第十七章 勾股定理 單元達標測試卷（解析版）-A4

第頁第二單元勾股定理達標測試卷（考試時間：90分鐘試卷滿分：100分）單項選擇題（本題共10小題，每小題3分，共30分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。）1．下列各組線段，能組成直角三角形的是（）A．a＝1，b＝2，c＝2 B．a＝2，b＝3，c＝5 C．a＝2，b＝4，c＝5 D．a＝3，b＝4，c＝5【答案】D【解答】解：A、∵12+22≠22，∴該三角形不是直角三角形，故此選項不符合題意；B、∵22+32≠52，∴該三角形不是直角三角形，故此選項不符合題意；C、∵22+42≠52，∴該三角形不是直角三角形，故此選項不符合題意；D、∵32+42＝52，∴該三角形是直角三角形，故此選項符合題意；故選：D．2．下列各圖是以直角三角形各邊為邊，在三角形外部畫正方形得到的，每個正方形中的數及字母S表示所在正方形的面積．其中S的值恰好等于10的是（）A．B． C．D．【答案】D【解答】解：∵以直角三角形各邊為邊在三角形外部畫正方形，每個正方形中的數及字母S表示所在正方形的面積，∴每個正方形中的數及字母S表示所在正方形的邊長的平方，A、由勾股定理得：S＝5+15＝20，故選項A不符合題意；B、由勾股定理得：S＝8+6＝14，故選項B不符合題意；C、由勾股定理得：S＝8﹣6＝2，故選項C不符合題意；D、由勾股定理得：S＝15﹣5＝10，故選項D符合題意；故選：D．3．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AB＝15，則正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為（）A．225 B．200 C．150 D．無法計算【答案】A【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，由勾股定理得，AC2+BC2＝AB2＝152＝225，∴正方形ADEC和正方形BCFG的面積和為225，故選：A．4．如圖，在數軸上點A，B所表示得數分別是﹣1，1，CB⊥AB，BC＝1，以點A為圓心，AC長為半徑畫弧，交數軸于點D（點D在點B的右側），則點D所表示的數是（）A． B．﹣1 C． D．2﹣【答案】B【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝1﹣（﹣1）＝2，BC＝1，由勾股定理得，AC＝，則點D表示的數為﹣1．故選：B．5．將一根24cm的筷子置于底面直徑為12cm，高為5cm的圓柱形水杯中，如圖，設筷子露在杯子外面的長度為hcm，則h的取值范圍是（）A．h≤19 B．11≤h≤19 C．12≤h≤19 D．13≤h≤19【答案】B【解答】解：如圖，當筷子的底端在D點時，筷子露在杯子外面的長度最長，此時h＝24﹣5＝19（cm），當筷子的底端在A點時，筷子露在杯子外面的長度最短，在Rt△ABD中，AD＝12cm，BD＝5cm，∴AB＝＝＝13（cm），此時h＝24﹣13＝11（cm），所以h的取值范圍是11≤h≤19．故選：B．6．如圖在實踐活動課上，小華打算測量學校旗桿的高度，她發(fā)現旗桿頂端的繩子垂到地面后還多出1m，當她把繩子斜拉直，且使繩子的底端剛好接觸地面時，測得繩子底端距離旗桿底部5m，由此可計算出學校旗桿的高度是（）A．8m B．10m C．12m D．15m【答案】C【解答】解：設旗桿的高度為x米，則繩子的長度為（x+1）米，根據勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．即旗桿的高度為12米．故選：C．7．如圖，長為16cm的橡皮筋放置在x軸上，固定兩端A和B，然后把中點C向上拉升6cm至D點，則橡皮筋被拉長了（）A．6cm B．5cm C．4cm D．2cm【答案】C【解答】解：由題意可知：AB＝16cm，DC垂直平分AB，DC＝6cm，∴AC＝AB＝8cm，AD＝BD，根據勾股定理可得：AD＝（cm），∴橡皮筋被拉長了：AD+BD﹣AB＝10+10﹣16＝4（cm），故選：C．8．在如圖的網格中，小正方形的邊長均為1，A、B、C三點均在正方形格點上，則下列結論錯誤的是（）A．S△ABC＝10 B．∠BAC＝90° C．AB＝2 D．點A到直線BC的距離是2【答案】A【解答】解：A、S△ABC＝4×4﹣×3×4﹣×1×2﹣×2×4＝5，本選項結論錯誤，符合題意；B、∵AC2＝12+22＝5，AB2＝22+42＝20，BC2＝32+42＝25，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠BAC＝90°，本選項結論正確，不符合題意；C、∵AB2＝20，∴AB＝2，本選項結論正確，不符合題意；D、設點A到直線BC的距離為h，則××2＝×5×h，解得，h＝2，本選項結論正確，不符合題意；故選：A．9．