第04講 一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用（知識解讀+達(dá)標(biāo)檢測）（解析版）-A4

第頁第04講一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【題型1：根式實(shí)際問題列除一次函數(shù)表達(dá)式】【題型2：利用一次函數(shù)解決方案問題】【題型3：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題】【題型4：利用一次函數(shù)解決行程問題】【題型5：利用一次函數(shù)解決運(yùn)輸問題】一、分段函數(shù)有的題目中，如下左圖，當(dāng)自變量x發(fā)生變化時(shí)，隨著x的取值范圍不同，y和x的函數(shù)關(guān)系也不同，它們之間或者不再是一次函數(shù)，或者雖然還是一次函數(shù)，但函數(shù)的解析式發(fā)生了變化。這種變化反映在函數(shù)圖像上時(shí)的主要特征，就是由一條直線變成幾條線段或射線，我們把這類函數(shù)歸類為分段函數(shù)。在有的題目中，如下右圖，含有兩個(gè)一次函數(shù)的圖像，我們需要對兩個(gè)函數(shù)的相關(guān)變量進(jìn)行對比。二、利用一次函數(shù)的知識解應(yīng)用題的一般步驟（1）設(shè)定實(shí)際問題中的變量；（2）建立一次函數(shù)表達(dá)式；（3）確定自變量的取值范圍，保證函數(shù)具有實(shí)際意義；（4）解答一次函數(shù)實(shí)際問題，如最大（?。┲?；（5）寫出答案?！绢}型1：根式實(shí)際問題列除一次函數(shù)表達(dá)式】【典例1】（2022秋?東營區(qū)校級期末）汽車由北京駛往相距120千米的天津，它的平均速度是30千米/時(shí)，則汽車距天津的路程S（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍是（）A．S＝120﹣30t（0≤t≤4） B．S＝30t（0≤t≤4） C．S＝120﹣30t（t＞0） D．S＝30t（t＝4）【答案】A【解答】解：汽車行駛路程為：30t，∴車距天津的路程S（千米）與行駛時(shí)間t（時(shí)）的函數(shù)關(guān)系及自變量的取值范圍是：S＝120﹣30t（0≤t≤4）．故選：A．【變式1-1】（2022春?平遙縣期中）百貨大樓進(jìn)了一批花布，出售時(shí)要在進(jìn)價(jià)（進(jìn)貨價(jià)格）的基礎(chǔ)上加一定的利潤，其長度x與售價(jià)y如下表，下列用長度x表示售價(jià)y的關(guān)系式中，正確的是（）長度x/m1234…售價(jià)y/元8+0.316+0.624+0.932+1.2…A．y＝8x+0.3 B．y＝（8+0.3）x C．y＝8+0.3x D．y＝8+0.3+x【答案】B【解答】解：依題意得：y＝（8+0.3）x；故選：B．【變式1-2】（2023?濟(jì)南二模）學(xué)校食堂按如圖方式擺放餐桌和椅子．若用x表示餐桌的張數(shù)，y表示椅子的把數(shù)，請你寫出椅子數(shù)y（把）與餐桌數(shù)x（張）之間的函數(shù)關(guān)系式．【答案】y＝2x+2【解答】解：觀察圖形：x＝1時(shí)，y＝4，x＝2時(shí)，y＝6；x＝3時(shí)，y＝8；…可見每增加一張桌子，便增加2個(gè)座位，∴x張餐桌共有2x+2個(gè)座位．∴可坐人數(shù)y＝2x+2，故函數(shù)關(guān)系式可以為y＝2x+2．故答案為：y＝2x+2．【變式1-3】（2022春??？谄谀┮阎桓鶑椈稍诓粧熘匚飼r(shí)長6cm，在一定的彈性限度內(nèi)，每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm．則該彈簧總長y（cm）隨所掛物體質(zhì)量x（kg）變化的函數(shù)關(guān)系式為．【答案】y＝0.3x+6【解答】解：∵每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm，∴掛上xkg的物體后，彈簧伸長0.3xcm，∴彈簧總長y＝0.3x+6．故答案為：y＝0.3x+6．【題型2：利用一次函數(shù)解決方案問題】【典例2】（2023?新市區(qū)一模）某鮮花銷售公司每月付給銷售人員的工資有兩種方案．方案一：沒有底薪，只付銷售提成；方案二：底薪加銷售提成．如圖中的射線l1，射線l2分別表示該鮮花銷售公司每月按方案一，方案二付給銷售人員的工資y1（單位：元）和y2（單位：元）與其當(dāng)月鮮花銷售量x（單位：千克）（x≥0）的函數(shù)關(guān)系．（1）分別求y1、y2與x的函數(shù)解析式；（2）若該公司某銷售人員今年3月份的鮮花銷售量沒有超過70千克，但其3月份的工資超過3000元．這個(gè)公司采用了哪種方案給這名銷售人員付3月份的工資？【解答】解：（1）由圖可知，y1與x的函數(shù)解析式滿足正比例函數(shù)解析式．設(shè)y1＝k1x（k1≠0），將點(diǎn)（50，2500）代入y1＝k1x（k1≠0），得50k1＝2500，則k1＝50，則y1＝50x．設(shè)y2與x的函數(shù)解析式為y2＝k2x+b（k2≠0），將點(diǎn)（0，1500）、（50，2500）代入y2＝k2x+b，得，于是，則y2＝20x+1500．（2）將x＝70分別代入y1、y2，得y1＝50×70＝3500（元），y2＝20×70+1500＝2900（元），由題可知，其3月工資超過3000元，∵3500＞3000，∴這個(gè)公司采用方案一給這名銷售人員付3月的工資．【變式2-1】（2022秋?于洪區(qū)期末）某公司要印制宣傳材料，甲、乙兩個(gè)印刷廠可選擇，甲印刷廠只收取印制費(fèi)，乙印刷廠收費(fèi)包括印制費(fèi)和制版費(fèi)．