專題05平行線幾何模型之筆尖型解題方法課專練-2021-2022學(xué)年七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專題訓(xùn)練（人教版）

編者小k君小注：本專輯專為2022年初中人教版數(shù)學(xué)第二學(xué)期研發(fā)，供中等及以上學(xué)生使用。思路設(shè)計(jì)：重在培優(yōu)訓(xùn)練，分選擇、填空、解答三種類型題，知識(shí)難度層層遞進(jìn)，由中等到壓軸，基礎(chǔ)差的學(xué)生選做每種類型題的前4題；基礎(chǔ)中等的學(xué)生必做前4題、選做58題；尖子生全部題型必做，沖刺壓軸題。專題05平行線幾何模型之筆尖型解題方法課專練（解析版）錯(cuò)誤率：___________易錯(cuò)題號(hào)：___________一、解答題1．如圖所示，，與的角平分線相較于點(diǎn)，，求的度數(shù).【標(biāo)準(zhǔn)答案】.【思路指引】先設(shè)，，由題意的，，題意得到；由側(cè)M圖知，.【詳解詳析】設(shè)，，與的角平分線相交于點(diǎn)，，，由筆尖圖知，，即，，由側(cè)M圖知，.【名師指路】本題考查平行線的性質(zhì)和角平分線，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，并由題意得到x，y的關(guān)系式.2．如圖所示，直線，，，求的度數(shù).【標(biāo)準(zhǔn)答案】.【思路指引】作，得，由題意得，又因?yàn)?，得到，?【詳解詳析】如圖，作，易證，由筆尖圖TABDS知，，又因?yàn)椋?，所?【名師指路】本題考查平行線的性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.3．已知如圖所示，，，，求的度數(shù).【標(biāo)準(zhǔn)答案】56°.【思路指引】由平行線的性質(zhì)可知，由三角形鄰補(bǔ)角可得，帶入題干信息即可得出答案.【詳解詳析】由平行線的性質(zhì)可知，由三角形鄰補(bǔ)角以及鳥嘴圖DCEFBA知.【名師指路】本題考查平行線的性質(zhì)，知道同位角相等時(shí)解題的關(guān)鍵.4．如圖所示，，，，求的度數(shù).【標(biāo)準(zhǔn)答案】.【思路指引】根據(jù)平行線的性質(zhì)，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，又因?yàn)?，得到，所?【詳解詳析】因?yàn)?，結(jié)合題意，由靴子圖ABEFC知，，，由靴子圖知，，，即，，【名師指路】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì).5．（2020·山西興縣·七年級(jí)期末）綜合探究：已知，點(diǎn)、分別是、上兩點(diǎn)，點(diǎn)在、之間，連接、．（1）如圖1，若，求的度數(shù)；（2）如圖2，若點(diǎn)是下方一點(diǎn)，平分，平分，已知，求的度數(shù)．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）90°；（2）120°【思路指引】（1）過(guò)作，根據(jù)平行線的傳遞性、兩直線平行內(nèi)錯(cuò)角相等解題；（2）過(guò)作，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等性質(zhì)解得，再根據(jù)角平分線性質(zhì)，求得，最后再用平行線定理解題，證明，進(jìn)而計(jì)算的值即可．【詳解詳析】解：（1）如圖1，過(guò)作，，，圖1（2）如圖2，過(guò)作，過(guò)點(diǎn)作設(shè)，，，，，平分，平分，，，平分，，，，，，，圖2【名師指路】本題考查平行線的定理、角平分線的性質(zhì)等知識(shí)，是重要考點(diǎn)，難度較易，掌握相關(guān)知識(shí)是解題關(guān)鍵．6．如圖所示，，分別為外側(cè)兩點(diǎn)，分別為上兩點(diǎn)，連結(jié)，，，求證：.【標(biāo)準(zhǔn)答案】見解析.【思路指引】設(shè)，，由題意得，則，故，所以【詳解詳析】設(shè)，，由靴子圖知，，由靴子圖知，，.【名師指路】本題考查平行線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，由題意得出x與y之間的關(guān)系式.7．如圖，已知AB∥CD．（1）如圖1所示，∠1+∠2＝；（2）如圖2所示，∠1+∠2+∠3＝；并寫出求解過(guò)程．（3）如圖3所示，∠1+∠2+∠3+∠4＝；（4）如圖4所示，試探究∠1+∠2+∠3+∠4+?+∠n＝．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）180°；（2）360°；（3）540°；（4）（n1）×180°【思路指引】（1）由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，可得答案；（2）過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成兩個(gè)圖1，同理可得答案；（3）過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，轉(zhuǎn)化成3個(gè)圖1，可得答案；（4）由（2）（3）類比可得答案．【詳解詳析】解：（1）如圖1，∵AB∥CD，∴∠1+∠2=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．故答案為：180°；（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)E作AB的平行線EF，∵AB∥CD，∴AB∥EF，CD∥EF，∴∠1+∠AEF=180°，∠FEC+∠3=180°，∴∠1+∠2+∠3=360°；（3）如圖3，過(guò)點(diǎn)E，點(diǎn)F分別作AB的平行線，類比（2）可知∠1+∠2+∠3+∠4=180°×3=540°，故答案為：540°；（4）如圖4由（2）和（3）的解法可知∠1+∠2+∠3+∠4+…+∠n=（n1）×180°，故答案為：（n1）×180°．