高中數(shù)學(xué)必修五知識(shí)點(diǎn)和習(xí)題

書目

編寫說明................................................................0

第一章解三角形.........................................................0

1.1正弦定理和余弦定理.............................................0

1.2應(yīng)用舉例........................................................9

第二章數(shù)列............................................................11

2.1數(shù)列的概念與簡(jiǎn)潔表示方法........................................11

2.2等差數(shù)列........................................................15

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和.............................................17

2.4等比數(shù)列.......................................................21

2.5等比數(shù)列的前n項(xiàng)和.............................................24

第三章不等式..........................................................27

3.1系

3.2一元二次不等式和其解法....................................30

3.3二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問題.................33

3.4根本不等式................................................37

編寫說明

本書是高中數(shù)學(xué)必修課程5個(gè)模塊中的一個(gè)，包括解三角形、數(shù)列及不等式三章

內(nèi)容。

“解三角形”的主要內(nèi)容是介紹三角形的正、余弦定理，和其簡(jiǎn)潔應(yīng)用，旨在通

過對(duì)隨意三角形邊長(zhǎng)和角度關(guān)系的探究，駕馭正弦定理、余弦定理，并能解決一些簡(jiǎn)

潔的三角形度量問題以和可以運(yùn)用正弦定理、余弦定理等學(xué)問和方法解決一些及測(cè)量

和幾何計(jì)算有關(guān)的實(shí)際問題。

“數(shù)列”的主要內(nèi)容是數(shù)列的概念及表示，等差數(shù)列及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及前

n項(xiàng)和。數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的根本數(shù)學(xué)模型。要求學(xué)生在探

究中駕馭及等差數(shù)列、等比數(shù)列有關(guān)的一些根本數(shù)量關(guān)系，感受這兩種數(shù)列模型的廣

泛應(yīng)用，并利用它們解決一些實(shí)際問題。

“不等式”一章通過大量現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中的詳細(xì)實(shí)例引入不等關(guān)系，扶植

學(xué)生理解不等式（組）對(duì)于刻畫不等關(guān)系的意義和價(jià)值，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合一些實(shí)際

問題探究求解一元二次不等式的根本方法，用二元一次不等式組表示平面區(qū)域，以和

解決一些簡(jiǎn)潔的二元線性規(guī)劃問題的方法，最終引導(dǎo)學(xué)生探討了根本不等式和其簡(jiǎn)潔

應(yīng)用。

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

正弦定理：

在AABC中，a、b、c分別為角A、B、。的對(duì)邊，R為AABC的外接圓的半徑，則

abc__

W-——=--=-——=2R.

sinAsinBsinC

正弦定理的變形公式：

①。=2RsinA,b=27?sinB,c=2RsinC;

b._c

②sinA=-^-,sinB=,sinC-;

2R2R2R

③a:/?:c=sinA:sinB:sinC;

④a+b+c_a_b_c

sinA+sinB+sinCsinAsinBsinC

正弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知兩角和任一邊，求其它兩邊和一角；

②已知兩邊和其中一邊對(duì)角，求另一邊的對(duì)角。

【典型例題】

1、在△月3。中，角力、B\。的對(duì)邊分別為a、b>c,A=—fa=A/3,ZJ=1,求Co

2、在△Z。。中，是"sin/=sin。'的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.即不充分又不必要條件

【練習(xí)】

1、AABC中,c=n,4=45°,。=26,求8、C、b.

2、在AA3C中，已知a=6,。=后，B=45°.求A、C和c.

3、已知AABC中，sinA:sinB:sinC=1:2:3,求

4、在AA3C中，已知下列條件解三角形；

(1)a=&,>=2,A=30°;(2)a=2油=0,A=45°;

(3)A=60\5=45°,tz=10(4)。=3/=4,4=30"

(5)a=2,b=5,A=120°(6)a=3,Z?=6,A=30°

5、在AA3C中,a=y/39h=4298=45°.求角A,C和邊c.

6、已知在AABC中,c=10,A=45°,C=30°,求a,。和8。

7、在AABC中，A=60°,〃=46,。=4應(yīng)，求角8。

8、在AA3C中，已知AB=1O0,A=45°,BC=yV3,求角C。

9、在AA8C中，若號(hào)=上,求角B。

sinAcosB

10、在A43C中，若tanA=Lc=150°,BC=l,求AB。

11>在AA8C中，若b=5,=土，tanA=2,求sinA和。。

4

12、在△月3。中，若石a=28sin力，求角B。

13^在AA8C中，已知內(nèi)角A=(,邊8c=26。設(shè)內(nèi)角8=x,周長(zhǎng)為y.