（1）甲印刷廠每份宣傳材料的印制費(fèi)是2.5元；（2）求乙印刷廠收費(fèi)y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式，并說明一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)的實(shí)際意義；（3）若印制相同數(shù)量，乙印刷廠的收費(fèi)總是低于甲廠，求印制數(shù)量的范圍．【解答】解：（1）由圖或得，甲印刷廠每份宣傳材料的印制費(fèi)為：1000÷400＝2.5（元）．故答案為：2.5；（2）設(shè)乙印刷廠收費(fèi)y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx+b，由圖可得（0，1500），（400，1900）在圖象上，代入，得，解得：，∴y＝x+1500，一次項(xiàng)系數(shù)1代表每份宣傳材料的印制費(fèi)為1元，常數(shù)項(xiàng)1500代表制版費(fèi)為1500元；（3）由（1）知甲印刷廠每份宣傳材料的印制費(fèi)是2.5元，∴甲印刷廠收費(fèi)y（元）關(guān)于印制數(shù)量x（份）的函數(shù)表達(dá)式為y＝2.5x，聯(lián)立兩函數(shù)解析式得解得，∴兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)為（1000，2500），由圖象可得當(dāng)印制數(shù)量大于1000時(shí)，乙印刷廠的收費(fèi)總是低于甲廠．【變式2-2】（2023?禹州市一模）為弘揚(yáng)愛國精神，傳承民族文化，某校組織了“詩詞里的中國”主題比賽，計(jì)劃去某超市購買A，B兩種獎品共300個(gè)，A種獎品每個(gè)20元，B種獎品每個(gè)15元，該超市對同時(shí)購買這兩種獎品的顧客有兩種銷售方案（只能選擇其中一種）．方案一：A種獎品每個(gè)打九折，B種獎品每個(gè)打六折．方案二：A，B兩種獎品均打八折．設(shè)購買A種獎品x個(gè)，選擇方案一的購買費(fèi)用為y1元，選擇方案二的購買費(fèi)用為y2元．（1）請分別寫出y1，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式．（2）請你計(jì)算該校選擇哪種方案支付的費(fèi)用較少．【解答】解：（1）由題意得：y1＝20×0.9x+15×0.6×（300﹣x）＝9x+2700；y2＝20×0.8x+15×0.8×（300﹣x）＝4x+3600，∴y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y1＝9x+2700，y2與x之間的函數(shù)關(guān)系式為y2＝4x+3600；（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，9x+2700＞4x+3600，解得x＞180，∴購買A種獎品超過180個(gè)時(shí)，方案二支付費(fèi)用少；當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，9x+2700＝4x+3600，解得x＝180，∴購買A種獎品180個(gè)時(shí)，方案一和方案二支付費(fèi)用一樣多；當(dāng)y1＜y2時(shí)，9x+2700＜4x+3600，解得x＜180，∴購買A種獎品少于180個(gè)時(shí)，方案一支付費(fèi)用少．【題型3：利用一次函數(shù)解決銷售利潤問題】【典例3】（2022?昭陽區(qū)一模）某市霧霾天氣趨于嚴(yán)重，甲商場根據(jù)民眾健康需要，代理銷售每臺進(jìn)價(jià)分別為600元、560元的A、B兩種型號的空氣凈化器，如表是近兩周的銷售情況：（進(jìn)價(jià)、售價(jià)均保持不變，利潤＝銷售收入﹣進(jìn)貨成本）銷售時(shí)段銷售數(shù)量銷售收入（元）A種型號（臺）B種型號（臺）第一周323960第二周547120（1）求A，B兩種型號的空氣凈化器的銷售單價(jià)；（2）該商店計(jì)劃一次購進(jìn)兩種型號的空氣凈化器共30臺，其中B型凈化器的進(jìn)貨量不超過A型的2倍．設(shè)購進(jìn)A型空氣凈化器為x臺，這30臺空氣凈化器的銷售總利潤為y元．①請寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②該商店購進(jìn)A型、B型凈化器各多少臺，才能使銷售總利潤最大？【解答】解：（1）設(shè)A型號空氣凈化器銷售單價(jià)為x元，B型號空氣凈化器銷售單價(jià)y元，則，解得：．答：A型號空氣凈化器單價(jià)為800元，B型號空氣凈化器單價(jià)780元；（2）①設(shè)A型空氣凈化器采購x臺，采購B種型號空氣凈化器（30﹣x）臺．則y＝（800﹣600）x+（780﹣560）（30﹣x）＝﹣20x+6600，∴y與x的關(guān)系式為y＝﹣20x+6600；②∵B型凈化器的進(jìn)貨量不超過A型的2倍，∴30﹣x≤2x，解得x≥10，∵y＝﹣20x+6600中，﹣20＜0，∴當(dāng)x＝10時(shí)，y最大為6400．此時(shí)30﹣x＝20．答：商店購進(jìn)A型凈化器10臺，B型凈化器20臺時(shí)，才能使銷售總利潤最大．【變式3-1】（2022秋?武義縣期末）非常時(shí)期，出門切記戴口罩．當(dāng)下口罩市場出現(xiàn)熱銷，某超市老板用1200元購進(jìn)甲、乙兩種型號的口罩在超市俏售，銷售完后共獲利400元．進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表：型號價(jià)格甲型口罩乙型口罩進(jìn)價(jià)（元/袋）23售價(jià)（元/袋）33.5（1）該超市胸購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩各多少袋？（2）該超市第二次又以原來的進(jìn)價(jià)購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩共500袋，此次用于購進(jìn)口罩的資金不少于1220元，但不超過1360元．若兩種型號的口罩都按原來的售價(jià)全部售完．