【名師指路】此題考查了平行線的性質(zhì)．注意掌握輔助線的作法是解此題的關(guān)鍵．8．（1）如圖1，AM∥CN，求證：①∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°；②∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝540°；（2）如圖2，若平行線AM與CN間有n個(gè)點(diǎn)，根據(jù)（1）中的結(jié)論寫出你的猜想并證明．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）①詳見解析；②詳見解析；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°，證明詳見解析【思路指引】（1）①過(guò)點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°，即可得到結(jié)論；②過(guò)E作EP∥AM，過(guò)F作FQ∥CN，依據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得到∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°，即可得到結(jié)論；（2）過(guò)n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，即可得出所有角的和為（n+1）?180°．【詳解詳析】解：（1）①證明：如圖1，過(guò)點(diǎn)作BG∥AM，則AM∥CN∥BG∴∠ABG+∠BAM＝180°，∠CBG+∠BCN＝180°∴∠ABG+∠BAM+∠CBG+∠BCN＝360°∴∠MAB+∠ABC+∠BCN＝360°②如圖，過(guò)E作EP∥AM，過(guò)F作FQ∥CN，∵AM∥CN，∴EP∥FQ，∴∠MAE+∠AEP＝180°，∠FEP+∠EFQ＝180°，∠CFQ+∠FCN＝180°∴∠MAE+∠AEF+∠EFC+∠FCN＝180°×3＝540°；（2）猜想：若平行線間有n個(gè)點(diǎn)，則所有角的和為（n+1）?180°．證明：如圖2，過(guò)n個(gè)點(diǎn)作AM的平行線，則這些直線互相平行且與CN平行，∴結(jié)合（1）問(wèn)得：所有角的和為（n+1）?180°．【名師指路】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作平行線，利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)得出結(jié)論．9．如圖，已知AB∥CD，分別探究下面三個(gè)圖形中∠P和∠A，∠C的關(guān)系，請(qǐng)你從所得三個(gè)關(guān)系中任意選出一個(gè)，說(shuō)明你探究結(jié)論的正確性．結(jié)論：（1）___________________；（2）____________________；（3）_____________________；（4）選擇結(jié)論____________，說(shuō)明理由．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∠PCD=∠APC+∠PAB；（4）∠APC+∠PAB+∠PCD=360°，理由見解析．【思路指引】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)P作PF∥AB，則AB∥CD∥PF，再根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等即可解答；（3）根據(jù)AB∥CD，可得出∠1=∠PCD，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)進(jìn)行解答；（4）選擇以上結(jié)論任意一個(gè)進(jìn)行證明即可．【詳解詳析】解：（1）過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．故答案為：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°；（2）過(guò)點(diǎn)P作直線PF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥PF∥CD，∴∠PAB=∠1，∠PCD=∠2，∴∠APC=∠PAB+∠PCD．故答案為：∠APC=∠PAB+∠PCD；（3）∵AB∥CD，∴∠1=∠C，∵∠1=∠PAB+∠APC，∴∠PCD=∠APC+∠PAB．故答案為：∠PCD=∠APC+∠PAB．（4）選擇結(jié)論∠APC+∠PAB+∠PCD=360°理由：過(guò)點(diǎn)P作PE∥AB，則AB∥PE∥CD，∴∠1+∠PAB=180°，∠2+∠PCD=180°，∴∠APC+∠PAB+∠PCD=360°故答案為：∠APC+∠PAB+∠PCD=360°．【名師指路】本題考查的是平行線的性質(zhì)及三角形外角的性質(zhì)，能根據(jù)題意作出輔助線，再利用平行線的性質(zhì)進(jìn)行解答是解答此題的關(guān)鍵．10．(1)同題情景：如圖1，AB//CD，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明想到一種方法，但是沒(méi)有解答完：如圖2，過(guò)P作PE//AB，∴∠APE+∠PAB=180°，∴∠APE=180°∠PAB=180°130°=50°∵AB//CD，∴PE//CD．……請(qǐng)你幫助小明完成剩余的解答．