為了測量學校的景觀池的長AB，在BA的延長線上取一點C，使得AC＝5米，在點C正上方找一點D（即DC⊥BC），測得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，則景觀池的長AB為（）A．5米 B．6米 C．8米 D．10米【答案】D【解答】解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，∴CD＝AC＝5（米），∵∠CDB＝60°，∴BC＝DC＝（米），∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），故選：D．10．如圖，在趙爽弦圖中，已知直角三角形的短直角邊長為a，長直角邊長為b，大正方形的面積為20，小正方形的面積為4，則ab的值是（）A．10 B．8 C．7 D．5【答案】B【解答】解：設大正方形的邊長為c，則c2＝a2+b2＝20，小正方形的面積（a﹣b）2＝4，∴20﹣2ab＝4，解得：ab＝8，故選：B．填空題（本題共6小題，每小題3分，共18分．）11．在△ABC中，AB＝15，AC＝13，高AD＝12，則BC的長14或4．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）如圖，銳角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC邊上高AD＝12，∵在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，∴CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴CD＝5，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴CD＝9，∴BC的長為BD+DC＝9+5＝14；（2）鈍角△ABC中，AC＝13，AB＝15，BC邊上高AD＝12，在Rt△ACD中AC＝13，AD＝12，由勾股定理得CD2＝AC2﹣AD2＝132﹣122＝25，∴CD＝5，在Rt△ABD中AB＝15，AD＝12，由勾股定理得BD2＝AB2﹣AD2＝152﹣122＝81，∴BD＝9，∴BC的長為DB﹣BC＝9﹣5＝4．故答案為14或4．12．如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地AB＝2.5米，當人體進入感應器的感應范圍內時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（BC＝1.2米），感應門自動打開，則AD＝1.5米．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖，過點D作DE⊥AB于點E，∵AB＝2.5米，BE＝CD＝1.6米，ED＝BC＝1.2米，則AE＝AB﹣BE＝2.5﹣1.6＝0.9（米）．在Rt△ADE中，由勾股定理得到：AD＝＝＝1.5（米）故答案為：1.5．13．如圖所有四邊形都是正方形，所有三角形都是直角三角形，其中最大的正方形邊長為7cm，則正方形A、B、C、D的面積和為49cm2．【答案】見試題解答內容【解答】解：7×7＝49（平方厘米）答：正方形A、B、C、D面積之和為49平方厘米．故答案為：49．14．在一棵樹的10米高的B處有兩只猴子為搶吃池塘邊水果，一只猴子爬下樹跑到A處（離樹20米）的池塘邊．另一只爬到樹頂D后直接躍到A處，距離以直線計算，如果兩只猴子所經過的距離相等，則這棵樹高15米．【答案】見試題解答內容【解答】解：如圖，設樹的高度為x米，因兩只猴子所經過的距離相等都為30米．由勾股定理得：x2+202＝[30﹣（x﹣10）]2，解得x＝15m．故這棵樹高15m．15．勾股定理a2+b2＝c2本身就是一個關于a，b，c的方程，滿足這個方程的正整數解（a，b，c）通常叫做勾股數組．畢達哥拉斯學派提出了一個構造勾股數組的公式，根據該公式可以構造出如下勾股數組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），…．分析上面勾股數組可以發(fā)現，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…分析上面規(guī)律，第5個勾股數組為（11，60，61）．【答案】見試題解答內容【解答】解：由勾股數組：（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25）…中，4＝1×（3+1），12＝2×（5+1），24＝3×（7+1），…可得第4組勾股數中間的數為4×（9+1）＝40，即勾股數為（9，40，41）；第5組勾股數中間的數為：5×（11+1）＝60，即（11，60，61），故答案為：（11，60，61）．16．