四川省四川大學(xué)附屬中學(xué)2024-2025學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）

2024-2025學(xué)年四川大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一.選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）1．（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角相等 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)邊相等 D．對(duì)角線互相平分2．（4分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝03．（4分）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，則d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm4．（4分）已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（）A． B． C． D．5．（4分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，則四邊形AEDF的周長是（）A．24 B．28 C．32 D．366．（4分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．7．（4分）某廠今年十月份的總產(chǎn)量為500噸，十二月份的總產(chǎn)量達(dá)到720噸，若平均每月增長率為x，則可以列出方程（）A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720 C．500（1+x2）＝720 D．720（1﹣x）2＝5008．（4分）若關(guān)于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有實(shí)數(shù)根，則b的取值范圍是（）A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4二.填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）9．（4分）一元二次方程x2+3x（x﹣1）＝5的一般形式是．10．（4分）如圖，在小孔成像問題中，小孔O到物體AB的距離是60cm，小孔O到像CD的距離是30cm，若物體AB的長為16cm，則像CD的長是cm．11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N，則MN的最小值為．12．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根分別為x1和x2，則x1+x2﹣2x1x2為．13．（4分）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA、OB，使OA＝OB；分別以點(diǎn)A、B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；連接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為5cm2，則OC的長為cm．三.解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）14．（12分）解方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）3x（2x+1）＝4x+2．15．（8分）改善小區(qū)環(huán)境，爭(zhēng)創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（AD）16m，寬（AB）9m的矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應(yīng)為多少？16．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，已知∠ADB＝2∠ABD．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度數(shù)．17．（10分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍：（2）如果x1，x2滿足不等式，且m為整數(shù)，求m的值．（3）求x1+x2﹣3x1x2的最小值．18．（10分）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF．求的值．（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點(diǎn)，延長BF交CD邊于點(diǎn)H，且FH＝CH，求AE的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的一點(diǎn)且DE＝DC∠D＝60°，△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF與CD交于H且FH＝，直線EF交直線BC于點(diǎn)P，求PE的長．