專題05平行線幾何模型之筆尖型解題方法課專練-2021-2022學年七年級數學下冊專題訓練（人教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中人教版數學第二學期研發(fā)，供中等及以上學生使用。思路設計：重在培優(yōu)訓練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識難度層層遞進，由中等到壓軸，基礎差的學生選做每種類型題的前4題；基礎中等的學生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題05平行線幾何模型之筆尖型解題方法課專練（解析版）錯誤率：___________易錯題號：___________一、解答題1．如圖所示，，與的角平分線相較于點，，求的度數.【標準答案】.【思路指引】先設，，由題意的，，題意得到；由側M圖知，.【詳解詳析】設，，與的角平分線相交于點，，，由筆尖圖知，，即，，由側M圖知，.【名師指路】本題考查平行線的性質和角平分線，解題的關鍵是設，，并由題意得到x，y的關系式.2．如圖所示，直線，，，求的度數.【標準答案】.【思路指引】作，得，由題意得，又因為，得到，即.【詳解詳析】如圖，作，易證，由筆尖圖TABDS知，，又因為，所以，所以.【名師指路】本題考查平行線的性質，熟練掌握平行線的性質是解題的關鍵.3．已知如圖所示，，，，求的度數.【標準答案】56°.【思路指引】由平行線的性質可知，由三角形鄰補角可得，帶入題干信息即可得出答案.【詳解詳析】由平行線的性質可知，由三角形鄰補角以及鳥嘴圖DCEFBA知.【名師指路】本題考查平行線的性質，知道同位角相等時解題的關鍵.4．如圖所示，，，，求的度數.【標準答案】.【思路指引】根據平行線的性質，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，又因為，得到，所以.【詳解詳析】因為，結合題意，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，，即，，【名師指路】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是熟練掌握平行線的性質.5．（2020·山西興縣·七年級期末）綜合探究：已知，點、分別是、上兩點，點在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數；（2）如圖2，若點是下方一點，平分，平分，已知，求的度數．【標準答案】（1）90°；（2）120°【思路指引】（1）過作，根據平行線的傳遞性、兩直線平行內錯角相等解題；（2）過作，過點作，根據兩直線平行，內錯角相等性質解得，再根據角平分線性質，求得，最后再用平行線定理解題，證明，進而計算的值即可．【詳解詳析】解：（1）如圖1，過作，，，圖1（2）如圖2，過作，過點作設，，，，，平分，平分，，，平分，，，，，，，圖2【名師指路】本題考查平行線的定理、角平分線的性質等知識，是重要考點，難度較易，掌握相關知識是解題關鍵．6．如圖所示，，分別為外側兩點，分別為上兩點，連結，，，求證：.【標準答案】見解析.【思路指引】設，，由題意得，則，故，所以【詳解詳析】設，，由靴子圖知，，由靴子圖知，，.【名師指路】本題考查平行線的性質，解題的關鍵是設，，由題意得出x與y之間的關系式.7．如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【標準答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n1）×180°【思路指引】（1）由兩直線平行，同旁內角互補，可得答案；（2）過點E作AB的平行線，轉化成兩個圖1，同理可得答案；（3）過點E，點F分別作AB的平行線，轉化成3個圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．【詳解詳析】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．故答案為：180°；（2）如圖2，過點E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如圖3，過點E，點F分別作AB的平行線，類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n1）×180°，故答案為：（n1）×180°．【名師指路】此題考查了平行線的性質．注意掌握輔助線的作法是解此題的關鍵．8．（1）如圖1，AM∥CN，求證：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個點，根據（1）中的結論寫出你的猜想并證明．【標準答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見解析【思路指引】（1）①過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據平行線的性質，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結論；②過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，依據平行線的性質，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結論；（2）過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．【詳解詳析】解：（1）①證明：如圖1，過點作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過E作EP∥AM，過F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個點，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過n個點作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴結合（1）問得：所有角的和為（n+1）?180°．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質，解決問題的關鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內角互補得出結論．9．如圖，已知AB∥CD，分別探究下面三個圖形中∠P和∠A，∠C的關系，請你從所得三個關系中任意選出一個，說明你探究結論的正確性．結論：（1）___________________；（2）____________________；（3）_____________________；（4）選擇結論____________，說明理由．【標準答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由見解析．【思路指引】（1）過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可解答；（2）過點P作PF∥AB，則AB∥CD∥PF，再根據兩直線平行，內錯角相等即可解答；（3）根據AB∥CD，可得出∠1=∠PCD，再根據三角形外角的性質進行解答；（4）選擇以上結論任意一個進行證明即可．【詳解詳析】解：（1）過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．故答案為：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）過點P作直線PF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PF∥CD，∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，∴∠APC=∠PAB+∠PCD．