內蒙古鄂爾多斯市東勝區(qū)第一中學2023屆九年級上學期期中考試數學試卷(含解析)

東勝一中初三年級2022-2023學年第一學期期中試題（數學）一．選擇題（共13小題）1．在下列四個圖案中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形是（）A． B． C． D．解析：解：A、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，∴此圖形是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此選項正確；B、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，∴此圖形不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此選項錯誤．C、此圖形沿一條直線對折后能夠完全重合，∴此圖形是軸對稱圖形，旋轉180°不能與原圖形重合，不是中心對稱圖形，故此選項錯誤；D、此圖形沿一條直線對折后不能夠完全重合，∴此圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項錯誤．故選：A．2．將拋物線y＝﹣2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度，所得到的拋物線為（）A．y＝﹣2（x+2）2+3 B．y＝﹣2（x﹣2）2+3 C．y＝﹣2（x﹣2）2﹣3 D．y＝﹣2（x+2）2﹣3解析：解：將拋物線y＝﹣2x2向上平移3個單位長度，再向右平移2個單位長度后，得到的拋物線的解析式為y＝﹣2（x﹣2）2+3，故選：B．3．直線y＝x+a不經過第二象限，則關于x的方程ax2+2x+1＝0實數解的個數是（）A．0個 B．1個 C．2個 D．1個或2個解析：解：∵直線y＝x+a不經過第二象限，∴a≤0，當a＝0時，關于x的方程ax2+2x+1＝0是一元一次方程，解為x＝﹣，當a＜0時，關于x的方程ax2+2x+1＝0是一元二次方程，∵Δ＝22﹣4a＞0，∴方程有兩個不相等的實數根．故選：D．4．已知二次函數y＝ax2+bx+c，其函數值y與自變量x之間的部分對應值如表所示：x…01234?y…﹣4﹣10﹣1﹣4?點A（x1，y1），B（x2，y2）在函數的圖象上，當1＜x1＜2，3＜x2＜4時，y1與y2的大小關系正確的是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1?y2 D．y1?y2解析：解：設該二次函數的解析式為y＝ax2+bx+c（a≠0），∵x＝0時y＝﹣4；x＝1時y＝﹣1；x＝2時y＝0，∴，解得，，∴此拋物線的解析式為：y＝x2+4x﹣4，∴拋物線開口向下，對稱軸x＝﹣2，對稱軸越近值越小，∴可知拋物線頂點為（﹣2，8），∵1＜x1＜2，3＜x2＜4，∴y1＜y2．故選：B．5．某超市一月份的營業(yè)額為200萬元，已知第一季度的總營業(yè)額共1000萬元，如果平均每月增長率為x，則由題意列方程應為（）A．200（1+x）2＝1000 B．200+200×2x＝100 C．200+2003x＝1000 D．200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000解析：解：∵該超市一月份的營業(yè)額為200萬元，且平均每月增長率為x，∴該超市二月份的營業(yè)額為200（1+x）萬元，三月份的營業(yè)額為200（1+x）2萬元，又∵第一季度的總營業(yè)額共1000萬元，∴200+200（1+x）+200（1+x）2＝1000，即200[1+（1+x）+（1+x）2]＝1000．故選：D．6．下列命題中，真命題的個數是（）①經過三點一定可以作圓；②平分弦的直徑必定垂直于這條弦；③在同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等；④三角形的外心到三角形三邊的距離相等．A．4個 B．3個 C．2個 D．1個解析：解：①過不在同一直線上的三點一定可以作一個圓，錯誤；②平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，故錯誤，③同圓或等圓中，相等的圓心角所對的弧相等，正確；④三角形的外心到三角形的三個頂點的距離相等，錯誤；真命題有1個，故選：D．7．已知二次函數y＝ax2+2ax+1（其中x是自變量），當x≥1時，y隨x的增大而增大，且﹣3≤x≤2時，y的最大值為9，則a的值為（）A．﹣1 B． C．1 D．