設(shè)此次購進(jìn)甲種口罩x袋，超市獲利y元，試求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并求出x的取值范圍和超市的最大利潤．【解答】解：（1）根據(jù)題意，設(shè)甲型號口罩有a袋，乙型號口罩有b袋，用1200元購進(jìn)，獲利400元，∴，解方程組得，，∴甲型號口罩有300袋，乙型號口罩有200袋．（2）解：以原來的進(jìn)價(jià)購進(jìn)甲、乙兩種型號口罩共500袋，甲種口罩x袋，∴乙型口罩為（500﹣x）袋，∵用于購進(jìn)口罩的資金不少于1220元，但不超過1360元，∴1220≤2x+3（500﹣x）≤1360，解不等式得，140≤x≤280，∵獲利y元，∴y＝（3﹣2）x+（3.5﹣3）（500﹣x），整理得，y＝0.5x+250，∵一次函數(shù)y＝0.5x+250中，k＝0.5＞0，∴函數(shù)值y隨自變量x的增大而增大，且自變量的取值范圍為140≤x≤280，∴當(dāng)x＝280時(shí)，利潤最大，最大值為y＝0.5×280+250＝390（元），∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝0.5x+250，且自變量的取值范圍為140≤x≤280，當(dāng)x＝280時(shí)，有最大利潤，最大利潤為390元．【變式3-2】（2023?市北區(qū)校級開學(xué)）元旦期間，某經(jīng)銷葡萄的水果店，有兩種銷售方式：既可以批發(fā)，也兼顧零售．店家規(guī)定當(dāng)顧客一次性購買葡萄超過5箱，就可以享受批發(fā)價(jià)．市場調(diào)查顯示，這兩種銷售方式中，每箱葡萄所獲利潤的情況如表所示：銷售方式每箱所獲利潤（元）批發(fā)30零售60（1）已知該水果店元旦假期期間，兩種銷售方式共賣出100箱葡萄，總獲利是3600元求元旦假期期間，該水果店這兩種方式分別銷售了多少箱葡萄；（2）現(xiàn)該水果店計(jì)劃銷售1000箱葡萄，并規(guī)定零售葡萄的數(shù)量不超過200箱，若設(shè)批發(fā)了a箱葡萄，銷售1000箱葡萄的總利潤為w元，則根據(jù)題意，可得w與a的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣30a+60000；a的取值范圍是800≤a≤1000；（3）忽略其他影響因素．請分析分別零售和批發(fā)多少箱葡萄時(shí)，才能使售完這1000箱葡萄的總利潤最大？求最大總利潤是多少元．【解答】解：（1）設(shè)該水果店批發(fā)葡萄x箱，則零售葡萄（100﹣x）箱，由題意，得30x+60（100﹣x）＝3600，解得x＝80，答：該水果店批發(fā)葡萄80箱，零售葡萄20箱；（2）由題意，得w＝30a+60（1000﹣a）＝﹣30a+60000，∴w與a的函數(shù)關(guān)系式為w＝﹣30a+60000；∵零售葡萄的數(shù)量不超過200箱，∴1000﹣a≤200，解得a≥800，∴a的取值范圍是800≤a≤1000，故答案為：w＝﹣30a+60000；800≤a≤1000；（3）∵在w＝﹣30a+60000中﹣30＜0，∴w隨x的增大而減小，∵800≤a≤1000，∴當(dāng)a＝800時(shí)，w最大，最大值為36000，此時(shí)，1000﹣800＝200，答：當(dāng)零售200箱，批發(fā)800箱葡萄時(shí)，才能使售完這1000箱葡萄的總利潤最大，最大總利潤是36000元．【典例4】（2023春?寶豐縣月考）“雙減”政策頒布后，各校重視了延遲服務(wù)，并在延遲服務(wù)中加大了體育活動的力度．某體育用品商店抓住商機(jī)，計(jì)劃購進(jìn)300套乒乓球拍和羽毛球拍進(jìn)行銷售，其中購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，它們的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如下表：進(jìn)價(jià)售價(jià)乒乓球拍（元/套）a50羽毛球拍（元/套）b60已知購進(jìn)2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花費(fèi)110元，購進(jìn)4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花費(fèi)260元．（1）求出a，b的值；（2）該面店根據(jù)以往銷售經(jīng)驗(yàn)，決定購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，設(shè)購進(jìn)乒乓球拍x（套），售完這批體育用品獲利y（元）．①求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②該商店實(shí)際采購時(shí)，恰逢“雙十一”購物節(jié)，乒乓球拍的進(jìn)價(jià)每套降低了a元（0＜α∠10），羽毛球拍的進(jìn)價(jià)不變，已知商店的售價(jià)不變，這批體育用品能夠全部售完，則如何購貨才能獲利最大？【解答】解：（1）根據(jù)題意：，解得，答：a的值為35元，b的值為40元；（2）①由題意得：y＝（50﹣35）x+（60﹣40）（300﹣x）＝﹣5x+6000，∵購進(jìn)乒乓球拍的套數(shù)不超過150套，∴x≤150，∵購進(jìn)乒乓球拍套數(shù)不少于羽毛球拍套數(shù)的一半，∴x≥（300﹣x），解得：x≥100，則x的取值范圍為：100≤x≤150，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝﹣5x+6000，x的取值范圍為：100≤x≤150；②由題意得：y＝（50﹣35+a）x+（60﹣40）（300﹣x）＝（a﹣5）x+6000，∵0＜a＜10，∴當(dāng)a＜5即a﹣5＜0時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝100時(shí)，y有最大值，∴乒乓球拍購進(jìn)10O套，羽毛球拍購進(jìn)200套能獲利最大；當(dāng)a≥5時(shí)，即a﹣5≥0時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝150時(shí)，y有最大值，∴乒乓球拍購進(jìn)150套，羽毛球拍購進(jìn)150套能獲利最大．