專(zhuān)題14四邊形-2023年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)

專(zhuān)題14四邊形多邊形、四邊形、平面向量及其線(xiàn)性運(yùn)算是中考的重要考點(diǎn)，尤其是特殊的平行四邊形更是中考的難點(diǎn)，主要考查基礎(chǔ)概念，幾何推理與證明，綜合分析幾何問(wèn)題.1.掌握多邊形內(nèi)角和與外角和公式，靈活運(yùn)用多邊形內(nèi)角和與外角和公式解決有關(guān)問(wèn)題.2.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念,了解它們之間的關(guān)系.掌握它們的性質(zhì)和判別方法,并能運(yùn)用這些知識(shí)進(jìn)行證明和計(jì)算.3.掌握三角形和梯形的中位線(xiàn)定理，并能靈活應(yīng)用.4.了解平面向量的概念，掌握平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算.一、多邊形內(nèi)角和定理、外角定理邊形的內(nèi)角和為(－2)·180°(≥3)．要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)內(nèi)角和定理的應(yīng)用：①已知多邊形的邊數(shù)，求其內(nèi)角和；②已知多邊形內(nèi)角和求其邊數(shù)；(2)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角都相等，都等于；多邊形的外角和為360°．邊形的外角和恒等于360°，它與邊數(shù)的多少無(wú)關(guān).二、平行四邊形定義：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形.性質(zhì)：1．邊的性質(zhì)：平行四邊形兩組對(duì)邊平行且相等；2．角的性質(zhì)：平行四邊形鄰角互補(bǔ)，對(duì)角相等；3．對(duì)角線(xiàn)性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)互相平分；4．平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形，對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為對(duì)稱(chēng)中心.判定：1.兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形；2.兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形；3.一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；4.兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形；5.對(duì)角線(xiàn)互相平分的四邊形是平行四邊形.平行線(xiàn)的性質(zhì)1.平行線(xiàn)間的距離都相等2.等底等高的平行四邊形面積相等三、梯形定義：一組對(duì)邊平行而另一組對(duì)邊不平行的四邊形叫梯形；有一個(gè)角是直角的梯形叫直角梯形；有兩條腰相等的梯形叫做等腰梯形.等腰梯形性質(zhì)：（1）兩底平行，兩腰相等；（2）同一底邊上的兩個(gè)角相等；（3）兩條對(duì)角線(xiàn)相等；（4）軸對(duì)稱(chēng)圖形（底的中垂線(xiàn)就是它的對(duì)稱(chēng)軸）．面積：等腰梯形判定：（1）兩腰相等的梯形是等腰梯形；（2）同一底邊上的兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形；（3）對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形．解決梯形問(wèn)題的常用方法（如下圖所示）：（1）“作高”：使兩腰在兩個(gè)直角三角形中．（2）“移對(duì)角線(xiàn)”：使兩條對(duì)角線(xiàn)在同一個(gè)三角形中．（3）“延長(zhǎng)兩腰”：構(gòu)造具有公共角的兩個(gè)三角形．（4）“等積變形”：連接梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長(zhǎng)交下底的延長(zhǎng)線(xiàn)于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形．并且這個(gè)三角形面積與原來(lái)的梯形面積相等.綜上，解決梯形問(wèn)題的基本思路：梯形問(wèn)題三角形或平行四邊形問(wèn)題，這種思路常通過(guò)平移或旋轉(zhuǎn)來(lái)實(shí)現(xiàn)．三角形、梯形的中位線(xiàn)聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線(xiàn)段叫做三角形的中位線(xiàn).三角形中位線(xiàn)定理：三角形的中位線(xiàn)平行于三角形的第三邊，且等于第三邊的一半.聯(lián)結(jié)梯形兩腰中點(diǎn)的線(xiàn)段叫梯形的中位線(xiàn).梯形的中位線(xiàn)定理：梯形的中位線(xiàn)平行于兩底，并且等于兩底和的一半.一、單選題1．一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于，則這個(gè)多邊形的邊數(shù)是（

）A．10 B．9 C．6 D．4【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的外角和等于，可以用除一個(gè)外角的度數(shù)，可以算出多邊形的邊數(shù)即可．【解析】解：，這個(gè)多邊形的邊數(shù)是6，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查多邊形的外角和，能夠熟練掌握根據(jù)多邊形的外角和與正多邊形一個(gè)外角的度數(shù)求出多邊形的邊數(shù)是解決本題的關(guān)鍵．2．若一個(gè)多邊形的內(nèi)角和比它的外角和大，則該多邊形的邊數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)多邊形的邊數(shù)為，根據(jù)多邊形的外角和內(nèi)角和之間的關(guān)系可到關(guān)于的方程，解方程即可得．【解析】解：∵多邊形的外角和是，多邊形的內(nèi)角和比它的外角和大∴設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為由題意得：解得：故選：【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形的外角和與內(nèi)角和，理清外角和與內(nèi)角和的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．小紅：我計(jì)算出一個(gè)多邊形的內(nèi)角和為；老師：不對(duì)呀，你可能少加了一個(gè)角則小紅少加的這個(gè)角的度數(shù)是（）A．1 B．1 C．1 D．1【答案】D【分析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，少加的角的度數(shù)為x，由多邊形內(nèi)角和定理可得等式：，由n為整數(shù)即可確定x的值．【解析】設(shè)這個(gè)多邊形的邊數(shù)為n，少加的角的度數(shù)為x，由題意得：，，由于n為整數(shù)，x為正數(shù)且小于，，則，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了多邊形內(nèi)角和定理，關(guān)鍵是設(shè)多邊形的邊數(shù)及少加的角的度數(shù)，由多邊形內(nèi)角和定理得到等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)確定少加的角．4．劉師傅給客戶(hù)加工一個(gè)平行四邊形的零件，他要檢查這個(gè)零件是否為平行四邊形，用下列方法不能檢查的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的判定方法：一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，即可得A，B，D可以判定四邊形是平行四邊形，不能通過(guò)一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等得到平行四邊形，也可以是等腰梯形；即可求得答案．【解析】A．，，根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項(xiàng)正確，但不符合題意；B．，，根據(jù)兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項(xiàng)正確，但不符合題意；C．，，可知四邊形可以是平行四邊形，也可以是等腰梯形；故本選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；D．，，根據(jù)兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形，可知本選項(xiàng)正確，但不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定．此題比較簡(jiǎn)單，注意熟記平行四邊形的判定定理是解此題的關(guān)鍵．5．如圖，在中，平分交于點(diǎn)F，平分交于點(diǎn)E，若，，則的長(zhǎng)度為（

）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，由角平分線(xiàn)可得，所以，所以，同理可得，則根據(jù)即可求解．【解析】解：∵四邊形是平行四邊形，，∴，．∴．∵平分，∴．∴．∴．同理可得．∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)、角平分線(xiàn)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)學(xué)模型“角平分線(xiàn)+平行線(xiàn)得到等腰三角形”．6．下列命題：①等腰梯形的兩個(gè)底角相等；②兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形；③等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)等；⑤對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形，其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)對(duì)①③進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰梯形的判定方法對(duì)②④進(jìn)行判斷．【解析】解：等腰梯形的兩個(gè)底角相等，所以①為真命題；兩個(gè)底角相等的梯形是等腰梯形，所以②為真命題；等腰梯形的對(duì)角線(xiàn)相等，所以③為真命題；對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形，所以④為真命題．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題：命題的“真”“假”是就命題的內(nèi)容而言．任何一個(gè)命題非真即假．要說(shuō)明一個(gè)命題的正確性，一般需要推理、論證，而判斷一個(gè)命題是假命題，只需舉出一個(gè)反例即可．7．如圖，在等腰梯形中，ADBC，，，，則BC=（