(1)求函數(shù))，=/(])的解析式和定義域；(2)求〉的最大值。

余弦定理

在AABC中,有/=/+-2Z?ccosA,b2=a2+c2-2accosB,

余弦定理的變形公式：

余弦定理的應(yīng)用范圍：

①已知三角形的隨意兩邊和它們的夾角就可以求出第三邊；

②已知三角形的二條邊就可以求出其它角。

【典型例題】

1、在△ABC中，已知〃=2百，c=x/6+V2,8=60。，求b和A。

2、如圖，在AA8C中，AC=2,BC=\,cosC=-.

4AK

(1)求A5的值;

(2)求sin(24+C)的值.

【練習(xí)】B\------

1、在AABC中，若/=62+02+秘，則角A=o

2、AABC中，a=3,b=近，c=2,則角B=。

3、在AABC中，若。=7,b=8,cosC=g,則最大角的余弦值為。

4、已知在AA8C中,b=3,c=3瓜B=30°，則角A=、角C=、a=

5、已知在AABC中，b=3,c=2g,A=30°,則角8=、角。=、邊

6、a=4,力=3,NC=60°,則c=.

7、a=2,b=4,c=3,貝ljNB=L

8、在AABC中，已知/=。2+歷+02,則幺=

9、在MBC中,A=60。,邊長(zhǎng)瓦c是方程3x2-27x+32=0的兩實(shí)根,則邊BC=.

10、在AABC中，^:Z?:c=2：V6:(V3+l),貝IJA=,B=,C=。

11、已知在A48C中，AB=31BC=y/13fAC=49則AC邊上的高為

12、已知〃、b、c是AA8C的三邊，5=60。，那么。?一比+/一從的值________

A.大于0B.小于0C,等于0D,不確定

13、在AA8C中，若。為鈍角，下列結(jié)論成立的是

A.a2+b2>c2B.a2+Z?2<c2C.a2+b2=c2D.一cosC<0

222

14、在AA8C中，a+b<c9且sinC=曰，則。=

15、在AA8C中，已知8=60°力2;4，則角A=

16、在中，角AB,C的對(duì)邊分別為"c,若從=m,且c=勿,則cosB.

17、在AABC中，b=4,c=3,BC邊上的中線長(zhǎng)當(dāng)一，則44=,。=.

18、在MBC中，A8=3,BC=舊,AC=4，則AC邊上的高為.

19、在MBC中，角A,民C的對(duì)邊分別為a,b,c,若川=皿,且c=2a，則cosB=

20、在AA3C中，若〃=7,b=8,cosC=^,則最大角的余弦值是________

21、已知三角形的三邊長(zhǎng)分別是刁5內(nèi)且加>。，這個(gè)三角形的

最大角為o

22、在AA8C中，A=60。，且最大邊長(zhǎng)和最小邊長(zhǎng)是方程的兩個(gè)根，第

三邊的長(zhǎng)—o

44./?

23、在AA8C中，已知tanW^=sinC,給出以下四個(gè)論斷：

其中正確的是___________

24、在AA5C中,角A8,C的對(duì)邊分別為%b、c0若(4+。2T2)tanB=6〃c,則角B

的值為—

25、4ABe的內(nèi)角A,3,C的對(duì)邊分別為久b.Co若以b、c成等差數(shù)列，且c=2a。則

cos5=

26、在AA8C中，若sinA:sin3:sinC=3:2:4,貝iJcosC的值為

27、在AA8c中，已知sinA=《,sinA+cosAv0,a=36,b=5,求c。

解三角形的進(jìn)一步探討

利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)

式，然后化簡(jiǎn)并考察邊或角的關(guān)系，從而確定三角形的形態(tài)。特殊是有些條件既可用

正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。

(1)在已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，有兩解或一解或無解等

情形；

(2)三角形各種類型的斷定方法；(3)三角形面積定理的應(yīng)用。

已知兩邊和其中一邊的對(duì)角，解三角形時(shí)，留意解的狀況.如已知a,b9A,貝ij

4為鈍角或

4為銳角

直角

c限值

圖形2"A

AB

關(guān)系bsinA<aa>

a<dsinAa=/jsinAa>bb

式<bb

解的

無解一解兩解一解一解無解

個(gè)數(shù)