【變式4】（2021秋?南岸區(qū)期末）為了切實(shí)保護(hù)長江生態(tài)環(huán)境，長江實(shí)施全面禁漁．禁漁后，某水庫自然生態(tài)養(yǎng)殖的魚在市場上熱銷，經(jīng)銷商老李每天從該水庫購進(jìn)草魚和鰱魚進(jìn)行銷售，兩種魚的進(jìn)價(jià)和售價(jià)如表所示：進(jìn)價(jià)（元/斤）售價(jià)（元/斤）鰱魚a6草魚b銷量不超過200斤的部分銷量超過200斤的部分98.5已知老李購進(jìn)10斤鰱魚和20斤草魚需要160元，購進(jìn)20斤鰱魚和10斤草魚需要140元．（1）求a，b的值；（2）老李每天購進(jìn)兩種魚共300斤，并在當(dāng)天都銷售完，其中銷售鰱魚不少于80斤且不超過120斤，設(shè)每天銷售鰱魚x斤（銷售過程中損耗不計(jì)）．①求出每天銷售獲利y（元）與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②元旦節(jié)這天，老李讓利銷售，將鰱魚售價(jià)每斤降低m元（m＞0），草魚售價(jià)全部定為8.5元/斤，為保證元旦節(jié)這一天銷售這兩種魚獲得最小利潤，且最小利潤為630元，求m的值．【解答】解：（1）根據(jù)題意得：，解得；（2）①由題意得，銷售鰱魚獲利y1＝（6﹣4）x＝2x（80≤x≤120），（Ⅰ）當(dāng)300﹣x≤200時(shí)，100≤x≤120，銷售草魚獲利y2＝（9﹣6）×（300﹣x）＝﹣3x+900；∴當(dāng)100≤x≤120時(shí)，每天銷售獲利y＝y(tǒng)1+y2＝2x+（﹣3x+900）＝﹣x+900，（Ⅱ）當(dāng)300﹣x＞200時(shí)，80≤x＜100，銷售草魚獲利y2＝（9﹣6）×200+（8.5﹣6）×（300﹣x﹣200）＝﹣2.5x+850；∴當(dāng)80≤x＜100時(shí)，每天銷售獲利y＝y(tǒng)1+y2＝2x+（﹣2.5x+850）＝﹣0.5x+850，綜上所述，y＝；②設(shè)銷售獲利W元，由題意得：W＝（6﹣m﹣4）x+（8.5﹣6）×（300﹣x）＝（﹣0.5﹣m）x+750，其中80≤x≤120，∵當(dāng)﹣0.5﹣m≥0時(shí)，W＝（﹣0.5﹣m）x+750≥750，不合題意，∴﹣0.5﹣m＜0，∴W隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝120時(shí)，W的值最小，由題意得：（﹣0.5﹣m）×120+750＝630，解得m＝0.5，∴m的值為0.5．【題型4：利用一次函數(shù)解決行程問題】【典例5】（2023春?南關(guān)區(qū)校級月考）甲車從A地出發(fā)勻速駛往B地，半個(gè)小時(shí)后，乙車沿同一路線由A地勻速駛往B地，兩車距A地的路程y（km）與乙車出發(fā)時(shí)間x（h）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象回答下列問題：（1）乙車速度是100km/h，a＝40；（2）求甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式；（3）直接寫出在乙車行駛過程中，甲、乙兩車相距15km時(shí)x的值．【解答】解：（1）由圖象知，乙的速度為：＝100（km/h）；甲的速度為：＝80（km/h），則a＝80×0.5＝40（km），故答案為：100，40；（2）設(shè)甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），將（0，40）、（5.5，480）代入，得，解得，∴甲車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y＝80x+40；（3）設(shè)乙車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y＝mx（m≠0），將（4.8，480）代入，得480＝4.8，解得m＝100，則乙車距A地的路程y與x之間的函數(shù)解析式為y＝100x，令|80x+40﹣100x|＝15，解得x1＝，x2＝；∴當(dāng)x＝或時(shí)，甲、乙兩車相距15km．【變式5-1】（2023?新市區(qū)校級一模）甲、乙兩車分別從A，B兩地去同一城市C，他們離A地的路程y（km）隨時(shí)間x（h）變化的圖象如圖所示，根據(jù)圖象解答下列問題：（1）A，B兩地的路程為360千米；（2）求乙車離A地的路程y（km）關(guān)于時(shí)間x（h）的函數(shù)表達(dá)式；（3）當(dāng)兩車相距20千米時(shí)，求乙車行駛的時(shí)間．【解答】解：（1）A，B兩地的路程為360千米，故答案為：360；（2）設(shè)乙離A地的路程y（千米）關(guān)于時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)表達(dá)式是y＝ax+b，則，解得，∴乙離A地的路程y（千米）關(guān)于時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)表達(dá)式是y＝80x+40；（3）設(shè)甲離A地的路程y（千米）關(guān)于時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx，把（3，360）代入得：3k＝360，解得k＝120，∴甲離A地的路程y（千米）關(guān)于時(shí)間x（時(shí)）的函數(shù)表達(dá)式是y＝120x，當(dāng)兩車相距20千米時(shí)，|80x+40﹣120x|＝20，解得x＝或，當(dāng)甲到達(dá)C地時(shí)，80x+40＝340，解得x＝，綜上所述，當(dāng)兩車相距20千米時(shí)，乙車行駛的時(shí)間為h或h或h．