）A．10 B．12 C．14 D．16【答案】C【分析】過(guò)作交于，得出四邊形是平行四邊形，推出，，證出是等邊三角形，得到，即可求出答案．【解析】解：過(guò)作交于，，，四邊形是平行四邊形，，，∵，是等邊三角形，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查對(duì)等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，把等腰梯形轉(zhuǎn)化成平行四邊形和三角形是解此題的關(guān)鍵．8．如圖，將平行四邊形沿對(duì)角線(xiàn)折疊，使點(diǎn)落在點(diǎn)處，若，，則的度數(shù)為（

）．A．124° B．114° C．104° D．56°【答案】A【分析】根據(jù)折疊、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，即可求出答案．【解析】解：由折疊得，，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，又∵，∴，在中，，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理等知識(shí)，由圖形直觀得出各個(gè)角之間的關(guān)系是正確解答的關(guān)鍵．9．如圖，在中，如果點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，且，那么下列結(jié)論不正確的是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，逐個(gè)判斷即可．【解析】解：在?ABCD中，AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∵AD∥BC，∠A＝∠AEC，∴AB＝CE，∴CE＝CD，故A正確；∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴AD＝BC＝2AE＝2DE，∵AD∥BC，∴△BFC∽△DFE，∴∴BF＝2DF，故B正確；∵AB＝CE，∴FC＝2EF，∴CE＝3EF，∴AB＝CE＝3EF，故C不正確；∵，△BFC∽△DFE，∴S△BFC＝4S△DEF，∴S△DFC＝2S△DEF，∴S△BCD＝S△BFC+S△DFC＝6S△DEF，∴S四邊形ABFE＝5S△DEF，故D正確．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是平行四邊形的性質(zhì)，等腰梯形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．某花木場(chǎng)有一塊如等腰梯形的空地（如圖），各邊的中點(diǎn)分別是、、、，用籬笆圍成的四邊形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為40cm，則對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度為（

）A．20cm B．15cm C．10cm D．5cm【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)及三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)可推出四邊形為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)可求得其邊長(zhǎng)，再根據(jù)三角形中位線(xiàn)的性質(zhì)即可求得梯形對(duì)角線(xiàn)的長(zhǎng)度．【解析】解：連接，四邊形是等腰梯形，，各邊的中點(diǎn)分別是、、、，，四邊形是菱形，四邊形場(chǎng)地的周長(zhǎng)為，，。故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查等腰梯形的性質(zhì)及菱形的判定，證明四邊形為菱形是解題的關(guān)鍵．二、填空題11．如果某個(gè)等腰梯形的一個(gè)底角為60°，它的上、下底長(zhǎng)分別為3和5，那么這個(gè)梯形的腰長(zhǎng)是_____．【答案】2【分析】過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)可得出AE的長(zhǎng)度，在Rt△ABE中可求出腰長(zhǎng)AB的長(zhǎng)度．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，由題意得，AD=3，BC=5，∴BE=（BC—AD）=1，∵∠B=60°，∴AB=2BE=2，故這個(gè)梯形的腰長(zhǎng)是2，故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，解答本題的關(guān)鍵是作出輔助線(xiàn)，利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)求出AB的長(zhǎng)度．12．如圖，在梯形中，，，周長(zhǎng)為，，則該梯形的周長(zhǎng)等于______．【答案】26【分析】要求梯形的周長(zhǎng)，就要利用周長(zhǎng)公式，然后根據(jù)周長(zhǎng)為，求出梯形的各邊長(zhǎng)即可．【解析】解：梯形的周長(zhǎng)，∵，，，為平行四邊形，，周長(zhǎng)為，，梯形的周長(zhǎng)．故答案為：26．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)；解題時(shí)要熟練掌握梯形的性質(zhì)及平行四邊形的性質(zhì)．13．在等腰梯形ABCD中，E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，已知對(duì)角線(xiàn)AC＝10，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】20【分析】連接BD，根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)得到BD=AC，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理解答即可．【解析】解：連接BD，∵四邊形ABCD為等腰梯形，∴BD=AC=10，∵E、F、G、H分別為各邊中點(diǎn)，∴EF=AC=5，GH=AC=5，EH=BD=5，GF=BD=5，∴四邊形EFGH的周長(zhǎng)=5+5+5+5=20，故答案為：20．【點(diǎn)睛】本題考查的是中點(diǎn)四邊形，掌握等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理是解題的關(guān)鍵．14．如圖，平行四邊形中，，，垂足分別是、，，，，則平行四邊形的周長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】20【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為，求得；根據(jù)平行四邊形的對(duì)邊平行，可得與互補(bǔ)，即可求得，在直角三角形中求得的長(zhǎng)，同理求得的長(zhǎng)，繼而求得平行四邊形的周長(zhǎng)；【解析】解：∵，∴，∴，∵四邊形是平行四邊形，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴的周長(zhǎng)為＝，故答案：20．【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對(duì)邊平行且相等．還考查了直角三角形中30°角所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，正確求得∠B和∠DAF的度數(shù)是關(guān)鍵．15．如圖，梯形中，，，平分，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)_______．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形．證明，推出，利用勾股定理求出，，可得結(jié)論．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則四邊形是矩形．梯形中，，，，，平分，，，，，，，，，四邊形是矩形，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查梯形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線(xiàn)，構(gòu)造全等三角形解決問(wèn)題．16．如圖，中，連接，E是上一點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于F，交延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)G，若，則________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)E作，可得，從而得到，再由平行四邊形的性質(zhì)可得，，從而得到，進(jìn)而得到，再由，可得，從而得到，即可求解．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作，∴，∴，即，∵四邊形是平行四邊形，∴，，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，即，∴，解得：或（舍去），故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．17．如圖，在梯形中，，與相交于點(diǎn)，如果，那么：______．【答案】：##【分析】首先根據(jù)，可得：：；然后根據(jù)∽，可得：：：：，進(jìn)而可得：：，：：，：：，設(shè)，分別表達(dá)和進(jìn)而可得結(jié)論．【解析】解：在梯形中，，，：：；，∽，：：：：，：：，：：，：：，設(shè)，則，，，：：：．故答案為：：．【點(diǎn)睛】此題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)的應(yīng)用，以及梯形的特征和應(yīng)用，要熟練掌握．18．如圖，點(diǎn)F在正五邊形的內(nèi)部，若為等邊三角形，則的度數(shù)是______．【答案】##66度【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，，由正五邊形的性質(zhì)得到，，等量代換得到，，根據(jù)三角形的內(nèi)角和即可得到結(jié)論．【解析】解：是等邊三角形，，，在正五邊形中，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形的內(nèi)角和，等邊三角形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，熟記正多邊形的內(nèi)角的求法是解題的關(guān)鍵．19．如圖，對(duì)角線(xiàn)與交于點(diǎn)，且，，在延長(zhǎng)線(xiàn)上取一點(diǎn)，使，連接交于，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)作，先由和平行四邊形的性質(zhì)說(shuō)明是的中位線(xiàn)并求出，再判斷，最后由相似三角形的性質(zhì)得結(jié)論．【解析】解：過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，四邊形是平行四邊形，是對(duì)角線(xiàn)與的交點(diǎn)，，點(diǎn)是的中點(diǎn)．，是的中位線(xiàn)．，．．．，．．．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形，掌握相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線(xiàn)定理及平行四邊形的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．20．如圖，梯形ABCD中，，，將線(xiàn)段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)E處．聯(lián)結(jié)AE、BE，設(shè)BE與邊AD交于點(diǎn)F，如果，且，那么梯形ABCD的中位線(xiàn)等于______．【答案】8【分析】由根據(jù)三角形的面積公式，由得，進(jìn)而求得DE=2，從而求得底邊EC的長(zhǎng)，于是可求得CD的長(zhǎng)，進(jìn)而求得梯形ABCD的中位線(xiàn)．【解析】解：過(guò)點(diǎn)B作BM⊥CE于點(diǎn)M，如下圖，∵，，∴∠ADC=180°∠A=180°90°=90°，∵，∴，∵，∴DE=2，∵BM⊥CE，∴∠BMD=90°，∴四邊形ABMD是矩形，∴DM=AB=4，∴EM=2+4=6，∵將線(xiàn)段CB繞著點(diǎn)B按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，使點(diǎn)C落在CD延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)E處，∴BE=BC，∵BM⊥CE，∴EC=2EM=12，∴CD=122=10，∴梯形ABCD的中位線(xiàn)為：，故答案為：8．【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線(xiàn)，平行線(xiàn)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．四、特殊平行四邊形矩形的判定平行四邊形：（1）有一個(gè)角為直角（2）對(duì)角線(xiàn)相等.一般四邊形中，三個(gè)角為直角.菱形的判定：在平行四邊形中，（1）有一組鄰邊相等。（2）對(duì)角線(xiàn)互相垂直.一般四邊形中，四條邊相等.正方形的判定：平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質(zhì)：相關(guān)元素平行四邊形矩形菱形正方形邊對(duì)邊平行且相等對(duì)邊平行且相等①對(duì)邊平行②四條邊都相等①對(duì)邊平行②四條邊都相等角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角相等四個(gè)角都是直角對(duì)角線(xiàn)對(duì)角線(xiàn)互相平分①對(duì)角線(xiàn)互相平分②對(duì)角線(xiàn)相等①對(duì)角線(xiàn)互相平分②對(duì)角線(xiàn)互相垂直③每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角①對(duì)角線(xiàn)互相平分②對(duì)角線(xiàn)互相垂直．③每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角④對(duì)角線(xiàn)相等對(duì)稱(chēng)性中心對(duì)稱(chēng)既是中心對(duì)稱(chēng)又是軸對(duì)稱(chēng)既是中心對(duì)稱(chēng)又是軸對(duì)稱(chēng)既是中心對(duì)稱(chēng)又是軸對(duì)稱(chēng)一、單選題1．下列命題中，正確的命題是（）A．一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形是平行四邊形B．對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形C．對(duì)角線(xiàn)互相垂直且相等的四邊形是菱形D．對(duì)角線(xiàn)垂直且平分的四邊形是正方形【答案】B【分析】利用平行四邊形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【解析】解：A、一組對(duì)邊平行另一組對(duì)邊相等的四邊形可能是平行四邊形，也可能是等腰梯形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；B、對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形，正確，符合題意；C、對(duì)角線(xiàn)互相垂直且平分的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意；D、對(duì)角線(xiàn)垂直、相等且平分的四邊形是正方形，故原命題錯(cuò)誤，不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的判定方法、矩形、菱形及正方形的判定方法，難度不大．2．在菱形ABCD中，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，AB＝5，AC＝6，過(guò)點(diǎn)D作AC的平行線(xiàn)交BC的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，則△BDE的面積為（