(2)問(wèn)題遷移：請(qǐng)你依據(jù)小明的解題思路，解答下面的問(wèn)題：如圖3，AD//BC，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間時(shí)，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，則∠CPD，∠α，∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)110°，剩余解答見解析；(2)∠CPD=∠α+∠β，理由見解析【思路指引】(1)過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，通過(guò)平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°(2)過(guò)P作PE∥AD交CD于E點(diǎn)，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線性質(zhì)得到∠α=∠DPE，∠β=∠CPE，即可得出答案.【詳解詳析】解：(1)剩余過(guò)程：∠CPE+∠PCD=180°，∴∠CPE=180°120°=60°∠APC=50°+60°=110°；故答案為：110°.(2)∠CPD=∠α+∠β，理由如下：如下圖，過(guò)P作PE∥AD交CD于點(diǎn)E，∵AD∥BC∴AD∥PE∥BC，∴∠α=∠DPE，∠β=∠CPE∴∠CPD=∠DPE+∠CPE=∠α+∠β故答案為：∠CPD=∠α+∠β.【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考察學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角.11．問(wèn)題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝130°，∠PCD＝120°，求∠APC度數(shù)．思路點(diǎn)撥：小明的思路是：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可分別求出∠APE、∠CPE的度數(shù)，從而可求出∠APC的度數(shù)；小麗的思路是：如圖3，連接AC，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和的知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)；小芳的思路是：如圖4，延長(zhǎng)AP交DC的延長(zhǎng)線于E，通過(guò)平行線性質(zhì)以及三角形外角的相關(guān)知識(shí)可求出∠APC的度數(shù)．問(wèn)題解決：請(qǐng)從小明、小麗、小芳的思路中任選一種思路進(jìn)行推理計(jì)算，你求得的∠APC的度數(shù)為°；問(wèn)題遷移：（1）如圖5，AD∥BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，∠ADP＝∠α，∠BCP＝∠β．∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由；（2）在（1）的條件下，如果點(diǎn)P在A、B兩點(diǎn)外側(cè)運(yùn)動(dòng)時(shí)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B、O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)你直接寫出∠CPD、∠α、∠β間的數(shù)量關(guān)系．【標(biāo)準(zhǔn)答案】問(wèn)題解決：110°；問(wèn)題遷移：（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由見解析；（2）∠CPD＝∠β﹣∠α，理由見解析【思路指引】小明的思路是：過(guò)P作PE∥AB，構(gòu)造同旁內(nèi)角，利用平行線性質(zhì)，可得∠APC＝110°．（1）過(guò)P作PE∥AD交CD于E，推出AD∥PE∥BC，根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案；（2）畫出圖形（分兩種情況：①點(diǎn)P在BA的延長(zhǎng)線上，②點(diǎn)P在AB的延長(zhǎng)線上），根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，即可得出答案．【詳解詳析】解：小明的思路：如圖2，過(guò)P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠APE＝180°﹣∠A＝50°，∠CPE＝180°﹣∠C＝60°，∴∠APC＝50°+60°＝110°，故答案為：110；（1）∠CPD＝∠α+∠β，理由如下：如圖5，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE+∠CPE＝∠α+∠β；（2）當(dāng)P在BA延長(zhǎng)線時(shí)，∠CPD＝∠β﹣∠α；理由：如圖6，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠CPE﹣∠DPE＝∠β﹣∠α；當(dāng)P在BO之間時(shí)，∠CPD＝∠α﹣∠β．理由：如圖7，過(guò)P作PE∥AD交CD于E，∵AD∥BC，∴AD∥PE∥BC，∴∠α＝∠DPE，∠β＝∠CPE，∴∠CPD＝∠DPE﹣∠CPE＝∠α﹣∠β．【名師指路】本題考查了三角形的內(nèi)角和定理，平行線的性質(zhì)，主要考查學(xué)生的推理能力，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)造內(nèi)錯(cuò)角以及同旁內(nèi)角．12．