2023-2024學年北京十四中高一（上）期中數(shù)學試卷和答案

高中PAGE1高中2023北京十四中高一（上）期中數(shù)學2023.11出題人：高一備課組審核人：高一備課組注意事項1．本試卷共4頁，共21道小題，滿分150分.考試時間120分鐘.2．在答題卡上指定位置貼好條形碼，或填涂考號.3．試題答案一律填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效.4．在答題卡上，選擇題用2B鉛筆作答，其他試題用黑色字跡簽字筆作答.5．答題不得使用任何涂改工具.第一部分一、選擇題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.已知集合，，則（）A. B. C. D.2.方程組的解集是（）A. B.C. D.3.已知命題：，，那么是（）A.， B.，C.， D.，4.設(shè)，且，則（）A. B. C. D.5.已知，，，則xy的最大值是（）A. B. C. D.16.已知，那么（）A.-1 B. C. D.17.函數(shù)的零點個數(shù)是（）A.0 B.1 C.2 D.38.已知函數(shù)的定義域為，則“”是“是奇函數(shù)”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件9.設(shè)函數(shù)若函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則實數(shù)a的取值范圍是（）A. B. C. D.10.如圖為某三岔路口交通環(huán)島的簡化模型，在某高峰時段，單位時間進出路口,的機動車輛數(shù)如圖所示，圖中分別表示該時段單位時間通過路段的機動車輛數(shù)（假設(shè)：單位時間內(nèi)，在上述路段中，同一路段上駛?cè)肱c駛出的車輛數(shù)相等），則（）A. B. C. D.第二部分二、填空題共5小題．11.函數(shù)的定義域為________．12.若關(guān)于的方程的兩根的平方和為3，則實數(shù)______．13.已知函數(shù)若，則實數(shù)______；函數(shù)的值域為______14.已知函數(shù)的定義域為．能夠說明“若在區(qū)間上的最大值為，則是增函數(shù)”為假命題的一個函數(shù)是_________．15.調(diào)查顯示，垃圾分類投放可以帶來約元/千克的經(jīng)濟效益.為激勵居民垃圾分類，某市準備給每個家庭發(fā)放一張積分卡，每分類投放積分分，若一個家庭一個月內(nèi)垃圾分類投放總量不低于，則額外獎勵分（為正整數(shù)）.月底積分會按照元/分進行自動兌換.①當時，若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，該家庭該月積分卡能兌換_____元；②為了保證每個家庭每月積分卡兌換的金額均不超過當月垃圾分類投放帶來的收益的%，則的最大值為___________.三、解答題共6小題．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.設(shè)全集，集合，集合，其中．（1）當時，求，；（2）若，求的取值范圍．17.已知函數(shù)，其中．（1）當時，求函數(shù)的圖象與直線交點的坐標；（2）若函數(shù)有兩個不相等的負實數(shù)零點，求a的取值范圍；（3）若函數(shù)在上不單調(diào)，求a的取值范圍．18.已知a，b都是正實數(shù)，（1）試比較與的大小，并證明；（2）當時，求證：．19.已知函數(shù)．（1）判斷函數(shù)的奇偶性并證明；（2）用定義證明函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）畫出函數(shù)的圖像，并直接寫出函數(shù)的值域．20.某機床廠今年年初用98萬元購入一臺數(shù)控機床，并立即投入生產(chǎn)使用．已知該機床在使用過程中所需要的各種支出費用總和t（單位：萬元）與使用時間x（，單位：年）之間的函數(shù)關(guān)系式為：．該機床每年的生產(chǎn)總收入為50萬元．設(shè)使用x年后數(shù)控機床的盈利額為y萬元．（盈利額等于總收入減去購買成本及所有使用支出費用）（1）寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）？（3）使用若干年后，對該機床的處理方案有兩種：①當盈利額達到最大值時，以12萬元價格再將該機床賣出．②當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格再將該機床賣出；研究一下哪種處理方案較為合理？請說明理由．21.設(shè)A是實數(shù)集的非空子集，稱集合且為集合A的生成集．（1）當時，寫出集合A的生成集B；（2）若A是由5個正實數(shù)構(gòu)成的集合，求其生成集B中元素個數(shù)的最小值；（3）判斷是否存在4個正實數(shù)構(gòu)成的集合A，使其生成集，并說明理由．

參考答案第一部分一、選擇題.在每小題列出的四個選項中，選出符合題目要求的一項．1.【答案】B【分析】利用并集的定義可求.【詳解】,故選：B2.【答案】C【分析】直接求出方程組的解，再用列舉法表示即可.【詳解】由，消去得，解得，所以方程組的解為或，所以方程組的解集.故選：C3.【答案】B【分析】由特稱命題的否定，直接判斷得出答案.【詳解】解：已知命題：，，則為：，.故選：B4.【答案】D【分析】根據(jù)不等式的基本性質(zhì)，以及函數(shù)的單調(diào)性，逐項判定，即可求解.【詳解】對于A中，當時，可得，所以A不正確；對于B中，由，因為，則，但符號不確定，所以B錯誤；對于C中，例如，可得，所以C錯誤；對于D中，由函數(shù)為單調(diào)遞增函數(shù)，所以，所以D正確.故選：D.5.【答案】B【分析】根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】由于，，，所以，故，當且僅當，即時等號成立，故選：B6.【答案】D【分析】根據(jù)題意，令，代入即可求解.【詳解】由函數(shù)，令，可得.故選：D.7.【答案】B【分析】令求出方程的解，即可判斷.【詳解】令，即，解得，所以函數(shù)有且僅有一個零點.

