第二十三章 旋轉(zhuǎn) 能力提升卷（B卷）（解析版）-A4

第頁2023-2024學(xué)年九年級(jí)上冊第三單元旋轉(zhuǎn)B卷?能力提升卷（考試時(shí)間：90分鐘試卷滿分：100分）選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分）。1．（2023?九臺(tái)區(qū)模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（2，1），現(xiàn)將A點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A1，則A1的坐標(biāo)是（）A．（﹣1，2） B．（2，﹣1） C．（1，﹣2） D．（﹣2，1）【答案】A【解答】解：將A點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到A1，即將Rt△OBA點(diǎn)繞原點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Rt△OB1A1，如圖，所以O(shè)B1＝OB＝2，A1B1＝AB＝1，所以點(diǎn)A1的坐標(biāo)是（﹣1，2）．故選：A．2．（2023春?襄汾縣期末）如圖，點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，AD＞AB，點(diǎn)E從點(diǎn)B出發(fā)（不含點(diǎn)B）沿BC向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，移動(dòng)到點(diǎn)C停止，延長EO交AD于點(diǎn)F，則四邊形BEDF形狀的變化依次為（）A．平行四邊形→菱形→正方形→矩形 B．平行四邊形→正方形→菱形→矩形 C．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形 D．平行四邊形→正方形→平行四邊形一矩形【答案】C【解答】解：連接BD．∵點(diǎn)O為矩形ABCD的對稱中心，∴BD經(jīng)過點(diǎn)O，OD＝OB，∵AD∥BC，∴∠FDO＝∠EBO，在△DFO和△BEO中，，∴△DFO≌△BEO（ASA），∴DF＝BE，∵DF∥BE，∴四邊形BEDF是平行四邊形，觀察圖形可知，四邊形BEDF形狀的變化依次為平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形．故選：C．3．（2023春?通川區(qū)期末）如圖在平面直角坐標(biāo)系xOy中，有一個(gè)等腰直角三角形AOB，∠OAB＝90°，直角邊AO在x軸上，且AO＝1．將Rt△AOB繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰直角三角形A1OB1，且A1O＝2AO，再將Rt△A1OB1繞原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到等腰三角形A2OB2，且A2O＝2A1O…，依此規(guī)律，得到等腰直角三角形A2023OB2023，則點(diǎn)B2023的坐標(biāo)（）A．（﹣22023，22023） B．（22022，﹣22022） C．（22023，﹣22023） D．（22022，22022）【答案】A【解答】解：由題意得：B1（2，﹣2），B2（﹣22，﹣22），B3（﹣23，23），B4（24，24），……，∵2023÷4＝505……3，∴B2023的坐標(biāo)為（﹣22023，22023），故選：A．4．（2023春?德州期中）邊長相等的兩個(gè)正方形ABCD和OEFG如圖所示，若將正方形OEFG繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)120°，在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個(gè)正方形重疊部分四邊形OMAN的面積（）A．先增大再減小 B．先減小再增大 C．不斷增大 D．不變【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴∠AOB＝90°，∠DAO＝∠ABO＝45°，OA＝AC，OB＝BD，AC＝BD，∴OA＝OB，旋轉(zhuǎn)得：四邊形OE′F′G′是正方形，∴∠E′OG′＝90°，∴∠E′OG′＝∠AOB＝90°，∴∠E′OG′﹣∠AON＝∠AOB﹣∠AON，∴∠BON＝∠AOM，∴△AOM≌△BON（ASA），∴四邊形OMAN的面積＝△AON的面積+△AOM的面積＝△AON的面積+△BON的面積＝△AOB的面積＝正方形ABCD的面積，∴在旋轉(zhuǎn)的過程中，兩個(gè)正方形重疊部分OMAN的面積不變，故選：D．5．（2023春?乳山市期末）如圖，邊長為2的正方形ABCD的對角線交于點(diǎn)O，∠EOF＝90°，繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)∠EOF，交邊AD，CD于點(diǎn)E，F(xiàn)，則線段EF的最小值為（）A． B．1 C． D．【答案】A【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∠OCF＝∠ODE＝45°，∠AOD＝∠COD＝90°，∴∠COF+∠DOF＝90°．∵∠EOF＝90°，∴∠DOE+∠DOF＝90°，∴∠COF＝∠DOE，∴△COF≌△DOE（ASA），∴OE＝OF，∴，∴當(dāng)OE取得最小值時(shí)，線段EF取得最小值，由垂線段最短可知，當(dāng)OE⊥AD時(shí)，OE取得最小值，此時(shí)，∴，線段EF的最小值為．故選：A．6．（2023春?開江縣校級(jí)期末）如圖，等邊△ABC中有一點(diǎn)P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，則∠APB的度數(shù)的為（）A．150° B．135° C．120° D．