（1）問(wèn)題情境：如圖1，AB//CD，∠PAB=120°，∠PCD=130°，求∠APC的度數(shù)．小辰的思路是：如圖2，過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，通過(guò)平行線性質(zhì)，可求得∠APC的度數(shù)，請(qǐng)寫出具體求解過(guò)程．（2）問(wèn)題遷移：①如圖3，AD//BC，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)∠CPD=∠，∠ADP=，∠BCP=∠，問(wèn)：∠、、∠之間有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．②在①的條件下，如果點(diǎn)P不在A，B兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)P與點(diǎn)A，B，O三點(diǎn)不重合），請(qǐng)直接寫出∠、、∠間的數(shù)量關(guān)系．【標(biāo)準(zhǔn)答案】(1)110°；（2）①；②或【思路指引】（1）過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，可得PE//CD，所以由平行線的性質(zhì)可以求得和的度數(shù)，進(jìn)一步可以得到的度數(shù)；（2）分別過(guò)P作PQ//AD，則可得PQ//BC，再由平行線的性質(zhì)和角的加減運(yùn)算可以得解．【詳解詳析】解：（1）如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE//AB，則由平行線的性質(zhì)可得PE//CD，所以：，所以：，所以，；（2）①，理由如下：如圖，過(guò)P作PQ//AD交DC于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：，∵，∴；②分兩種情況討論：第一種情況，P在射線AM上，如圖，過(guò)P作PQ//AD交射線DN于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：；第二種情況，點(diǎn)P在OB之間，如圖，過(guò)P作PQ//AD交射線OD于Q，則由平行線的性質(zhì)得PQ//BC，所以：【名師指路】本題考查平行線性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在添加輔助線的基礎(chǔ)上靈活應(yīng)用平行線的性質(zhì)和角的加減運(yùn)算是解題關(guān)鍵．13．閱讀下面材料，完成（1)～（3）題．?dāng)?shù)學(xué)課上，老師出示了這樣—道題：如圖1，已知點(diǎn)分別在上，．求的度數(shù)．同學(xué)們經(jīng)過(guò)思考后，小明、小偉、小華三位同學(xué)用不同的方法添加輔助線，交流了自己的想法：小明：“如圖2，通過(guò)作平行線，發(fā)現(xiàn)，由已知可以求出的度數(shù)．”小偉：“如圖3這樣作平行線，經(jīng)過(guò)推理，得也能求出的度數(shù)．”小華：∵如圖4，也能求出的度數(shù)．”(1)請(qǐng)你根據(jù)小明同學(xué)所畫的圖形(圖2)，描述小明同學(xué)輔助線的做法，輔助線：______；(2)請(qǐng)你根據(jù)以上同學(xué)所畫的圖形，直接寫出的度數(shù)為_________°；老師：“這三位同學(xué)解法的共同點(diǎn)，都是過(guò)一點(diǎn)作平行線來(lái)解決問(wèn)題，這個(gè)方法可以推廣．”請(qǐng)大家參考這三位同學(xué)的方法，使用與他們類似的方法，解決下面的問(wèn)題：(3)如圖，，點(diǎn)分別在上，平分若請(qǐng)?zhí)骄颗c的數(shù)量關(guān)系（(用含的式子表示)，并驗(yàn)證你的結(jié)論．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）過(guò)點(diǎn)作；（2）30；（3）．【思路指引】（1）根據(jù)圖中所畫虛線的位置解答即可；（2）過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠1=∠3，∠2=∠4，由EP⊥FP可得∠3+∠4=90°，即可得出∠1+∠2=90°，進(jìn)而可得答案；（3）設(shè)，過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，進(jìn)而根據(jù)角的和差關(guān)系即可得答案．【詳解詳析】（1）由圖中虛線可知PQ//AC，∴小明同學(xué)輔助線的做法為過(guò)點(diǎn)作，故答案為：過(guò)點(diǎn)作（2）如圖2，過(guò)點(diǎn)作，∵AB//CD，∴PQ//AB//CD，∴∠1=∠3，∠2=∠4，∵EP⊥FP，∴∠EPF=∠3+∠4=90°，∴∠1+∠2=90°，∵∠1=60°，∴∠2=30°，故答案為：30（3）如圖，設(shè)，過(guò)點(diǎn)作，∵，即．【名師指路】本題考查平行線的性質(zhì)，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；正確作出輔助線，熟練掌握平行線的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．請(qǐng)你探究：如圖（1），木桿與平行，木桿的兩端、用一橡皮筋連接．（1）在圖（1）中，與有何關(guān)系？（2）若將橡皮筋拉成圖（2）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（3）若將橡皮筋拉成圖（3）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（4）若將橡皮筋拉成圖（4）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（5）若將橡皮筋拉成圖（5）的形狀，則、、之間有何關(guān)系？