﹣8解析：解：∵二次函數y＝ax2+2ax+1＝a（x+1）2﹣a+1（其中x是自變量），∴該函數的對稱軸為直線x＝﹣1，∵當x≥1時，y隨x的增大而增大，∴a＞0，又∵當﹣3≤x≤2時，y的最大值為9，∴x＝2時，y＝9，即9＝a（2+1）2﹣a+1，解得，a＝﹣1，故選：C．8．函數y＝ax2﹣2x+1和y＝ax+a（a是常數，且a≠0）在同一平面直角坐標系中的圖象可能是（）A． B． C． D．解析：解：A、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝ax2﹣2x+1的圖象應該開口向下，故選項錯誤；B、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝ax2﹣2x+1的圖象應該開口向下，故選項錯誤；C、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＞0，此時二次函數y＝ax2﹣2x+1的圖象應該開口向上，對稱軸x＝﹣＞0，故選項正確；D、由一次函數y＝ax+a的圖象可得：a＜0，此時二次函數y＝ax2﹣2x+1的對稱軸x＝﹣＜0，故選項錯誤．故選：C．9．如圖，在⊙O中，AB為直徑，點C為圓上一點，將劣弧AC沿弦AC翻折交AB于點D，連結CD．若點D與圓心O不重合，∠BAC＝24°，則∠DCA的度數為（）A．40° B．41° C．42° D．43°解析：解：如圖，連接BC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC+∠B＝90°，∵∠BAC＝24°，∴∠B＝90°﹣∠BAC＝90°﹣24°＝66°，根據翻折的性質，弧AC所對的圓周角為∠B，所對的圓周角為∠ADC，∴∠ADC+∠B＝180°，∵∠ADC+∠CDB＝180°，∴∠B＝∠CDB＝66°，∴∠DCA＝∠CDB﹣∠BAC＝66°﹣24°＝42°．故選：C．10．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4cm，CD⊥AB，垂足為點D，動點M從點A出發(fā)沿AB方向以cm/s的速度勻速運動到點B，同時動點N從點C出發(fā)沿射線DC方向以1cm/s的速度勻速運動．當點M停止運動時，點N也隨之停止，連接MN．設運動時間為ts，△MND的面積為Scm2，則下列圖象能大致反映S與t之間函數關系的是（）A． B． C． D．解析：解：∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，AB＝4，∴∠B＝60°，BC＝AB＝2，AC＝BC＝6，∵CD⊥AB，∴CD＝AC＝3，AD＝CD＝3，BD＝BC＝，∴當M在AD上時，0≤t≤3，MD＝AD﹣AM＝3﹣t，DN＝DC+CN＝3+t，∴S＝MD?DN＝（3﹣t）（3+t）＝﹣t2+，當M在BD上時，3＜t≤4，MD＝AM﹣AD＝t﹣3，∴S＝MD?DN＝（t﹣3）（3+t）＝t2﹣，故選：B．二．填空題（共6小題）11．已知函數y＝（m+2）-2是關于x的二次函數．滿足條件的m＝﹣3或2．解析：解：由題意得：m2+m﹣4＝2且m+2≠0，∴m＝﹣3或m＝2且m≠﹣2，∴m＝﹣3或2，故答案為：﹣3或2．已知關于x的方程k2x2+2（k﹣1）x+1＝0有兩個實數根，則k的取值范圍是k≤且k≠0解析：解：根據題意得k≠0且Δ＝4（k﹣1）2﹣4k2≥0，解得k≤且k≠0．13．在同一個平面直角坐標系xOy中，二次函數y1＝a1x2，y2＝a2x2，y3＝a3x2的圖象如圖所示，則a1，a2，a3的大小關系為a3＞a2＞a1（用“＞”連接）．解析：解：∵二次函數y1＝a1x2的開口最大，二次函數y3＝a3x2的開口最小，∴a3＞a2＞a1，故答案為：a3＞a2＞a1．14．教練對小明推鉛球的錄像進行技術分析，發(fā)現鉛球行進高度y（m）與水平距離x（m）之間的關系為y＝﹣（x﹣4）2+3，由此可知鉛球推出的距離是10m．解析：解：令函數式y(tǒng)＝﹣（x﹣4）2+3中，y＝0，0＝﹣（x﹣4）2+3，解得x1＝10，x2＝﹣2（舍去），即鉛球推出的距離是10m．故答案為：10．15．如圖，二次函數y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的對稱軸為直線x＝﹣1，下列結論：①abc＜0；②2a﹣b＝0；③3a＜﹣c；④若m為任意實數，則有a﹣bm≤am2+b；⑤若圖象經過點（﹣3，﹣2），方程ax2+bx+c+2＝0的兩根為x1，x2（|x1|＜|x2|），則2x1﹣x2＝5．