2023-2024學(xué)年北京八中高一（上）期中數(shù)學(xué)試卷和答案

高中PAGE1高中2023北京八中高一（上）期中數(shù)學(xué)年級：高一科目：數(shù)學(xué)考試時(shí)間120分鐘.滿分150分一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.已知U＝R，A＝{x|x2－4x＋3≤0}，B＝{x||x－3|＞1}，則A∪＝（）A.{x|1≤x≤4} B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x＜2} D.{x|2＜x≤3}2.設(shè)是定義域?yàn)镽的函數(shù)，且“，”為假命題，則下列命題為真的是（）A.， B.，C.， D.，3.若函數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.14.已知都是實(shí)數(shù)，那么“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件5.“”是“”的（）A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知函數(shù)是奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則A. B.C. D.7.要制作一個(gè)容積為4m3，高為1m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價(jià)是每平方米20元，側(cè)面造價(jià)是每平方米10元，則該容器的最低總造價(jià)是()A.80元 B.120元C.160元 D.240元8.已知函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，則等于（）A. B. C. D.或9.函數(shù)的圖象大致為（）A. B.C. D.10.我們把定義域?yàn)榍彝瑫r(shí)滿足以下兩個(gè)條件的函數(shù)稱為“函數(shù)”：①對任意的，總有；②若，，則有成立，給出下列四個(gè)結(jié)論：（1）若為“函數(shù)”，則；（2）若為“函數(shù)”，則在上為增函數(shù)；（3）函數(shù)在上是“函數(shù)”（為有理數(shù)集）；（4）函數(shù)在上是“函數(shù)”；其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.11.函數(shù)的定義域?yàn)開_____．12.函數(shù)的最小值等于____________.13.已知函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.14.已知函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_______________．15.定義在區(qū)間上的函數(shù)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，給出下列四個(gè)結(jié)論：①若為遞增數(shù)列，則存在最大值；②若為遞增數(shù)列，則存在最小值；③若，且存在最小值，則存在最小值；④若，且存在最大值，則存在最大值.其中所有錯(cuò)誤結(jié)論的序號有_______．三、解答題，共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.已知集合，,全集.（1）當(dāng)時(shí),求;（2）若,求實(shí)數(shù)的取值范圍.17.自2020新冠疫情爆發(fā)以來，直播電商迅猛發(fā)展，以信息流為代表的各大社交平臺也相繼入場，平臺用短視頻和直播的形式，激發(fā)起用戶情感與場景的共鳴，讓用戶在大腦中不知不覺間自我說服，然后引起消費(fèi)行動(dòng).某廠家往年不與直播平臺合作時(shí)，每年都舉行多次大型線下促銷活動(dòng)，經(jīng)測算，只進(jìn)行線下促銷活動(dòng)時(shí)總促銷費(fèi)用為24萬元.為響應(yīng)當(dāng)?shù)卣酪哒?，決定采用線上（直播促銷）線下同時(shí)進(jìn)行的促銷模式，與某直播平臺達(dá)成一個(gè)為期4年的合作協(xié)議，直播費(fèi)用（單位：萬元）只與4年的總直播時(shí)長x（單位：小時(shí)）成正比，比例系數(shù)為0.12.已知與直播平臺合作后該廠家每年所需的線下促銷費(fèi)C（單位：萬元）與總直播時(shí)長x（單位：小時(shí)）之間的關(guān)系為（，k為常數(shù)）.記該廠家線上促銷費(fèi)用與4年線下促銷費(fèi)用之和為y（單位：萬元）.（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；（2）該廠家直播時(shí)長x為多少時(shí)，可使y最??？并求出y的最小值.18.已知函數(shù).（1）若不等式的解集為，求的取值范圍；（2）解關(guān)于的不等式；19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且．（1）確定函數(shù)的解析式；（2）用定義證明在上是增函數(shù)；（3）解不等式：．20.已知函數(shù)f（x）=x2-2ax+5．（1）若f（x）的定義域和值域均是[1，a]，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若a≤1，求函數(shù)y=|f（x）|在[0，1]上的最大值．21.設(shè)函數(shù)其中P，M是非空數(shù)集．記f(P）＝{y|y＝f(x)，x∈P}，f(M)＝{y|y＝f(x)，x∈M}．（Ⅰ）若P＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，求f(P)∪f(M)；（Ⅱ）若P∩M＝?，且f(x)是定義在R上的增函數(shù)，求集合P，M；（Ⅲ）判斷命題“若P∪M≠R，則f(P)∪f(M)≠R”的真假，并加以證明．