）A．22 B．24 C．48 D．44【答案】B【分析】先判斷出四邊形ACED是平行四邊形，從而得出DE的長(zhǎng)度，根據(jù)菱形的性質(zhì)求出BD的長(zhǎng)度，利用勾股定理的逆定理可得出△BDE是直角三角形，計(jì)算出面積即可．【解析】解：菱形ABCD，在Rt△BCO中，即可得BD=8，∴四邊形ACED是平行四邊形，∴AC=DE=6，

BE=BC+CE=10，∴△BDE是直角三角形，

∴S△BDE=DE?BD=24．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，勾股定理的逆定理及三角形的面積，平行四邊形的判定與性質(zhì)，求出BD的長(zhǎng)度，判斷△BDE是直角三角形，是解答本題的關(guān)鍵．3．如圖，正方形ABCD的兩條對(duì)角線(xiàn)AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E在BD上，且BE=AD，則∠ACE的度數(shù)為（）A．22.5° B．27.5° C．30° D．35°【答案】A【分析】利用正方形的性質(zhì)證明∠DBC=45°和BE=BC，進(jìn)而證明∠BEC=67.5°．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC=AD，∠DBC=45°，∵BE=AD，∴BE=BC，∴∠BEC=∠BCE=（180°﹣45°）÷2=67.5°，∵AC⊥BD，∴∠COE=90°，∴∠ACE=90°﹣∠BEC=90°﹣67.5°=22.5°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)，以及等腰三角形的性質(zhì)，掌握正方形的性質(zhì)并加以利用是解決本題的關(guān)鍵．4．如圖，矩形中，，如果將該矩形沿對(duì)角線(xiàn)折疊，那么圖中陰影部分的面積是22.5，則（

）A．8 B．10 C．12 D．14【答案】C【分析】根據(jù)折疊和矩形的性質(zhì)，可得∠DBE=∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，從而得到∠BDE=∠DBE，進(jìn)而得到BE=DE，再由的面積是22.5，可得，然后根據(jù)勾股定理，即可求解．【解析】解：根據(jù)題意得：∠DBE=∠CBD，AD∥BC，AD=BC，AB⊥AD，∴∠BDE=∠CBD，∴∠BDE=∠DBE，∴BE=DE，∵的面積是22.5，，∴，解得：，∴，在中，由勾股定理得：

，∴．故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握折疊和矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在矩形ABCD中，AB＝24，BC＝12，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊CD上，點(diǎn)G、H在對(duì)角線(xiàn)AC上，若四邊形EGFH是菱形．則AE的長(zhǎng)是（）A．15 B．20 C． D．【答案】A【分析】連接EF交AC于點(diǎn)O，連接CE，證明△CFO≌△AEO，可得CF＝AE，再根據(jù)勾股定理可得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而可得結(jié)論．【解析】解：如圖，連接EF交AC于點(diǎn)O，連接CE，∵四邊形EGFH是菱形，∴EF⊥GH，OE＝OF，DCAB，∴CF＝CE，，在△CFO和△AEO中，，∴△CFO≌△AEO（AAS），∴CF＝AE，∴CE＝AE，∴BE＝AB?AE＝24?CE，在Rt△CEB中，根據(jù)勾股定理，得，∴，解得CE＝15，∴AE＝15，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理，解決本題的關(guān)鍵是證明△CFO≌△AEO，求出CF＝AE．6．如圖，在中，，，，P為邊上一動(dòng)點(diǎn)，于E，于F，則的最小值為（

）A．1.2 B．1.25 C．2.4 D．2.5【答案】C【分析】先證四邊形AEPF是矩形，得EF=AP，要使EF最小，只要AP最小即可，再根據(jù)垂線(xiàn)段最短和三角形面積求出AP即可．【解析】解：連接，如圖：，，，，四邊形是矩形，，要使最小，只要最小即可，當(dāng)時(shí)，最短，，，，，的面積，，即，故選：C．【點(diǎn)睛】本題利用了矩形的性質(zhì)和判定、勾股定理、垂線(xiàn)段最短以及三角形面積等知識(shí)，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．7．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別為四邊形ABCD四條邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，則關(guān)于四邊形EFGH，下列說(shuō)法正確的是（