三角形面積公式:S=—ahs\nC;S=-acsinB;S=-Z?csinA

222

【典型例題】

1、在AABC中，已知探討三角形解的狀況。

分析：先由sin8=生2可進(jìn)一步求出B;則。=180。-(4+8),從而

a

1.當(dāng)A為鈍角或直角時(shí)，必需才能有且只有一解；否則無解。

2.當(dāng)A為銳角時(shí)，

假如那么只有一解；

假如"6,那么可以分下面三種狀況來探討：

(1)若a>Z?sin力，則有兩解；(2)若a=Z?sinH,則只有一解；(3)若avbsin力，

則無解。

評(píng)述：留意在已知三角形的兩邊和其中一邊的對(duì)角解三角形時(shí)，只有當(dāng)A為銳角

且Asin八86時(shí)，有兩解；其它狀況時(shí)則只有一解或無解。

2、依據(jù)所給條件，推斷A43C的形態(tài).

1)在AABC中，已知a=7,b=5,c=3o2)acosA=Z?cosB;3)——=—-—=—-—

cosAcosBcosC

3、在AA5C中，若NA=120,AB=5,BC=7,求AABC的面積。

4、在AABC中，證明：竺?一誓￡=勺一金.

ahab

5、設(shè)AA8C的內(nèi)角C所對(duì)的邊長(zhǎng)分別為a、b、c,且cos8=1,b=2o

(1)當(dāng)A=30。時(shí)，求。的值；⑵當(dāng)AABC的面積為3時(shí)，求a+c?的值.

6、在AA8C中，已知A8=g,8C=2。

(I)若COSB=—￡~,求sin。的值；(U)求角。的取值范圍.

6

【練習(xí)】

1、在AABC中，已知"80,6=100,4=45。，試推斷此三角形的解的狀況。

2、在△ABC中，若"1,c=|,NC=40。，則符合題意的b的值有個(gè)。

3、在AABC中，a=xcm,b=Am,Z.B=45°,假如利用正弦定理解三角形有兩解，求

X的取值范圍。

4、在z\ABC中，已知sin4:sin6:sinC=l:2:3,推斷△ABC的類型。

5、在△ABC中，4=60。，a=l,b+c=2,推斷^ABC的形態(tài)。

6、M8C中，切一"=2bccosA,推斷該三角形的形態(tài)。

7、M8C中，lg(sin4+sinC)=21gsinB-lg(sinC-sinA),推斷該三角形的形態(tài)。

8、在AABC中，sinAsinB<cosAcosB,推斷AABC的形態(tài)。

9、在AA8C中，若3=60。,26=〃+。，推斷的形態(tài)。

10、在AABC中，已知石缶推斷該三角形的形態(tài)。

11>在AABC中，已知(a+h+c)(a+0—c)=3而，且2cosAsinB=sinC,試確定AA8C的

形態(tài)。

12、AA8C中，假如lg"Igc=lgsin8=-lg正，并且8為銳角，試推斷此三角形的形

態(tài)。

13、AA8C中，COS2《="￡(a、尻c分別為角A,B,C所對(duì)的邊)，推斷此三角形的形

22c

心、o

14、依據(jù)所給條件，推斷△ABC的形態(tài).

15、在AABC中，〃、b、c分別為內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊，且

2asinA=(2b+c)sinB+(2c+b)sinC

(I)求A的大?。?II)若sinB+sinC=l,試推斷AA8C的形態(tài).

16、在aABC中，AB=V3,AC=1,ZA=3O°,求△ABC面積。

面積為4,a+8+c

17、在△ABC中，力=60°,b=l,求的值

sin力+sin8+sinC

18、在AABC中，若"55,8=16,且此三角形的面積5=22。6,2求角C

在AABC中，其三邊分別為a、b、c,且三角形的面積s=豈±K

19、,求角C

20、已知在AABC中，zB=30,b=6,c=6V3a和AABC的面積

21、在AOAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A(l,cose),8(sinai)/e(0,g,則當(dāng)AO45的面積達(dá)最

大值時(shí)，0=

A.-B.-C.-D.-

6432

A

22、已知A8,C為AA8C的三個(gè)內(nèi)角，其所對(duì)的邊分別為久枚c,且2cos?1+cosA=0。

⑴求角4的值；

(2)若a=2V§,Z?+c=4,求AA8C的面積.

