第17講圖形運動中函數(shù)關(guān)系的確定（練習）

第17講圖形運動中函數(shù)關(guān)系的確定（練習）1．（2018·上海八年級期末）觀摩、學習是我們生活的一部分，而在觀摩中與展覽品保持一定的距離是一種文明的表現(xiàn)．某學校數(shù)學業(yè)余學習小組在平面直角坐標系xOy有關(guān)研討中，將到線段PQ所在的直線距離為的直線，稱為直線PQ的“觀察線”，并稱觀察線上到P、Q兩點距離和最小的點L為線段PQ的“最佳觀察點”．(1)如果P(1，)，Q(4，)，那么在點A(1，0)，B(，2)，C(，3)中，處在直線PQ的“觀察線”上的是點；(2)求直線y＝x的“觀察線”的表達式；(3)若M(0，﹣1)，N在第二象限，且MN＝6，當MN的一個“最佳觀察點”在y軸正半軸上時，直接寫出點N的坐標；并按逆時針方向聯(lián)結(jié)M、N及其所有“最佳觀察點”，直接寫出聯(lián)結(jié)所圍成的多邊形的周長和面積．【答案】(1)A，B；(2)直線y＝x的“觀察線”的解析式為y＝x﹣2或y＝x+2；(3)圍成的圖形是菱形MQNQ′，這個菱形的周長8，這個菱形的面積6．【分析】（1）由題意線段PQ的“觀察線”的解析式為y=0或y=2，由此即可判斷；

（2）如圖2中，設(shè)直線的下方的“觀察線”MN交y軸于K，作KE⊥直線，求出直線MN的解析式，再根據(jù)對稱性求出直線的上方的“觀察線”PQ即可；

（3）如圖3中，設(shè)點Q是MN的一個“最佳觀察點”，點P是MN的中點．解直角三角形求出點P坐標，再根據(jù)中點坐標公式求出等N坐標；觀察圖象可知：設(shè)此時的另一個“最佳觀察點”為Q′，按逆時針方向聯(lián)結(jié)M、N及其所有“最佳觀察點”，所圍成的圖形是菱形MQNQ′，這個菱形的周長=8，這個菱形的面積=＝×6×2＝6．【詳解】(1)如圖1中，由題意線段PQ的“觀察線”的解析式為y＝0或y＝2，∵點A在直線y＝0上，點B在直線y＝2上，∴點A，點B是直線PQ的“觀察線”上的點，故答案為A，B．(2)如圖2中，設(shè)直線y＝x的下方的“觀察線”MN交y軸于K，作KE⊥直線y＝x，由題意：EK＝，∵直線y＝x與x軸的夾角為30°，∴∠EOK＝60°，∴∠EKO＝30°，∴tan30°＝＝，∴OE＝1，∴OK＝2OE＝2，∵MN∥直線y＝x，∴直線MN的解析式為y＝x﹣2，根據(jù)對稱性可知在直線y＝x上方的“觀察線”PQ的解析式為y＝x+2．綜上所述，直線y＝x的“觀察線”的解析式為y＝x﹣2或y＝x+2．(3)如圖3中，設(shè)點Q是MN的一個“最佳觀察點”，點P是MN的中點．當點Q在y軸的正半軸上時，連接PQ，則PQ垂直平分線線段MN．在Rt△PQM中，PQ＝，PM＝3，∴MQ＝＝2，∵M(0，﹣1)，OQ＝2﹣1，作PH⊥y軸于H．在Rt△PQH中，∵tan∠PQH＝＝，∴∠PQH＝60°，∴∠QPH＝30°，∴QH＝PQ＝，PH＝QH＝，∴OH＝2﹣1﹣＝﹣1，∴P(﹣，﹣1)，∵PN＝PM，∴N(﹣3，3﹣1)．觀察圖象可知：設(shè)此時的另一個“最佳觀察點”為Q′，按逆時針方向聯(lián)結(jié)M、N及其所有“最佳觀察點”，所圍成的圖形是菱形MQNQ′，這個菱形的周＝8，這個菱形的面積＝×6×2＝6．【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、點到直線的距離、軌跡、解直角三角形等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．2．（2018·上海民辦浦東交中初級中學八年級月考）如圖，已知直線y=﹣x+3與x軸、y軸分別相交于點A、B，再將△A0B沿直錢CD折疊，使點A與點B重合．折痕CD與x軸交于點C，與AB交于點D．（1）點A的坐標為；點B的坐標為；（2）求OC的長度，并求出此時直線BC的表達式；（3）直線BC上是否存在一點M，使得△ABM的面積與△ABO的面積相等？若存在，請直接寫出點M的坐標；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（4，0），（0，3）；（2）y=﹣x+3;（3）見解析．