）A．不一定是平行四邊形 B．當(dāng)AC＝BD時(shí)，它為菱形C．一定是軸對(duì)稱(chēng)圖形 D．不一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形【答案】B【分析】先連接AC，BD，根據(jù)EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，可得四邊形EFGH是平行四邊形，當(dāng)AC⊥BD時(shí)，∠EFG＝90°，此時(shí)四邊形EFGH是矩形；當(dāng)AC＝BD時(shí)，EF＝FG＝GH＝HE，此時(shí)四邊形EFGH是菱形，據(jù)此進(jìn)行判斷即可．【解析】解：連接AC，BD，如圖：∵點(diǎn)E、F、G、H分別為四邊形ABCD的四邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，∴EF＝HG＝AC，EH＝FG＝BD，∴四邊形EFGH是平行四邊形，故A錯(cuò)誤；∴四邊形EFGH一定是中心對(duì)稱(chēng)圖形，故D錯(cuò)誤；當(dāng)AC⊥BD時(shí)，∠EFG＝90°，此時(shí)四邊形EFGH是矩形，當(dāng)AC＝BD時(shí)，EF＝FG＝GH＝HE，此時(shí)四邊形EFGH是菱形，∴四邊形EFGH可能是軸對(duì)稱(chēng)圖形，故C錯(cuò)誤；∴說(shuō)法正確的是當(dāng)AC＝BD時(shí)，它為菱形，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了中點(diǎn)四邊形的運(yùn)用，解題時(shí)注意：平行四邊形是中心對(duì)稱(chēng)圖形．解決問(wèn)題的關(guān)鍵是掌握三角形中位線(xiàn)定理．8．如圖，兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)都為6，其中正方形繞著正方形的對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，正方形與邊、分別交于點(diǎn)、（不與端點(diǎn)重合），設(shè)兩個(gè)正方形重疊部分形成圖形的面積為，的周長(zhǎng)為，則下列說(shuō)法正確的是（）A．發(fā)生變化，存在最大值 B．發(fā)生變化，存在最小值C．不發(fā)生變化，存在最大值 D．不發(fā)生變化，存在最小值【答案】D【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)證明△AOM≌△BON，得到兩個(gè)正方形重疊部分形成圖形的面積S四邊形OMBN=S△BOM+S△BON=S△BOM+S△AOM=S△AOB=S正方形ABCD為定值，再根據(jù)全等三角形與等腰直角三角形的性質(zhì)得到的周長(zhǎng)為MN+BM+BN=MN+AB=，故可得n存在最小值，故可判斷求解．【解析】∵四邊形ABCD和四邊形是正方形，∴AO=BO，∠OAM=∠OBN=45°，∠MON=∠AOB=90°∴∠AOM+∠BOM=∠BON+∠BOM=90°∴∠AOM=∠BON∴△AOM≌△BON（ASA）∴S△AOM≌S△BON∵兩個(gè)正方形重疊部分形成圖形的面積S四邊形OMBN=S△BOM+S△BON=S△BOM+S△AOM=S△AOB=S正方形ABCD∴為定值，不發(fā)生變化，∵△AOM≌△BON∴OM=ON∴△MON是等腰直角三角形∴的周長(zhǎng)為MN+BM+BN=MN+AB=，故當(dāng)MO最小時(shí)即OM⊥AB時(shí)，n存在最小值，故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查正方形的性質(zhì)綜合運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是熟知正方形的性質(zhì)、全等三角形及等腰直角三角形的判定與性質(zhì)．二、填空題9．矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是_________．填代號(hào)①對(duì)邊平行且相等；②對(duì)角線(xiàn)互相平分；③對(duì)角相等；④對(duì)角線(xiàn)相等；⑤四個(gè)角都是；⑥軸對(duì)稱(chēng)圖形．【答案】④⑤⑥【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)進(jìn)而分析得出答案即可．【解析】解：矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是：④對(duì)角線(xiàn)相等；⑤4個(gè)角都是90°；⑥軸對(duì)稱(chēng)圖形．故答案為：④⑤⑥．【點(diǎn)睛】此題主要考查了矩形與平行四邊形的性質(zhì)與區(qū)別，熟練區(qū)分它們的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．菱形的邊長(zhǎng)為5，一條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為6，則這個(gè)菱形的面積是________．【答案】24【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)利用勾股定理求得另一條對(duì)角線(xiàn)，再根據(jù)菱形的面積等于兩對(duì)角線(xiàn)乘積的一半求得菱形的面積．【解析】解：如圖，當(dāng)BD=6時(shí)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO=CO，BO=DO=3，∵AB=5，∴AO=，∴AC=8，∴菱形的面積是：BD×AC=×6×8=24，故答案為：24．【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，菱形的面積公式，勾股定理，關(guān)鍵是掌握菱形的面積等于兩條對(duì)角線(xiàn)的積的一半．11．如圖，在矩形中，對(duì)角線(xiàn)，相交于點(diǎn)，若，，則的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】8【分析】由四邊形為矩形，根據(jù)矩形的對(duì)角線(xiàn)互相平分且相等，可得，由，根據(jù)有一個(gè)角為的等腰三角形為等邊三角形可得三角形為等邊三角形，根據(jù)等邊三角形的每一個(gè)角都相等都為可得出為，在直角三角形中，根據(jù)直角三角形的兩個(gè)銳角互余可得為，根據(jù)角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半，由的長(zhǎng)可得出的長(zhǎng)．【解析】解：四邊形為矩形，，，且，，，又，為等邊三角形，，在直角三角形中，，，，，則．故答案為：8．【點(diǎn)睛】此題考查了矩形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，以及含角直角三角形的性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)是解覺(jué)本題的關(guān)鍵．12．如圖，在菱形中，對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)O，，垂足為E點(diǎn)，若，則________．【答案】65°##65度【分析】先根據(jù)菱形的鄰角互補(bǔ)求出∠BAD的度數(shù)，再根據(jù)菱形的對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角求出∠BAO的度數(shù)，然后根據(jù)直角三角形兩銳角互余列式計(jì)算即可得解．【解析】解：在菱形ABCD中，∠ADC=130°，∴∠BAD=180°130°=50°，∴∠BAO=∠BAD=×50°=25°，∵OE⊥AB，∴∠AOE=90°∠BAO=90°25°=65°．故答案為：65°．【點(diǎn)睛】本題主要考查了菱形的鄰角互補(bǔ)，每一條對(duì)角線(xiàn)平分一組對(duì)角的性質(zhì)，直角三角形兩銳角互余的性質(zhì)，熟練掌握性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．13．如圖，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，點(diǎn)P為邊AB上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AC，PF⊥BD，垂足分別為E、F，則PE+PF=______．【答案】【分析】連接OP．由勾股定理得出AC=10，可求得OA=OB=5，由矩形的性質(zhì)得出S矩形ABCD=AB?BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，由S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12求得答案．【解析】解：連接OP，如圖：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ABC=90°，OA=OC，OB=OD，AC=BD，∴OA=OB，AC==10，∴S矩形ABCD=AB?BC=48，S△AOB=S矩形ABCD=12，OA=OB=5，∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=OA?PE+OB?PF=OA（PE+PF）=×5×（PE+PF）=12，∴PE+PF=；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、勾股定理．注意掌握輔助線(xiàn)的作法，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．14．如圖，點(diǎn)E為正方形ABCD外一點(diǎn)，且ED＝CD，連結(jié)AE，交BD于點(diǎn)F．若∠CDE＝30°，則∠DFC的度數(shù)為_(kāi)__．【答案】105°【分析】根據(jù)正方形性質(zhì)和已知得AD=DE，根據(jù)等腰△ADE頂角為120°計(jì)算∠DAE=30°，由三角形的內(nèi)角和定理得∠AFD=105°，通過(guò)證明△ADF≌△CDF證出∠DFC=∠AFD即可得到答案．【解析】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴AD=DC，∠ADC=90°，∴∠ADB=∠BDC=45°，∵DC=DE，∴AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠ADE=90°+30°=120°，∴∠DAE=30°，∴∠AFD=180°25°45°=105°，在△ADF和△CDF中，，∴△ADF≌△CDF（SAS），∴∠DFC=∠AFD=105°，故答案為：105°．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、三角形全等的性質(zhì)和判定、等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握正方形的性質(zhì)是關(guān)鍵．三、解答題15．已知：如圖，矩形的兩條對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是線(xiàn)段的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)．(1)求證：四邊形是等腰梯形；(2)過(guò)點(diǎn)O作，垂足為點(diǎn)M，聯(lián)結(jié)，如果，求證：四邊形是菱形．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得出，，，，求出