如圖，OP＝1，過點P作PP1⊥OP且PP1＝1，根據勾股定理，得OP1＝；再過P1作P1P2⊥OP1且P1P2＝1，得OP2＝；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1，得OP3＝2；…；依此繼續(xù)，得OP2023＝．【答案】．【解答】解：由勾股定理得：OP1＝，OP2＝；OP3＝2；OP4＝＝；依此類推可得OPn＝，∴OP2023＝＝．故答案為：．三、解答題（本題共6小題，共52分，解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（8分）如圖，在四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝BC＝2，CD＝3，DA＝1．（1）求∠DAB的度數；（2）求四邊形ABCD的面積．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）連接AC，∵∠B＝90°，AB＝BC＝2，∴AC＝＝＝2，∠BAC＝∠ACB＝45°，∵CD＝3，DA＝1，∴AD2+AC2＝12+（2）2＝9，CD2＝32＝9，∴AD2+AC2＝CD2，∴△ADC是直角三角形，∴∠DAC＝90°，∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝135°，∴∠DAB的度數為135°；（2）由題意得：四邊形ABCD的面積＝△ABC的面積+△ADC的面積＝AB?BC+AD?AC＝×2×2+×1×2＝2+，∴四邊形ABCD的面積為2+．18．（8分）如圖，小明將升旗的繩子拉到旗桿底端，并在繩子上打了一個結，然后將繩子拉到離旗桿底端6m處，發(fā)現此時繩子底端距離打結處約2m，請設法算出旗桿的高度．【答案】見試題解答內容【解答】解：設旗桿的高為x米，則繩子長為（x+2）米，由勾股定理得，（x+2）2＝x2+62，解得x＝8．答：旗桿的高度是8米．19．（10分）如圖，圖1為4×4的方格，每個小格的頂點叫做格點，每個小正方形邊長為1．（1）圖1中正方形ABCD的面積為，邊長為；（2）①依照圖1中的作法，在下面圖2的方格中作一個正方形，同時滿足下列兩個要求：Ⅰ．所作的正方形的頂點，必須在方格的格點上；Ⅱ．所作的正方形的邊長為．②請在圖2中的數軸上標出表示實數的點，保留作圖痕跡．【答案】（1）10，；（2）①作圖見解析過程；②作圖見解析過程．【解答】解：（1）正方形的邊長為：，面積為：，故答案為：10，；（2）①如圖所示的正方形即為所作；②如圖2中，正方形EFGH是所畫的面積為8的格點正方形，以點E為圓心、EF為半徑畫弧，交數軸于點P，則點P的坐標為實數．20．（8分）在一條東西走向河的一側有一村莊C，河邊原有兩個取水點A，B，其中AB＝AC，由于某種原因，由C到A的路現在已經不通，某村為方便村民取水決定在河邊新建一個取水點H（A、H、B在一條直線上），并新修一條路CH，測得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB＝1.8千米．（1）問CH是否為從村莊C到河邊的最近路？（即問：CH與AB是否垂直？）請通過計算加以說明；（2）求原來的路線AC的長．【答案】見試題解答內容【解答】解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9BC2＝9∴CH2+BH2＝BC2∴CH⊥AB，所以CH是從村莊C到河邊的最近路（2）設AC＝x在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2解這個方程，得x＝2.5，答：原來的路線AC的長為2.5千米．21．（8分）如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩村莊，DA⊥AB于點A，CB⊥AB于點B，已知DA＝15km，CB＝10km，現在要在鐵路AB上建一個土特產品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等，則E站應建在離A站多少km處？【答案】E站應建在離A站10km處．【解答】解：∵使得C，D兩村到E站的距離相等，∴DE＝CE．∵DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，∴∠A＝∠B＝90°，∴AE2+AD2＝DE2，BE2+BC2＝EC2，∴AE2+AD2＝BE2+BC2，設AE＝x，則BE＝AB﹣AE＝（25﹣x）．∵DA＝15km，CB＝10km，∴x2+152＝（25﹣x）2+102，解得：x＝10，∴AE＝10km．答：E站應建在離A站10km處．（10分）閱讀下列一段文字，回答問題．【材料閱讀】平面內兩點M（x1，y1），N（x2，y2），則由勾股定理可得，這兩點間的距離MN＝．例如，如圖1，M（3，1），N（1，﹣2），則MN＝＝．【直接應用】（1）已知P（2，﹣3），Q（﹣1，3），求P、Q