【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題；（2）設(shè)OC=x，則AC=BC=4﹣x，在Rt△BOC中，利用勾股定理求出x，再利用待定系數(shù)法求出直線BC的解析式即可；（3）過點O作OM∥AB交直線BC于M．由OM∥AB，可知S△AOB=S△ABM，由直線AB的解析式為，OM∥AB，推出直線OM的解析式為，由解得，可得M，根據(jù)對稱性可知，經(jīng)過點O′（0，6）與直線AB平行的直線與直線BC的交點M′，也滿足條件．【詳解】解：（1）令y=0，則x=4；令x=0，則y=3，故點A的坐標為（4，0），點B的坐標為（0，3）．故答案為（4，0），（0，3）；（2）設(shè)OC=x，∵直線CD垂直平分線段AB，∴AC=CB=4﹣x，∵∠BOA=90°，∴OB2+OC2=CB2，32+x2=（4﹣x）2，解得∴∴設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，則有解得∴直線BC的解析式為（3）過點O作OM∥AB交直線BC于M．∵OM∥AB，∴S△AOB=S△ABM，∵直線AB的解析式為，OM∥AB，∴直線OM的解析式為由解得，∴M，根據(jù)對稱性可知，經(jīng)過點O′（0，6）與直線AB平行的直線與直線BC的交點M′，也滿足條件，易知BM′=BM，設(shè)M′（m，n），則有∴∴M′綜上所述，滿足條件的點M坐標為或．【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、翻折變換、線段的垂直平分線的性質(zhì)、等高模型、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，學會有添加輔助線，構(gòu)造平行線解決問題，注意一題多解，屬于中考壓軸題．3．（2018·上海八年級期中）已知一次函數(shù)的圖象與坐標軸交于A、B點（如圖），AE平分∠BAO，交x軸于點E．（1）求點B的坐標；（2）求直線AE的表達式；（3）過點B作BF⊥AE，垂足為F，連接OF，試判斷△OFB的形狀，并求△OFB的面積．（4）若將已知條件“AE平分∠BAO，交x軸于點E”改變?yōu)椤包cE是線段OB上的一個動點（點E不與點O、B重合）”，過點B作BF⊥AE，垂足為F．設(shè)OE=x，BF=y，試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出函數(shù)的定義域．【答案】（1）B（8，0）；（2）y=﹣2x+6；（3）△OFB為等腰三角形，S△OBF=8；（4）y=（0＜x＜8）．【分析】（1）如圖1中，設(shè)OE=x，作EM⊥AB于M．首先證明△AEO≌△AEM，推出AM=AO=6，由OA=6，OB=8，∠AOB=90°，推出AB=10，推出BM=4，在Rt△EBM中，根據(jù)EM2+BM2=EB2，可得x2+42=（8x）2，解方程即可．（2）根據(jù)S△AEB=，即可解決問題．（3）利用面積即可解決，方法類似（2）．【詳解】解:（1）如圖1中，∵一次函數(shù)y=x+6的圖象與坐標軸交于A、B點，∴A（0，6），B（8，0），設(shè)OE=x，作EM⊥AB于M．∵AE平分∠OAB，OE⊥OA，∴OE=EM=x，在△AEO和△AEM中，，∴△AEO≌△AEM，∴AM=AO=6，∵OA=6，OB=8，∠AOB=90°，∴AB=10，∴BM=4，在Rt△EBM中，∵EM2+BM2=EB2，∴x2+42=（8x）2，∴x=3，∴E（3，0），設(shè)直線AE的解析式為y=kx+b則，解得，∴直線AE的解析式為y=2x+6．（2）由（1）可知OE=3，AE=，EB=5，∵S△AEB=?EB?OA=?AE?BF，∴BF=．（3）如圖2中，在Rt△AOE中，，∴AE=，∵S△AEB=?EB?OA=?AE?BF，∴BF=，∴y=（0＜x＜8）．【點睛】本題考查一次函數(shù)綜合題、全等三角形的判定和性質(zhì)、三角形的面積．勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題，學會利用面積法求高.4．