，，根據(jù)三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)得出，，，求出，，根據(jù)等腰梯形的判定得出即可；（2）根據(jù)三角形的中位線(xiàn)性質(zhì)得出．求出，求出處，根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形和四邊形是平行四邊形．求出，根據(jù)菱形的判定得出平行四邊形是菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)得出，求出即可．(1)證明：四邊形是矩形，，，，，，，點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)，，，，，，，即，四邊形是等腰梯形；(2)證明：連接，點(diǎn)、分別是線(xiàn)段、的中點(diǎn)，，，，，四邊形是矩形，，，由（1）知：，四邊形是平行四邊形，同理：四邊形是平行四邊形，，，又，，，，，平行四邊形是菱形，，又四邊形是等腰梯形，，又，，四邊形是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的性質(zhì)和判定，矩形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，菱形的判定和性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，能靈活運(yùn)用等腰梯形的性質(zhì)和判定、矩形的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、菱形的判定和性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．16．已知如圖，四邊形中，，E為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊上，交于點(diǎn)G，．(1)求證：四邊形為菱形；(2)如果，求證：．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)直角三角形斜邊上的中線(xiàn)可得AE＝CE＝BD，再結(jié)合已知CF＝BD，從而可得AE＝CF，進(jìn)而可得四邊形AECF是平行四邊形，然后再根據(jù)AE＝CE即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得AD∥CE，從而可得∠ADE＝∠DEC，進(jìn)而可得∠ADE＝∠DCF，再利用平行線(xiàn)的性質(zhì)可得∠EAD＝∠CFD，然后證明，利用相似三角形的性質(zhì)解答．【解析】（1）證明：∵，E為對(duì)角線(xiàn)的中點(diǎn)，∴，∵，∴，又∵，∴四邊形為平行四邊形，又∵，∴平行四邊形為菱形；（2）∵四邊形為菱形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，即．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，直角三角形斜邊上的中線(xiàn)等知識(shí)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．五、平面向量平面向量的概念：既有大小，又有方向的量叫做向量.向量一般用……來(lái)表示，或用有向線(xiàn)段的起點(diǎn)與終點(diǎn)的大寫(xiě)字母表示，如：.向量的大小也叫做向量的長(zhǎng)度（或向量的模），記作||或｜｜.向量不能比較大小，但向量的?？梢员容^大?。较蛳嗤议L(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做相等的向量.方向相反且長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量叫做互為相反向量.方向相同或相反的兩個(gè)向量叫做平行向量.平面向量的加法：向量加法的三角形法則：求不平行的兩個(gè)向量的和向量時(shí)，只要把第二個(gè)向量與第一個(gè)向量首尾相接，那么以第一個(gè)向量的起點(diǎn)為起點(diǎn)、第二個(gè)向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量就是和向量.設(shè)，則＝＝.向量加法的平行四邊形法則：如果是兩個(gè)不平行的向量，那么求它們的和向量時(shí)，任取一點(diǎn)為公共起點(diǎn)，作兩個(gè)向量分別和相等；再以這兩個(gè)向量為鄰邊作平行四邊形；然后以所取的公共起點(diǎn)為起點(diǎn)，作這個(gè)平行四邊形的對(duì)角線(xiàn)向量，則這一對(duì)角線(xiàn)向量就是與的和向量.向量的加法滿(mǎn)足交換律，滿(mǎn)足結(jié)合律.零向量：長(zhǎng)度為0的向量，記為，其方向是任意的，與任意向量平行零向量.＝｜｜＝0..平面向量的減法：已知兩個(gè)向量的和及其中一個(gè)向量，求另一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的減法.減去一個(gè)向量等于加上這個(gè)向量的相反向量.向量減法的三角形法則：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，以這點(diǎn)為公共起點(diǎn)作出這兩個(gè)向量，那么它們的差向量是以減向量的終點(diǎn)為起點(diǎn)、被減向量的終點(diǎn)為終點(diǎn)的向量.要點(diǎn)：（1）用平行四邊形法則時(shí)，兩個(gè)已知向量是要共始點(diǎn)的，和向量是始點(diǎn)與已知向量的始點(diǎn)重合的那條對(duì)角線(xiàn)，而差向量是另一條對(duì)角線(xiàn)，方向是從減向量指向被減向量.（2）三角形法則的特點(diǎn)是“首尾相接”，由第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的有向線(xiàn)段就表示這些向量的和；差向量是從減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)公共時(shí)，用平行四邊形法則；當(dāng)兩向量是首尾連接時(shí)，用三角形法則．向量加法的三角形法則可推廣至多個(gè)向量相加：，但這時(shí)必須“首尾相連”．六、實(shí)數(shù)與向量相乘1.實(shí)數(shù)與向量相乘的意義：一般地，設(shè)為正整數(shù)，為向量，我們用表示個(gè)相加；用表示個(gè)相加.又當(dāng)為正整數(shù)時(shí)，表示與同向且長(zhǎng)度為的向量.要點(diǎn)：設(shè)P為一個(gè)正數(shù)，P就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，而方向保持不變；P也就是將的長(zhǎng)度進(jìn)行放縮，但方向相反.2．向量數(shù)乘的定義 一般地，實(shí)數(shù)與向量的相乘所得的積是一個(gè)向量，記作，它的長(zhǎng)度與方向規(guī)定如下：（1）如果時(shí)，則：①的長(zhǎng)度：；②的方向：當(dāng)時(shí)，與同方向；當(dāng)時(shí)，與反方向；（2）如果時(shí)，則：，的方向任意.實(shí)數(shù)與向量相乘，叫做向量的數(shù)乘.要點(diǎn)：（1）向量數(shù)乘結(jié)果是一個(gè)與已知向量平行（或共線(xiàn)）的向量；（2）實(shí)數(shù)與向量不能進(jìn)行加減運(yùn)算；（4）表示向量的數(shù)乘運(yùn)算，書(shū)寫(xiě)時(shí)應(yīng)把實(shí)數(shù)寫(xiě)在向量前面且省略乘號(hào)，注意不要將表示向量的箭頭寫(xiě)在數(shù)字上面；（5）向量的數(shù)乘體現(xiàn)幾何圖形中的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系.3.實(shí)數(shù)與向量的相乘的運(yùn)算律：設(shè)為實(shí)數(shù)，則：（1）（結(jié)合律）；（2）（向量的數(shù)乘對(duì)于實(shí)數(shù)加法的分配律）；（3）（向量的數(shù)乘對(duì)于向量加法的分配律）七、平行向量定理1.單位向量：長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量.要點(diǎn)：任意非零向量與它同方向的單位向量的關(guān)系：，.2.平行向量定理：如果向量與非零向量平行，那么存在唯一的實(shí)數(shù)，使.要點(diǎn)：（1）定理中，，的符號(hào)由與同向還是反向來(lái)確定.（2）定理中的“”不能去掉，因?yàn)槿?，必有，此時(shí)可以取任意實(shí)數(shù)，使得成立.（3）向量平行的判定定理：是一個(gè)非零向量，若存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使，則向量與非零向量平行.（4）向量平行的性質(zhì)定理：若向量與非零向量平行，則存在一個(gè)實(shí)數(shù)，使.（5）A、B、C三點(diǎn)的共線(xiàn)若存在實(shí)數(shù)λ，使.八、向量的線(xiàn)性運(yùn)算1．向量的線(xiàn)性運(yùn)算定義：向量的加法、減法、實(shí)數(shù)與向量相乘以及它們的混合運(yùn)算叫做向量的線(xiàn)性運(yùn)算.要點(diǎn)：（1）如果沒(méi)有括號(hào)，那么運(yùn)算的順序是先將實(shí)數(shù)與向量相乘，再進(jìn)行向量的加減.（2）如果有括號(hào)，則先做括號(hào)內(nèi)的運(yùn)算，按小括號(hào)、中括號(hào)、大括號(hào)依次進(jìn)行．2．向量的分解：平面向量基本定理：如果是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)（或不平行）的向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)，使得.要點(diǎn)：（1）同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線(xiàn)（或不平行）向量叫做這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.一組基底中，必不含有零向量．(2)一個(gè)平面向量用一組基底表示為形式，叫做向量的分解，當(dāng)相互垂直時(shí)，就稱(chēng)為向量的正分解.(3)以平面內(nèi)任意兩個(gè)不共線(xiàn)的向量為一組基底，該平面內(nèi)的任意一個(gè)向量都可表示成這組基底的線(xiàn)性組合，基底不同，表示也不同．3．用向量方法解決平面幾何問(wèn)題：（1）利用已知向量表示未知向量用已知向量來(lái)表示另外一些向量，除利用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理，因此在求向量時(shí)要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，利用三角形中位線(xiàn)、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解．（2）用向量方法研究平面幾何的問(wèn)題的“三步曲”：①建立平面幾何與向量的聯(lián)系，將平面幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為向量問(wèn)題.②通過(guò)向量運(yùn)算，研究幾何元素的關(guān)系.③把運(yùn)算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.一、單選題1．若非零向量和互為相反向量，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相反向量的定義逐項(xiàng)判斷即可．【解析】解：A、由平行向量的定義可知A正確，不符合題意；B、因?yàn)楹偷姆较蛳喾?，所以，故B正確，不符合題意；C、由相反向量的定義可知，故錯(cuò)誤，符合題意；D、由相反向量的定義可知，故正確，不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相反向量的概念，屬基礎(chǔ)題，正確理解定義是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．下列說(shuō)法中不正確的是（