23、AA8C內(nèi)接于半徑為R的圓，且2R(sin2A-sin2c)=(。-0sin8,求AA3c的面積

的最大值。

24、三角形的某兩邊長(zhǎng)分別為3的,5所,其夾角的余弦值是方程5爐-7工-6=0的根，求

此三角形的面積。

sin2A+sin*B

在AABC中，求證：(1)巴干

sin2C

(2)a2+b2+c2=2(bccosA+cacosB+abcosC).

25、已知在AA3C中，AB=3,BC=V13,AC=4,貝I」AC邊上的高為()

A.-V2B.-45C.-D.3G

222

26、在AA8C中，已知。比人長(zhǎng)2,。比c長(zhǎng)2,且最大角的正弦值為乎，則AA8C的

面積等于()

A.—43B.—C.—>/3D.—>/3

4444

27>在AA8C中，已知A=30°,且3〃=屜=12,貝Ijc的值為()

A.4B.8C.4或8D.無解

a

28、在AA8C中，4=60。,48=2,且AABC的面積Sj8c啜，則BC邊的長(zhǎng)為()

A.6B.3C.不D.7

29、在AA3C中，若6〃=2以抽4,則/8=()

A30〃B60"C60〃或120〃D30"或150"

30>AA8C中，則A等于()

A.135°B.120°C.45°D.60°

31、在AA8C中，角AB,C所對(duì)的邊分別為a、3c。若(忌—c)cosA=acosC,則cosA=

32、已知在A48C中，sinA:sin8=VLl,c2=〃+J%c,則三個(gè)內(nèi)角AS。的度數(shù)依

次是______

33、在AA8C中，已知S+c):(c+a):(a+0)=4:5:6,給出下列結(jié)論：

①由已知條件，這個(gè)三角形被唯一確定；②AABC肯定是鈍角三角形;

③sinA:sinB:sinC=7:5:3;④若"c=8,則AABC的面積是曳叵。

2

其中正確結(jié)論的序號(hào)是____________

34、AABC中，已知從-be-2c2=0,且=V6,cosA=—,則AABC的面積等于

8

AC

35、在銳角AABC中，BC=1,B=2A,則一、的值等于____,AC的取值范圍是_

cosA

36、如圖，在中，已知3=45°,。是BC邊上的一點(diǎn)，

AD=5,AC=7,DC=3,則A8=/\\

37、在M8C中，內(nèi)角4優(yōu)。所對(duì)邊的邊分別為。、b.co已知

(1)若AA8。的面積等于百，求〃,b；(2)若sin8=2sinAA3C小面

38、在AA8C中，內(nèi)角4區(qū)C對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別是小b、c,已知c=2,C=5.Dc

⑴若AABC的面積等于百，求出b;

(2)若sinC+sin(8-A)=2sin2A,求AABC的面積.

39、AABC的內(nèi)角A、B、C的對(duì)邊分別為。、3c.己知asinA+csinC-Jit7sinC=bsinB,

(I)求3;(II)若A=75°,b=2,求a,c.

40、在AABC中,A,B,C的對(duì)邊分別是a,瓦c,已知3acosA=ccos3+Z?cosC,求cosA的

值。

41、在AA3C中,?,Lc為角A,5,C所對(duì)的三邊,已知M-(…尸=加,求角A.

42、在AABC中，a、b、c分別是角4B、C的對(duì)邊，且段叱二-——.

cosC2a+c

(1)求角8的大小；

⑵若6=而，a+c=4,求&4BC的面積.

43、在AA3C中，內(nèi)角A,仇。的對(duì)邊分別是凡仇c,設(shè)S為AA8C的面積，滿意

222

S=^l(a+b-c)

(1)求角c的大?。?2)求sin4+sinB的最大值。

44、/n=(2cosx+25/3sinn=(cosx,-y),滿意團(tuán)〃=0。(1)將y表示為x的函數(shù)

f(x),并求/(x)的最小正周期。(2)已知AA8C內(nèi)角A,氏C的對(duì)邊分別是〃也c,

若/任)=3,且。=2,求He的取值范圍

1.2應(yīng)用舉例

解決實(shí)際測(cè)量問題的過程一般要充分仔細(xì)理解題意，正確做出圖形，把實(shí)際問題

里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解。

1.用正弦定理和余弦定理解三角形的常見題型

測(cè)量間隔問題、高度問題、角度問題、計(jì)算面積問題、航海問題、物理問題等.

