四川省四川大學附屬中學2024-2025學年九年級上學期月考數學試卷（10月份）

2024-2025學年四川大學附屬中學九年級（上）月考數學試卷（10月份）一.選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分）1．（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性質是（）A．對角相等 B．對角線相等 C．對邊相等 D．對角線互相平分2．（4分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝03．（4分）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，則d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm4．（4分）已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（）A． B． C． D．5．（4分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，則四邊形AEDF的周長是（）A．24 B．28 C．32 D．366．（4分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．7．（4分）某廠今年十月份的總產量為500噸，十二月份的總產量達到720噸，若平均每月增長率為x，則可以列出方程（）A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720 C．500（1+x2）＝720 D．720（1﹣x）2＝5008．（4分）若關于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有實數根，則b的取值范圍是（）A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4二.填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9．（4分）一元二次方程x2+3x（x﹣1）＝5的一般形式是．10．（4分）如圖，在小孔成像問題中，小孔O到物體AB的距離是60cm，小孔O到像CD的距離是30cm，若物體AB的長為16cm，則像CD的長是cm．11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC邊上的一個動點，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N，則MN的最小值為．12．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根分別為x1和x2，則x1+x2﹣2x1x2為．13．（4分）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA、OB，使OA＝OB；分別以點A、B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為5cm2，則OC的長為cm．三.解答題（本大題共5個小題，共48分）14．（12分）解方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）3x（2x+1）＝4x+2．15．（8分）改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（AD）16m，寬（AB）9m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應為多少？16．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，已知∠ADB＝2∠ABD．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度數．17．（10分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的兩個實數根．（1）求實數m的取值范圍：（2）如果x1，x2滿足不等式，且m為整數，求m的值．（3）求x1+x2﹣3x1x2的最小值．18．（10分）（1）發(fā)現：如圖①所示，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF．求的值．（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH＝CH，求AE的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的一點且DE＝DC∠D＝60°，△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF與CD交于H且FH＝，直線EF交直線BC于點P，求PE的長．一.填空題（共20分）19．（4分）設α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，則α2+5α+2β＝．20．（4分）已知a，b，c是非零實數，且滿足K＝＝＝，則K＝．21．（4分）實數a，n，m，b滿足a＜n＜m＜b，這四個數在數軸上對應的點分別為A，N，M，B，若AM2＝BM?AB，BN2＝AN?AB，則稱m為a，b的“大黃金數”，n為a，b的“小黃金數”，當m﹣n＝6時，b﹣a＝．22．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點，連接BE．若BE＝BC，CD＝2，則BD＝．23．（4分）對任意正整數n，若n為偶數則除以2，若n為奇數則乘3再加1，在這樣一次變化下，我們得到一個新的自然數，在1937年LotharCollatz提出了一個問題：如此反復這種變換，是否對于所有的正整數，最終都能變換到1呢？這就是數學中著名的“考拉茲猜想”．如果某個正整數通過上述變換能變成1，我們就把第一次變成1時所經過的變換次數稱為它的路徑長，例如5經過5次變成1，則路徑長m＝5．若輸入數n，變換次數m，當m＝8時，n的所有可能值有個，其中最小值為．二.解答題（共30分）24．