可求得．【解析】①，＋＝＋＝②＋＝=40，故答案為：34；20．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，幾何圖形的面積，整式的乘法，熟悉完全平方公式是解題的關(guān)鍵．20．如圖所示為楊輝三角函數(shù)表的一部分，它的作用是指導(dǎo)讀者按規(guī)律寫出形如為正整數(shù)）展開式的眾數(shù)，請(qǐng)你仔細(xì)觀察表中的規(guī)律，填出展開式中所缺的系數(shù)．______________+【答案】464【分析】根據(jù)楊輝三角，下一行的系數(shù)是上一行相鄰兩系數(shù)的和，然后寫出各項(xiàng)的系數(shù)即可．【解析】（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4．故答案為4，6，4．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，發(fā)現(xiàn)楊輝三角形各項(xiàng)系數(shù)之間的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．三、解答題21．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）3969；（6）9604．【分析】利用完全平方公式直接求解即可．【解析】解：（1），（2），（3），（4），（5），，，（6），，．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是熟記完全平方公式．22．運(yùn)用完全平方公式計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）【分析】（1）根據(jù)完全平方公式直接進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)完全平方公式直接進(jìn)行計(jì)算；（3）根據(jù)完全平方公式直接進(jìn)行計(jì)算；（4）根據(jù)完全平方公式直接進(jìn)行計(jì)算．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，熟練掌握完全平方公式的運(yùn)算是解答此題的關(guān)鍵．23．運(yùn)用乘法公式計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）；（2）；（3）；（4）．【分析】（1）根據(jù)平方差公式，可得答案；（2）根據(jù)平方差公式，再根據(jù)完全平方公式，可得答案；（3）根據(jù)完全平方公式，可得答案；（4）根據(jù)平方差公式，再根據(jù)完全平方公式，可得答案．【解析】解：（1）原式＝[（3x?5）＋（2x＋7）][（3x?5）?（2x＋7）]＝（3x?5＋2x＋7）（3x?5?2x?7）＝（5x＋2）（x?12）＝；（2）原式＝[（x＋y）＋1][（x＋y）?1]＝?1＝；（3）原式＝＝?6（2x?y）＋9＝；（4）原式＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，利用了平方差公式，完全平方公式，熟練掌握平方差公式及完全平方公式是解題關(guān)鍵．24．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【答案】（1）3；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【分析】（1）先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可；（2）利用平方差和完全平方公式先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可；（3）先提取公因式，然后利用平方差公式求解即可；（4）利用平方差和完全平方公式先去括號(hào)，然后合并同類項(xiàng)即可；（5）利用平方差和完全平方公式求解即可；（6）利用完全平方公式求解即可；（7）利用平方差公式求解即可；（8）利用平方差公式求解即可．【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）．【點(diǎn)睛】本題主要考查了乘法公式和整式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．25．（1）若，求的值；（2）若，，求的值．【答案】（1）25；（2）3【分析】（1）先根據(jù)，得到求出x、y的值，然后代值計(jì)算即可；（2）只需要得到即，由此求解即可．【解析】解：（1）∵，∴，∴，∴，，∴，，∴，；（2）∵，∴∵，∴∴，∵∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握完全平方公式．26．求值：（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值；（3）若，，求的值；（4）當(dāng)時(shí)，的值是10，求時(shí)，該代數(shù)式的值；（5）已知，求的值；（6）已知，求代數(shù)式的值；（7）已知，求代數(shù)式的值．【答案】（1）108；（2）8；（3）1；（4）；（5）；（6）；（7）0【分析】（1）根據(jù)進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)進(jìn)行求解即可；（3）根據(jù)，，然后兩式相減即可求解；（4）時(shí)，的值是10，即可得到即，再把x=3代入求解即可；（5）根據(jù)，得到，由則最后可以得到，由此即可求解；（6）先利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式求得，從而得到，，由此求解即可；（7）根據(jù)，即可得到，求出x、y、z的值即可求解．【解析】解：（1）∵，，∴；（2）∵，∴，∴；（3）∵，，∴，∴；（4）∵時(shí)，的值是10，∴即，∴時(shí)，代數(shù)式的值；（5）∵，∴，∴、；（6）∵，∴，∴，，∴；（7）∵，∴，∴，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了代數(shù)式求值，完全平方公式，整式的乘法，冪的混合計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．27．（1）填空：________________；（2）若，求的值；（3）若，求的值．【答案】（1）2，2；（2）23；（3）7．【分析】（1）用完全平方公式進(jìn)行解答即可得，（2）用完全平方公式進(jìn)行解答即可得，（3）先將變形為，即可求得．【解析】解：（1）∵，∴，∵，∴；（2）；（3），，，則．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式，解題的關(guān)鍵是要靈活運(yùn)用完全平方公式．28．甲、乙兩人各持一張分別寫有整式、的卡片．已知整式，下面是甲、乙二人的對(duì)話：甲：我的卡片上寫著整式，加上整式后得到最簡(jiǎn)整式；乙：我用最簡(jiǎn)整式加上整式后得到整式．根據(jù)以上信息，解決下列問題：（1）求整式和；（2）請(qǐng)判斷整式和整式的大小，并說明理由．【答案】（1）；；（2）；答案見解析．【分析】（1）依題意可得，代入各式即可求解；（2）化簡(jiǎn)，根據(jù)配方法的應(yīng)用即可求解．【解析】解：（1）．∵，∴．（2）．理由：．∵，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查整式的加減及配方法的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知完全平方公式的應(yīng)用．29．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過兩種不同的方法計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：（a+2b）（a+b）=a2+3ab+2b2（1）如圖2，將