其中結論正確的是②③⑤解析：解：∵拋物線開口向下，∴a＜0，∵拋物線對稱軸在y軸左側，∴b＜0，∵拋物線與x軸交點在y軸上方，∴c＞0，∴abc＞0，①錯誤．∵﹣＝﹣1，∴b＝2a，∴2a﹣b＝0，②正確．由圖象可得x＝1時，y＜0，∴a+b+c＜0，∴3a+c＜0，∴3a＜﹣c，③正確．∵拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣1，∴當x＝﹣1時，y取最大值，∴a﹣b+c≥am2+bm+c，∴a﹣bm≥am2+b，④錯誤．若圖象經過點（﹣3，﹣2），由拋物線對稱性可得圖象經過（1，﹣2），∵|x1|＜|x2|，∴x1＝1，x2＝﹣3為方程ax2+bx+c+2＝0的兩根，∴2x1﹣x2＝﹣5，⑤正確．16．如圖，正方形ABCD的中心與坐標原點O重合，將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……依此類推，則點D2022的坐標是（﹣2023，2022）．解析：解：∵將頂點D（1，0）繞點A（0，1）逆時針旋轉90°得點D1，∴D1（1，2），∵再將D1繞點B逆時針旋轉90°得點D2，再將D2繞點C逆時針旋轉90°得點D3，再將D3繞點D逆時針旋轉90°得點D4，再將D4繞點A逆時針旋轉90°得點D5……∴D2（﹣3，2），D3（﹣3，﹣4），D4（5，﹣4），D5（5，6），D6（﹣7，6），……，觀察發(fā)現：每四個點一個循環(huán)，D4n+2（﹣4n﹣3，4n+2），∵2022＝4×505+2，∴D2022（﹣2023，2022）；故答案為：（﹣2023，2022）．三．解答題（共9小題）17．解下列方程．（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2）；（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0．解析：解：（Ⅰ）x（3x+2）＝6（3x+2），x（3x+2）﹣6（3x+2）＝0，（3x+2）（x﹣6）＝0，3x+2＝0或x﹣6＝0，所以x1＝﹣，x2＝6；（Ⅱ）3x2﹣2x﹣4＝0，∵Δ＝（﹣2）2﹣4×3×（﹣4）＝4+48＝52，∴x＝＝＝，∴x1＝，x2＝．18．已知關于x的一元二次方程x2﹣（m+3）x+3m＝0．（1）若x＝1是這個方程的一個根，求m的值和它的另一根；（2）求證：無論m取任何實數，方程總有實數根；解析：（1）解：將x＝1代入原方程得：1﹣（m+3）+3m＝0，解得：m＝1，∴方程的另一根為3m÷1＝3m．∴m的值為1，方程的另一根為3．（2）證明：Δ＝[﹣（m+3）]2﹣4×1×3m＝m2﹣6m+9＝（m﹣3）2．∵（m﹣3）2≥0，即Δ≥0，∴無論m取任何實數，方程總有實數根；19．如圖，方格紙中每個小正方形的邊長都是1個單位長度，Rt△ABC的三個頂點A（﹣2，2），B（0，5），C（0，2）．（1）將△ABC以點C為旋轉中心順時針旋轉90°，得到△A1B1C，請畫出△A1B1C的圖形．（2）平移△A1B1C，使點A1的對應點A2坐標為（2，0），請畫出平移后對應的△A2B2C2的圖形．（3）若將△ABC繞某一點旋轉可得到△A2B2C2，請直接寫出旋轉中心的坐標．解析：解：（1）如圖，△A1B1C即為所求．（2）如圖，△A2B2C2即為所求．（3）如圖，點（﹣1，﹣1）即為所求．20．某商品現在的售價為每件60元，每星期可賣出300件，市場調查反映：如調整價格，每漲價1元，每星期要少賣出10件；每降價1元，每星期可多賣出20件，已知商品的進價為每件40元，如何定價才能使利潤最大．解析：解：設漲價x元，利潤為y，則y＝（60﹣40+x）（300﹣10x）＝﹣10x2+100x+6000＝﹣10（x﹣5）2+6250因此當x＝5時，y有最大值6250．60+5＝65元每件定價為65元時利潤最大．設每件降價a元，總利潤為w，則w＝（60﹣40﹣a）（300+20a）＝﹣20a2+100a+6000＝﹣20（a﹣2.5）2+6125因此當a＝2.5時，w有最大值6125．每件定價為57.5元時利潤最大．綜上所知每件定價為65元時利潤最大．21．為促進經濟發(fā)展，方便居民出行．某施工隊要修建一個橫斷面為拋物線的公路隧道．拋物線的最高點P離路面OM的距離為6m，寬度OM為12m．（1）按如圖所示的平面直角坐標系，求表示該拋物線的函數表達式；（2）一貨運汽車裝載某大型設備后高為4m，寬為3.5m．如果該隧道內設雙向行車道（正中間是一條寬1m的隔離帶），那么這輛貨車能否安全通過？（3）施工隊計劃在隧道口搭建一個矩形“腳手架”ABCD，使A，D點在拋物線上．B，C點在地面OM線上（如圖2所示）．為了籌備材料，需求出“腳手架”三根支桿AB，AD，DC的長度之和的最大值是多少？