165°【答案】A【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，∴BA＝BC，可將△BPC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得△BEA，連EP，如圖，∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°，∴△BPE為等邊三角形，∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°，在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4，∴AE2＝PE2+PA2，∴△APE為直角三角形，且∠APE＝90°，∴∠APB＝90°+60°＝150°．故選：A．7．（2023春?秦都區(qū)期中）如圖，△ABC為等邊三角形，AB＝4，AD⊥BC于點(diǎn)D，點(diǎn)E為線段AD上的動(dòng)點(diǎn)，連接CE，以CE為邊在下方作等邊△CEF，連接BF、DF，則線段DF的最小值為（）A．2 B． C．1 D．2【答案】C【解答】解：∵△ABC為等邊三角形，AD⊥BC，AB＝4，∴BC＝AC＝AB＝4，BD＝DC＝2，∠BAC＝∠ACB＝60°，∠CAE＝30°，∵△CEF為等邊三角形，∴CF＝CE，∠FCE＝60°，∴∠FCE＝∠ACB，∴∠BCF＝∠ACE，在△BCF和△ACE中，，∴△BCF≌△ACE（SAS），∴∠CBF＝∠CAE＝30°，AE＝BF，∴當(dāng)DF⊥BF時(shí)，DF值最小，此時(shí)∠BFD＝90°，∠CBF＝30°，BD＝2，∴DF＝1，故選：C．8．（2023春?興城市期中）如圖所示，長方形ABCD的兩邊BC、CD分別在x軸、y軸上，點(diǎn)C與原點(diǎn)重合，點(diǎn)A（﹣1，2），將長方形ABCD沿x軸無滑動(dòng)向右翻滾，經(jīng)過一次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為A1；經(jīng)過第二次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)記為A2；……，依次類推，經(jīng)過第2023次翻滾，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（）?A．（3032，1） B．（3033，0） C．（3033，1） D．（3035，2）【答案】B【解答】解：如圖所示：觀察圖形可得經(jīng)過4次翻滾后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)一循環(huán)，2023÷4＝505……3，∵點(diǎn)A（﹣1，2），長方形的周長為：2（2+1）＝6，∴A3（3，0），∴經(jīng)過505次翻滾后點(diǎn)A對應(yīng)點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為（6×505+1+2，0），即（3033，0）．故選：B．9．（2023春?高陵區(qū)月考）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABC繞點(diǎn)C（0，﹣2）的坐標(biāo)旋轉(zhuǎn)180°得到△A1B1C，設(shè)點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（a，b），則點(diǎn)A的坐標(biāo)為（）A．（﹣a，﹣b+4）B．（﹣a+4，﹣b）C．（﹣a﹣4，﹣b） D．（﹣a，﹣b﹣4）【答案】D【解答】解：由題知，點(diǎn)C是AA1的中點(diǎn)，又C（0，﹣2），A1（a，b），所以：，．得xA＝﹣a，yA＝﹣b﹣4．即A（﹣a，﹣b﹣4）．故選：D．10．（2023?阜新模擬）如圖，把正方形鐵片OABC置于平面直角坐標(biāo)系中，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P（1，2）在正方形鐵片上，將正方形鐵片繞其右下角的頂點(diǎn)按順時(shí)針方向依次旋轉(zhuǎn)90°，第一次旋轉(zhuǎn)至圖①位置，第二次旋轉(zhuǎn)至圖②位置，…則正方形鐵片連續(xù)旋轉(zhuǎn)2024次后，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（）?A．（6070，2） B．（6072，2） C．（6073，2） D．（6074，1）【答案】C【解答】解：第一次P1（5，2），第二次P2（8，1），第三次P3（10，1），第四次P4（13，2），第五次P5（17，2），…發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P的位置4次一個(gè)循環(huán)，∵2024÷4＝506，P2024的縱坐標(biāo)與P4相同為2，橫坐標(biāo)為1+12×506＝6073，∴P2024（6073，2）．故選：C．填空題(本題共6題,每小題3分，共18分）。11．（2023?內(nèi)蒙古）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)B坐標(biāo)（8，4），連接OB，將OB繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到OB'，則點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣4，8）．【答案】（﹣4，8）．【解答】解：分別過點(diǎn)B、B′向x軸作垂線，垂足分別為M、N．（方法一）∵∠BOB′＝90°，∴∠BOM+∠B′ON＝90°．又∵∠BOM+∠OBM＝90°，∴∠B′ON＝∠OBM．在Rt△OMB和Rt△B′NO中，，∴Rt△OMB≌Rt△B′NO（AAS），∴B′N＝OM＝8，ON＝BM＝4，∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣4，8）．