第02講 勾股定理的逆定理（知識解讀+達標檢測）（原卷版）-A4

第頁第02講勾股定理的逆定理【題型1：勾股定理的逆定理的運用】【題型2：直角三角形的判斷】【題型3：勾股定理的逆定理應用】【題型4：勾股數(shù)的應用】考點1：勾股定理逆定理1.定義：如果三角形的三條邊長，滿足，那么這個三角形是直角三角形.注意：（1）勾股定理的逆定理的作用是判定某一個三角形是否是直角三角形.（2）勾股定理的逆定理是把“數(shù)”轉(zhuǎn)為“形”，是通過計算來判定一個三角形是否為直角三角形.2.如何判定一個三角形是否是直角三角形首先確定最大邊（如）.驗證與是否具有相等關系.若，則△ABC是∠C＝90°的直角三角形；若，則△ABC不是直角三角形.注意：當時，此三角形為鈍角三角形；當時，此三角形為銳角三角形，其中為三角形的最大邊.【題型1：勾股定理的逆定理的運用】【典例1】（2023春?懷柔區(qū)期末）以下列長度的三條線段為邊，能組成直角三角形的是（）A．3，4，6 B．2，， C．1，2， D．6，8，10【變式1-1】（2023春?郾城區(qū)期末）下列四組線段中，可以構成直角三角形是（）A．，， B．1，2，3 C．0.3，0.4，0.5 D．，，【變式1-2】（2023春?臨潼區(qū)期末）在以下列數(shù)值為邊長的三角形中，不是直角三角形的是（）A．5，12，13 B．6，8，10 C．7，23，25 D．8，15，17【變式1-3】（2023春?長壽區(qū)期末）若△ABC的三邊長為a，b，c，則下列不是直角三角形的是（）A．a(chǎn)＝6，b＝7，c＝8 B．a(chǎn)＝1，， C．a(chǎn)＝1.5，b＝2，c＝2.5 D．a(chǎn)＝3，b＝4，c＝5【題型2：直角三角形的判定】【典例2】（2023春?廬陽區(qū)期末）△ABC的三邊長分別為a，b，c．下列條件：①∠A＝∠B﹣∠C；②a2＝（b+c）（b﹣c）；③∠A：∠B：∠C＝3：4：5；④a：b：c＝5：12：13．其中能判斷△ABC是直角三角形的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【變式2-1】（2023春?江津區(qū)期末）在△ABC中，∠A、∠B、∠C的對邊分別為a、b、c．下列條件中，不能說明△ABC是直角三角形的是（）A．a(chǎn)：b：c＝1：2：3 B．a(chǎn)2＝b2+c2 C．∠B+∠C＝∠A D．∠A：∠B：∠C＝1：2：3【變式2-2】（2023春?山亭區(qū)期中）對于下列四個條件：①∠A+∠B＝∠C；②a：b：c＝3：4：5，③∠A＝90°﹣∠B；④∠A＝∠B＝2∠C，能確定△ABC是直角三角形的條件有（）A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④【變式2-3】（2023春?北京期末）在△ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別是a，b，c．下列條件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（）A．∠A+∠B＝90° B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．a(chǎn)：b：c＝3：4：5 D．a(chǎn)＝b＝1，c＝【典例3】（2023春?北京期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形網(wǎng)格的邊長均為1，點A，B，C，D均在格點上．（1）判斷△ACD的形狀，并說明理由；（2）求四邊形ABCD的面積．【變式3-1】（2023春?良慶區(qū)期末）計算：如圖，方格中小正方形的邊長為1，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上．（1）請判斷三角形ABC是否是直角三角形，并說明理由；（2）求點C到AB邊的距離．【變式3-2】（2023春?綿陽期中）如圖，在△ABC中，CD⊥AB于點D，AC＝20，CD＝12，BD＝9．（1）求證：△ABC是直角三角形；（2）求點D到AC、BC的距離之和．【變式3-3】（2023春?瀘縣校級期中）如圖所示，每個網(wǎng)格正方形的邊長為1cm，△ABC的三個頂點都在小正方形的格點上，求：（1）求△ABC的周長．（2）判斷△ABC的形狀，并求其面積．（3）求邊AB上的高．【題型3：勾股定理的逆定理應用】【典例4】（2023春?虞城縣期末）如圖，等腰三角形ABD的腰長為13cm，底邊BD＝10cm，C為其內(nèi)部一點，且BC＝8cm，CD＝6cm．（1）判斷△BCD的形狀并說明理由；（2）求陰影部分的面積．【變式5-1】（2023春?惠城區(qū)校級期中）如圖，已知AB＝3，BC＝4，CD＝12，DA＝13，AB⊥BC，求四邊形ABCD的面積．【變式6-2】（2023春?南開區(qū)期末）如圖，四邊形ABCD中，AB＝20，BC＝15，CD＝7，AD＝24，∠B＝90°．（1）求證：∠D＝90°；（2）求四邊形ABCD的面積．【變式4-3】（2023春?休寧縣期中）如圖，在四邊形ABCD中，AC⊥BC，AB＝13，BC＝12，CD＝3，AD＝4．（1）求AC的長；（2）求四邊形ABCD的面積．考點2：勾股數(shù)像15，8，17這樣，能夠成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)。勾股數(shù)滿足兩個條件：①滿足勾股定理②三個正整數(shù)【題型4：勾股數(shù)】【典例5】（2023秋?南明區(qū)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，13【變式5-1】（2023秋?福田區(qū)校級期末）我國是最早了解勾股定理的國家之一，它被記載于我國古代著名的數(shù)學著作《周髀算經(jīng)》中．下列各組數(shù)中，是“勾股數(shù)”的是（）A．2，3，4 B．4，5，6 C．7，8，9 D．6，8，10【變式5-2】（2023秋?六盤水期中）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．，， B．1，， C．7，24，25 D．2，3，4【題型5：勾股定理的應用】【典例6】（2022秋?古縣期末）如圖，小旭放風箏時，風箏掛在了樹上．他先拉住風箏線，垂直于地面，發(fā)現(xiàn)風箏線多出1米；把風箏線沿直線BC向后拉5米，風箏線末端剛好接觸地面．求風箏距離地面的高度AB．【變式6-1】（2023秋?肇東市校級期末）一架方梯長25米，如圖，斜靠在一面墻上，梯子底端離墻7米，（1）這個梯子的頂端距地面有多高？（2）如果梯子的頂端下滑了4米，那么梯子的底端在水平方向滑動了幾米？【變式6-2】（2022秋?撫州期末）長清的園博園廣場視野開闊，阻擋物少，成為不少市民放風箏的最佳場所，某校七年級（1）班的小明和小亮學習了“勾股定理”之后，為了測得風箏的垂直高度CE，他們進行了如下操作：①測得水平距離BD的長為15米；②根據(jù)手中剩余線的長度計算出風箏線BC的長為25米；③牽線放風箏的小明的身高為1.6米．（1）求風箏的垂直高度CE；（2）如果小明想風箏沿CD方向下降12米，則他應該往回收線多少米？【變式6-3】（2023秋?東臺市期中）如圖，鐵路上A，B兩點相距25km，C，D為兩莊，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA＝15km，CB＝10km，現(xiàn)在要在鐵路AB上建一個土特產(chǎn)品收購站E，使得C，D兩村到E站的距離相等．問：（1）在離A站多少km處？（2）判定三角形DEC的形狀．一．選擇題（共10小題）1．（2023秋?秦淮區(qū)期末）將下列長度的三根木棒首尾順次連接，能組成直角三角形的是（）A．1，2，3 B．2，3，4 C．4，5，6 D．5，12，132．（2023秋?公主嶺市期末）如圖，一豎直的木桿在離地面3米處折斷，木桿頂端落地面離木桿底端4米處，木桿折斷之前的高度為（）A．7米 B．8米 C．9米 D．12米3．（2023秋?南明區(qū)期末）下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是（）A．3，4，5 B．1，2，3 C．8，10，16 D．5，10，134．（2022秋?運城期末）已知△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，下列條件不能判斷△ABC是直角三角形的是（）A．∠A﹣∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5 C．（b+c）（b﹣c）＝a2 D．a(chǎn)＝7，b＝24，c＝255．（2022秋?古縣期末）如圖，為了測量池塘的寬度DE，在池塘周圍的平地上選擇了A，B，C三點，且A，D，E，C四點在同一條直線上，∠C＝90°，已測得AB＝100m，BC＝60m，AD＝20m，EC＝10m，則池塘的寬度DE是（）A．80m B．60m C．50m D．40m6．（2022秋?薩爾圖區(qū)期末）如圖為某樓梯，測得樓梯的長為5米，高3米，計劃在樓梯表面鋪地毯，地毯的長度至少為（）A．4米 B．7米 C．8米 D．9米7．（2022秋?普寧市期末）如圖，某小區(qū)有一塊長方形花圃，為了方便居民不用再走拐角，打算用瓷磚鋪上一條新路，居民走新路比走拐角近（）A．2m B．3m C．3.5m D．4m8．（2023春?益陽期末）如圖，小巷左右兩側(cè)是豎直的墻，一架梯子斜靠在左墻時，梯子底端到左墻角的距離為0.7米，頂端距離地面2.4米，如果保持梯子底端位置不動，將梯子斜靠在右墻時，頂端距離地面2米，則小巷的寬度為（）A．2.2米 B．2.3米 C．2.4米 D．2.5米9．（2022秋?東臺市期末）如圖，長為8cm的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點C垂直向上拉升3cm到D點，則橡皮筋被拉長了（）A．2cm B．3cm C．4cm D．1cm10．（2023秋?法庫縣期中）如圖，有兩棵樹，一棵高10米，另一棵高5米，兩樹相距12米．一只鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹梢，問小鳥至少飛行（）A．8米 B．10米 C．13米 D．14米二．填空題（共5小題）11．（2023秋?豐順縣期末）如圖，某自動感應門的正上方A處裝著一個感應器，離地AB＝2.5米，當人體進入感應器的感應范圍內(nèi)時，感應門就會自動打開．一個身高1.6米的學生CD正對門，緩慢走到離門1.2米的地方時（BC＝1.2米），感應門自動打開，則AD＝米．12．（2023秋?法庫縣期末）如圖是一種飲料的包裝盒，其長、寬、高分別為4cm，3cm，12cm，現(xiàn)有一長為16cm的吸管插入到盒的底部，吸管露在盒外部分的長度為hcm，則h的取值范圍為．13．（2023秋?龍港區(qū)期末）如圖，正方形網(wǎng)格中，點A，B，C都在格點上，則∠CAB+∠ACB＝．14．（2023?雙流區(qū)開學）如圖，強大的臺風使一根旗桿斷裂，旗桿頂部落在離旗桿底部4米處，斷裂前旗桿總長為8米，則旗桿在離地面米處折斷倒下．15．（2022秋?河南期末）如圖，直角△ABC中，AC＝7，AB＝25，則內(nèi)部五個小直角三角形的周長為．三．解答題（共4小題）16．（2023秋?公主嶺市期末）一塊田地的形狀如圖所示，已知AB＝13m，BC＝12m，CD＝3m，AD＝4m，∠ADC＝90°，求該田地的面積．17．（2023春?天山區(qū)校級期末）如圖，在離水面高度為5米的岸上，有人用繩子拉船靠岸，開始時繩子BC的長為13米，此人以0.5米每秒的速度收繩，10秒后船移動到點D的位置，問船向岸邊移動了多少米？（假設繩子是直的，結(jié)果保留根號）18．（2022秋?姜堰區(qū)期末）如圖，在△ABC中，CD⊥AB，垂足為D，AE平分