）A．如果、為實(shí)數(shù)，那么B．如果或，那么C．如果，且，那么的方向與的方向相同D．長(zhǎng)度為1的向量叫做單位向量【答案】C【分析】由平面向量的性質(zhì)，即可得A與B正確，又由長(zhǎng)度為l的向量叫做單位向量，可得D正確，向量是有方向性的，所以C錯(cuò)誤．【解析】解∶A、根據(jù)向量的性質(zhì)得，故本選項(xiàng)正確；B、如果或，那么，故本選項(xiàng)正確；C、因?yàn)橄蛄渴怯蟹较蛐缘模訡錯(cuò)誤；D、長(zhǎng)度為l的向量叫做單位向量，故本選項(xiàng)正確．故選∶C．【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的性質(zhì)．題目比較簡(jiǎn)單，注意向量是有方向性的，掌握平面向量的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．3．矩形的對(duì)角線(xiàn)與相交于點(diǎn)，如果，，那么（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】求出，再根據(jù)即可得到結(jié)果．【解析】解：如圖所示：∵∴，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量，矩形的性質(zhì)，本題側(cè)重考查知識(shí)點(diǎn)的理解能力．4．下列說(shuō)法正確的是（

）A．如果為單位向量，那么 B．如果，那么C．如果都是單位向量，那么 D．如果，那么【答案】B【分析】向量有方向，大小，加減運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)的概念和運(yùn)算方法即可求解．【解析】解：選項(xiàng)，如果為單位向量，且與的方向相同，那么，故不符合題意；選項(xiàng)，如果，大小相同，方向相反，那么，故符合題意；選項(xiàng)，如果都是單位向量，那么，方向不確定，故不符合題意；選項(xiàng)，如果，那么，模相等，方向不確定，故不符題意．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查向量的基本知識(shí)，掌握向量的大小，方向，模的基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．下列命題正確的個(gè)數(shù)是（

）①設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個(gè)向量；②如果，，那么的模是；③如果，或，那么；④如果，的方向與的方向相反．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與向量的乘積結(jié)合向量的定義，逐項(xiàng)分析判斷即可求解．【解析】解：①設(shè)是一個(gè)實(shí)數(shù)，是向量，那么與相乘的積是一個(gè)向量，故①正確；②如果，，那么的模是，故②正確；③如果，或，那么，故③錯(cuò)誤；④如果，的方向與的方向相反，故④錯(cuò)誤，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)與向量的乘積，熟練掌握平面向量的定義是解題關(guān)鍵．6．下列命題中，正確的是（