【變式5-2】（2023?新華區(qū)模擬）小明早晨從家里出發(fā)勻速步行去上學(xué)，小明的媽媽在小明出發(fā)后10min，發(fā)現(xiàn)小明的數(shù)學(xué)課本沒帶，于是她帶上課本立即勻速騎車按小明上學(xué)的路線追趕小明，結(jié)果與小明同時(shí)到達(dá)學(xué)校，交接課本后立即按原路返回．已知小明距離家的路程s（km）與離開家的時(shí)間t（min）之間的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示．（1）求s（km）與t（min）之間的函數(shù)關(guān)系；（2）請?jiān)趫D中畫出小明的媽媽距離家的路程s（km）與小明離開家的時(shí)間t（min）之間函數(shù)關(guān)系的圖象；（備注：請對畫出的圖象用數(shù)據(jù)作適當(dāng)?shù)臉?biāo)注）（3）直接寫出小明的媽媽在追趕小明及返回家的過程中，距學(xué)校0.5km時(shí)t的值．【解答】解：（1）∵s（km）與t（min）之間的函數(shù)關(guān)系的圖像是線段OA，且O（0，0），∴設(shè)s＝kt，又∵A（20，2），則有：2＝20k，解得：，∴．（2）解：如圖1中折線段BA﹣AC．（3）解：由（2）可知，家與學(xué)校的距離為2km，小明媽媽來回學(xué)校的時(shí)間為20min，∴小明媽媽的速度為＝0.2km/min，∴小明的媽媽在追趕小明，距學(xué)校0.5km時(shí)：，小明的媽媽在返回家，距學(xué)校0.5km時(shí)；．【變式5-3】（2022秋?高郵市期末）甲、乙兩地相距150千米，一列快車和一列慢車分別從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)，沿平行的軌道勻速相向而行，快車到達(dá)乙地停留一段時(shí)間后，按原路原速返回到甲地時(shí)停止；慢車到達(dá)甲地時(shí)停止．慢車到達(dá)甲地比快車到達(dá)甲地早0.5小時(shí)，快車速度是慢車速度的2倍．兩車距各自出發(fā)地的路程y千米與所用時(shí)間x小時(shí)的函數(shù)圖象如圖，請結(jié)合圖象信息解答下列問題：（1）快車的速度為100千米/小時(shí)，慢車的速度為50千米/小時(shí)；（2）求快車返回過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式；（3）兩車出發(fā)后經(jīng)過多長時(shí)間相距60千米的路程？【解答】解：（1）∵快車到達(dá)乙地停留一段時(shí)間后，按原路原速返回到甲地時(shí)停止，慢車到達(dá)甲地時(shí)停止，∴圖中OA為慢車距乙地的路程y千米與所用時(shí)間x小時(shí)的函數(shù)圖象，折線OBCD為快車距甲地的路程y千米與所用時(shí)間x小時(shí)的函數(shù)圖象，∵慢車到達(dá)甲地比快車到達(dá)甲地早0.5小時(shí)，∴慢車從甲地到乙地所用時(shí)間為：3.5﹣0.5＝3（小時(shí)），∴慢車的速度為：（千米/小時(shí)），∵快車速度是慢車速度的2倍，∴快車速度為50×2＝100（千米/小時(shí)）；故答案為：100千米/小時(shí)；50千米/小時(shí)．（2）快車從乙地到甲地所用時(shí)間為：（小時(shí)），∴點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為3.5﹣1.5＝2，則C（2，150），設(shè)CD的函數(shù)解析式為y＝kx+b（k≠0），把C（2，150），D（3.5，0）代入得：，解得：，∴CD的函數(shù)解析式為y＝﹣100x+350，即快車返回過程中y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣100x+350．（3）快車從甲地到乙地時(shí)，設(shè)經(jīng)過m小時(shí)兩車相距60千米，兩車相遇前，100m+50m＝150﹣60，解得：；兩車相遇后，100m+50m＝150+60，解得：；快車從乙地出發(fā)時(shí)，慢車與乙地的距離為：50×2＝100（千米），快車從乙地到甲地時(shí)，設(shè)經(jīng)過n小時(shí)，兩車相距60千米，根據(jù)題意得：100+50n﹣100n＝60，解得：，（小時(shí)）；綜上分析可知，兩車出發(fā)后經(jīng)過小時(shí)或小時(shí)或小時(shí)，兩車相距60千米的路程．【題型5：利用一次函數(shù)解決運(yùn)輸問題】【典例6】（2022春?江岸區(qū)校級月考）A城有肥料200t，B城有肥料300t，現(xiàn)要把這些肥料全部運(yùn)往C、D兩鄉(xiāng)，從A城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料的費(fèi)元用分別為20元/t和25元/t；從B城往C、D兩鄉(xiāng)運(yùn)肥料分別為15元/t和24元/t．現(xiàn)C鄉(xiāng)需要肥料240t，D鄉(xiāng)需要肥料260t，設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料為x噸，運(yùn)往C鄉(xiāng)肥料的總運(yùn)費(fèi)為y1，運(yùn)往D鄉(xiāng)肥料的總運(yùn)費(fèi)為y2；（1）寫出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式以及y2關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式并指出自變量的取值范圍；（2）怎么樣調(diào)度使得該過程的總運(yùn)費(fèi)最少并求出最少的運(yùn)輸費(fèi)以及最少的運(yùn)輸方案；（3）由于從B城到D鄉(xiāng)開辟了一條新的公路，使B城到D鄉(xiāng)的運(yùn)輸費(fèi)每噸減少了a（2≤a≤8）元，如何調(diào)度才能使總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)輸費(fèi)是多少？（用含a的式子表達(dá)）【解答】解：（1）據(jù)題意得：y1＝20x+15（240﹣x）＝5x+3600，y2＝25（200﹣x）+24（x+60）＝﹣x+6440．（2）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，根據(jù)題意可得，y與x之間的函數(shù)關(guān)系為：y＝5x+3600+（﹣x+6440）＝4x+10040，∵k＝4＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y最小＝10040，∴從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)200噸；從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)240噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)60噸，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，總運(yùn)費(fèi)最小值是10040元．（3）根據(jù)題意可知，改善后的總運(yùn)費(fèi)為y＝20x+15（240﹣x）+25（200﹣x）+（24﹣a）（x+60）＝（4﹣a）x+10040﹣60a，∵，∴0≤x≤200．①當(dāng)4﹣a＞0，即2≤a＜4時(shí)，y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y最?。?0040﹣60a，②當(dāng)4﹣a＜0，即4＜a≤8時(shí)，y隨x的增大而減小，∴當(dāng)x＝200時(shí)，y最?。?0840﹣260a，③當(dāng)4﹣a＝0時(shí)，即a＝4時(shí)，無論x去何值，y的值為10040﹣60a．綜上，2≤a≤4時(shí)，從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)200噸；從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)240噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)60噸，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，y最?。?0040﹣60a；當(dāng)4＜a≤8時(shí)，從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)200噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)0噸；從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)40噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)260噸，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，y最小＝10840﹣260a．【變式6-1】（2022春?黔東南州期末）A城有肥料200噸，B城有肥料300噸，現(xiàn)全部運(yùn)往C，D兩鄉(xiāng)，從A城往C，D兩鄉(xiāng)運(yùn)送肥料的費(fèi)用分別是每噸20元和25元，從B城運(yùn)往C，D兩鄉(xiāng)的運(yùn)輸費(fèi)用分別是15元和24元，C鄉(xiāng)需240噸，D鄉(xiāng)需260噸，設(shè)A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料量為x噸，總運(yùn)費(fèi)為y元．（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍；（2）求出總運(yùn)費(fèi)最低的調(diào)運(yùn)方案，最低運(yùn)費(fèi)是多少？【解答】解：（1）設(shè)總運(yùn)費(fèi)為y元，A城運(yùn)往C鄉(xiāng)的肥料量為x噸，則運(yùn)往D鄉(xiāng)的肥料量為（200﹣x）噸；B城運(yùn)往C、D鄉(xiāng)的肥料量分別為（240﹣x）噸和[260﹣（200﹣x）]＝（60+x）噸，根據(jù)題意得：y＝20x+25（200﹣x）+15（240﹣x）+24（60+x）＝4x+10040，自變量x的取值范圍為0≤x≤200，∴y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝4x+10040（0≤x≤200）；（2）由（1）知，y＝4x+10040，∵k＝4＞0，∴y隨x的增大而增大，∴當(dāng)x＝0時(shí)，y最?。?0040，∴從A城運(yùn)往C鄉(xiāng)0噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)200噸；從B城運(yùn)往C鄉(xiāng)240噸，運(yùn)往D鄉(xiāng)60噸，此時(shí)總運(yùn)費(fèi)最少，總運(yùn)費(fèi)最小值是10040元．【變式6-2】（2022春?武漢期末）2020年春，新冠肺炎疫情暴發(fā)后，全國人民眾志成城抗擊疫情．某省A，B兩市成為疫情重災(zāi)區(qū)，抗疫物資一度嚴(yán)重緊缺，對口支援的C，D市獲知A，B兩市分別急需抗疫物資200噸和300噸的消息后，決定調(diào)運(yùn)物資支援災(zāi)區(qū)．已知C市有救災(zāi)物資240噸，D市有救災(zāi)物資260噸，現(xiàn)將這些抗疫物資全部調(diào)往A，B兩市．