2023-2024學年湖北省黃岡市重點中學高三春季診斷性測試數(shù)學試題_第1頁
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文檔簡介

2022-2023學年湖北省黃岡市重點中學高三春季診斷性測試數(shù)學試題考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.我國古代典籍《周易》用“卦”描述萬物的變化.每一“重卦”由從下到上排列的6個爻組成,爻分為陽爻“——”和陰爻“——”.如圖就是一重卦.在所有重卦中隨機取一重卦,則該重卦至少有2個陽爻的概率是()A. B. C. D.2.已知集合,則()A. B.C. D.3.已知集合,,若AB,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.4.復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限5.已知命題:使成立.則為()A.均成立 B.均成立C.使成立 D.使成立6.已知復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,且z1是實數(shù),則實數(shù)a等于()A. B. C.- D.-7.已知函數(shù),則()A.1 B.2 C.3 D.48.已知函數(shù),則函數(shù)的零點所在區(qū)間為()A. B. C. D.9.的展開式中的系數(shù)為()A.-30 B.-40 C.40 D.5010.在直角坐標平面上,點的坐標滿足方程,點的坐標滿足方程則的取值范圍是()A. B. C. D.11.已知半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱,若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為()A. B. C. D.12.命題:的否定為A. B.C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù),則的值為__________.14.設(shè)變量,,滿足約束條件,則目標函數(shù)的最小值是______.15.小李參加有關(guān)“學習強國”的答題活動,要從4道題中隨機抽取2道作答,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的概率為_____.16.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解,則實數(shù)的取值范圍是________三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當時,不等式恒成立,求的最小值;(2)設(shè)數(shù)列,其前項和為,證明:.18.(12分)追求人類與生存環(huán)境的和諧發(fā)展是中國特色社會主義生態(tài)文明的價值取向.為了改善空氣質(zhì)量,某城市環(huán)保局隨機抽取了一年內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的檢測數(shù)據(jù),結(jié)果統(tǒng)計如表:AQI空氣質(zhì)量優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染重度污染天數(shù)61418272510(1)從空氣質(zhì)量指數(shù)屬于[0,50],(50,100]的天數(shù)中任取3天,求這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率;(2)已知某企業(yè)每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失y(單位:元)與空氣質(zhì)量指數(shù)x的關(guān)系式為,假設(shè)該企業(yè)所在地7月與8月每天空氣質(zhì)量為優(yōu)、良、輕度污染、中度污染、重度污染、嚴重污染的概率分別為.9月每天的空氣質(zhì)量對應(yīng)的概率以表中100天的空氣質(zhì)量的頻率代替.(i)記該企業(yè)9月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為X元,求X的分布列;(ii)試問該企業(yè)7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望是否會超過2.88萬元?說明你的理由.19.(12分)己知點,分別是橢圓的上頂點和左焦點,若與圓相切于點,且點是線段靠近點的三等分點.求橢圓的標準方程;直線與橢圓只有一個公共點,且點在第二象限,過坐標原點且與垂直的直線與圓相交于,兩點,求面積的取值范圍.20.(12分)在平面直角坐標系中,曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)),以原點為極點,軸的非負半軸為極軸,建立極坐標系,曲線的極坐標方程為.(1)求曲線的極坐標方程以及曲線的直角坐標方程;(2)若直線與曲線、曲線在第一象限交于兩點,且,點的坐標為,求的面積.21.(12分)已知函數(shù),函數(shù),其中,是的一個極值點,且.(1)討論的單調(diào)性(2)求實數(shù)和a的值(3)證明22.(10分)2018年反映社會現(xiàn)實的電影《我不是藥神》引起了很大的轟動,治療特種病的創(chuàng)新藥研發(fā)成了當務(wù)之急.為此,某藥企加大了研發(fā)投入,市場上治療一類慢性病的特效藥品的研發(fā)費用(百萬元)和銷量(萬盒)的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下:研發(fā)費用(百萬元)2361013151821銷量(萬盒)1122.53.53.54.56(1)求與的相關(guān)系數(shù)精確到0.01,并判斷與的關(guān)系是否可用線性回歸方程模型擬合?(規(guī)定:時,可用線性回歸方程模型擬合);(2)該藥企準備生產(chǎn)藥品的三類不同的劑型,,,并對其進行兩次檢測,當?shù)谝淮螜z測合格后,才能進行第二次檢測.第一次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,,第二次檢測時,三類劑型,,合格的概率分別為,,.兩次檢測過程相互獨立,設(shè)經(jīng)過兩次檢測后,,三類劑型合格的種類數(shù)為,求的數(shù)學期望.附:(1)相關(guān)系數(shù)(2),,,.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.C【解析】

利用組合的方法求所求的事件的對立事件,即該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻的概率,再根據(jù)兩對立事件的概率和為1求解即可.【詳解】設(shè)“該重卦至少有2個陽爻”為事件.所有“重卦”共有種;“該重卦至少有2個陽爻”的對立事件是“該重卦沒有陽爻或只有1個陽爻”,其中,沒有陽爻(即6個全部是陰爻)的情況有1種,只有1個陽爻的情況有種,故,所以該重卦至少有2個陽爻的概率是.故選:C【點睛】本題主要考查了對立事件概率和為1的方法求解事件概率的方法.屬于基礎(chǔ)題.2.C【解析】