）A．如果或，那么 B．如果，那么（k為實(shí)數(shù)）C．如果（k為實(shí)數(shù)），那么 D．如果，那么或【答案】D【分析】根據(jù)向量的性質(zhì)之一判斷即可得到答案．【解析】解：A．如果或，那么，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．如果，且，那么（k為實(shí)數(shù)），原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．如果（k為實(shí)數(shù)），當(dāng)時(shí)，和不平行，原說(shuō)法錯(cuò)誤，不符合題意，選項(xiàng)錯(cuò)誤；D．如果，那么或，說(shuō)法正確，符合題意，選項(xiàng)正確，故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟練掌握平面向量的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．如圖，已知A、B、C是直線(xiàn)l上的三點(diǎn)，P是直線(xiàn)l外的一點(diǎn)，BC＝2AB，，那么等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)圖形得：，則，再根據(jù)可得出答案．【解析】解：∵，∴，∵，∴，∴．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，熟練掌握平面向量的計(jì)算是解答本題的關(guān)鍵．8．已知單位向量與非零向量、，下列四個(gè)選項(xiàng)中，正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平面向量的定義，平面向量模的定義以及共線(xiàn)向量的定義進(jìn)行判斷即可．【解析】A.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；C.當(dāng)非零向量，的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.當(dāng)單位概率與非零向量的方向相同時(shí)才成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選B【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量知識(shí)，理解單位向量是指模等于1的向量。由于是非零向量，單位向量具有確定的方向是解題的關(guān)鍵．二、填空題9．計(jì)算：______．【答案】##【分析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則可直接進(jìn)行解答．【解析】解：，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查的是平面向量的知識(shí)，熟悉向量的相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．如果向量、、滿(mǎn)足關(guān)系式，那么=____（用向量、表示）．【答案】##【分析】利用一元一次方程的求解方法，去括號(hào)、移項(xiàng)，即可求得答案．【解析】解：，，，故答案為：【點(diǎn)睛】此題考查了平面向量的知識(shí)．此題難度不大，注意掌握此向量方程的解法與一元一次方程的解法一樣．11．如圖，在中，，，垂足為點(diǎn)．設(shè)，，那么________（結(jié)果用、的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出，繼而根據(jù)三角形法則即可求解．【解析】解：∵在中，，，垂足為點(diǎn)．∴，∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．12．如圖，已知在中，，，．設(shè)，，試用向量、表示向量______．【答案】【分析】首先由，得到，由，，即可求得，由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例，即可得到，；即可求得．【解析】解：∵，，，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，以及向量的意義與運(yùn)算．此題難度一般，解題時(shí)要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．13．如圖，已知梯形中，，，設(shè)，，那么向量用向量、表示為_(kāi)__________．【答案】【分析】過(guò)點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)E，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)及向量的三角形法則進(jìn)行求解即可．【解析】解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作交BC于點(diǎn)E，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，向量加法的三角形法則，掌握向量加法的三角形法則是解本題的關(guān)鍵．14．如圖，在正六邊形ABCDEF中，設(shè)，，那么向量用向量、表示為_(kāi)_____.【答案】【分析】根據(jù)向量線(xiàn)性運(yùn)算的三角形法則和正六邊形的性質(zhì)即可求解【解析】連接，取的中點(diǎn)為O，連接，∴，，∴，∴，∴故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，正六邊形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形法則15．如圖，點(diǎn)是的重心，過(guò)點(diǎn)且平行于，點(diǎn)、分別在、上，設(shè)，，那么________．（用、表示）【答案】【分析】先根據(jù)三角形重心的性質(zhì)（重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2∶1），求得與的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)，可得與、的數(shù)量關(guān)系．【解析】解，連接，并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，∵，∴，∴，即，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的重心，平面向量，能夠熟練掌握重心的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．16．如圖，在梯形中，，對(duì)角線(xiàn)AC、BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E、F分別是邊AB、CD的中點(diǎn)，，設(shè)，那么_______．（用含向量的式子表示）【答案】【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線(xiàn)截其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線(xiàn)）所得的對(duì)應(yīng)線(xiàn)段成比例可求出BC，根據(jù)中位線(xiàn)的性質(zhì)即可求出EF．【解析】∵，AC、BD相交于點(diǎn)O，∴∴∵，∴，∴，∵點(diǎn)E、F分別是梯形腰AB、CD的中點(diǎn)，∴EF是梯形的中位線(xiàn)，∴，且，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形和中位線(xiàn)的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)是解題關(guān)鍵．一、單選題1．（2021·上海青浦·統(tǒng)考二模）如果一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都是45°，那么這個(gè)正多邊形的內(nèi)角和為（

）A．360° B．720° C．1080° D．1440°【答案】C【分析】多邊形的外角和是360度，即可得到外角的個(gè)數(shù)，即多邊形的邊數(shù)．根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理即可求解．【解析】解：多邊形的邊數(shù)是：360÷45＝8．則內(nèi)角和是：（8﹣2）×180°＝1080°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查正多邊形的外角和、內(nèi)角和，熟知公式是關(guān)鍵，利用外角和解決正多邊形邊數(shù)問(wèn)題是常用思路2．（2022·上海·上海市婁山中學(xué)?？级＃┮来芜B接等腰梯形各邊的中點(diǎn)得到的四邊形是（

）A．菱形 B．矩形 C．正方形 D．等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)、中位線(xiàn)定理以及菱形的判定，可推出四邊形為菱形．【解析】解：如圖所示，等腰梯形中，，，分別是、的中點(diǎn)，連接．E、F分別是的中點(diǎn)，，同理，可得：，又等腰梯形，，，四邊形是菱形．故選A．【點(diǎn)睛】此題考查了等腰梯形的性質(zhì)、三角形中位線(xiàn)定理以及菱形的判定，熟練掌握這些性質(zhì)與定理是解此題的關(guān)鍵．3．（2021·上海寶山·統(tǒng)考三模）下列命題中正確的是（

）A．對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形B．有兩個(gè)角相等的梯形是等腰梯形C．一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形D．一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等的四邊形一定是等腰梯形【答案】A【分析】根據(jù)等腰梯形的判定定理與梯形定義對(duì)各個(gè)選項(xiàng)逐一分析即可．【解析】解：A、對(duì)角線(xiàn)相等的梯形是等腰梯形，∵四邊形ABCD為梯形，∴DC∥AB，過(guò)C作CE∥DB交AB延長(zhǎng)線(xiàn)于E，∴四邊形BECD為平行四邊形∴∠DBA=∠E，BD=CE，∵AC=BD，∴AC=BD=CE，∴∠CAB=∠E=∠DBA，在△ADB和△BCA中，，∴△ADB≌△BCA（SAS），∴AD=BC，四邊形ABCD為等腰梯形，故本選項(xiàng)正確；B、根據(jù)等腰梯形的性質(zhì)和判定可判斷：直角梯形中有兩個(gè)角相等為90度，但不是等腰梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、一組對(duì)邊平行的四邊形一定是梯形，錯(cuò)誤，因?yàn)檫@組對(duì)邊相等，那么就有可能是平行四邊形，當(dāng)這組對(duì)邊不相等時(shí)是梯形，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、一組對(duì)邊平行，另一組對(duì)邊相等則有兩種情況，即平行四邊形或等腰梯形，所以不能說(shuō)一定是等腰梯形．故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形判定與梯形的識(shí)別，掌握等腰梯形判定定理與梯形的識(shí)別方法是解題關(guān)鍵．4．（2020·上海徐匯·統(tǒng)考二模）下列命題中，假命題是（

）A．順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形B．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形C．順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形D．順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定、中位線(xiàn)定理、中點(diǎn)四邊形的定義進(jìn)行判定即可．【解析】觀察圖形：分別為的中點(diǎn)，根據(jù)中位線(xiàn)定理：A：順次聯(lián)結(jié)任意四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形,正確；B：順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線(xiàn)相等的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是菱形，正確；C：順次聯(lián)結(jié)對(duì)角線(xiàn)互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是矩形，正確；D：順次聯(lián)結(jié)兩組鄰邊互相垂直的四邊形四邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形，錯(cuò)誤．故答案選：D．【點(diǎn)睛】本題考查中位線(xiàn)定理應(yīng)用、平行四邊形、特殊的平行四邊形的判定，掌握四邊形的判定是解題關(guān)鍵．5．（2022·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考二模）如圖，已知四邊形是平行四邊形，下列結(jié)論中不正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形B．當(dāng)時(shí)，四邊形是菱形C．當(dāng)時(shí)，四邊形是矩形D．當(dāng)時(shí)，四邊形是正方形【答案】D【分析】根據(jù)平行四邊形性質(zhì)和矩形，菱形，正方形判定進(jìn)行判定.【解析】A．四邊形是平行四邊形，當(dāng)時(shí)，它是菱形，故A選項(xiàng)正確；B．∵四邊形是平行四邊形，∴對(duì)角線(xiàn)互相平分，∵，∴四邊形是菱形，故B選項(xiàng)正確；C．有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形，故C選項(xiàng)正確；D．根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形可知，當(dāng)時(shí)，它是矩形，不是正方形，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；綜上所述，符合題意是D選項(xiàng)；故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查特殊平行四邊形的判定，解答本題的關(guān)鍵是：根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形；根據(jù)所給條件可以證出鄰邊相等；根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；根據(jù)對(duì)角線(xiàn)相等的平行四邊形是矩形．6．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）已知非零向量和單位向量，那么下列結(jié)論中，正確的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量的模只有大小，沒(méi)有方向，向量既有長(zhǎng)度也有方向?qū)Ω鬟x項(xiàng)分析判斷后利用排除法求解．【解析】解：A.向量的模只有大小，沒(méi)有方向，則不成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；

B.單位向量與向量方向不一定相同，則，不一定成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.單位向量與向量方向不一定相同，則，不一定成立，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選C【點(diǎn)睛】本題考查了向量的運(yùn)算，向量的問(wèn)題一定要注意從方向與模兩方面考慮．7．（2022·上?！ひ荒＃c(diǎn)是的重心，設(shè)，，那么關(guān)于和的分解式是（

）A． B． C． D．．【答案】C【分析】連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D．由重心的性質(zhì)可知，D為BC中點(diǎn)，且．再根據(jù)題意可求出，即可由求出結(jié)果．【解析】如圖，連接AG并延長(zhǎng)，交BC于點(diǎn)D．∵點(diǎn)G為重心，∴點(diǎn)D為BC中點(diǎn)．又∵，，∴，即，∵重心到頂點(diǎn)的距離與重心到對(duì)邊中點(diǎn)的距離之比為2:1，∴，∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查三角形重心的性質(zhì)，向量的線(xiàn)性運(yùn)算．掌握重心的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．8．（2021·上海虹口·統(tǒng)考二模）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D、E分別是邊BC、AC的中點(diǎn)，AD和BE交于點(diǎn)G，設(shè)，，那么向量用向量、表示為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用三角形法則求出，再根據(jù)三角形中心的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解析】解：∵，，∴，∵AD，BE是△ABC的中線(xiàn)，∴G是△ABC的重心，∴BG＝BE，∴＝，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量計(jì)算的三角形法則及三角形重心的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握這些基本知識(shí)．9．（2020·上海寶山·統(tǒng)考一模）已知，為非零向量，如果＝﹣5，那么向量與的方向關(guān)系是（）A．∥，并且和方向一致 B．∥，并且和方向相反C．和方向互相垂直 D．和之間夾角的正切值為5【答案】B【分析】根據(jù)平行向量的性質(zhì)解決問(wèn)題即可．【解析】∵已知，為非零向量，如果＝﹣5，∴∥，與的方向相反，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量，熟記向量的長(zhǎng)度和方向是解題關(guān)鍵．10．（2020·上海閔行·?？家荒＃┤鐖D，在正方形ABCD中，△BPC是等邊三角形，BP、CP的延長(zhǎng)線(xiàn)分別交AD于點(diǎn)E、F，連結(jié)BD、DP，BD與CF相交于點(diǎn)H，給出下列結(jié)論：①BE＝2AE；②△DFP∽△BPH；③DP2＝PH?PC；④FE：BC＝，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】由正方形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，即可得出結(jié)論．【解析】解：∵△BPC是等邊三角形，∴BP＝PC＝BC，∠PBC＝∠PCB＝∠BPC＝60°，在正方形ABCD中，∵AB＝BC＝CD，∠A＝∠ADC＝∠BCD＝90°∴∠ABE＝∠DCF＝30°，∴BE＝2AE；故①正確；∵PC＝CD，∠PCD＝30°，∴∠PDC＝75°，∴∠FDP＝15°，∵∠DBA＝45°，∴∠PBD＝15°，∴∠FDP＝∠PBD，∵∠DFP＝∠BPC＝60°，∴△DFP∽△BPH；故②正確；∵∠PDH＝∠PCD＝30°，∠DPH＝∠DPC，∴△DPH∽△CPD，∴，∴DP2＝PH?PC，故③正確；∵∠ABE＝30°，∠A＝90°∴AE＝AB＝BC，∵∠DCF＝30°，∴DF＝DC＝BC，∴EF＝AE+DF＝﹣BC，∴FE：BC＝（2﹣3）：3故④正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握性質(zhì)和定理．二、填空題11．（2022·上海崇明·統(tǒng)考二模）若一個(gè)正多邊形的內(nèi)角和等于外角和的兩倍，則該正多邊形的邊數(shù)是_____．【答案】6【分析】設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，則內(nèi)角和為（n2）180°，再根據(jù)外角和等于360°列方程解答即可．【解析】解：設(shè)這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：（n2）180°=360°×2，解得n=6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題主要考查了多邊形的內(nèi)角和和外角和，關(guān)鍵是掌握內(nèi)角和為（n2）180°．12．（2022·上海普陀·統(tǒng)考二模）菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為5和12，那么這個(gè)菱形的面積為_(kāi)__________【答案】30【分析】菱形的面積是對(duì)角線(xiàn)乘積的一半，由此可得出結(jié)果．【解析】解：∵菱形的兩條對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)分別為5和12，∴菱形的面積：．故答案為：30．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的面積，解題的關(guān)鍵是掌握菱形面積的求解方法有兩種：①底乘以高，②對(duì)角線(xiàn)積的一半．13．（2018·上海金山·統(tǒng)考二模）如果梯形的中位線(xiàn)長(zhǎng)為6，一條底邊長(zhǎng)為8，那么另一條底邊長(zhǎng)等于__________.【答案】4.【分析】只需根據(jù)梯形的中位線(xiàn)定理“梯形的中位線(xiàn)等于兩底和的一半”，進(jìn)行計(jì)算.【解析】解：根據(jù)梯形的中位線(xiàn)定理“梯形的中位線(xiàn)等于兩底和的一半”，則另一條底邊長(zhǎng).故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查梯形中位線(xiàn)，用到的知識(shí)點(diǎn)為：梯形的中位線(xiàn)=（上底＋下底）14．（2022·上海青浦·統(tǒng)考二模）如圖，已知平行四邊形中，是上一點(diǎn)，，聯(lián)結(jié)交于，若向量，向量，則向量________．【答案】【分析】先求出，再根據(jù)△AEF∽CBF，得出與的關(guān)系即可．【解析】解：∵，，∴，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD//BC，AD=BC，∴△AEF∽CBF，∴，∵，∴BC=AD=3AE，∴，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了向量的計(jì)算，平行四邊形的性質(zhì)，以及相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握向量的運(yùn)算法則是解答本題的關(guān)鍵．15．（2018·上海長(zhǎng)寧·統(tǒng)考中考模擬）在四邊形中，，分別是邊，的中點(diǎn)，若，，，，則______．【答案】145°【分析】連接BD，根據(jù)三角形中位線(xiàn)定理得到BD＝2EF＝12，EF∥BD，根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠BDC＝90°，結(jié)合圖形計(jì)算即可．【解析】解：連接BD，∵點(diǎn)E、F分別是邊AB、AD的中點(diǎn)，∴BD＝2EF＝12，EF∥BD，∴∠ADB＝∠AFE＝55°，∵，，∵，，∴，∴∠BDC＝90°，∴∠ADC＝∠ADB＋∠BDC＝145°，故答案為：145°．【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線(xiàn)定理、勾股定理的逆定理，掌握三角形的中位線(xiàn)平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．16．（2022·上海徐匯·統(tǒng)考二模）如圖，在中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點(diǎn)E，則劣弧的長(zhǎng)為_(kāi)_____．（結(jié)算結(jié)果保留）【答案】【分析】連接OE，求出∠DOE＝40°，得到，根據(jù)弧長(zhǎng)公式計(jì)算得到答案．【解析】解：連接OE，如圖所示：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD＝BC＝6，∠D＝∠B＝70°，∵OD＝OE＝，∴∠OED＝∠D＝70°，∴∠DOE＝40°，∴，的長(zhǎng)＝，故答案為：．【點(diǎn)