一.填空題（共20分）19．（4分）設(shè)α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個(gè)根，則α2+5α+2β＝．20．（4分）已知a，b，c是非零實(shí)數(shù)，且滿足K＝＝＝，則K＝．21．（4分）實(shí)數(shù)a，n，m，b滿足a＜n＜m＜b，這四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，N，M，B，若AM2＝BM?AB，BN2＝AN?AB，則稱m為a，b的“大黃金數(shù)”，n為a，b的“小黃金數(shù)”，當(dāng)m﹣n＝6時(shí)，b﹣a＝．22．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點(diǎn)，連接BE．若BE＝BC，CD＝2，則BD＝．23．（4分）對(duì)任意正整數(shù)n，若n為偶數(shù)則除以2，若n為奇數(shù)則乘3再加1，在這樣一次變化下，我們得到一個(gè)新的自然數(shù)，在1937年LotharCollatz提出了一個(gè)問題：如此反復(fù)這種變換，是否對(duì)于所有的正整數(shù)，最終都能變換到1呢？這就是數(shù)學(xué)中著名的“考拉茲猜想”．如果某個(gè)正整數(shù)通過上述變換能變成1，我們就把第一次變成1時(shí)所經(jīng)過的變換次數(shù)稱為它的路徑長，例如5經(jīng)過5次變成1，則路徑長m＝5．若輸入數(shù)n，變換次數(shù)m，當(dāng)m＝8時(shí)，n的所有可能值有個(gè)，其中最小值為．二.解答題（共30分）24．（8分）“順峰”在2021年“十一”長假期間，接待游客達(dá)2萬人次，預(yù)計(jì)在2023年“十一”長假期間，接待游客2.88萬人次，在順峰，一家特色小面店希望在“十一”長假期間獲得好的收益，經(jīng)測(cè)算知，該小面成本價(jià)為每碗10元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)，若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗，若價(jià)格每提高1元，則平均每天少銷售8碗，每天店面所需其他各種費(fèi)用為168元．（1）求出2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率；（2）為了更好地維護(hù)東至縣形象，物價(jià)局規(guī)定每碗售價(jià)不得超過20元，則當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費(fèi)用）25．（10分）已知正方形ABCD和一動(dòng)點(diǎn)E，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接BE，DF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)：①依題意補(bǔ)全圖1；②求證：BE＝DF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，連接AF，取AF中點(diǎn)M，連接AE，DM，用等式表示線段AE與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明．26．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有如下定義：若圖形W在一個(gè)矩形V的內(nèi)部（包含邊界），當(dāng)矩形V有一條邊平行于坐標(biāo)軸且面積最小時(shí)，則稱矩形V是圖形W的“精致矩形”，如圖1，矩形MNPQ即是四邊形ABCD的“精致矩形”．（1）如圖2，已知點(diǎn)M（1，3），N（3，），則△OMN的“精致矩形”面積為；（2）在（1）的條件下，直線MN與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，在直線MN上存在一點(diǎn)P，當(dāng)△OAP的“精致矩形”為正方形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）如圖3，在（2）的條件下，將△AOB繞點(diǎn)A按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α°（0＜α°＜360°）得△ADC，連接OD，OC，BD，在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)△ABD為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)C的坐標(biāo)，并直接寫出△OCD的“精致矩形”面積．