由題意和交集的運算直接求出.【詳解】∵集合,∴.故選:C.【點睛】本題考查了集合的交集運算.集合進行交并補運算時,常借助數(shù)軸求解.注意端點處是實心圓還是空心圓.3.D【解析】

先化簡,再根據(jù),且AB求解.【詳解】因為,又因為,且AB,所以.故選:D【點睛】本題主要考查集合的基本運算,還考查了運算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.4.B【解析】

利用復數(shù)的四則運算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為:,位于第二象限.故選:B.【點睛】本題考查了復數(shù)的四則運算以及復數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.5.A【解析】試題分析:原命題為特稱命題,故其否定為全稱命題,即.考點:全稱命題.6.A【解析】分析:計算,由z1,是實數(shù)得,從而得解.詳解:復數(shù)z1=3+4i,z2=a+i,.所以z1,是實數(shù),所以,即.故選A.點睛:本題主要考查了復數(shù)共軛的概念,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】

結(jié)合分段函數(shù)的解析式,先求出,進而可求出.【詳解】由題意可得,則.故選:C.【點睛】本題考查了求函數(shù)的值,考查了分段函數(shù)的性質(zhì),考查運算求解能力,屬于基礎(chǔ)題.8.A【解析】

首先求得時,的取值范圍.然后求得時,的單調(diào)性和零點,令,根據(jù)“時,的取值范圍”得到,利用零點存在性定理,求得函數(shù)的零點所在區(qū)間.【詳解】當時,.當時,為增函數(shù),且,則是唯一零點.由于“當時,.”,所以令,得,因為,,所以函數(shù)的零點所在區(qū)間為.故選:A【點睛】本小題主要考查分段函數(shù)的性質(zhì),考查符合函數(shù)零點,考查零點存在性定理,考查函數(shù)的單調(diào)性,考查化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法,屬于中檔題.9.C【解析】

先寫出的通項公式,再根據(jù)的產(chǎn)生過程,即可求得.【詳解】對二項式,其通項公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令,可得的系數(shù)為;令,可得的系數(shù)為;故的展開式中的系數(shù)為.故選:C.【點睛】本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解,關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用,屬基礎(chǔ)題.10.B【解析】

由點的坐標滿足方程,可得在圓上,由坐標滿足方程,可得在圓上,則求出兩圓內(nèi)公切線的斜率,利用數(shù)形結(jié)合可得結(jié)果.【詳解】點的坐標滿足方程,在圓上,在坐標滿足方程,在圓上,則作出兩圓的圖象如圖,設(shè)兩圓內(nèi)公切線為與,由圖可知,設(shè)兩圓內(nèi)公切線方程為,則,圓心在內(nèi)公切線兩側(cè),,可得,,化為,,即,,的取值范圍,故選B.【點睛】本題主要考查直線的斜率、直線與圓的位置關(guān)系以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用,屬于綜合題.數(shù)形結(jié)合是根據(jù)數(shù)量與圖形之間的對應(yīng)關(guān)系,通過數(shù)與形的相互轉(zhuǎn)化來解決數(shù)學問題的一種重要思想方法,尤其在解決選擇題、填空題時發(fā)揮著奇特功效,大大提高了解題能力與速度.運用這種方法的關(guān)鍵是運用這種方法的關(guān)鍵是正確作出曲線圖象,充分利用數(shù)形結(jié)合的思想方法能夠使問題化難為簡,并迎刃而解.11.D【解析】

分別求出球和圓柱的體積,然后可得比值.【詳解】設(shè)圓柱的底面圓半徑為,則,所以圓柱的體積.又球的體積,所以球的體積與圓柱的體積的比,故選D.【點睛】本題主要考查幾何體的體積求解,側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).12.C【解析】

命題為全稱命題,它的否定為特稱命題,將全稱量詞改為存在量詞,并將結(jié)論否定,可知命題的否定為,故選C.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

先利用輔助角公式將轉(zhuǎn)化成,根據(jù)函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)得出,從而得出函數(shù)解析式,最后求出即可.【詳解】解:,又因為定義在上的奇函數(shù),則,則,又因為,所以,,所以.故答案為:【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡,三角函數(shù)的奇偶性和三角函數(shù)求值,考查了基本知識的應(yīng)用能力和計算能力,是基礎(chǔ)題.14.7【解析】作出不等式組表示的平面區(qū)域,得到如圖的△ABC及其內(nèi)部,其中A(2,1),B(1,2),C(4,5)設(shè)z=F(x,y)=2x+3y,將直線l:z=2x+3y進行平移,當l經(jīng)過點A時,目標函數(shù)z達到最小值∴z最小值=F(2,1)=715.【解析】