請你幫施工隊計算一下．解析：解：（1）根據題意，頂點P的坐標為（6，6），設拋物線的解析式為y＝a（x﹣6）2+6，把點O（0，0）代入得：36a+6＝0，解得：，即所求拋物線的解析式為：（0≤x≤12）；（2）根據題意，當x＝6﹣0.5﹣3.5＝2時（或者當x＝6+0.5+3.5＝10）時，，∴這輛貨車不能安全通過；（3）設A點的坐標為，則OB＝m，，根據拋物線的對稱性可得CM＝OB＝m，∴BC＝12﹣2m，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝12﹣2m，，∴三根支桿AB，AD，DC的長度之和：＝，∴當m＝3，即OB＝3米時，三根支桿AB，AD，DC的長度之和的最大值為15．22．已知⊙O的直徑為10，點A、點B、點C在⊙O上，∠CAB的平分線交⊙O于點D．（1）如圖①，若BC為⊙O的直徑，AB＝6，求AC、BD、CD的長；（2）如圖②，若∠CAB＝60°，求BD的長．解析：解：（1）如圖①，∵BC是⊙O的直徑，∴∠CAB＝∠BDC＝90°．∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6，∴由勾股定理得到：AC＝＝＝8．∵AD平分∠CAB，∴＝，∴CD＝BD．在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2，∴易求BD＝CD＝5；（2）如圖②，連接OB，OD，∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°，∴∠DAB＝∠CAB＝30°，∴∠DOB＝2∠DAB＝60°．又∵OB＝OD，∴△OBD是等邊三角形，∴BD＝OB＝OD．∵⊙O的直徑為10，則OB＝5，∴BD＝5．23．（原題初探）（1）小明在數學作業(yè)本中看到有這樣一道作業(yè)題：如圖1，P是正方形ABCD內一點，連結PA，PB，PC現將△PAB繞點B順時針旋轉90°得到的△P′CB，連接PP′．若PA＝，PB＝3，∠APB＝135°，則PC的長為2，正方形ABCD的邊長為．（變式猜想）（2）如圖2，若點P是等邊△ABC內的一點，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，請猜想∠APB的度數，并說明理由．（拓展應用）（3）聰明的小明經過上述兩小題的訓練后，善于反思的他又提出了如下的問題：如圖3，在四邊形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，則BD的長度為．解析：解：（1）∵△PAB繞點B順時針旋轉90°得到的△P′CB，∴BP＝BP′＝3，P′C＝PA＝，∠PBP′＝90°，∠BP′C＝∠APB＝135°，∴△BPP′為等腰直角三角形，∴∠BP′P＝45°，PP′＝PB＝3，∴∠PP′C＝135°﹣45°＝90°，在Rt△PP′C中，由勾股定理得：PC＝＝＝2，過點A作AE⊥BP交BP的延長線于E，如圖1所示：∵∠APB＝135°，∴∠APE＝180°﹣135°＝45°，∴△AEP是等腰直角三角形，∴AE＝PE＝PA＝×＝1，∴BE＝PB+PE＝3+1＝4，在Rt△AEB中，由勾股定理得：AB＝＝＝，故答案為：2，；（2）∠APB的度數為150°，理由如下：∵△ABC是等邊三角形，∴AB＝BC，∠ABC＝60°，將△BPC繞點B逆時針旋轉60°，得到△BP′A，連接PP′，如圖2所示：則△BPP′是等邊三角形，∴PP′＝BP＝4，∠BPP′＝60°，∵AP＝3，AP′＝PC＝5，∴P'P2+AP2＝AP'2，∴△APP′為直角三角形，∴∠APP′＝90°，∴∠APB＝∠APP′+∠BPP′＝90°+60°＝150°；（3）∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∴△BAC是等腰直角三角形，∴∠BAC＝90°，AB＝AC，將△ABD繞點A順時針旋轉90°，得到△ACK，連接DK，如圖3所示：由旋轉的性質得：AK＝AD＝3，CK＝BD，∠KAD＝90°，∴△DAK是等腰直角三角形，∴DK＝AD＝3，∠ADK＝45°，∴∠CDK＝∠ADC+∠ADK＝45°+45°＝90°，∴△CDK是直角三角形，∴CK＝＝＝，∴BD＝，故答案為：．24．如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣4與x軸交于A（﹣4，0）、B（3，0）兩點，與y軸交于點C．（1）求拋物線的函數關系式；（2）點P是拋物上第三象限內的一動點，當點P運動到什么位置時，四邊形ABCP的面積最大？求出此時點P的