2024-2025學(xué)年四川大學(xué)附屬中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷（10月份）參考答案與試題解析一.選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題4分，共32分）1．（4分）矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是（）A．對(duì)角相等 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)邊相等 D．對(duì)角線互相平分【分析】利用矩形與菱形的性質(zhì)即可解答本題．【解答】解：矩形具有而菱形不一定具有的性質(zhì)是對(duì)角線相等，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形與菱形的性質(zhì)，中心對(duì)稱圖形，解題的關(guān)鍵是熟練掌握矩形與菱形的性質(zhì)．2．（4分）下列方程中，屬于一元二次方程的是（）A．x﹣2y＝1 B． C．x2﹣2y+4＝0 D．x2﹣2x+1＝0【分析】利用一元二次方程的定義，逐一分析四個(gè)選項(xiàng)中的方程，即可得出結(jié)論．【解答】解：A．方程x﹣2y＝1是二元一次方程，選項(xiàng)A不符合題意；B．方程x2+3＝是分式方程，選項(xiàng)B不符合題意；C．方程x2﹣2y+4＝0是二元二次方程，選項(xiàng)C不符合題意；D．方程x2﹣2x+1＝0是一元二次方程，選項(xiàng)D符合題意．故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的定義，牢記“只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程叫一元二次方程”是解題的關(guān)鍵．3．（4分）若線段a，b，c，d是成比例線段，且a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，則d＝（）A．8cm B．0.5cm C．2cm D．3cm【分析】如果其中兩條線段的乘積等于另外兩條線段的乘積，則四條線段叫成比例線段．根據(jù)定義ad＝cb，將a，b及c的值代入即可求得d．【解答】解：∵a，b，c，d是成比例線段，∴ad＝cb，∵a＝1cm，b＝4cm，c＝2cm，∴d＝8（cm），故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例線段，關(guān)鍵是理解比例線段的概念，列出比例式，用到的知識(shí)點(diǎn)是比例的基本性質(zhì)．4．（4分）已知線段a，b，c，如果a：b：c＝1：2：3，那么的值是（）A． B． C． D．【分析】直接利用已知條件進(jìn)而表示出a，b，c，進(jìn)而代入求出答案．【解答】解：∵a：b：c＝1：2：3，∴設(shè)a＝x，則b＝2x，c＝3x，∴．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了比例線段，比例的性質(zhì)，正確將已知變形是解題關(guān)鍵．5．（4分）如圖，△ABC中，AD平分∠BAC，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F，若AF＝6，則四邊形AEDF的周長是（）A．24 B．28 C．32 D．36【分析】根據(jù)DE∥AC、DF∥AB即可得出四邊形AEDF為平行四邊形，再根據(jù)AD平分∠BAC即可得出∠FAD＝∠FDA，即FA＝FD，從而得出平行四邊形AEDF為菱形，根據(jù)菱形的性質(zhì)結(jié)合AF＝6即可求出四邊形AEDF的周長．【解答】解：∵DE∥AC，DF∥AB，∴四邊形AEDF為平行四邊形，∠EAD＝∠FDA．∵AD平分∠BAC，∴∠EAD＝∠FAD＝∠FDA，∴FA＝FD，∴平行四邊形AEDF為菱形．∵AF＝6，∴C菱形AEDF＝4AF＝4×6＝24．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是證出四邊形AEDF是菱形．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時(shí)，熟記菱形的判定與性質(zhì)是關(guān)鍵．6．（4分）如圖，已知∠1＝∠2，那么添加下列一個(gè)條件后，仍無法判定△ABC∽△ADE的是（）A．∠C＝∠E B．∠B＝∠ADE C． D．【分析】先根據(jù)∠1＝∠2求出∠BAC＝∠DAE，再根據(jù)相似三角形的判定方法解答．【解答】解：∵∠1＝∠2，∴∠DAE＝∠BAC，A、添加∠C＝∠E，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、添加∠B＝∠ADE，可用兩角法判定△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、添加＝，可用兩邊及其夾角法判定△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、添加＝，不能判定△ABC∽△ADE，故本選項(xiàng)正確；故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定，先求出兩三角形的一對(duì)相等的角∠BAC＝∠DAE是確定其他條件的關(guān)鍵，注意掌握相似三角形的幾種判定方法．7．（4分）某廠今年十月份的總產(chǎn)量為500噸，十二月份的總產(chǎn)量達(dá)到720噸，若平均每月增長率為x，則可以列出方程（）A．500（1+2x）＝720 B．500（1+x）2＝720 C．500（1+x2）＝720 D．720（1﹣x）2＝500【分析】根據(jù)該廠今年十月份以及十二月份的總產(chǎn)量，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，此題得解．