故選：B8.【答案】B【分析】通過反例和奇函數(shù)的性質(zhì)可直接得到結(jié)論.【詳解】若，則，此時為偶函數(shù)，充分性不成立；若為奇函數(shù)，且其定義域為，則恒成立，必要性成立；函數(shù)的定義域為，則“”是“是奇函數(shù)”的必要不充分條件.故選：B.9.【答案】D【分析】根據(jù)函數(shù)圖象即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如下：當時，即，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故a的取值范圍為，故選：D10.【答案】C【分析】根據(jù)每個三岔路口駛?cè)肱c駛出相應的環(huán)島路段的車輛數(shù)列出等量關(guān)系，即可比較出大?。驹斀狻恳李}意，有，所以，同理，，所以，同理，，所以，所以．故選：C．【點睛】本題主要考查不等關(guān)系的判斷，屬于基礎(chǔ)題．第二部分二、填空題共5小題．11.【答案】【分析】根據(jù)題意列關(guān)于的不等式組即可求解.【詳解】由題要使得有意義，則，故且，從而的定義域為，故答案為：.12.【答案】【分析】設(shè)方程的兩根分別為，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)得到，且或，再由方程的兩根的平方和為3，列出方程，即可求解.【詳解】設(shè)的兩根分別為，可得，且，解得或，因為方程的兩根的平方和為3，所以，解得或（舍去），所以.故答案為：.13.【答案】①.②.【分析】根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)，令、解之即可；結(jié)合和即可求出函數(shù)的值域.【詳解】當時，，解得；當時，，解得（舍去），所以；當時，；當時，，所以函數(shù)的值域為.故答案為：；.14.【答案】，（答案不唯一）【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)寫出一個函數(shù)即可【詳解】對于函數(shù)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以在區(qū)間上的最大值為，但是函數(shù)在上不具有單調(diào)性，故命題“若在區(qū)間上的最大值為，則是增函數(shù)”為假命題.故答案為：，（答案不唯一）15.【答案】①.②.【分析】①計算出該家庭月底的積分，再拿積分乘以可得出該家庭該月積分卡能兌換的金額；②設(shè)每個家庭每月產(chǎn)生的垃圾為，每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為元，分、兩種情況討論，計算的表達式，結(jié)合可求得的最大值.【詳解】①若某家庭某月產(chǎn)生生活垃圾，則該家庭月底的積分為分，故該家庭該月積分卡能兌換元；②設(shè)每個家庭每月產(chǎn)生的垃圾為，每個家庭月底月積分卡能兌換的金額為元.若時，恒成立；若時，，可得.故的最大值為.故答案為：①；②.三、解答題共6小題．解答應寫出文字說明，演算步驟或證明過程．16.【答案】（1），（2）或【分析】（1）解一元二次不等式求出集合，解絕對值不等式求出集合，再根據(jù)集合的運算法則計算可得；（2）由，可得或，解得即可.【小問1詳解】由，即，解得或，所以或，則，由，即，解得，所以，當時，，所以，.【小問2詳解】因為且，所以或，解得或，即的取值范圍為或.17.【答案】（1），（2）（3）【分析】（1）由得，解方程即可；（2）利用轉(zhuǎn)化的思想可知方程有兩個不相等的負實數(shù)根，進而，解之即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得，即可求解.【小問1詳解】當時，，由，即，解得，所以函數(shù)的圖象與直線的交點為，；【小問2詳解】若函數(shù)有兩個不相等的負實數(shù)零點，則方程有兩個不相等的負實數(shù)根，有，解得所以a的取值范圍是；【小問3詳解】依題意：二次函數(shù)的對稱軸方程為，則，即a的取值范圍是．18.【答案】（1），證明見詳解（2）證明見詳解【分析】（1）利用做差法可得答案；（2）利用基本不等式可得答案．【小問1詳解】結(jié)論：，當且僅當時，等號成立.證明：，因為a，b都是正數(shù)，所以，當且僅當時，等號成立，即，當且僅當時，等號成立；【小問2詳解】因為a，b，c都是正數(shù)，且，所以，當且僅當時，等號成立．19.【答案】（1）是奇函數(shù)，證明見詳解（2）證明見詳解（3）圖像見詳解，【分析】（1）根據(jù)奇偶性的定義即可求解，（2）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義即可求解，（3）根據(jù)描點法即可求解.【小問1詳解】函數(shù)是奇函數(shù)，證明如下：函數(shù)的定義域為R，關(guān)于原點對稱，且所以函數(shù)是奇函數(shù)．【小問2詳解】任取，且則因為，所以，，即從而所以函數(shù)在上單調(diào)遞增【小問3詳解】由于，故描點可得圖象為，函數(shù)的值域為：20.【答案】（1）（2）（3）方案（2）比較合理，理由見詳解【分析】（1）根據(jù)題意，即可得到使用年后數(shù)控機床的盈利額為的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）中與之間的函數(shù)關(guān)系式，令，列出不等式，即可求解；（3）根據(jù)題意，求得每種方案的總盈利，比較大小，即可得到結(jié)論.【小問1詳解】解：由題意，使用過程中所需要的各種支出費用總和與使用時間之間的函數(shù)關(guān)系式為，且該機床每年的生產(chǎn)總收入為萬元，設(shè)使用年后數(shù)控機床的盈利額為萬元，可得與之間的函數(shù)關(guān)系式．【小問2詳解】解：由（1）知：令，可得，解得，因為，所以且，故從第年開始盈利.【小問3詳解】解：由（1）知因為，所以按第一方案處理總例如為萬元；又由，當且僅當時，即時，等號成立，所以當?shù)谀陼r，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利萬元；由于第二方案使用的時間短，則選第二方案較為合理.21.【答案】（1）（2）7（3）不存在，理由見解析【分析】（1）利用集合的生成集定義直接求解.（2）設(shè)，且，利用生成集的定義即可求解；（3）不存在，理由反證法說明.【小問1詳解】