2.實(shí)際問題中的常用角

⑴仰角和俯角

在視線和程度線所成的角中，視線在程度線上方的角叫仰角，在程度線上方的角叫俯

角(如圖⑴).

(2)方位角

指從正北方向順時(shí)針轉(zhuǎn)到目的方向線的程度角，如6點(diǎn)的方位角為n(如圖(2)).

⑶方向角：相對(duì)于某正方向的程度角，如南偏東30°,北偏西45。，西偏東60。

等.

⑷坡度：坡面及程度面所成的二面角的度數(shù).

間隔測(cè)量問題

【典型例題】

1、如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的間隔，測(cè)量者在A的同側(cè)，

在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C,測(cè)出AC的間隔是55m,NBAC=51。，ZACB=75%

求A、B兩點(diǎn)的間隔(準(zhǔn)確到0.1m)

【練習(xí)】

1、兩燈塔A、B及海洋視察站C的間隔都等于akm,燈塔A在視察站C的北偏東

30°,燈塔B在視察站C南偏東60°,則A、B之間的間隔為多少？

2、如圖所示，為了測(cè)量河對(duì)岸48兩點(diǎn)間的間隔,在這岸定一基線C。，現(xiàn)已測(cè)出

CD-a和ZACD-6O0,Z^CD-30°,

ZBDC=105°,ZADC=60°,試求A8的長(zhǎng).

3、如圖，A8,C,。都在同一個(gè)及程度面垂直的平面

內(nèi)B,Q為兩島上的兩座燈塔的塔頂,測(cè)量船于水

面A處測(cè)得B點(diǎn)和。點(diǎn)的仰角分別為75,30°,

圖1.2-2

于水面。處測(cè)得3點(diǎn)和。點(diǎn)的仰角均為60。，AC=0.1&m.摸索究圖中8、。間間隔

及另外哪兩點(diǎn)間間隔相等，然后求8,。的間隔.

高度測(cè)量問題

【典型例題】

1、AB是底部B不行到達(dá)的一個(gè)建筑物，A為建筑物的最高點(diǎn)，設(shè)計(jì)一種測(cè)量建筑物

高度AB的方法。

分析：求AB長(zhǎng)的關(guān)鍵是先求AE,在4ACE中，如能求出C點(diǎn)到建筑物頂部A

的間隔CA,再測(cè)出由C點(diǎn)視察A的仰角，就可以計(jì)

算出AE的長(zhǎng)。

【練習(xí)】

1、如圖，在山頂鐵塔上B處測(cè)得地面上一點(diǎn)A的俯

角a=54°4(X,在塔底C處測(cè)得A處的俯角4=50，

已知鐵塔BC局部的高為27.3m,求出山高CD(準(zhǔn)確

到1m)

2、如圖,一輛汽車在一條程度的馬路上向正東行駛，到

A處時(shí)測(cè)得馬路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南

15。的方向上，行駛5km后到達(dá)B處,測(cè)得此

山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,，求此

山的高度CD.

3、如圖，山腳下有一小塔43,在塔底3測(cè)

得山頂。的仰角為6(r,在山頂。測(cè)得塔

頂A的俯角為45，已知塔高A8=20m,

求山高CD.

4、如圖所示，測(cè)量河對(duì)岸的塔高.4〃時(shí)，可以選及塔底e在同一程度面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)點(diǎn)C

及。，現(xiàn)測(cè)得/BCD=b,4BDC=B,CD=sy并在點(diǎn)。測(cè)得塔頂4的仰角為6,

求塔高AI3.