故答案為：∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠PAB+∠APC，∴∠PCD=∠APC+∠PAB．故答案為：∠PCD=∠APC+∠PAB．（4）選擇結論∠APC+∠PAB+∠PCD=360°理由：過點P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°故答案為：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．【名師指路】本題考查的是平行線的性質及三角形外角的性質，能根據題意作出輔助線，再利用平行線的性質進行解答是解答此題的關鍵．10．(1)同題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數．小明想到一種方法，但是沒有解答完：如圖2，過P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°∠PAB=180°130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……請你幫助小明完成剩余的解答．(2)問題遷移：請你依據小明的解題思路，解答下面的問題：如圖3，AD//BC，當點P在A、B兩點之間時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數量關系？請說明理由．【標準答案】(1)110°，剩余解答見解析；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析【思路指引】(1)過P作PE∥AB，構造同旁內角，通過平行線性質，可得∠APC=50°+60°=110°(2)過P作PE∥AD交CD于E點，推出AD∥PE∥BC，根據平行線性質得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.【詳解詳析】解：(1)剩余過程：∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°120°=60°∠APC=50°+60°=110°；故答案為：110°.(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如下圖，過P作PE∥AD交CD于點E，∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β故答案為：∠CPD=∠α+∠β.【名師指路】本題考查了平行線的性質和判定的應用，主要考察學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角.11．問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數．思路點撥：小明的思路是：如圖2，過P作PE∥AB，通過平行線性質，可分別求出∠APE、∠CPE的度數，從而可求出∠APC的度數；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過平行線性質以及三角形內角和的知識可求出∠APC的度數；小芳的思路是：如圖4，延長AP交DC的延長線于E，通過平行線性質以及三角形外角的相關知識可求出∠APC的度數．問題解決：請從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進行推理計算，你求得的∠APC的度數為°；問題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數量關系？請說明理由；（2）在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側運動時（點P與點A、B、O三點不重合），請你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數量關系．【標準答案】問題解決：110°；問題遷移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由見解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由見解析【思路指引】小明的思路是：過P作PE∥AB，構造同旁內角，利用平行線性質，可得∠APC＝110°．（1）過P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據平行線的性質得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）畫出圖形（分兩種情況：①點P在BA的延長線上，②點P在AB的延長線上），根據平行線的性質得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【詳解詳析】解：小明的思路：如圖2，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案為：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖5，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當P在BA延長線時，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖6，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當P在BO之間時，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖7，過P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【名師指路】本題考查了三角形的內角和定理，平行線的性質，主要考查學生的推理能力，解決問題的關鍵是作輔助線構造內錯角以及同旁內角．12．（1）問題情境：如圖1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度數．小辰的思路是：如圖2，過點P作PE//AB，通過平行線性質，可求得∠APC的度數，請寫出具體求解過程．（2）問題遷移：①如圖3，AD//BC，點P在射線OM上運動，當點P在A，B兩點之間運動時，設∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，問：∠、、∠之間有何數量關系？請說明理由．②在①的條件下，如果點P不在A，B兩點之間運動（點P與點A，B，O三點不重合），請直接寫出∠、、∠間的數量關系．【標準答案】(1)110°；（2）①；②或【思路指引】（1）過點P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行線的性質可以求得和的度數，進一步可以得到的度數；（2）分別過P作PQ//AD，則可得PQ//BC，再由平行線的性質和角的加減運算可以得解．【詳解詳析】解：（1）如圖，過點P作PE//AB，則由平行線的性質可得PE//CD，所以：，所以：，所以，；（2）①，理由如下：如圖，過P作PQ//AD交DC于Q，則由平行線的性質得PQ//BC，所以：，∵，∴；②分兩種情況討論：第一種情況，P在射線AM上，如圖，過P作PQ//AD交射線DN于Q，則由平行線的性質得PQ//BC，所以：；第二種情況，點P在OB之間，如圖，過P作PQ//AD交射線OD于Q，則由平行線的性質得PQ//BC，所以：【名師指路】本題考查平行線性質的綜合應用，在添加輔助線的基礎上靈活應用平行線的性質和角的加減運算是解題關鍵．