參考答案一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分.在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).1.【答案】A【分析】先化簡集合A，B，再利用集合的補(bǔ)集和并集運(yùn)算求解.【詳解】解：因?yàn)?，或，所以，，故選：A．2.【答案】C【分析】根據(jù)含有一個(gè)量詞的命題的真假關(guān)系即可求解.【詳解】因?yàn)槊}“”為假命題，所以命題“”為真命題，故選：.3.【答案】B【分析】利用換元法可得函數(shù)，代入即可得解.【詳解】令，則，，所以，即，所以.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了換元法求函數(shù)解析式的應(yīng)用，考查了函數(shù)值的求解，屬于基礎(chǔ)題.4.【答案】A【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由，因?yàn)?，可得，所以，所以成立，即充分性成立；反之：例如：?dāng)時(shí)，滿足，此時(shí)，即必要性不成立，所以是的充分不必要條件.故選：A.5.【答案】D【分析】根據(jù)絕對值的定義和分式不等式的解法，求得不等式的解集，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.【詳解】由不等式，可得，解得，又由，可得，解得，兩個(gè)不等式的解集沒有包含關(guān)系，所以是的既不充分也不必要條件.故選：D.6.【答案】D【分析】先求，再利用奇函數(shù)的性質(zhì)，求值.【詳解】是奇函數(shù)，滿足，即.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查利用奇偶性求函數(shù)值，重點(diǎn)考查函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，屬于簡單題型.7.【答案】C【詳解】設(shè)長方體底面邊長分別為，則，所以容器總造價(jià)為，由基本不等式得，，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)酌鏋檫呴L為的正方形時(shí)，總造價(jià)最低，選C.考點(diǎn)：函數(shù)的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用.8.【答案】C【分析】求得函數(shù)的對稱軸，對分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由函數(shù)，對稱軸的方程為，當(dāng)時(shí)，則時(shí)，函數(shù)取得最大值，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，可函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，最大值為，解得或（舍去）.故選：C.9.【答案】A【分析】由題意首先確定函數(shù)的奇偶性，然后考查函數(shù)在特殊點(diǎn)的函數(shù)值排除錯(cuò)誤選項(xiàng)即可確定函數(shù)的圖象.【詳解】由函數(shù)的解析式可得：，則函數(shù)為奇函數(shù)，其圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，選項(xiàng)CD錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，選項(xiàng)B錯(cuò)誤.故選：A.【點(diǎn)睛】函數(shù)圖象的識辨可從以下方面入手：(1)從函數(shù)的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數(shù)的值域，判斷圖象的上下位置．(2)從函數(shù)的單調(diào)性，判斷圖象的變化趨勢．(3)從函數(shù)的奇偶性，判斷圖象的對稱性．(4)從函數(shù)的特征點(diǎn)，排除不合要求的圖象．利用上述方法排除、篩選選項(xiàng)．10.【答案】B【分析】利用“函數(shù)”的定義依次判斷即可，必須同時(shí)滿足“函數(shù)”的兩個(gè)條件，才是“函數(shù)”.【詳解】解：對（1），由①得，在②中令，即，解得：，，故（1）正確；對（2），當(dāng)時(shí)，滿足①②，但在不是增函數(shù)，故（2）錯(cuò)誤；對（3），當(dāng)，都為正無理數(shù)時(shí)，不滿足②，故（3）錯(cuò)誤；對（4），，當(dāng)時(shí)，，即滿足條件①，，即滿足條件②，函數(shù)在上是“函數(shù)”，故（4）正確.故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵是理解“函數(shù)”的定義，必須同時(shí)滿足“函數(shù)”的兩個(gè)條件，才是“函數(shù)”.二、填空題，共5小題，每小題5分，共25分.11.【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式，列不等式求函數(shù)的定義域.【詳解】函數(shù)的定義域需滿足，解得：且，所以函數(shù)的定義域是.故答案為：12.【答案】【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，所以函數(shù)的最小值是.故答案為：13.【答案】【分析】先根據(jù)奇偶性求函數(shù)解析式，進(jìn)而結(jié)合圖象即可求解.【詳解】）設(shè)，則，則，因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以，所以，作出的圖象如圖：因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上具有單調(diào)性，由圖可得或，解得或，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.14.【答案】【分析】分，和三種情況，再根據(jù)一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質(zhì)分析值域即可【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)，分三種情況討論：①若，，其值域?yàn)椋环项}意；②若，當(dāng)時(shí)，，有最大值；當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則必有，即，不符合題意；③若，當(dāng)時(shí)，，有最小值；當(dāng)時(shí)，，若函數(shù)的值域?yàn)镽，則必有，即，故有，即的范圍為故答案為：【點(diǎn)睛】對于題中包含參數(shù)的一二次函數(shù)，求解關(guān)于值域的問題，需要分類討論，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性、二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)進(jìn)行討論，屬于中檔題15.