（2020·上海八年級期中）如圖，直線MN與x軸，y軸分別相交于A，C兩點，分別過A，C兩點作x軸，y軸的垂線相交于B點，且OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x2﹣14x+48=0的兩個實數(shù)根．（1）求C點坐標；（2）求直線MN的解析式；（3）在直線MN上存在點P，使以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形，請直接寫出P點的坐標．【答案】（1）C（0，6）．（2）y=x+6．（3）P1（4，3），P2（）P3（），P4（）．試題分析：（1）通過解方程x2﹣14x+48=0可以求得OC=6，OA=8．則C（0，6）；（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）．把點A、C的坐標分別代入解析式，列出關(guān)于系數(shù)k、b的方程組，通過解方程組即可求得它們的值；（3）需要分類討論：PB為腰，PB為底兩種情況下的點P的坐標．根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、兩點間的距離公式以及一次函數(shù)圖象上點的坐標特征進行解答．試題解析：（1）解方程x214x+48=0得x1=6，x2=8∵OA，OC（OA＞OC）的長分別是一元二次方程x214x+48=0的兩個實數(shù)根∴OC=6，OA=8∴C（0，6）（2）設(shè)直線MN的解析式是y=kx+b（k≠0）由（1）知，OA=8，則A（8，0）∵點A、C都在直線MN上∴解得，∴直線MN的解析式為y=x+6（3）∵A（8，0），C（0，6）∴根據(jù)題意知B（8，6）∵點P在直線MNy=x+6上∴設(shè)P（a，a+6）當以點P，B，C三點為頂點的三角形是等腰三角形時，需要分類討論：①當PC=PB時，點P是線段BC的中垂線與直線MN的交點，則P1（4，3）；②當PC=BC時，a2+（a+66）2=64解得，a=±，則P2（，），P3（，）③當PB=BC時，（a8）2+（a+66）2=64解得，a=，則a+6=∴P4（，）綜上所述，符合條件的點P有：P1（4，3），P2(，)，P3(，)，P4（，）考點：一次函數(shù)綜合題．5．（2021·上海奉教院附中八年級期末）如圖，已知，直線，點P在線段上，點D為射線上一動點，連接，射線交直線于點E．已知，．（1）如圖1，當點D在線段上時，求證：；（2）當時，請在圖2中畫出相應(yīng)的圖形，并求線段的長；（3）如果的平分線交射線于點G，設(shè)，，求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．【答案】（1）見解析；（2）圖見解析，2；（3）【分析】（1）先判斷出，進而判斷出，再判斷出，得到即可；（2）依題意畫出圖形，由（1）得到，再判斷出，求出，進而求出AE；（3）先表示出，再判斷出，得到，在中，，即，即可．【詳解】（1）證明：如圖1，作于點H，作于點F，，．，．，即，．，．，，，，，；（2）如圖2，作于點H，作于點F，同（1）得，，，，．，．，．，，，．∵在四邊形AHPF中，，∴四邊形AHPF是矩形，，；（3）如圖3，作于點H，作于點F，由（2）得，，，，，．∵PG平分，．，，，在中，，即，．【點睛】本題主要考查全等三角形的性質(zhì)和判定，矩形的判定及性質(zhì)，同角的余角相等，勾股定理，證明出是關(guān)鍵．6．（2018·上海八年級期中）如圖，直線與軸相交于點，與直線相交于點．（1）求點的坐標；（2）請判斷的形狀并說明理由；（3）動點從原點出發(fā)，以每秒個單位的速度沿著的路線向點勻速運動（不與點、重合），過點分別作軸于，軸于，設(shè)運動秒時，矩形與重疊部分的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】（1）；（2）等邊三角形，見解析；（3）當時，，當時，【分析】（1）解兩個函數(shù)解析式組成的方程組即可得到交點P的坐標；（2）過點P作PC⊥x軸于C，得到OC=2，PC=，AC=OAOC=2，根據(jù)勾股定理求出OP=4，AP=4，得到AP=OP=OA，即可得到是等邊三角形的結(jié)論；（3）當時，OE=t，過點P作PC⊥x軸于C，根據(jù)EF∥PC，得到，求出EF=，OF=，得到；當時，AE=8t，BE交OP于M，根據(jù)EF∥PC，得到，求出，，根據(jù)∠BMO=∠POA=60°，BO=求出BM=BO=，根據(jù)S=求出函數(shù)解析式.