【解答】解：依題意得：500（1+x）2＝720．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了由實(shí)際問題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．8．（4分）若關(guān)于x的方程（x﹣a）2﹣4＝b有實(shí)數(shù)根，則b的取值范圍是（）A．b＞4 B．b＞﹣4 C．b≥4 D．b≥﹣4【分析】利用解一元二次方程﹣直接開平方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：∵（x﹣a）2﹣4＝b，∴（x﹣a）2＝b+4，∵方程（x﹣a）2＝b+4有實(shí)數(shù)根，∴b+4≥0，∴b≥﹣4，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握解一元二次方程﹣直接開平方法是解題的關(guān)鍵．二.填空題（本大題共5個(gè)小題，每小題4分，共20分）9．（4分）一元二次方程x2+3x（x﹣1）＝5的一般形式是4x2﹣3x﹣5＝0．【分析】先去括號(hào)，移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)即可．【解答】解：x2+3x（x﹣1）＝5，x2+3x2﹣3x﹣5＝0，4x2﹣3x﹣5＝0．故答案為：4x2﹣3x﹣5＝0．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的一般形式，能熟記一元二次方程的一般形式（ax2+bx+c＝0，其中a、b、c為常數(shù)，a≠0）是解此題的關(guān)鍵．10．（4分）如圖，在小孔成像問題中，小孔O到物體AB的距離是60cm，小孔O到像CD的距離是30cm，若物體AB的長為16cm，則像CD的長是8cm．【分析】如圖，作OE⊥AB于E，EO的延長線交CD于F．由△AOB∽△DOC，推出（相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比），由此即可解決問題．【解答】解：如圖，作OE⊥AB于E，EO的延長線交CD于F．∵AB∥CD，∴FO⊥CD，△AOB∽△DOC，∴（相似三角形的對(duì)應(yīng)高的比等于相似比），∴CD＝AB＝8cm，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，記住相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比，屬于中考?？碱}型．11．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P是BC邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N，則MN的最小值為．【分析】連接AP，證明四邊形ANPM為矩形，得到MN＝AP，根據(jù)垂線段最短，得到AP⊥BC時(shí)，AP最小，即MN最小，等積法求出AP的長即可．【解答】解：連接AP，∵∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，∴，∵PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N，∠BAC＝90°，∴四邊形ANPM為矩形，∴MN＝AP，∴當(dāng)AP最小時(shí)，MN最小，∴當(dāng)AP⊥BC時(shí)，AP最小，即MN最小，此時(shí)，即：6×8＝10AP，∴；∴MN的最小值為；故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查矩形的判定和性質(zhì)，垂線段最短，勾股定理，熟記矩形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．12．（4分）一元二次方程x2﹣2x﹣3＝0的兩根分別為x1和x2，則x1+x2﹣2x1x2為8．【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得出x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，代入代數(shù)式即可求解．【解答】解：由題意可知：x1+x2＝2，x1x2＝﹣3，∴x1+x2﹣2x1x2＝2﹣2×（﹣3）＝8，故答案為：8．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，熟練掌握一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（4分）如圖，在∠MON的兩邊上分別截取OA、OB，使OA＝OB；分別以點(diǎn)A、B為圓心，OA長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)C；連接AC、BC、AB、OC．若AB＝2cm，四邊形OACB的面積為5cm2，則OC的長為5cm．【分析】四邊形OACB的四條邊都相等，則這個(gè)四邊形是菱形．AB和OC是菱形OACB的兩條對(duì)角線，則根據(jù)菱形的面積＝AB×OC求解即可．【解答】解：根據(jù)作圖方法，可得AC＝BC＝OA，∵OA＝OB，∴OA＝OB＝BC＝AC，∴四邊形OACB是菱形．∵AB＝2cm，四邊形OACB的面積為5cm2，∴AB×OC＝×2×OC＝5，解得OC＝5（cm）．