（8分）“順峰”在2021年“十一”長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2023年“十一”長假期間，接待游客2.88萬人次，在順峰，一家特色小面店希望在“十一”長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗10元，借鑒以往經驗，若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗，若價格每提高1元，則平均每天少銷售8碗，每天店面所需其他各種費用為168元．（1）求出2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率；（2）為了更好地維護東至縣形象，物價局規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費用）25．（10分）已知正方形ABCD和一動點E，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉90°得到線段CF，連接BE，DF．（1）如圖1，當點E在正方形ABCD內部時：①依題意補全圖1；②求證：BE＝DF；（2）如圖2，當點E在正方形ABCD外部時，連接AF，取AF中點M，連接AE，DM，用等式表示線段AE與DM的數量關系，并證明．26．（12分）在平面直角坐標系xOy中，有如下定義：若圖形W在一個矩形V的內部（包含邊界），當矩形V有一條邊平行于坐標軸且面積最小時，則稱矩形V是圖形W的“精致矩形”，如圖1，矩形MNPQ即是四邊形ABCD的“精致矩形”．（1）如圖2，已知點M（1，3），N（3，），則△OMN的“精致矩形”面積為；（2）在（1）的條件下，直線MN與x軸，y軸分別交于A，B兩點，在直線MN上存在一點P，當△OAP的“精致矩形”為正方形時，求點P的坐標；（3）如圖3，在（2）的條件下，將△AOB繞點A按順時針方向旋轉α°（0＜α°＜360°）得△ADC，連接OD，OC，BD，在旋轉過程中，當△ABD為直角三角形時，求點C的坐標，并直接寫出△OCD的“精致矩形”面積．

2024-2025學年四川大學附屬中學九年級（上）月考數學試卷（10月份）參考答案與試題解析一.選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分）1．（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性質是（）A．對角相等 B．對角線相等 C．對邊相等 D．對角線互相平分【分析】利用矩形與菱形的性質即可解答本題．【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性質是對角線相等，故選：B．【點評】本題考查了矩形與菱形的性質，中心對稱圖形，解題的關鍵是熟練掌握矩形與菱形的性質．2．（4分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個選項中的方程，即可得出結論．【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，選項A不符合題意；B．方程x2+3＝是分式方程，選項B不符合題意；C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，選項C不符合題意；D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，選項D符合題意．故選：D．【點評】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個未知數，并且未知數的最高次數是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關鍵．3．（4分）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，則d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，∴d＝8（cm），故選：A．【點評】本題考查了比例線段，關鍵是理解比例線段的概念，列出比例式，用到的知識點是比例的基本性質．4．（4分）已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（）A． B． C． D．【分析】直接利用已知條件進而表示出a，b，c，進而代入求出答案．【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴設a＝x，則b＝2x，c＝3x，∴．故選：C．【點評】此題主要考查了比例線段，比例的性質，正確將已知變形是解題關鍵．5．（4分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，則四邊形AEDF的周長是（）A．24 B．28 C．32 D．36【分析】根據DE∥AC、DF∥AB即可得出四邊形AEDF為平行四邊形，再根據AD平分∠BAC即可得出∠FAD＝∠FDA，即FA＝FD，從而得出平行四邊形AEDF為菱形，根據菱形的性質結合AF＝6即可求出四邊形AEDF的周長．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四邊形AEDF為菱形．∵AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．故選：A．【點評】本題考查了菱形的判定與性質，解題的關鍵是證出四邊形AEDF是菱形．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，熟記菱形的判定與性質是關鍵．6．（4分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．【分析】先根據∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根據相似三角形的判定方法解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤；B、添加∠B＝∠ADE，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤；C、添加＝，可用兩邊及其夾角法判定△ABC∽△ADE，故本選項錯誤；D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本選項正確；故選：D．