13．閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．數學課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點分別在上，．求的度數．同學們經過思考后，小明、小偉、小華三位同學用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過作平行線，發(fā)現，由已知可以求出的度數．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經過推理，得也能求出的度數．”小華：∵如圖4，也能求出的度數．”(1)請你根據小明同學所畫的圖形(圖2)，描述小明同學輔助線的做法，輔助線：______；(2)請你根據以上同學所畫的圖形，直接寫出的度數為_________°；老師：“這三位同學解法的共同點，都是過一點作平行線來解決問題，這個方法可以推廣．”請大家參考這三位同學的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問題：(3)如圖，，點分別在上，平分若請?zhí)骄颗c的數量關系（(用含的式子表示)，并驗證你的結論．【標準答案】（1）過點作；（2）30；（3）．【思路指引】（1）根據圖中所畫虛線的位置解答即可；（2）過點作，根據平行線的性質可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進而可得答案；（3）設，過點作，根據平行線的性質可得，，進而根據角的和差關系即可得答案．【詳解詳析】（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學輔助線的做法為過點作，故答案為：過點作（2）如圖2，過點作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案為：30（3）如圖，設，過點作，∵，即．【名師指路】本題考查平行線的性質，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質是解題關鍵．14．請你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．（1）在圖（1）中，與有何關系？（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關系？（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關系？（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關系？（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關系？（注：以上各問，只寫出探究結果，不用說明理由）【標準答案】（1）∠B+∠C=180o；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A+∠B+∠C=360o；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C=∠B【思路指引】（1）利用平行線的性質“兩直線平行，同旁內角相等”即可解答；（2）過點A作AD∥BE，利用“兩直線平行，內錯角相等”即可得出結論；（3）同樣過點A作AD∥BE，利用“兩直線平行，同旁內角互補”即可得出結論；（4）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質可得出結論；（5）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質可得出結論．【詳解詳析】（1）如圖（1）∵與平行，∴∠B+∠C=180o；（2）如圖（2），過點A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；（3）如圖（3），過點A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF，∴∠B+∠BAD=180o，∠DAC+∠C=180o，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360o，即∠B+∠A+∠C=360o；（4）如圖（4），設BE與AC相交于D，∵與平行，∴∠C=∠ADE，∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；（5）如圖（5），設CF與AB相交于D，∵與平行，∴∠B=∠ADF，∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．【名師指路】本題考查了平行線的性質、三角形的外角性質，熟練掌握平行線的性質，作輔助平行線是解答的關鍵．15．如圖1，四邊形為一張長方形紙片．（1）如圖2，將長方形紙片剪兩刀，剪出三個角（），則__________°．（2）如圖3，將長方形紙片剪三刀，剪出四個角（），則__________°．（3）如圖4，將長方形紙片剪四刀，剪出五個角（），則___________°．（4）根據前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個角，那么這個角的和是____________°．【標準答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．【思路指引】（1）過點E作EH∥AB，再根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到三個角的和等于180°的2倍；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，根據兩直線平行，同旁內角互補即可得到四個角的和等于180°的三倍；（4）根據前三問個的剪法，剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．【詳解詳析】（1）過E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內角互補）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分別過E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個角，那么這n+1個角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【名師指路】本題主要考查了多邊形的內角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內角互補是解本題的關鍵，總結規(guī)律求解是本題的難點．16．如圖1、圖2，已知∠1+∠2＝180°．（1）若圖1中∠AEF＝∠HLN，試找出圖中的平行線，并說明理由；（2）如圖2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，試探究∠P與∠Q的數量關系？（直接寫答案，不寫過程）．【標準答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，理由詳見解析；（2）∠P＝3∠Q．【思路指引】（1），；由同旁內角互補可得；延長交于，由平行線的性質及已知，可得，從而可判定；（2）；作，先由平行線的性質推得，從而；同理可得；再將已知代入計算即可得解．【詳解詳析】解：（1），理由如下：，；延長交于；（2）理由如下：，作，，，同理可得，．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質，熟練掌握平行線三線八