故答案為：5．【點(diǎn)評(píng)】本題側(cè)重考查尺規(guī)作圖，掌握四邊相等的四邊形是菱形、對(duì)角線相互垂直的四邊形的面積是其兩條對(duì)角線乘積的一半是解決此題的關(guān)鍵．三.解答題（本大題共5個(gè)小題，共48分）14．（12分）解方程：（1）x2+2x﹣4＝0；（2）3x（2x+1）＝4x+2．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣因式分解法，進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：（1）x2+2x﹣4＝0，x2+2x＝4，x2+2x+1＝4+1，（x+1）2＝5，x+1＝±，x1＝﹣1，x2＝﹣﹣1；（2）3x（2x+1）＝4x+2，3x（2x+1）＝2（2x+1），3x（2x+1）﹣2（2x+1）＝0，（3x﹣2）（2x+1）＝0，3x﹣2＝0或2x+1＝0，x1＝，x2＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解一元二次方程﹣配方法，因式分解法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關(guān)鍵．15．（8分）改善小區(qū)環(huán)境，爭(zhēng)創(chuàng)文明家園．如圖所示，某社區(qū)決定在一塊長（AD）16m，寬（AB）9m的矩形場(chǎng)地ABCD上修建三條同樣寬的小路，其中兩條與AB平行，另一條與AD平行，其余部分種草．要使草坪部分的總面積為112m2，則小路的寬應(yīng)為多少？【分析】設(shè)小路的寬應(yīng)為xm，那么草坪的總長度和總寬度應(yīng)該為（16﹣2x）m，（9﹣x）m；那么根據(jù)題意得出方程，解方程即可．【解答】解：設(shè)小路的寬應(yīng)為xm，根據(jù)題意得：（16﹣2x）（9﹣x）＝112，解得：x1＝1，x2＝16．∵16＞9，∴x＝16不符合題意，舍去，∴x＝1．答：小路的寬應(yīng)為1m．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的應(yīng)用，弄清“草坪的總長度和總寬度”是解決本題的關(guān)鍵．16．（8分）如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線BD交AC邊于點(diǎn)D，已知∠ADB＝2∠ABD．（1）求證：△ABD∽△ACB；（2）若DC＝2AD＝2，求∠A的度數(shù)．【分析】（1）由∠ABC＝2∠ABD，∠ADB＝2∠ABD，得∠ADB＝∠ABC，而∠A＝∠A，則△ABD∽△ACB；（2）由相似三角形的性質(zhì)得∠ABD＝C，因?yàn)椤螦BD＝∠DBC，所以∠C＝∠DBC，求得DB＝DC＝2，AD＝1，所以AC＝3，則AB2＝AD?AC＝3，AD2＝1，DB2＝4，所以AB2+AD2＝DB2，則∠A＝90°．【解答】（1）證明：∵BD平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABD，∵∠ADB＝2∠ABD，∴∠ADB＝∠ABC＝2∠ABD，∵∠A＝∠A，∴△ABD∽△ACB；（2）解：∵△ABD∽△ACB，∴∠ABD＝∠C，，∵∠ABD＝∠DBC，∴∠C＝∠DBC，∵DC＝2AD＝2，∴AD＝1，DB＝DC＝2，∴AC＝AD+DC＝3，∵，∴AB2＝AD?AC＝3，∵AD2＝1，DB2＝4，∴AB2+AD2＝DB2＝4，∴△ABD是直角三角形，∠A＝90°，故∠A的度數(shù)是90°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理的逆定理，熟練掌握各知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．17．（10分）已知x1，x2是一元二次方程2x2﹣2x+m+1＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（1）求實(shí)數(shù)m的取值范圍：（2）如果x1，x2滿足不等式，且m為整數(shù)，求m的值．（3）求x1+x2﹣3x1x2的最小值．【分析】（1）由題意可得一元二次方程判別式Δ≥0，進(jìn)而求解即可；（2）由根于系數(shù)的關(guān)系可得x1+x2＝1，，代入解不等式求整數(shù)解即可；（3）設(shè)y＝x1+x2﹣3x1x2，把x1+x2＝1，代入得到，根據(jù)一次函數(shù)的增減性解題即可．【解答】解：（1）由題意知Δ≥0，即4﹣8（m+1）≥0，解得：；（2）由題意知x1+x2＝1，，又∵，∴4+3（m+1）＞1，解得：m＞﹣2，又∵，∴，又∵m為整數(shù)，∴m＝﹣1；（3）設(shè)y＝x1+x2﹣3x1x2，則，∵，y隨m的增大而減小，∴當(dāng)時(shí)，y最小，最小值為．【點(diǎn)評(píng)】本題考查一元二次方程的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系，解題的關(guān)鍵是掌握根的判別式和根與系數(shù)的關(guān)系．18．（10分）（1）發(fā)現(xiàn)：如圖①所示，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的兩點(diǎn)，連接DE，CF，DE⊥CF．