【點評】本題考查了相似三角形的判定，先求出兩三角形的一對相等的角∠BAC＝∠DAE是確定其他條件的關鍵，注意掌握相似三角形的幾種判定方法．7．（4分）某廠今年十月份的總產量為500噸，十二月份的總產量達到720噸，若平均每月增長率為x，則可以列出方程（）A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720 C．500（1+x2）＝720 D．720（1﹣x）2＝500【分析】根據該廠今年十月份以及十二月份的總產量，即可得出關于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：500（1+x）2＝720．故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出一元二次方程，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．8．（4分）若關于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有實數根，則b的取值范圍是（）A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4【分析】利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進行計算即可解答．【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，∴（x﹣a）2＝b+4，∵方程（x﹣a）2＝b+4有實數根，∴b+4≥0，∴b≥﹣4，故選：D．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程﹣直接開平方法是解題的關鍵．二.填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9．（4分）一元二次方程x2+3x（x﹣1）＝5的一般形式是4x2﹣3x﹣5＝0．【分析】先去括號，移項，再合并同類項即可．【解答】解：x2+3x（x﹣1）＝5，x2+3x2﹣3x﹣5＝0，4x2﹣3x﹣5＝0．故答案為：4x2﹣3x﹣5＝0．【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式（ax2+bx+c＝0，其中a、b、c為常數，a≠0）是解此題的關鍵．10．（4分）如圖，在小孔成像問題中，小孔O到物體AB的距離是60cm，小孔O到像CD的距離是30cm，若物體AB的長為16cm，則像CD的長是8cm．【分析】如圖，作OE⊥AB于E，EO的延長線交CD于F．由△AOB∽△DOC，推出（相似三角形的對應高的比等于相似比），由此即可解決問題．【解答】解：如圖，作OE⊥AB于E，EO的延長線交CD于F．∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，∴（相似三角形的對應高的比等于相似比），∴CD＝AB＝8cm，故答案為：8．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質，解題的關鍵是靈活運用所學知識解決問題，記住相似三角形對應高的比等于相似比，屬于中考?？碱}型．11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC邊上的一個動點，PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N，則MN的最小值為．【分析】連接AP，證明四邊形ANPM為矩形，得到MN＝AP，根據垂線段最短，得到AP⊥BC時，AP最小，即MN最小，等積法求出AP的長即可．【解答】解：連接AP，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴，∵PM⊥AB于點M，PN⊥AC于點N，∠BAC＝90°，∴四邊形ANPM為矩形，∴MN＝AP，∴當AP最小時，MN最小，∴當AP⊥BC時，AP最小，即MN最小，此時，即：6×8＝10AP，∴；∴MN的最小值為；故答案為：．【點評】本題考查矩形的判定和性質，垂線段最短，勾股定理，熟記矩形的判定和性質是解題的關鍵．12．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根分別為x1和x2，則x1+x2﹣2x1x2為8．【分析】根據根與系數的關系得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，代入代數式即可求解．【解答】解：由題意可知：x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，∴x1+x2﹣2x1x2＝2﹣2×（﹣3）＝8，故答案為：8．【點評】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，熟練掌握一元二次方程根與系數的關系是解題的關鍵．13．（4分）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA、OB，使OA＝OB；分別以點A、B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點C；連接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為5cm2，則OC的長為5cm．【分析】四邊形OACB的四條邊都相等，則這個四邊形是菱形．AB和OC是菱形OACB的兩條對角線，則根據菱形的面積＝AB×OC求解即可．【解答】解：根據作圖方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四邊形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四邊形OACB的面積為5cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝5，解得OC＝5（cm）．