已知從C市運(yùn)往A，B兩市的費(fèi)用分別為每噸20元和25元，從D市運(yùn)往往A，B兩市的費(fèi)用別為每噸15元和30元，設(shè)從D市運(yùn)往B市的救災(zāi)物資為x噸，并繪制出表：A（噸）B（噸）合計(jì)（噸）Cab240Dcx260總計(jì)（噸）200300500（1）a＝x﹣60，b＝300﹣x，c＝260﹣x（用含x的代數(shù)式表示）；（2）設(shè)C，D兩市的總運(yùn)費(fèi)為w元，求w與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出自變量x的取值范圍．（3）由于途經(jīng)地區(qū)的全力支持，D市到B市的運(yùn)輸路線得以改善和優(yōu)化，縮短了運(yùn)輸時(shí)間，運(yùn)費(fèi)每噸減少m元（m＞0），其余路線運(yùn)費(fèi)不變，若C，D兩市的總運(yùn)費(fèi)的最小值不小于10320元，求m的取值范圍．【解答】解：（1）∵D市運(yùn)往B市x噸，∴D市運(yùn)往A市（260﹣x）噸，C市運(yùn)往B市（300﹣x）噸，C市運(yùn)往A市200﹣（260﹣x）＝（x﹣60）噸，故答案為：x﹣60，300﹣x，260﹣x；（2）由題意得：w＝20（x﹣60）+25（300﹣x）+15（260﹣x）+30x＝10x+10200，∵x＞0，x﹣60≥0，300﹣x≥0，260﹣x≥0，∴60≤x≤260，∴w與x之間的函數(shù)關(guān)系式為w＝10x+10200，自變量x的取值范圍為60≤x≤260；（3）由題意可得，w＝10x+10200﹣mx＝（10﹣m）x+10200，當(dāng)10﹣m＞0時(shí)，即0＜m＜10，x＝60時(shí)，w最小，此時(shí)w＝（10﹣m）×60+10200≥10320，解得0＜m≤8，當(dāng)10﹣m＜0時(shí)，即m＞10，x＝260時(shí)，w取得最小值，此時(shí)w＝（10﹣m）×260+10200≥10320，解得m≤，∵＜10，∴m＞10不符合題意，∴m的取值范圍是0＜m≤8．一．選擇題（共6小題）1．（2024?南召縣開學(xué)）某市出租車收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：起步價(jià)8元（路程不超過2km），當(dāng)路程超過2km時(shí)，每1km收費(fèi)1.8元，如果某出租車行駛x（x＞2km），則司機(jī)應(yīng)收費(fèi)（單位：元）（）A．8﹣1.8x B．8+1.8x C．4.4+1.8x D．11.6﹣1.8x【答案】C【解答】解：根據(jù)題意知，司機(jī)應(yīng)收費(fèi)8+1.8（x﹣2）＝（4.4+1.8x）元，故選：C．2．（2023秋?臨澤縣期末）某航空公司規(guī)定，旅客乘機(jī)所攜帶行李的質(zhì)量x（kg）與其運(yùn)費(fèi)y（元）由如圖所示的一次函數(shù)圖象確定，那么旅客可攜帶的免費(fèi)行李的最大質(zhì)量為（）A．20kg B．25kg C．28kg D．30kg【答案】A【解答】解：設(shè)y與x的函數(shù)關(guān)系式為y＝kx+b，由題意可知，解得，所以函數(shù)關(guān)系式為y＝30x﹣600，當(dāng)y＝0時(shí)，即30x﹣600＝0，所以x＝20．故選：A．3．（2023?山西）一種彈簧秤最大能稱不超過10kg的物體，不掛物體時(shí)彈簧的長為12cm，每掛重1kg物體，彈簧伸長0.5cm，在彈性限度內(nèi)，掛重后彈簧的長度y（cm）與所掛物體的質(zhì)量x（kg）之間的函數(shù)關(guān)系式為（）A．y＝12﹣0.5x B．y＝12+0.5x C．y＝10+0.5x D．y＝0.5x【答案】B【解答】解：根據(jù)題意，得y＝12+0.5x（0≤x≤10），故選：B．4．（2023?桂陽縣模擬）若等腰三角形的周長是20cm，則能反映這個(gè)等腰三角形的腰長ycm與底邊長xcm的函數(shù)關(guān)系的圖象是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：根據(jù)題意得2y+x＝20．∴y＝10﹣x，由y+y＞x，即20﹣x＞x，得x＜10，又x＞0，∴0＜x＜10，∴y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為y＝10﹣x（0＜x＜10）；故選：B．5．（2023?隨州）甲、乙兩車沿同一路線從A城出發(fā)前往B城，在整個(gè)行程中，汽車離開A城的距離y與時(shí)刻t的對應(yīng)關(guān)系如圖所示，關(guān)于下列結(jié)論：①A，B兩城相距300km；②甲車的平均速度是60km/h，乙車的平均速度是100km/h；③乙車先出發(fā)，先到達(dá)B城；④甲車在9：30追上乙車．正確的有（）A．①② B．①③ C．②④ D．①④【答案】D【解答】解：由圖象可知，A，B兩城相距300km，乙車先出發(fā)，甲車先到達(dá)B城，故①符合題意，③不符合題意；甲車的平均速度是300÷3＝100（千米/小時(shí)），乙車的平均速度是300÷5＝60（千米/小時(shí)），故②不符合題意；設(shè)甲車出發(fā)后x小時(shí)，追上乙車，100x＝60（x+1），解得x＝1.5，∴甲車出發(fā)1.5小時(shí)追上乙車，∵甲車8：00出發(fā)，∴甲車在9：30追上乙車，故④符合題意，綜上所述，正確的有①④，故選：D．6．（2023?南崗區(qū)校級二模）為了解脫貧攻堅(jiān)成果，宣傳鄉(xiāng)村振興發(fā)展之路，某電視臺記者乘汽車赴360km外的新農(nóng)村進(jìn)行采訪，路程的前一部分為高速公路，后一部分為省道．若汽車在高速公路和省道上分別以某一速度勻速行駛，汽車行駛的路程y（單位：km）與時(shí)間x（單位：h）之間的關(guān)系如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A．汽車在高速公路上的行駛速度為180km/h B．省道總長為90km C．