求的值．（2）探究：如圖②，在矩形ABCD中，E為AD邊上一點(diǎn)，且AD＝8，AB＝6．將△AEB沿BE翻折到△BEF處，延長EF交BC邊于G點(diǎn)，延長BF交CD邊于點(diǎn)H，且FH＝CH，求AE的長．（3）拓展：如圖③，在菱形ABCD中，AB＝6，E為CD邊上的一點(diǎn)且DE＝DC∠D＝60°，△ADE沿AE翻折得到△AFE，AF與CD交于H且FH＝，直線EF交直線BC于點(diǎn)P，求PE的長．【分析】（1）證明△AED≌△DFC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DE＝CF，得到答案；（2）由平行線的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)可證BG＝EG，由勾股定理可求CH的長，通過證明△BFG∽△BCH，可得，即可求解；（3）通過證明△EFH∽△ECP，可求CP的長，由勾股定理可求PN，CN的長，可得EN的長，由勾股定理可求解．【解答】解：（1）設(shè)DE與CF交于點(diǎn)G，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A＝∠FDC＝90°，AD＝CD，∵DE⊥CF，∴∠DGF＝90°，∴∠ADE+∠CFD＝90°，∠ADE+∠AED＝90°，∴∠CFD＝∠AED，在△AED和△DFC中，，∴△AED≌△DFC（AAS），∴DE＝CF，即＝1；（2）∵將△AEB沿BE翻折到△BEF處，∴AB＝BF＝6，AE＝EF，∠AEB＝∠BEF，∠A＝∠BFE＝90°，∵AD∥BC，∴∠AEB＝∠CBE，∴∠CBE＝∠BEG，∴BG＝EG，∵BC2+CH2＝BH2，CH＝CF，∴64+CH2＝（6+CH）2，∴CH＝，∴BH＝，∵∠CBH＝∠CBH，∠BFG＝∠C＝90°，∴△BFG∽△BCH，∴，∴＝＝，∴FG＝，BG＝＝EG，∴EF＝，∴AE＝EF＝；（3）如圖，過點(diǎn)P作PN⊥DC于N，∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝CD＝6＝AD，AD∥BC，∴∠D＝∠DCP＝60°，∵DE＝DC，∴DE＝2，EC＝4，∵△ADE沿AE翻折得到△AFE，∴DE＝EF＝2，∠D＝∠AFE＝60°，∴∠AFE＝∠DCP＝60°，又∵∠FEH＝∠PEC，∴△EFH∽△ECP，∴＝，∴＝，∴PC＝，∵PN⊥CD，∠DCP＝60°，∴∠CPN＝30°，∴CN＝，PN＝，∴EN＝，∴PE＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題是相似形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，靈活運(yùn)用這些性質(zhì)解決問題是解題的關(guān)鍵．一.填空題（共20分）19．（4分）設(shè)α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個(gè)根，則α2+5α+2β＝1．【分析】由α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個(gè)根，得出α+β＝﹣3，α2+3α＝7，再把α2+5α+2β變形為α2+3α+2（α+β），即可求出答案．【解答】解：∵α，β是一元二次方程x2+3x﹣7＝0的兩個(gè)根，∴α+β＝﹣3，α2+3α﹣7＝0，∴α2+3α＝7，∴α2+5α+2β＝α2+3α+2（α+β）＝7+2×（﹣3）＝1，故答案為：1．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了根與系數(shù)的關(guān)系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根與系數(shù)的關(guān)系為：x1+x2＝﹣，x1?x2＝．20．（4分）已知a，b，c是非零實(shí)數(shù)，且滿足K＝＝＝，則K＝﹣2或1．【分析】討論：當(dāng)a+b+c＝0時(shí)把a(bǔ)+b＝﹣c代入計(jì)算可得K＝﹣2；當(dāng)a+b+c≠0，利用等比性質(zhì)求K的值．【解答】解：當(dāng)a+b+c＝0時(shí)，a+b＝﹣c，K＝＝﹣2；當(dāng)a+b+c≠0，K＝＝1，即K的值為﹣2或1．故答案為﹣2或1．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)：常用的性質(zhì)有：內(nèi)項(xiàng)之積等于外項(xiàng)之積；合比性質(zhì)；分比性質(zhì)；合分比性質(zhì)；等比性質(zhì)．21．（4分）實(shí)數(shù)a，n，m，b滿足a＜n＜m＜b，這四個(gè)數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A，N，M，B，若AM2＝BM?AB，BN2＝AN?AB，則稱m為a，b的“大黃金數(shù)”，n為a，b的“小黃金數(shù)”，當(dāng)m﹣n＝6時(shí)，b﹣a＝12+6．【分析】先根據(jù)黃金分割定義，得AM＝BN，AN＝BM，設(shè)AN＝BM＝x，根據(jù)AM2＝BM?AB，列出一元二次方程，解得AN的長，從而求出AB的長，即b﹣a的值．