故答案為：5．【點評】本題側重考查尺規(guī)作圖，掌握四邊相等的四邊形是菱形、對角線相互垂直的四邊形的面積是其兩條對角線乘積的一半是解決此題的關鍵．三.解答題（本大題共5個小題，共48分）14．（12分）解方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）3x（2x+1）＝4x+2．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，進行計算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進行計算即可解答．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝4+1，（x+1）2＝5，x+1＝±，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1；（2）3x（2x+1）＝4x+2，3x（2x+1）＝2（2x+1），3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，（3x﹣2）（2x+1）＝0，3x﹣2＝0或2x+1＝0，x1＝，x2＝﹣．【點評】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．15．（8分）改善小區(qū)環(huán)境，爭創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（AD）16m，寬（AB）9m的矩形場地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應為多少？【分析】設小路的寬應為xm，那么草坪的總長度和總寬度應該為（16﹣2x）m，（9﹣x）m；那么根據題意得出方程，解方程即可．【解答】解：設小路的寬應為xm，根據題意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得：x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合題意，舍去，∴x＝1．答：小路的寬應為1m．【點評】本題考查一元二次方程的應用，弄清“草坪的總長度和總寬度”是解決本題的關鍵．16．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點D，已知∠ADB＝2∠ABD．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度數．【分析】（1）由∠ABC＝2∠ABD，∠ADB＝2∠ABD，得∠ADB＝∠ABC，而∠A＝∠A，則△ABD∽△ACB；（2）由相似三角形的性質得∠ABD＝C，因為∠ABD＝∠DBC，所以∠C＝∠DBC，求得DB＝DC＝2，AD＝1，所以AC＝3，則AB2＝AD?AC＝3，AD2＝1，DB2＝4，所以AB2+AD2＝DB2，則∠A＝90°．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠ADB＝2∠ABD，∴∠ADB＝∠ABC＝2∠ABD，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB；（2）解：∵△ABD∽△ACB，∴∠ABD＝∠C，，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC，∵DC＝2AD＝2，∴AD＝1，DB＝DC＝2，∴AC＝AD+DC＝3，∵，∴AB2＝AD?AC＝3，∵AD2＝1，DB2＝4，∴AB2+AD2＝DB2＝4，∴△ABD是直角三角形，∠A＝90°，故∠A的度數是90°．【點評】本題主要考查了相似三角形的判定與性質、等腰三角形的判定與性質、勾股定理的逆定理，熟練掌握各知識點是解題的關鍵．17．（10分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的兩個實數根．（1）求實數m的取值范圍：（2）如果x1，x2滿足不等式，且m為整數，求m的值．（3）求x1+x2﹣3x1x2的最小值．【分析】（1）由題意可得一元二次方程判別式Δ≥0，進而求解即可；（2）由根于系數的關系可得x1+x2＝1，，代入解不等式求整數解即可；（3）設y＝x1+x2﹣3x1x2，把x1+x2＝1，代入得到，根據一次函數的增減性解題即可．【解答】解：（1）由題意知Δ≥0，即4﹣8（m+1）≥0，解得：；（2）由題意知x1+x2＝1，，又∵，∴4+3（m+1）＞1，解得：m＞﹣2，又∵，∴，又∵m為整數，∴m＝﹣1；（3）設y＝x1+x2﹣3x1x2，則，∵，y隨m的增大而減小，∴當時，y最小，最小值為．【點評】本題考查一元二次方程的判別式和根與系數的關系，解題的關鍵是掌握根的判別式和根與系數的關系．18．（10分）（1）發(fā)現：如圖①所示，在正方形ABCD中，點E，F分別是AB，AD上的兩點，連接DE，CF，DE⊥CF．求的值．（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點，延長BF交CD邊于點H，且FH＝CH，求AE的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的一點且DE＝DC∠D＝60°，△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF與CD交于H且FH＝，直線EF交直線BC于點P，求PE的長．