角度測(cè)量問題

【典型例題】

如圖，一艘海輪從A動(dòng)身，沿北偏東75°的方向航行67.5nmile后到達(dá)海島B燃

后從B動(dòng)身，沿北偏東320的方向航行54.0nmile后到達(dá)海島C.假如下次航行干脆

從A動(dòng)身到達(dá)C,此船應(yīng)當(dāng)沿怎樣的方向航行，須要航行多少間隔？（角度準(zhǔn)確到0.1°,

間隔準(zhǔn)確到O.Olnmile）

【練習(xí)】

1、在某點(diǎn)B處測(cè)得建筑物AE的頂端A的仰角為外沿BE方向前進(jìn)30m,至點(diǎn)C

處測(cè)得頂端A的仰角為2。，再接著前進(jìn)lOV5m至D點(diǎn)，測(cè)得頂端A的仰角為4。，

求。的大小和建筑物AE的高。

2、某巡邏艇在A處發(fā)覺北偏東45,相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東

75。的方向以1。海里/小時(shí)的速度向我海岸行駛，巡邏艇馬上以14海里/小時(shí)的速

度沿著直線方向追去，問巡邏艇應(yīng)當(dāng)沿什么方向去追？須要多少時(shí)間才追逐上該走私

船？

3、在某海岸A處，發(fā)覺北偏東30方向，間隔A處（石+Dnmile的3處有一艘走私船

在A處北偏西15的方向，間隔A處Knmile的C處的緝私船奉命以5VJnmile/h

的速度追截走私船.此時(shí)，走私船正以5nmile/h的速度從8處依據(jù)北偏東30、方

向逃跑，問緝私船至少經(jīng)過多長(zhǎng)時(shí)間可以追上走私船，并指出緝私船航行方向.

注：在求解三角形中，我們可以依據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩

個(gè)解，但作為有關(guān)現(xiàn)實(shí)生活的應(yīng)用題，必需檢驗(yàn)上述所求的解是

否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問題的解。

第二章數(shù)列

2.1數(shù)列的概念及簡(jiǎn)潔表示方法

數(shù)列的概念及簡(jiǎn)潔表示方法

定義：按肯定次序排列的一列數(shù)叫數(shù)列，其中數(shù)列中的每一個(gè)數(shù)都是函數(shù)值，將數(shù)列

中的每個(gè)數(shù)稱為數(shù)列的項(xiàng)，和它在數(shù)列中的次序?qū)?yīng)起來，稱為第1項(xiàng)，第2

項(xiàng)，…，第n項(xiàng)，…。

數(shù)列的一般形式：…當(dāng)，…，簡(jiǎn)記為{%}

數(shù)列的分類：

(1)按項(xiàng)數(shù)來分：

有窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)有限的數(shù)列；

無窮數(shù)列：項(xiàng)數(shù)無限的數(shù)列叫。

(2)按項(xiàng)的大小來分：

遞增數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都大于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

遞減數(shù)列：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)都小于它的前一項(xiàng)的數(shù)列

常數(shù)列：各項(xiàng)相等的數(shù)列

搖擺數(shù)列：從第2項(xiàng)起，有些項(xiàng)大于它的前一項(xiàng)，有些項(xiàng)小于它的前一項(xiàng)的

數(shù)列

數(shù)列｛冊(cè)｝的第n項(xiàng)及序號(hào)n之間的關(guān)系可以用一個(gè)式子來表示，那么這個(gè)公式叫做這

個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。

【典型例題】

1、已知數(shù)列｛凡｝滿意―=勺+3,則這個(gè)數(shù)列是。

A遞增數(shù)列B遞減數(shù)列C搖擺數(shù)列D不確定

2、數(shù)列一號(hào)-爭(zhēng)號(hào),…的一個(gè)通項(xiàng)公式是。

n2+n+3)(_l)n5+1)

A4=(7"B%=(一1)"CD

2n+l2n+12〃一1

"2/2+1

3、數(shù)列?、,2啦,而,…的一個(gè)通項(xiàng)公式是______________

【練習(xí)】

1、下列數(shù)列是遞增、遞減、搖擺還是常數(shù)列？

(1)J,…(2)1,2,2?,…2"；(3)1-1，…(4)6,6,6,…

23n

2、已知數(shù)列｛凡｝滿意：4〉0,也二，則數(shù)列a｝是0

凡2

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.搖擺數(shù)列D.不確

定

3、已知數(shù)列a｝滿意：%=4+3,則數(shù)列a｝是（）

A.遞增數(shù)列B.遞減數(shù)列C.搖擺數(shù)列D.不確

定

4、數(shù)列;…中，第10項(xiàng)是_________

345n

5、已知數(shù)列0段，|彳，…，其中0.9是它的第一項(xiàng)。

6、1,1,2,3,5...,這個(gè)數(shù)列的第八項(xiàng)是_______________

7、視察下列的圖形中小正方形的個(gè)數(shù)，則第7個(gè)圖中有個(gè)小正方形。

8、上述關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個(gè)數(shù)列，該數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式是（）