從四道題中隨機抽取兩道共6種情況,抽到的兩道全都會的情況有3種,即可得到概率.【詳解】由題:從從4道題中隨機抽取2道作答,共有種,小李會其中的三道題,則抽到的2道題小李都會的情況共有種,所以其概率為.故答案為:【點睛】此題考查根據(jù)古典概型求概率,關(guān)鍵在于根據(jù)題意準確求出基本事件的總數(shù)和某一事件包含的基本事件個數(shù).16.【解析】

先換元,令,將原方程轉(zhuǎn)化為,利用參變分離法轉(zhuǎn)化為研究兩函數(shù)的圖像交點,觀察圖像,即可求出.【詳解】因為關(guān)于的方程在區(qū)間上恰有兩個解,令,所以方程在上只有一解,即有,直線與在的圖像有一個交點,由圖可知,實數(shù)的取值范圍是,但是當時,還有一個根,所以此時共有3個根.綜上實數(shù)的取值范圍是.【點睛】本題主要考查學生運用轉(zhuǎn)化與化歸思想的能力,方程有解問題轉(zhuǎn)化成兩函數(shù)的圖像有交點問題,是常見的轉(zhuǎn)化方式.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)證明見解析.【解析】

(1),分,,三種情況推理即可;(2)由(1)可得,即,利用累加法即可得到證明.【詳解】(1)由,得.當時,方程的,因此在區(qū)間上恒為負數(shù).所以時,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立;當時,方程有兩個不等實根,且滿足,所以函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上大于零,函數(shù)在區(qū)間上單增,又,所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零,不滿足題意;當時,在區(qū)間上,函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù),所以在區(qū)間上恒為正數(shù),不滿足題意;綜上可知:若時,不等式恒成立,的最小值為.(2)由第(1)知:若時,.若,則,即成立.將換成,得成立,即,以此類推,得,,上述各式相加,得,又,所以.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)恒成立問題、證明數(shù)列不等式問題,考查學生的邏輯推理能力以及數(shù)學計算能力,是一道難題.18.(1);(2)(i)詳見解析;(ii)會超過;詳見解析【解析】

(1)利用組合進行計算以及概率表示,可得結(jié)果.(2)(i)寫出X所有可能取值,并計算相對應(yīng)的概率,列出表格可得結(jié)果.(ii)由(i)的條件結(jié)合7月與8月空氣質(zhì)量所對應(yīng)的概率,可得7月與8月經(jīng)濟損失的期望和,最后7月、8月、9月經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望與2.88萬元比較,可得結(jié)果.【詳解】(1)設(shè)ξ為選取的3天中空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù),則P(ξ=2),P(ξ=3),則這3天中空氣質(zhì)量至少有2天為優(yōu)的概率為;(2)(i),,,X的分布列如下:X02201480P(ii)由(i)可得:E(X)=02201480302(元),故該企業(yè)9月的經(jīng)濟損失的數(shù)學期望為30E(X),即30E(X)=9060元,設(shè)7月、8月每天因空氣質(zhì)量造成的經(jīng)濟損失為Y元,可得:,,,E(Y)=02201480320(元),所以該企業(yè)7月、8月這兩個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望為320×(31+31)=19840(元),由19840+9060=28900>28800,即7月、8月、9月這三個月因空氣質(zhì)量造成經(jīng)濟損失總額的數(shù)學期望會超過2.88萬元.【點睛】本題考查概率中的分布列以及數(shù)學期望,屬基礎(chǔ)題。19.;.【解析】

連接,由三角形相似得,,進而得出,,寫出橢圓的標準方程;由得,,因為直線與橢圓相切于點,,解得,,因為點在第二象限,所以,,所以,設(shè)直線與垂直交于點,則是點到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,求出面積的取值范圍.【詳解】解:連接,由可得,,,橢圓的標準方程;由得,,因為直線與橢圓相切于點,所以,即,解得,,即點的坐標為,因為點在第二象限,所以,,所以,所以點的坐標為,設(shè)直線與垂直交于點,則是點到直線的距離,設(shè)直線的方程為,則,當且僅當,即時,有最大值,所以,即面積的取值范圍為.【點睛】本題考查直線和橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用,利用基本不等式,屬于難題.20.(1)的極坐標方程為,的直角坐標方程為(2)【解析】

(1)先把曲線的參數(shù)方程消參后,轉(zhuǎn)化為普通方程,再利用求得極坐標方程.將,化為,再利用求得曲線的普通方程.(2)設(shè)直線的極角,代入,得,將代入,得,由,得,即,從而求得,,從而求得,再利用求解.【詳解】(1)依題意,曲線,即,故,即.因為,故,即,即.(2)將代入,得,將代入,得,由,得,得,解得,則.又,故,故的面積.【點睛】本題考查極坐標方程與直角坐標方程、參數(shù)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、極坐標的幾何意義,還考查推理論證能力以及數(shù)形結(jié)合思想,屬于中檔題.21.(1)在區(qū)間單調(diào)遞增;(2);(3)證明見解析.【解析】

(1)求出,在定義域內(nèi),再次求導,可得在區(qū)間上恒成立,從而可得結(jié)論;(2)由,可得,由可得,聯(lián)立解方程組可得結(jié)果;(3)由(1)知在區(qū)間單調(diào)遞增,可證明,取,可得,而,利用裂項相消

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