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文檔簡(jiǎn)介
第八章立體幾何初步8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積8.3.2圓柱、圓錐、圓臺(tái)、球的表面積和體積第2課時(shí)球的表面積和體積學(xué)習(xí)任務(wù)1.了解并掌握球的體積和表面積公式.(數(shù)學(xué)抽象)2.會(huì)用球的體積與表面積公式解決實(shí)際問(wèn)題.(數(shù)學(xué)運(yùn)算)3.會(huì)解決球的切、接問(wèn)題.(直觀想象、數(shù)學(xué)運(yùn)算)必備知識(shí)·情境導(dǎo)學(xué)探新知012022年2月6日,在2022年印度女足亞洲杯決賽中,中國(guó)女足在0比2落后的情況下逆轉(zhuǎn),以3比2力克韓國(guó)隊(duì)奪冠,時(shí)隔16年重登亞洲之巔.問(wèn)題:你知道2022女足亞洲杯決賽中所使用的足球的表面積和體積嗎?知識(shí)點(diǎn)球的表面積和體積1.球的表面積設(shè)球的半徑為R,則球的表面積S=______,即球的表面積等于它的大圓面積的_倍.2.球的體積設(shè)球的半徑為R,則球的體積V=_____.4πR24
1.表面積為4π的球的半徑是______.1
[設(shè)球的半徑為R,則S=4πR2=4π,得R=1.]2.若一個(gè)球的體積為36π,則它的表面積為_(kāi)_____.136π
關(guān)鍵能力·合作探究釋疑難02類型1球的表面積與體積類型2球的截面問(wèn)題類型3與球有關(guān)的切、接問(wèn)題
√
√(2)已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別為6π和8π,則這兩個(gè)截面間的距離為_(kāi)_____.
1或7反思領(lǐng)悟
球的截面問(wèn)題的解題技巧(1)有關(guān)球的截面問(wèn)題,常畫(huà)出過(guò)球心的截面圓,將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的問(wèn)題.(2)解題時(shí)要注意借助球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d構(gòu)成的直角三角形,即R2=d
2+r2.[跟進(jìn)訓(xùn)練]2.已知OA為球O的半徑,過(guò)OA的中點(diǎn)M且垂直于OA的平面截球面得到圓M.
若圓M的面積為3π,則球O的表面積等于______.
]16π類型3與球有關(guān)的切、接問(wèn)題【例3】有三個(gè)球,第一個(gè)球內(nèi)切于正方體的六個(gè)面,第二個(gè)球與這個(gè)正方體的各條棱相切,第三個(gè)球過(guò)這個(gè)正方體的各個(gè)頂點(diǎn),求這三個(gè)球的表面積之比.
[解]
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a,設(shè)三個(gè)球的半徑分別為r1,r2,r3.(1)正方體的內(nèi)切球球心是正方體的中心,切點(diǎn)是六個(gè)面(正方形)的中心,經(jīng)過(guò)在一個(gè)平面上的四個(gè)切點(diǎn)及球心作截面,如圖①所示.
反思領(lǐng)悟
處理與球有關(guān)的相接、相切問(wèn)題時(shí),關(guān)鍵是根據(jù)“接點(diǎn)”和“切點(diǎn)”作一適當(dāng)?shù)慕孛妫瑢⒖臻g問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題.(1)球內(nèi)切于正方體,切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心,正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑.(2)球外接于正方體,正方體的頂點(diǎn)均在球面上,正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑.
√
學(xué)習(xí)效果·課堂評(píng)估夯基礎(chǔ)031234
√
1234√
1234√1234
4.將兩個(gè)半徑為1的小鐵球熔化后鑄成一個(gè)大球,則這個(gè)大球的半徑R為_(kāi)_____.1234
回顧本節(jié)知識(shí),自主完成以下問(wèn)題:1.球的表面積和體積公式是什么?
2.解決球的截面問(wèn)題的關(guān)鍵是什么?[提示]
解決球的截面問(wèn)題的關(guān)鍵是建立球半徑R、截面圓半徑r、球心到截面的距離d
三者之間的方程.3.若長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a,b,c,則其外接球半徑R與三條棱長(zhǎng)有何關(guān)系?
4.棱長(zhǎng)為a的正方體的外接球,其半徑R與棱長(zhǎng)a有何數(shù)量關(guān)系?其內(nèi)切球半徑R′與棱長(zhǎng)a呢?
5.若一球與正方體的12條棱相切,則球半徑R與棱長(zhǎng)a有何數(shù)量關(guān)系?
閱讀材料·拓展數(shù)學(xué)大視野04
不過(guò),我國(guó)魏晉時(shí)期的數(shù)學(xué)家劉徽在給《九章算術(shù)》作注時(shí)就發(fā)現(xiàn),上述公式的近似效果并不好,于是想到了推算球體積的方法,他創(chuàng)造了一個(gè)稱為“牟合方蓋”的立體圖形.如圖①所示,在一個(gè)立方體內(nèi)作兩個(gè)互相垂直的內(nèi)切圓柱,其相交的部分,就是牟合方蓋,如圖②所示.
劉徽所盼的“能言者”過(guò)了兩百多年才出現(xiàn),那就是祖沖之和他的兒子祖暅.祖氏父子繼承了劉徽的思路,即從計(jì)算牟合方蓋體積來(lái)突破.他們考慮了立方體切除牟合方蓋之后的那部分的體積,取牟合方蓋的八分之一,考慮它與其外切正方體所圍成的立體,如圖③甲所示.將它分成四個(gè)小立體,如圖③乙、③丙、③丁、③
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