【分析】（1）證明△AED≌△DFC，根據全等三角形的性質得到DE＝CF，得到答案；（2）由平行線的性質和折疊的性質可證BG＝EG，由勾股定理可求CH的長，通過證明△BFG∽△BCH，可得，即可求解；（3）通過證明△EFH∽△ECP，可求CP的長，由勾股定理可求PN，CN的長，可得EN的長，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）設DE與CF交于點G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE＝CF，即＝1；（2）∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處，∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，∠A＝∠BFE＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BEG，∴BG＝EG，∵BC2+CH2＝BH2，CH＝CF，∴64+CH2＝（6+CH）2，∴CH＝，∴BH＝，∵∠CBH＝∠CBH，∠BFG＝∠C＝90°，∴△BFG∽△BCH，∴，∴＝＝，∴FG＝，BG＝＝EG，∴EF＝，∴AE＝EF＝；（3）如圖，過點P作PN⊥DC于N，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝6＝AD，AD∥BC，∴∠D＝∠DCP＝60°，∵DE＝DC，∴DE＝2，EC＝4，∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴DE＝EF＝2，∠D＝∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠DCP＝60°，又∵∠FEH＝∠PEC，∴△EFH∽△ECP，∴＝，∴＝，∴PC＝，∵PN⊥CD，∠DCP＝60°，∴∠CPN＝30°，∴CN＝，PN＝，∴EN＝，∴PE＝＝＝．【點評】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質，矩形的性質，菱形的性質，全等三角形的判定和性質，折疊的性質，相似三角形的判定和性質等知識，靈活運用這些性質解決問題是解題的關鍵．一.填空題（共20分）19．（4分）設α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，則α2+5α+2β＝1．【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝7，再把α2+5α+2β變形為α2+3α+2（α+β），即可求出答案．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個根，∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，∴α2+3α＝7，∴α2+5α+2β＝α2+3α+2（α+β）＝7+2×（﹣3）＝1，故答案為：1．【點評】此題主要考查了根與系數的關系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數的關系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．20．（4分）已知a，b，c是非零實數，且滿足K＝＝＝，則K＝﹣2或1．【分析】討論：當a+b+c＝0時把a+b＝﹣c代入計算可得K＝﹣2；當a+b+c≠0，利用等比性質求K的值．【解答】解：當a+b+c＝0時，a+b＝﹣c，K＝＝﹣2；當a+b+c≠0，K＝＝1，即K的值為﹣2或1．故答案為﹣2或1．【點評】本題考查了比例的性質：常用的性質有：內項之積等于外項之積；合比性質；分比性質；合分比性質；等比性質．21．（4分）實數a，n，m，b滿足a＜n＜m＜b，這四個數在數軸上對應的點分別為A，N，M，B，若AM2＝BM?AB，BN2＝AN?AB，則稱m為a，b的“大黃金數”，n為a，b的“小黃金數”，當m﹣n＝6時，b﹣a＝12+6．【分析】先根據黃金分割定義，得AM＝BN，AN＝BM，設AN＝BM＝x，根據AM2＝BM?AB，列出一元二次方程，解得AN的長，從而求出AB的長，即b﹣a的值．【解答】解：∵AM2＝BM?AB，BN2＝AN?AB，∴AM＝BN，AN＝BM，設AN＝BM＝x，則AM＝BN＝x+6，根據AM2＝BM?AB得，（x+6）2＝x（2x+6），解得x1＝3+3，x2＝3﹣3（舍去），∴AB＝b﹣a＝2×（3+3）+6＝12+6．故答案為：12+6．【點評】本題考查了黃金分割的定義和一元一次方程的應用，解題的關鍵是能正確表示數軸上兩點的距離．22．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點，連接BE．若BE＝BC，CD＝2，則BD＝．【分析】連接CE，過E作EF⊥BC于F，設BD＝x，則BC＝x+2，由∠ACB＝90°，E為AD中點，可得CE＝AE＝DE＝AD，有∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，證明△ECD∽△BCE，可得＝，∠CED＝∠CBE，故CE2＝CD?BC＝2（x+2）＝2x+4，再證△ABC∽△BEF，得＝，而AC＝2EF，即得2EF2＝（x+1）（x+2），從而＝（2x+4）﹣12，即可解得答案．【解答】解：連接CE，過E作EF⊥BC于F，如圖：設BD＝x，則BC＝BD+CD＝x+2，∵∠ACB＝90°，E為AD中點，∴CE＝AE＝DE＝AD，∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，∴∠CED＝2∠CAD，∵BE＝BC，∴∠ECD＝∠BEC，∴∠BEC＝∠EDC，∵∠ECD＝∠BCE，∴△ECD∽△BCE，∴＝，∠CED＝∠CBE，∴CE2＝CD?BC＝2（x+2）＝2x+4，∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD，∴∠CAB＝∠CED，∴∠CAB＝∠CBE，∵∠ACB＝90°＝∠BFE，∴△ABC∽△BEF，∴＝，∵CE＝DE，EF⊥BC，∴CF＝DF＝CD＝1，∵E為AD中點，∴AC＝2EF，∴＝，∴2EF2＝（x+1）（x+2），∵EF2＝CE2﹣CF2，∴＝（2x+4）﹣12，解得x＝或x＝（小于0，舍去），∴BD＝．故答案為：．【點評】本題考查相似三角形的判定與性質，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質、三角形的中位線性質、三角形的外角性質、解一元二次方程等知識，有一定的難度，熟練掌握三角形相關知識是解答的關鍵．23．（4分）對任意正整數n，若n為偶數則除以2，若n為奇數則乘3再加1，在這樣一次變化下，我們得到一個新的自然數，在1937年LotharCollatz提出了一個問題：如此反復這種變換，是否對于所有的正整數，最終都能變換到1呢？這就是數學中著名的“考拉茲猜想”．