【答案】①③④【分析】結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性判斷最值，即可判斷①②，利用取反例，判斷③④.【詳解】①由條件可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，那么在區(qū)間，函數(shù)的最大值是，若數(shù)列為遞增數(shù)列，則函數(shù)不存在最大值，故①錯(cuò)誤；②由條件可知，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，若為遞增數(shù)列，那么在區(qū)間的最小值是，且為遞增數(shù)列，所以函數(shù)在區(qū)間的最小值是，故②正確；③若，取,,則，存在最小值，但此時(shí)的最小值是的最小值，函數(shù)單調(diào)遞減，無最小值，故③錯(cuò)誤；④若，取，則恒成立，則有最大值，但的最大值是的最大值，函數(shù)單調(diào)遞增，無最大值，故④錯(cuò)誤.故答案為：①③④三、解答題，共6小題，共85分.解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程.16.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）先解不等式得B，再利用補(bǔ)集、交集的定義求解作答.（2）利用給定條件可得，再利用集合的包含關(guān)系求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】依題意，，則，當(dāng)時(shí)，，所以【小問2詳解】因，則有，由（1）知，，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.17.【答案】（1）（2）線上直播x=150小時(shí)可使y最小為42萬元【分析】（1）通過求出系數(shù)，即可得結(jié)果；（2）直接根據(jù)基本不等式即可得結(jié)果【小問1詳解】由題得，當(dāng)時(shí)，，則，故該廠家4年促銷費(fèi)用與線上直播費(fèi)用之和為【小問2詳解】由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號成立，即線上直播150小時(shí)可使y最小為42萬元.18.【答案】（1）（2）答案詳見解析【分析】（1）對進(jìn)行分類討論，根據(jù)一元二次不等式恒成立列不等式來求得的取值范圍.（2）化簡，對進(jìn)行分類討論，根據(jù)一元二次不等式的知識求得正確答案.【小問1詳解】的解集為，即在上恒成立，當(dāng)時(shí)，不恒成立，當(dāng)時(shí)，需滿足且一元二次方程無實(shí)根，則有，即，解得.綜上，的取值范圍為.【小問2詳解】，即，即，①當(dāng)時(shí)，解集為；②當(dāng)時(shí)，，，解集為；③當(dāng)時(shí)，，，解集為.19.【答案】（1）（2）證明見解析（3）【分析】（1）由解出，可確定函數(shù)的解析式；（2）用定義證明函數(shù)的單調(diào)性；（3）利用奇偶性和單調(diào)性解不等式.【小問1詳解】由題意，得，∴（經(jīng)檢驗(yàn)符合題意），故．【小問2詳解】證明任取，且，則．∵，∴，，．又，∴．∴，即，∴在上是增函數(shù)．【小問3詳解】由（2）知在上是增函數(shù)，又在上為奇函數(shù)，，∴，∴，解得．∴不等式的解集為．20.【答案】(1)a=2．(2)ymax=．【分析】（1）利用二次函數(shù)的圖象，求出二次函數(shù)的最值，列出不等式組，即可解出a的值．（2）對對稱軸的位置分類討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象，求出函數(shù)的最大值．【詳解】（1）函數(shù)f（x）=x2-2ax+5=（x-a）2+5-a2，且a＞1，∴f（x）在[1，a]上是減函數(shù)，又定義域和值域均是[1，a]，∴，即，解得a=2．（2）①當(dāng)a≤0時(shí)，函數(shù)y=|f（x）|在[0，1]上單調(diào)遞增，故ymax=f（1）=6-2a，②當(dāng)0＜a≤1時(shí)，此時(shí)△=4a2-5＜0，且f（x）圖象開口向上，對稱軸在（0，1）內(nèi)，故ymax=max{f（0），f（1）}=max{5，6-2a}=，綜上所求：ymax=．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了利用二次函數(shù)圖象求最值的方法，考查分類討論思想，是中檔題．21.【答案】（Ⅰ）[0，+∞）；（Ⅱ）P＝（﹣∞，0）∪（0，+∞），M＝{0}；（Ⅲ）真命題，證明見解析【分析】(Ⅰ)求出f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，由此能過求出f(P)∪f(M)．(Ⅱ)由f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(0)＝0，得到當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＜0，(﹣∞，0)?P．同理可證(0，+∞)?P．由此能求出P，M．(Ⅲ)假設(shè)存在非空數(shù)集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．證明0∈P∪M．推導(dǎo)出f(﹣x0)＝﹣x0，且f(﹣x0)＝﹣(﹣x0)＝x0，由此能證明命題“若P∪M≠R，則f(P)∪f(M)≠R”是真命題．【詳解】(Ⅰ)因?yàn)镻＝[0，3]，M＝(﹣∞，﹣1)，所以f(P)＝[0，3]，f(M)＝(1，+∞)，所以f(P)∪f(M)＝[0，+∞)．(Ⅱ)因?yàn)閒(x)是定義在R上的增函數(shù)，且f(0)＝0，所以當(dāng)x＜0時(shí)，f(x)＜0，所以(﹣∞，0)?P．同理可證(0，+∞)?P．因?yàn)镻∩M＝?，所以P＝(﹣∞，0)∪(0，+∞)，M＝{0}．(Ⅲ)該命題為真命題．證明如下：假設(shè)存在非空數(shù)集P，M，且P∪M≠R，但f(P)∪f(M)＝R．首先證明0∈P∪M．否則，若0?P∪M，則0?P，且0?M，