（方法二）根據(jù)題意，得OB′＝OB＝＝＝4．sin∠BOM＝sin（90°﹣∠B′ON）＝cos∠B′ON＝＝＝，cos∠BOM＝cos（90°﹣∠B′ON）＝sin∠B′ON＝＝＝．∴ON＝OB′?cos∠B′ON＝4×＝4，B′N＝OB′?sin∠B′ON＝4×＝8．∴點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（﹣4，8）．故答案為：（﹣4，8）．12．（2023春?南山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠B＝65°，∠BAC＝75°，△ABC繞點(diǎn)A按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)到△ADE的位置，點(diǎn)D在BC邊上，DE交AC于點(diǎn)F，則∠AFD＝90°．【答案】90°．【解答】解：∵∠B＝65°，∠BAC＝75°，∴∠C＝180°﹣65°﹣75°＝40°，由旋轉(zhuǎn)得∠E＝∠C＝40°，∠DAE＝∠BAC＝75°，AD＝AB，∴∠ADB＝∠B＝65°，∴∠BAD＝180°﹣65°﹣65°＝50°，∵∠EAC＝∠BAD＝75°﹣∠CAD，∴∠EAC＝50°，∴∠AFD＝∠E+∠EAC＝40°+50°＝90°，故答案為：90°．13．（2023?青云譜區(qū)開學(xué)）一副三角板按圖1的形式擺放，把含45°角的三角板固定，含30°角的三角板繞直角頂點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的角度為α（0°＜α＜130°）．在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)兩塊三角板有兩邊平行時(shí)，α的度數(shù)為30°或45°或120°．?【答案】30°或45°或120°．【解答】解：①如圖1，當(dāng)CD∥OB時(shí)，∠α＝∠D＝30°；②如圖2，當(dāng)OC∥AB時(shí)，∠OEB＝∠COD＝90°，∴∠α＝90°﹣∠B＝90°﹣45°＝45°；③如圖3．當(dāng)DC∥OA時(shí)，∠DOA＝∠D＝30°，∴∠α＝∠AOB+∠AOD＝90°+30°＝120°．④當(dāng)OD∥AB時(shí)，旋轉(zhuǎn)角大于130°，不符合題意．故答案為：30°或45°或120°．14．（2023春?五華縣期中）如圖，等腰直角△ABC和等腰直角△ADE，且∠BAC＝∠DAE＝90°，點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，AB＝10，AD＝6，△ADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)過程中，MN的最小值為．?【答案】．【解答】解：連接AN，AM，∴∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝10，AD＝6，∴，，∵點(diǎn)N，點(diǎn)M分別為BC，DE的中點(diǎn)，∴，，∵M(jìn)N≥AN﹣AM，當(dāng)點(diǎn)M在線段AN上時(shí)，MN最小，此時(shí)，，故答案為：．15．（2023春?東營期末）如圖，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，矩形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度得矩形AB′C′D′，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B′落在邊CD上，則B′C的長為2．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AB＝AB′＝10，在直角△AB′D中，∠D＝90°，AD＝6，AB′＝AB＝10，所以B′D＝＝8，所以B′C＝10﹣B′D＝2．故答案為：2．16．（2023春?東臺(tái)市期中）如圖，P是邊長為2的正方形ABCD內(nèi)一動(dòng)點(diǎn)，Q為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PA，PD，PQ，則PA+PD+PQ的最小值為+2．【答案】+2．【解答】解：如圖，將△APD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AFE，∴AP＝AF，∠PAF＝60°＝∠EAD，AE＝AD，∴△AFP是等邊三角形，△AED是等邊三角形，∴AP＝PF＝AF，作EH⊥BC于H，交AD于G．∴∠AEG＝30°，∴AG＝1，EG＝，∵PA+PD+PQ＝EF+FP+PQ，∴當(dāng)點(diǎn)Q，點(diǎn)F，點(diǎn)E，點(diǎn)Q四點(diǎn)共線且垂直BC時(shí)，PA+PD+PQ有最小值為EH，∵GH＝AB＝2，∴EH＝2+，∴PA+PD+PQ的最小值+2，故答案為：+2．三、解答題（本題共5題，共52分）。17．（10分）（2023春?秦都區(qū)期末）如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)E在AC邊上，連接BE，將BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BD，連接DE、AD．（1）求證：AD＝CE；（2）若BC＝8cm，BE＝7cm，求△ADE的周長．【答案】（1）詳見解析；（2）15cm．【解答】（1）證明：∵△ABC是等邊三角形，∴BC＝BA，∠ABC＝60°．∵BD是由BE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到，∴BD＝BE，∠EBD＝60°，∴△BDE是等邊三角形，∴∠CBE＝∠ABD，∴△CBE≌△ABD（SAS），∴AD＝CE；（2）解：∵△ABC和△BED都是等邊三角形，∴AE+AD＝AE+CE＝AC＝BC＝8cm，DE＝BE＝7cm，∴△ADE的周長為AD+AE+DE＝8+7＝15cm．