如果某個正整數通過上述變換能變成1，我們就把第一次變成1時所經過的變換次數稱為它的路徑長，例如5經過5次變成1，則路徑長m＝5．若輸入數n，變換次數m，當m＝8時，n的所有可能值有4個，其中最小值為6．【分析】采取倒推的方法，將可能的運算路線都找到即可．【解答】解：由輸出結果是1，倒推得到1→2→4→8→16→5→10→20→40，1→2→4→8→16→5→10→3→6，1→2→4→8→16→32→64→128→256，1→2→4→8→16→32→64→21→42，∴則x的可能值有4個，最小值為6，故答案為：4，6．【點評】本題考查數字的變化規(guī)律，通過觀察所給的運算，倒推出運算過程是解題的關鍵．二.解答題（共30分）24．（8分）“順峰”在2021年“十一”長假期間，接待游客達2萬人次，預計在2023年“十一”長假期間，接待游客2.88萬人次，在順峰，一家特色小面店希望在“十一”長假期間獲得好的收益，經測算知，該小面成本價為每碗10元，借鑒以往經驗，若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗，若價格每提高1元，則平均每天少銷售8碗，每天店面所需其他各種費用為168元．（1）求出2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率；（2）為了更好地維護東至縣形象，物價局規(guī)定每碗售價不得超過20元，則當每碗售價定為多少元時，店家才能實現每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費用）【分析】（1）設2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率為x，利用2023年“十一”長假期間游客人次＝2021年“十一”長假期間游客人次×（1+2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率）2，即可得出關于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結論；（2）設每碗售價定為y元，則平均每天可銷售（240﹣8y）碗，利用凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費用，即可得出關于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結論．【解答】解：（1）設2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率為x，依題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率為20%．（2）設每碗售價定為y元，則平均每天可銷售120﹣8（y﹣15）＝（240﹣8y）碗，依題意得：（240﹣8y）y﹣10（240﹣8y）﹣168＝600，整理得：y2﹣40y+396＝0，解得：y1＝18，y2＝22（不符合題意，舍去）．答：當每碗售價定為18元時，店家才能實現每天凈利潤600元．【點評】本題考查了一元二次方程的應用，找準等量關系，正確列出一元二次方程是解題的關鍵．25．（10分）已知正方形ABCD和一動點E，連接CE，將線段CE繞點C順時針旋轉90°得到線段CF，連接BE，DF．（1）如圖1，當點E在正方形ABCD內部時：①依題意補全圖1；②求證：BE＝DF；（2）如圖2，當點E在正方形ABCD外部時，連接AF，取AF中點M，連接AE，DM，用等式表示線段AE與DM的數量關系，并證明．【分析】（1）①按題中要求補全圖形即可；②由旋轉得CE＝CF，∠ECF＝90°，由正方形的性質得CB＝CD，∠BCD＝90°，則∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，即可根據全等三角形的判定定理“SAS”證明△BCE≌△DCF，則BE＝DF；（2）先證明△BCE≌△DCF，得BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，再延長DM到點G，使GM＝DM，連接AG，可證明△AGM≌△FDM，得AG＝DF，∠G＝∠MDF，所以BE＝AG，AG∥DF，可推導出∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF﹣90°，而∠ABE＝∠CBE﹣90°，所以∠ABE＝∠DAG，即可證明△ABE≌△DAG，則AE＝DG＝2DM．【解答】解：（1）①如圖1，將線段CE繞點C順時針旋轉90°得到線段CF，連接BE，DF.②證明：由旋轉得CE＝CF，∠ECF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF．（2）AE＝2DM，證明：如圖2，將線段CE繞點C順時針旋轉90°得到線段CF，連接BE，DF，取AF中點M，連接AE，DM，由旋轉得CE＝CF，∠ECF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD＝AB＝DA，∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，∴∠CBE﹣90°＝∠CDF﹣90°，延長DM到點G，使GM＝DM，連接AG，∵M是AF的中點，∴AM＝FM，在△AGM和△FDM中，，∴△AGM≌△FDM（SAS），∴AG＝DF，∠G＝∠MDF，∴BE＝AG，AG∥DF，∴∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF﹣90°，∵∠ABE＝∠CBE﹣90°，∴∠ABE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴AE＝DG＝2DM．【點評】此題重點考查正方形的性質、旋轉的性質、全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質等知識，正確地作出所需要的輔助線并且適當選擇全等三角形的判定定理證明三角形全等是解題的關鍵．26．（12分）在平面直角坐標系xOy中，有如下定義：若圖形W在一個矩形V的內部（包含邊界），當矩形V有一條邊平行于坐標軸且面積最小時，則稱矩形V是圖形W的“精致矩形”，如圖1，矩形MNPQ即