汽車在省道上的行駛速度為60km/h D．該記者在出發(fā)3.5h后到達(dá)采訪地【答案】C【解答】解：A．汽車在高速公路上行駛速度為：180÷2＝90（km/h），故本選項(xiàng)不合題意；B．省道公路總長為：360﹣180＝180km，故本選項(xiàng)不合題意；C．汽車在省道上的行駛速度為：（270﹣180）÷（3.5﹣2）＝60（km/h），故本選項(xiàng)符合題意；D．該記者在出發(fā)后：2+（360﹣180）÷60＝5（h）到達(dá)采訪地，故本選項(xiàng)不合題意，故選：C．二．填空題（共6小題）7．（2023秋?甘州區(qū)校級期末）某市新能源出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下：3千米以內(nèi)（包括3千米）收費(fèi)12元，超過3千米后，每超1千米就加收2.2元．若某人乘出租車行駛的距離為x（x＞3）千米，則需付費(fèi)用y與行駛距離x之間的函數(shù)關(guān)系式是y＝2.2x+5.4．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意可得：y＝12+（x﹣3）×2.2＝12+2.2x﹣6.6＝5.4+2.2x．故答案為：y＝2.2x+5.4．8．（2022秋?陽曲縣校級期末）一根蠟燭長20cm，點(diǎn)燃后每小時(shí)燃燒5cm，燃燒時(shí)剩下的高度h（單位：cm）與燃燒時(shí)間t（單位：h）（0≤t≤4）之間的關(guān)系是h＝﹣5t+20．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：由題意得：5t+h＝20，整理得：h＝﹣5t+20，故答案為：h＝﹣5t+20．9．（2022秋?榮成市期末）如圖，桿秤是利用杠桿原理來稱物品質(zhì)量的簡易衡器，其秤砣到秤紐的水平距離ycm與所掛物重xkg之間滿足一次函數(shù)關(guān)系．若不掛重物時(shí)秤砣到秤紐的水平距離為2.5cm，掛1kg物體時(shí)秤砣到秤紐的水平距離為8cm．則當(dāng)秤砣到秤紐的水平距離為30cm時(shí)，秤鉤所掛物重為5kg．【答案】5kg．【解答】解：設(shè)秤砣到秤紐的水平距離ycm與所掛物重xkg之間的函數(shù)解析式為y＝kx+b，由題意可得，當(dāng)x＝0時(shí)，b＝2.5，當(dāng)x＝1時(shí)，y＝8，∴，解得，∴y＝5.5x+2.5，當(dāng)y＝30時(shí)，30＝5.5x+2.5，解得x＝5，即當(dāng)秤砣到秤紐的水平距離為30cm時(shí)，秤鉤所掛物重為5kg，故答案為：5kg．10．（2023?武漢）我國古代數(shù)學(xué)經(jīng)典著作《九章算術(shù)》記載：“今有善行者行一百步，不善行者行六十步，今不善行者先行一百步，善行者追之．問幾何步及之？”如圖是善行者與不善行者行走路程s（單位：步）關(guān)于善行者的行走時(shí)間t的函數(shù)圖象，則兩圖象交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)是250．【答案】250．【解答】解：設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為：（a，100）、（a，160），則直線OP的表達(dá)式為：s＝t①，設(shè)直線BP的表達(dá)式為：s＝kx+100，將點(diǎn)B的坐標(biāo)代入上式得：160＝ak+100，解得：k＝，則直線BP的表達(dá)式為：s＝t+100②，聯(lián)立①②得：t＝t+100，解得：s＝250，兩圖象交點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為250，故答案為：250．11．（2023春?冷水灘區(qū)期末）小勝參加2023年的高考，到達(dá)考點(diǎn)時(shí)發(fā)現(xiàn)沒有帶身份證，求助交警后，交警驅(qū)車載小勝迅速回到離考點(diǎn)2千米的家取身份證，并立即返回考場，小勝離考點(diǎn)行駛路程y（米）與時(shí)間x（分鐘）之間的變化關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象中的數(shù)據(jù)，寫出y與x（0≤x≤6）之間的函數(shù)表達(dá)式y(tǒng)＝．【答案】y＝．【解答】解：當(dāng)0≤x≤6時(shí)，函數(shù)圖象過原點(diǎn)，為正比例函數(shù)．設(shè)y與x的函數(shù)表達(dá)式為y＝kx．將（6，2000）代入，得6k＝2000，解得．∴當(dāng)0≤x≤6時(shí)，y＝．故答案為：y＝．12．（2023?陽泉模擬）某超市以每千克8元的價(jià)格購進(jìn)蘋果銷售，銷售了部分蘋果后，余下的蘋果每千克降價(jià)2元銷售，全部售完．銷售金額y（元）與銷售量x（千克）之間的關(guān)系如圖所示，則該超市這次銷售蘋果盈利了2700元．【答案】2700．【解答】解：8800÷800＝11（元），∵余下的蘋果每千克降價(jià)2元銷售，∴后來出售的西瓜重量：（11500﹣8800）÷（11﹣2）＝300（千克），∴所有進(jìn)貨的總重量：800+300＝1100（千克），∴進(jìn)貨總進(jìn)價(jià)：1100×8＝8800（元），∴11500﹣8800＝2700（元）．∴該超市這次銷售蘋果盈利了2700元．故答案為：2700．三．解答題（共4小題）13．（2024?朝陽區(qū)模擬）某市規(guī)定了每月用水18立方米以內(nèi)（含18立方米）和用水18立方米以上兩種不同的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)．該市的用戶每月應(yīng)交水費(fèi)y（元）是用水量x（立方米）的函數(shù)，其圖象如圖所示．（1）求當(dāng)x＞18時(shí)，y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）若小敏家某