（注：以上各問(wèn)，只寫出探究結(jié)果，不用說(shuō)明理由）【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）∠B+∠C=180o；（2）∠B+∠C=∠A；（3）∠A+∠B+∠C=360o；（4）∠A+∠B=∠C；（5）∠A+∠C=∠B【思路指引】（1）利用平行線的性質(zhì)“兩直線平行，同旁內(nèi)角相等”即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”即可得出結(jié)論；（3）同樣過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，利用“兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)”即可得出結(jié)論；（4）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論；（5）利用“兩直線平行，同位角相等”和三角形外角性質(zhì)可得出結(jié)論．【詳解詳析】（1）如圖（1）∵與平行，∴∠B+∠C=180o；（2）如圖（2），過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF（平行于同一條直線的兩條直線平行），∴∠B=∠BAD，∠C=∠DAC，∴∠B+∠C=∠BAD+∠DAC=∠BAC，即∠B+∠C=∠A；（3）如圖（3），過(guò)點(diǎn)A作AD∥BE，則AD∥BE∥CF，∴∠B+∠BAD=180o，∠DAC+∠C=180o，∴∠B+∠BAD+∠DAC+∠C=360o，即∠B+∠A+∠C=360o；（4）如圖（4），設(shè)BE與AC相交于D，∵與平行，∴∠C=∠ADE，∵∠ADE=∠A+∠B，∴∠A+∠B=∠C；（5）如圖（5），設(shè)CF與AB相交于D，∵與平行，∴∠B=∠ADF，∵∠ADF=∠A+∠C，∴∠A+∠C=∠B．【名師指路】本題考查了平行線的性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握平行線的性質(zhì)，作輔助平行線是解答的關(guān)鍵．15．如圖1，四邊形為一張長(zhǎng)方形紙片．（1）如圖2，將長(zhǎng)方形紙片剪兩刀，剪出三個(gè)角（），則__________°．（2）如圖3，將長(zhǎng)方形紙片剪三刀，剪出四個(gè)角（），則__________°．（3）如圖4，將長(zhǎng)方形紙片剪四刀，剪出五個(gè)角（），則___________°．（4）根據(jù)前面探索出的規(guī)律，將本題按照上述剪法剪刀，剪出個(gè)角，那么這個(gè)角的和是____________°．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）360；（2）540；（3）720；（4）．【思路指引】（1）過(guò)點(diǎn)E作EH∥AB，再根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到三個(gè)角的和等于180°的2倍；（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)即可得到四個(gè)角的和等于180°的三倍；（4）根據(jù)前三問(wèn)個(gè)的剪法，剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．【詳解詳析】（1）過(guò)E作EH∥AB（如圖②）．∵原四邊形是長(zhǎng)方形，∴AB∥CD，又∵EH∥AB，∴CD∥EH（平行于同一條直線的兩條直線互相平行）．∵EH∥AB，∴∠A+∠1=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∵CD∥EH，∴∠2+∠C=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）．∴∠A+∠1+∠2+∠C=360°，又∵∠1+∠2=∠AEC，∴∠BAE+∠AEC+∠ECD=360°；（2）分別過(guò)E、F分別作AB的平行線，如圖③所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFC+∠FCD=540°；（3）分別過(guò)E、F、G分別作AB的平行線，如圖④所示，用上面的方法可得∠BAE+∠AEF+∠EFG+∠FGC+∠GCD=720°；（4）由此可得一般規(guī)律：剪n刀，剪出n+1個(gè)角，那么這n+1個(gè)角的和是180n度．故答案為：（1）360；（2）540；（3）720；（4）180n．【名師指路】本題主要考查了多邊形的內(nèi)角和，作平行線并利用兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)是解本題的關(guān)鍵，總結(jié)規(guī)律求解是本題的難點(diǎn)．16．如圖1、圖2，已知∠1+∠2＝180°．（1）若圖1中∠AEF＝∠HLN，試找出圖中的平行線，并說(shuō)明理由；（2）如圖2，∠PMB＝3∠QMB，∠PND＝3∠QND，試探究∠P與∠Q的數(shù)量關(guān)系？（直接寫答案，不寫過(guò)程）．【標(biāo)準(zhǔn)答案】（1）AB∥CD，EF∥HL，理由詳見解析；（2）∠P＝3∠Q．【思路指引】（1），；由同旁內(nèi)角互補(bǔ)可得；延長(zhǎng)交于，由平行線的性質(zhì)及已知，可得，從而可判定；（2）；作，先由平行線的性質(zhì)推得，從而；同理可得；再將已知代入計(jì)算即可得解．【詳解詳析】解：（1），理由如下：，；延長(zhǎng)交于；（2）理由如下：，作，，，同理可得，．【名師指路】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，熟練掌握平行線三線八