18．（10分）（2023春?南城縣期中）如圖，點(diǎn)O是等邊三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)，將CO繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CD，連接OD，AO，BO，AD．（1）求證：BO＝AD；（2）若OA＝10，OB＝8，OC＝6，求∠BOC的度數(shù)．【答案】（1）詳見解析；（2）150°．【解答】（1）證明：∵CO繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到CD，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∵△ABC是等邊三角形，∴CA＝CB，∠BCA＝∠OCD＝60°，∴∠BCA＝∠OCD，∠BCO＝∠ACD，在△BCO和△ACD中，CA＝CB，∠BCO＝∠ACD，CO＝CD，∴△BCO≌△ACD（SAS），∴BO＝AD．（2）解：∵CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△OCD是等邊三角形，∴OD＝OC＝6，∠ODC＝60°，∵△BCO≌△ACD，∴AD＝OB＝8，∠BOC＝∠ADC，∵OA＝10，∴OA2＝AD2+OD2，∴∠ADO＝90°，∴∠ADC＝∠ADO+∠ODC＝90°+60°＝150°，∴∠BOC＝∠ADC＝150°．19．（10分）（2023春?北林區(qū)期末）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)是對角線BD上兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°，將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，連接EQ．（1）求證：EF＝EQ；（2）求證：EF2＝BE2+DF2．【答案】（1）見解答；（2）見解答．【解答】證明：（1）∵將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后，得到△ABQ，∴QB＝DF，AQ＝AF，∠BAQ＝∠DAF，∵∠EAF＝45°，∴∠DAF+∠BAE＝45°，∴∠QAE＝45°，∴∠QAE＝∠FAE，在△AQE和△AFE中，∴△AQE≌△AFE（SAS）．∴EF＝EQ；（2）由（1）得△AQE≌△AFE，∴QE＝EF，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，得∠ABQ＝∠ADF，∠ADF+∠ABD＝90°，則∠QBE＝∠ABQ+∠ABD＝90°，在Rt△QBE中，QB2+BE2＝QE2，又∵QB＝DF，∴EF2＝BE2+DF2．20．（10分）（2022秋?青山湖區(qū)期末）閱讀下面材料，并解決問題：（1）如圖①等邊△ABC內(nèi)有一點(diǎn)P，若點(diǎn)P到頂點(diǎn)A、B、C的距離分別為3，4，5，求∠APB的度數(shù)．為了解決本題，我們可以將△ABP繞頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到△ACP′處，此時(shí)△ACP′≌△ABP，這樣就可以利用旋轉(zhuǎn)變換，將三條線段PA、PB、PC轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形中，從而求出∠APB＝150°；（2）基本運(yùn)用請你利用第（1）題的解答思想方法，解答下面問題已知如圖②，△ABC中，∠CAB＝90°，AB＝AC，E、F為BC上的點(diǎn)且∠EAF＝45°，求證：EF2＝BE2+FC2；（3）能力提升如圖③，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO，BO，CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，求OA+OB+OC的值．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵△ACP′≌△ABP，∴AP′＝AP＝3、CP′＝BP＝4、∠AP′C＝∠APB，由題意知旋轉(zhuǎn)角∠PAP′＝60°，∴△APP′為等邊三角形，PP′＝AP＝3，∠AP′P＝60°，易證△PP′C為直角三角形，且∠PP′C＝90°，∴∠APB＝∠AP′C＝∠AP′P+∠PP′C＝60°+90°＝150°；故答案為：150°；（2）如圖2，把△ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ACE′，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，AE′＝AE，CE′＝BE，∠CAE′＝∠BAE，∠ACE′＝∠B，∠EAE′＝90°，∵∠EAF＝45°，∴∠E′AF＝∠CAE′+∠CAF＝∠BAE+∠CAF＝∠BAC﹣∠EAF＝90°﹣45°＝45°，∴∠EAF＝∠E′AF，在△EAF和△E′AF中，∴△EAF≌△E′AF（SAS），∴E′F＝EF，∵∠CAB＝90°，AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝45°，∴∠E′CF＝45°+45°＝90°，由勾股定理得，E′F2＝CE′2+FC2，即EF2＝BE2+FC2．（3）如圖3，將△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°至△A′O′B處，連接OO′，∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2，∴BC＝，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，∴△A′O′B如圖所示；∠A′BC＝∠ABC+60°＝30°+60°＝90°，∵∠C＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB+