2024-2025年北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期中測試題（1-4單元）

2024-2025年北師大版九年級上冊數(shù)學(xué)期中測試題（1-4單元）一、單選題（每題3分，共30分）1．下列方程中，一定是一元二次方程的是（

）A． B．C． D．（為常數(shù)）2．如圖，矩形的兩條對角線相交于點，，，則的長是（

）A．4 B．5 C．6 D．3．如圖，矩形在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點的坐標(biāo)為，則對角線的長為（

）A．4 B． C． D．4．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點的坐標(biāo)為，過點作軸于點，軸于點，點在上．將沿直線翻折，點恰好落在軸上的點處，則點的坐標(biāo)為（）A． B． C． D．5．關(guān)于的一元二次方程有兩個實數(shù)根，的取值范圍是（

）A．且 B． C．且 D．6．已知方程的一個根是1，則的值為（

）A． B．5 C．6 D．77．一張圓桌旁有四個座位，A先坐在如圖所示的座位上，B，C，D三人隨機坐到其他三個座位上，則A與B不相鄰而坐的概率為（

）A． B． C． D．8．如圖，在四邊形中，、交于點，在上且，，則以下結(jié)論不一定成立的是（

）A．B．C．D．9．如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是邊上的點，，且，那么的值為（

）A． B． C． D．10．如圖，在正方形中，與交于點，為延長線上的一點，且，連接，分別交，于點，，連接，則下列結(jié)論：①；②；③平分；④．其中正確結(jié)論的個數(shù)是（

）A．個 B．個 C．個 D．個二、填空題（每題3分，共30分）11．如圖，在菱形中，對角線、相交于點，過點作于點，若，菱形的面積為，則的長為．12．如圖，在矩形中，對角線，相交于點，平分交于點，若，則的度數(shù)為．13．已知三角形的兩邊長分別為3和6，第三邊的長是一元二次方程的一個根，則三角形的周長為．14．已知實數(shù)m，n滿足，則的值為．15．在一個不透明的盒子中裝有10個紅球、若干個黑球，它們除顏色不同外，其余均相同．在看不到的條件下，通過隨機摸球試驗，發(fā)現(xiàn)摸出一個球是紅球的頻率為，則盒子中有個黑球．16．如圖，在矩形中，點是對角線的中點，連接，將延翻折，得到，連接．若，，則．17．如圖，為測量旗桿高度，淇淇在腳下水平放置一平面鏡，然后向后退（保持腳、鏡子和旗桿底端在同一直線上），直到她剛好在鏡子中看到旗桿的頂端，此時淇淇的眼睛離地面的高度，淇淇與鏡子的水平距離，鏡子與旗桿的水平距離．旗桿高度為m．18．如圖，平行四邊形A中，點為線段與的交點，若，，點為線段上一點，且，點是線段上的一點．若在線段上有且只有兩個點使得與相似，則m的值為．19．如圖，在一塊長、寬的矩形空地上，修建同樣寬的兩條相互垂直的道路（兩條道路各與矩形的一條邊平行），剩余部分栽種花草，要使剩余部分的面積為，則修建的路寬應(yīng)為m．20．在平面坐標(biāo)系中，正方形的位置如圖所示，點A的坐標(biāo)為1,0，點的坐標(biāo)為0,2，延長交軸于點，作正方形，延長交軸于點，作正方形，…按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2025個正方形的面積為.

三、解答題（共60分）21．選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń夥匠?1)；(2)；22．在等邊三角形中，，點M，N分別是，上的點，且．(1)求證：；(2)點M在什么位置時，的長為．23．如圖，在中，點D，E分別在邊，AB上，BD，CE相交于點O，且，求證：(1)；(2)．24．如圖，中，，，是由繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，連接、相交于點D．(1)求證：；(2)當(dāng)四邊形為菱形時，求的長．25．如圖，在正方形中，是對角線上一點，點在的延長線上，連接交于點．(1)求證：；(2)若，試判斷與之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說明理由．26．3月14日是國際數(shù)學(xué)日，某校在“國際數(shù)學(xué)日”當(dāng)天舉行了豐富多彩的數(shù)學(xué)活動，其中游戲類活動有：A．?dāng)?shù)字猜謎；B．?dāng)?shù)獨；C．魔方；D．24點游戲；E．?dāng)?shù)字華容道．該校為了解學(xué)生對這五類數(shù)學(xué)游戲的喜愛情況，隨機抽取部分學(xué)生進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計（每位學(xué)生必選且只能選一類），并根據(jù)調(diào)查結(jié)果，繪制了兩幅不完整的統(tǒng)計圖如圖所示．根據(jù)上述信息，解決下列問題．(1)本次調(diào)查總?cè)藬?shù)為______，并補全條形統(tǒng)計圖；（要求在條形圖上方注明人數(shù)）(2)若該校有3000名學(xué)生，請估計該校參加魔方游戲的學(xué)生人數(shù)；(3)該校從C類中挑選出2名男生和2名女生，計劃從這4名學(xué)生中隨機抽取2名學(xué)生參加市青少年魔方比賽，請用列表或畫樹狀圖的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．27．綜合與運用如圖，在矩形中，點M從A點出發(fā)沿以的速度向B點運動，同時點N從B點出發(fā)沿以的速度向C點運動，當(dāng)其中一點到達(dá)終點時，另一點也停止運動，設(shè)點M、N的運動時間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時，?(2)當(dāng)t為何值時，的面積是面積的一半?(3)當(dāng)t為何值時，是以為斜邊的直角三角形?參考答案：題號12345678910答案CDBBCBABAB1．C【分析】本題考查了一元二次方程的定義，通過化簡后，只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次）的整式方程，叫做一元二次方程，由此逐項判斷即可得解．【詳解】解：A、不是整式方程，故不符合題意；B、中含有兩個未知數(shù)，故不符合題意；C、是一元二次方程，故符合題意；D、當(dāng)時，不是一元二次方程，故不符合題意；故選：C．2．D【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，由矩形的性質(zhì)得出，證明是等邊三角形，得出，再由勾股定理計算即可得解，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵四邊形是矩形，∴，，∴，∵，∴，∴是等邊三角形，∴，∴，故選：D．3．B【分析】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，連接，由矩形的性質(zhì)得到，再由坐標(biāo)系中點到原點的距離計算公式求出的長即可得到答案．【詳解】解；如圖所示，連接，∵四邊形是矩形，∴，∵點B的坐標(biāo)為，∴，故選：B．4．B【分析】本題考查了矩形中的折疊問題，坐標(biāo)與圖形的性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識是解題的關(guān)鍵．設(shè)，由折疊性質(zhì)得到，，利用勾股定理計算出，則，在中利用勾股定理得到，然后解方程求出，即可得到點的坐標(biāo)．【詳解】解：如圖，軸，軸，，四邊形是矩形，又點的坐標(biāo)為，，，設(shè)，與關(guān)于直線對稱，，，在中，，．在中，，，即，解得：，點的坐標(biāo)是，故選：B．5．C【分析】本題考查了一元二次方程根的判別式與方程根的個數(shù)之間的關(guān)系，掌握此關(guān)系是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意得到關(guān)于k的不等式，解不等式，同時，即可求解．【詳解】解：由題意得：，解得：，，且．故選：C．6．B【分析】本題考查了一元二次方程的根，把方程已知的根代入方程中，即可求得m的值．【詳解】解：∵方程的一個根是1，∴，∴，故選B．7．A【分析】本題主要考查了概率的計算，根據(jù)題意畫出圖形，得出所有可能的情況數(shù)，然后找出符合題意的情況數(shù)，最后根據(jù)概率公式求出結(jié)果即可．【詳解】解：如圖，根據(jù)圖可知：以B，C，D隨機而坐的結(jié)果數(shù)共有6種，其中A與B不相鄰而坐的結(jié)果有2種，∴A與B不相鄰而坐的概率為：．故選：A．8．B【分析】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等角對等邊．熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．證明，則，證明，則，即，可判斷C的正誤；由，，證明，則，，可判斷A的正誤；設(shè)到上的高為，到上的高為，由，可得，可判斷D的正誤；當(dāng)時，，由的大小關(guān)系不確定，可知，不一定成立，可判斷B的正誤．【詳解】解：∵，，∴，∴，∵，，∴，∴，即，C成立，故不符合要求；∴，又∵，∴，∴，∴，A成立，故不符合要求；設(shè)到上的高為，到上的高為，∴，∴，D成立，故不符合要求；當(dāng)時，，∵的大小關(guān)系不確定，∴，不一定成立，故B符合要求；故選：B．9．A【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理的運用．熟練利用平行線分線段成比例定理是解題關(guān)鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理，列出比例式求解即可得到答案．【詳解】∵，，∴，∴，∴．故選：A．10．B【分析】證明，可得，可判斷結(jié)論①；由，可判斷結(jié)論②；由正方形的性質(zhì)可得垂直平分，，可得，由角的數(shù)量關(guān)系可推出，可判斷結(jié)論③；證明，可判斷結(jié)論④；即可得解．【詳解】解：設(shè)，∵四邊形是正方形，，∴，，，∴，，，∴，∴，故結(jié)論①錯誤；在中，，∴，∴，故結(jié)論②錯誤；∵，∴，∵，∴，∴，∵四邊形是正方形，∴，，，∴垂直平分，，∴，∴，∴，即，∴，∴平分，故結(jié)論③正確；∵，，∴，∴，∴，∵，即，∴，故結(jié)論④正確，∴正確結(jié)論的個數(shù)是個．故選：B．【點睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，勾股定理，垂直平分線的性質(zhì)，等邊對等角，平行線的性質(zhì)等知識，掌握正方形的性質(zhì)及相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．【分析】本題主要考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，掌握菱形的面積公式“菱形的面積等于兩條對角線乘積的一半”是解題的關(guān)鍵．根據(jù)菱形面積的計算公式求得，再根據(jù)菱形對角線互相垂直平分線，利用勾股定理求出，進(jìn)而利用菱形面積等于底×高，計算出菱形的高即可解答．【詳解】解：∵四邊形是菱形，，∴，∵菱形的面積為12，，∴，即∴，∵四邊形是菱形，∴，，∴又∵，∴菱形的面積，∴．∴故答案為：4．12．【分析】此題考查了矩形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線求出，由此得到，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出答案．【詳解】解：在矩形中，，∵平分，∴，∴，∵，，∴，故答案為．13．【分析】本題考查了直接開平方法解一元二次方程、三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，先解一元二次方程得出，，再根據(jù)三角形三邊關(guān)系判斷即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，解得：，，當(dāng)?shù)谌厼闀r，，不滿足三角形三邊關(guān)系，不符合題意；當(dāng)?shù)谌厼闀r，，滿足三角形三邊關(guān)系，符合題意，此時周長為．故答案為：14．【分析】本題考查配方法的應(yīng)用．先把原式轉(zhuǎn)化為，可得當(dāng)，時，等式成立，即可求得，，再代入求值即可．【詳解】解：，∴，∴，∵，，∴，，即，，∴，，∴，故答案為：．15．5【分析】本題考查了概率的求法，利用頻率估計概率，如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率．設(shè)黑球的個數(shù)為x個，根據(jù)概率的求法得：，解方程即可求出黑球的個數(shù)．【詳解】解：設(shè)黑球的個數(shù)為x個，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗：是原分式方程的解，∴黑球的個數(shù)為5，故答案為：5．16．【分析】連接，延長交于點，由勾股定理得，則，可證明，則，因此，則，再由三角形的中位線定理即可求解．【詳解】解：連接，延長交于點，∵四邊形是矩形∴，∴在，由勾股定理得：，∵點為中點，∴，∴，由折疊知，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵點為中點，點為中點，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，三角形的中位線定理，正確添加輔助線，構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．17．8【分析】本題考查了相似三角形的應(yīng)用．根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出，再利用垂直證；然后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案．【詳解】解：如圖所示，作，

由圖可知，，，．根據(jù)鏡面的反射性質(zhì)，∴，∴，，，．，，，．．故答案為：8．18．4或5【分析】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)和相似三角形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，得，當(dāng)與相似時，分或時，再結(jié)合一元二次方程根的情況即可求解．【詳解】解：，，當(dāng)或時，與相似，四邊形是平行四邊形，，設(shè)，則，當(dāng)時，，，當(dāng)時，，，有且只有兩個點，有兩種情況，①有兩個相等的實數(shù)根，，又因為，；②有兩個不相等的實數(shù)根，且是它的一個根，代入得：，又因為，，綜上可知：的值為4或5．故答案為：4或5．19．1【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用；把所修的兩條道路分別平移到矩形的最上邊和最左邊，則剩下的種植園地是一個長方形，根據(jù)長方形的面積公式列方程．【詳解】解：設(shè)道路的寬應(yīng)為米，由題意有，整理，得，解得(不合題意，舍去)．答：道路的寬應(yīng)為米．故答案為：．20．【分析】本題主要考查了正方形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊成比例得到的正方形的邊長，進(jìn)而表示正方形的面積，然后觀察得到的正方形的面積即可得到規(guī)律，從而得到結(jié)論．【詳解】解：∵正方形的點A的坐標(biāo)為1,0，點D的坐標(biāo)為0,2，，，，，延長交x軸于點，作正方形，，，，，，，，，，∴第2個正方形的面積為：，同理可得，，即第3個正方形的面積為：，…∴第2025個正方形的面積為：，故答案為：．21．(1)，(2)，【分析】本題考查了解一元二次方程，解題的關(guān)鍵是掌握一元二次方程的解法：直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法等．（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．【詳解】（1）解：或解得，；（2）解：或解得，．22．(1)見解析(2)當(dāng)或時，的長為【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握以上知識點并靈活運用是解此題的關(guān)鍵．（1）由等邊三角形的性質(zhì)得出，由三角形內(nèi)角和定理得出，求出，即可得解；（2）證明，得出，設(shè)，則，代入計算即可得解．【詳解】（1）證明：∵為等邊三角形，∴，∴，∵，∴，∴；（2）解：∵為等邊三角形，∴，，∵，∴，∴，設(shè)，則，∴，解得：，，故當(dāng)或時，的長為．23．(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，注意：①相似三角形的對應(yīng)邊的比相等，對應(yīng)角相等，②兩三角形有兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩邊的夾角也相等的兩三角形相似．（1）根據(jù)兩三角形有兩組對應(yīng)邊的比相等，且這兩邊的夾角也相等的兩三角形相似推出即可；（2）根據(jù)兩三角形的相似得出，再，即可推出，得出比例式，即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴；（2）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∵，即．24．(1)見解析(2)【分析】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，也考查了菱形的性質(zhì)．（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，然后根據(jù)“”證明，于是根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)菱形的性質(zhì)得，，再利用平行線的性質(zhì)得，則可判斷為等腰直角三角形，所以，然后計算即可．【詳解】（1）證明：∵是由繞點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到的，，，，∴，即，在和中，∴，；（2）解：四邊形為菱形，，，，∵，，∴為等腰直角三角形，，．25．(1)證明見解析；(2)，【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，熟記正方形的性質(zhì)證明是解題的關(guān)鍵．（1）由正方形性質(zhì)可得，，再利用即可證明；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，可得，，再根據(jù)，即可解決問題．【詳解】（1）證明：∵四邊形是正方形，∴，，