【解答】解：∵AM2＝BM?AB，BN2＝AN?AB，∴AM＝BN，AN＝BM，設(shè)AN＝BM＝x，則AM＝BN＝x+6，根據(jù)AM2＝BM?AB得，（x+6）2＝x（2x+6），解得x1＝3+3，x2＝3﹣3（舍去），∴AB＝b﹣a＝2×（3+3）+6＝12+6．故答案為：12+6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割的定義和一元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是能正確表示數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離．22．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD是△ABC的一條角平分線，E為AD中點(diǎn)，連接BE．若BE＝BC，CD＝2，則BD＝．【分析】連接CE，過E作EF⊥BC于F，設(shè)BD＝x，則BC＝x+2，由∠ACB＝90°，E為AD中點(diǎn)，可得CE＝AE＝DE＝AD，有∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，證明△ECD∽△BCE，可得＝，∠CED＝∠CBE，故CE2＝CD?BC＝2（x+2）＝2x+4，再證△ABC∽△BEF，得＝，而AC＝2EF，即得2EF2＝（x+1）（x+2），從而＝（2x+4）﹣12，即可解得答案．【解答】解：連接CE，過E作EF⊥BC于F，如圖：設(shè)BD＝x，則BC＝BD+CD＝x+2，∵∠ACB＝90°，E為AD中點(diǎn)，∴CE＝AE＝DE＝AD，∴∠CAE＝∠ACE，∠ECD＝∠EDC，∴∠CED＝2∠CAD，∵BE＝BC，∴∠ECD＝∠BEC，∴∠BEC＝∠EDC，∵∠ECD＝∠BCE，∴△ECD∽△BCE，∴＝，∠CED＝∠CBE，∴CE2＝CD?BC＝2（x+2）＝2x+4，∵AD平分∠CAB，∴∠CAB＝2∠CAD，∴∠CAB＝∠CED，∴∠CAB＝∠CBE，∵∠ACB＝90°＝∠BFE，∴△ABC∽△BEF，∴＝，∵CE＝DE，EF⊥BC，∴CF＝DF＝CD＝1，∵E為AD中點(diǎn)，∴AC＝2EF，∴＝，∴2EF2＝（x+1）（x+2），∵EF2＝CE2﹣CF2，∴＝（2x+4）﹣12，解得x＝或x＝（小于0，舍去），∴BD＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，涉及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半、等腰三角形的性質(zhì)、三角形的中位線性質(zhì)、三角形的外角性質(zhì)、解一元二次方程等知識(shí)，有一定的難度，熟練掌握三角形相關(guān)知識(shí)是解答的關(guān)鍵．23．（4分）對(duì)任意正整數(shù)n，若n為偶數(shù)則除以2，若n為奇數(shù)則乘3再加1，在這樣一次變化下，我們得到一個(gè)新的自然數(shù)，在1937年LotharCollatz提出了一個(gè)問題：如此反復(fù)這種變換，是否對(duì)于所有的正整數(shù)，最終都能變換到1呢？這就是數(shù)學(xué)中著名的“考拉茲猜想”．如果某個(gè)正整數(shù)通過上述變換能變成1，我們就把第一次變成1時(shí)所經(jīng)過的變換次數(shù)稱為它的路徑長，例如5經(jīng)過5次變成1，則路徑長m＝5．若輸入數(shù)n，變換次數(shù)m，當(dāng)m＝8時(shí)，n的所有可能值有4個(gè)，其中最小值為6．【分析】采取倒推的方法，將可能的運(yùn)算路線都找到即可．【解答】解：由輸出結(jié)果是1，倒推得到1→2→4→8→16→5→10→20→40，1→2→4→8→16→5→10→3→6，1→2→4→8→16→32→64→128→256，1→2→4→8→16→32→64→21→42，∴則x的可能值有4個(gè)，最小值為6，故答案為：4，6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過觀察所給的運(yùn)算，倒推出運(yùn)算過程是解題的關(guān)鍵．二.解答題（共30分）24．（8分）“順峰”在2021年“十一”長假期間，接待游客達(dá)2萬人次，預(yù)計(jì)在2023年“十一”長假期間，接待游客2.88萬人次，在順峰，一家特色小面店希望在“十一”長假期間獲得好的收益，經(jīng)測(cè)算知，該小面成本價(jià)為每碗10元，借鑒以往經(jīng)驗(yàn)，若每碗賣15元，平均每天將銷售120碗，若價(jià)格每提高1元，則平均每天少銷售8碗，每天店面所需其他各種費(fèi)用為168元．（1）求出2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率；（2）為了更好地維護(hù)東至縣形象，物價(jià)局規(guī)定每碗售價(jià)不得超過20元，則當(dāng)每碗售價(jià)定為多少元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤600元？（凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費(fèi)用）【分析】（1）設(shè)2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率為x，利用2023年“十一”長假期間游客人次＝2021年“十一”長假期間游客人次×（1+2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率）2，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）設(shè)每碗售價(jià)定為y元，則平均每天可銷售（240﹣8y）碗，利用凈利潤＝總收入﹣總成本﹣其它各種費(fèi)用，即可得出關(guān)于y的一元二次方程，解之取其符合題意的值即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設(shè)2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率為x，依題意得：2（1+x）2＝2.88，解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合題意，舍去）．答：2021至2023年“十一”長假期間游客人次的年平均增長率為20%．（2）設(shè)每碗售價(jià)定為y元，則平均每天可銷售120﹣8（y﹣15）＝（240﹣8y）碗，依題意得：（240﹣8y）y﹣10（240﹣8y）﹣168＝600，整理得：y2﹣40y+396＝0，解得：y1＝18，y2＝22（不符合題意，舍去）．答：當(dāng)每碗售價(jià)定為18元時(shí)，店家才能實(shí)現(xiàn)每天凈利潤600元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．25．（10分）已知正方形ABCD和一動(dòng)點(diǎn)E，連接CE，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接BE，DF．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)部時(shí)：①依題意補(bǔ)全圖1；②求證：BE＝DF；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在正方形ABCD外部時(shí)，連接AF，取AF中點(diǎn)M，連接AE，DM，用等式表示線段AE與DM的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（1）①按題中要求補(bǔ)全圖形即可；②由旋轉(zhuǎn)得CE＝CF，∠ECF＝90°，由正方形的性質(zhì)得CB＝CD，∠BCD＝90°，則∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，即可根據(jù)全等三角形的判定定理“SAS”證明△BCE≌△DCF，則BE＝DF；（2）先證明△BCE≌△DCF，得BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，再延長DM到點(diǎn)G，使GM＝DM，連接AG，可證明△AGM≌△FDM，得AG＝DF，∠G＝∠MDF，所以BE＝AG，AG∥DF，可推導(dǎo)出∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF﹣90°，而∠ABE＝∠CBE﹣90°，所以∠ABE＝∠DAG，即可證明△ABE≌△DAG，則AE＝DG＝2DM．【解答】解：（1）①如圖1，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接BE，DF.②證明：由旋轉(zhuǎn)得CE＝CF，∠ECF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD，∠BCD＝90°，∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF．（2）AE＝2DM，證明：如圖2，將線段CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段CF，連接BE，DF，取AF中點(diǎn)M，連接AE，DM，由旋轉(zhuǎn)得CE＝CF，∠ECF＝90°，∵四邊形ABCD是正方形，∴CB＝CD＝AB＝DA，∠BCD＝∠ABC＝∠ADC＝90°，∴∠BCE＝∠DCF＝90°﹣∠DCE，在△BCE和△DCF中，，∴△BCE≌△DCF（SAS），∴BE＝DF，∠CBE＝∠CDF，∴∠CBE﹣90°＝∠CDF﹣90°，延長DM到點(diǎn)G，使GM＝DM，連接AG，∵M(jìn)是AF的中點(diǎn)，∴AM＝FM，在△AGM和△FDM中，，∴△AGM≌△FDM（SAS），∴AG＝DF，∠G＝∠MDF，∴BE＝AG，AG∥DF，∴∠DAG＝180°﹣∠ADF＝180°﹣（360°﹣90°﹣∠CDF）＝∠CDF﹣90°，∵∠ABE＝∠CBE﹣90°，∴∠ABE＝∠DAG，在△ABE和△DAG中，，∴△ABE≌△DAG（SAS），∴AE＝DG＝2DM．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線并且適當(dāng)選擇全等三角形的判定定理證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．26．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有如下定義：若圖形W在一個(gè)矩形V的內(nèi)部（包含邊界），當(dāng)矩形V有一條邊平行于坐標(biāo)軸且面積最小時(shí)，則稱矩形V是圖形W的“精致矩形”，如圖1，矩形MNPQ即