【詳解】解：（1）解方程組，，點的坐標是；（2）是等邊三角形，當時，，的坐標是，過點P作PC⊥x軸于C，∵P，∴OC=2，PC=，∴AC=OAOC=2，∵∠PCO=90°，∴OP=4，同理AP=4，∴AP=OP=OA，∴是等邊三角形；（3）當時，OE=t，過點P作PC⊥x軸于C，∵EF⊥x軸，∴EF∥PC，∴,∴，∴EF=，OF=，∴；當時，AE=8t，BE交OP于M，∵EF∥PC，∴,∴,∴，,∵∠BMO=∠POA=60°，BO=,∴BM=BO=，∴S===．【點睛】此題考查一次函數(shù)圖象與幾何圖象，函數(shù)圖象的交點坐標的求法，矩形的性質(zhì)，動點問題與圖形面積的函數(shù)解析式，等邊三角形的判定.7．（2019·上海八年級期末）梯形中，，，，，、在上，平分，平分，、分別為、的中點，和分別與交于和，和交于點．（1）求證：；（2）當點在四邊形內(nèi)部時，設(shè)，，求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量的取值范圍；（3）當時，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）；（3）3或．【分析】（1）由中位線的性質(zhì)，角平分線的定義和平行線的性質(zhì)得出，易證，則結(jié)論可證；（2）過作交于點K，過點D作交于點，則得到矩形，則有，，然后利用（1）中的結(jié)論有，，在中，利用含30°的直角三角形的性質(zhì)可得出QC，DQ的長度，然后在中利用勾股定理即可找到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（3）分兩種情況：點在梯形內(nèi)部和點在梯形內(nèi)部，當點在梯形內(nèi)部時，有；當點在梯形內(nèi)部時，有，分別結(jié)論（2）中的關(guān)系式即可求出EG的長度．【詳解】（1）證明：、分別是、的中點，．平分，．又，，，．點是的中點，．．（2）過作交于點K，過點D作交于點，∵，，，∴四邊形是矩形，，．，，，同理：．在中，，，，．，．在中，．，即．．（3）①點在梯形內(nèi)部．∵是梯形的中位線，，即．解得：，即．②點在梯形內(nèi)部．同理：．解得：，即．綜上所述，EG的長度為3或．【點睛】本題主要考查四邊形的綜合問題，掌握中位線的性質(zhì)，含30°的直角三角形的性質(zhì)，勾股定理是基礎(chǔ)，能夠作出輔助線并分情況討論是解題的關(guān)鍵．8.如圖所示：長方形紙片ABCD的邊AB=2，BC=3，點M是邊CD上的一個動點，（不與點C重合），把這張長方形紙片折疊，使點B落在M上，折痕交邊AD與點E，交邊BC于點F．（1）寫出圖中全等三角形；（2）設(shè)CM=x，AE=y，求y與x之間的函數(shù)解析式，寫出定義域；（3）試判斷∠BEM能否可能等于90度?如可能，請求出此時CM的長；如不能，請說明理由．【難度】★★【解析】解：（1）；．，；，，，解得：，，．【總結(jié)】本題主要考查折疊的性質(zhì)，折疊前后兩圖形全等，即對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，還考查了直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的綜合運用．9.如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，點P是射線BC上的一個動點，∠PAQ＝60°，PQ交射線CD于點Q，設(shè)點P到點B的距離為x，PQ＝y(tǒng)．（1）求證：△APQ是等邊三角形；（2）求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出它的定義域；（3）如果PD⊥AQ，求BP的值．【難度】★★★【解析】（1）證明：過作，，，，，是等邊三角形；是等邊三角形，．在中，，．．在中，，；當與重合，與重合時，聯(lián)結(jié)，