（）

2/??-1

A.an=n-n+\3,4=%

a」（〃+l）/?（/?+2）

VC?an~2

9、設(shè)數(shù)列正，石，2夜，而,-,則2石是這個(gè)數(shù)列的（）

A.第6項(xiàng)B.第7項(xiàng)C.第8項(xiàng)D.第9項(xiàng)

10、數(shù)列7,77,777,7777,77777,……的通項(xiàng)公式為

11、已知數(shù)列｛/+小，那么（）

A.0是數(shù)列中的一項(xiàng)B.21是數(shù)列中的一項(xiàng)

C.702是數(shù)列中的一項(xiàng)D.以上答案都不對(duì)

12、若則〃〃及J的大小關(guān)系是（）

?不能確定

Aan>an+lB.an<an+iC.an=a,^D.

13、依據(jù)下列數(shù)列的前幾項(xiàng)寫出數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式

(2)1,-3,5,?7,9,…;

(3)5,353,5,3,…;

(4)9,99,999,9999,…；

14、寫出下列數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式：

(1)

(2)-1,2,-3,4,…；

(3)1,3,5,7,…；

(4)7,77,777,7777,…;

15、一給定函數(shù)y=/(x)的圖象在下列圖中，并且對(duì)隨意囚￡(0,1),由關(guān)系式

%=/(〃“)得到的數(shù)列｛〃“｝滿意％〉明(〃￡“)，則該函數(shù)的圖象可能是()

ABCD

23

1D11cl1nl11

AA■---------B?—+------------C.-----------F---------D?—H-----------------1--------------

3nI23n3nI13nI13nI23n3nI13nI2

20、已知數(shù)列｛冊(cè)｝滿意。/〃T=4T+(-1)”(〃N2),且《=1,則”的值是_______

。3

21、數(shù)列｛〃”｝中，且---1——=—5wN,nN2),則4二_________.

3勺+1見

22、已知數(shù)列5｝的第1項(xiàng)是1,第2項(xiàng)是2,以后各項(xiàng)由勺=%+%-2(〃〉2)給出，

(1)寫出這個(gè)數(shù)列的前5項(xiàng)；(2)利用上面的數(shù)列｛%｝,通過公式a=4包構(gòu)造一個(gè)

a..

新的數(shù)列版｝的前5項(xiàng)。

2.2等差數(shù)列

等差數(shù)列：一般地，假如一個(gè)數(shù)列從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)及它前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常

數(shù)，這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個(gè)常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差(常

用字母“d”表示).

等差中項(xiàng):假如a,A,b這三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列，那么人=空.我們把人=孚叫

22

做a和b的等差中項(xiàng).

等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：4=%+(/t-l)d[變式:an=am+(n-m)d]

性質(zhì)：若｛4｝是等差數(shù)列，且m+〃=p+4(次、八p、qwN，),貝=〃p+〃q

【典型例題】

1、已知數(shù)列1,4,7,10,…，3n+7,其中后一項(xiàng)比前一項(xiàng)大3.

(1)指出這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)指出1+4+…+(3n-5)是該數(shù)列的前幾項(xiàng)

之和.

2、將一個(gè)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式輸入計(jì)算器數(shù)列〃.中，設(shè)數(shù)列的第s項(xiàng)和第t項(xiàng)分別

為心和吃，計(jì)算”二乜的值，你能發(fā)覺什么結(jié)論？并證明你的結(jié)論.

s-t

【練習(xí)】

1、(1)求等差數(shù)列3,7,11,……的第4項(xiàng)及第1。項(xiàng).

(2)求等差數(shù)列10,8,6,……的第20項(xiàng).

(3)100是不是等差數(shù)列2,9,16,……的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？假如不是，

說明理由.

(4)-20是不是等差數(shù)列0,—3：,-7,……的項(xiàng)？假如是，是第幾項(xiàng)？假如

不是，說明理由.

2、在等差數(shù)列｛%｝中，(1)已知。4=10,%=19,求生及4

(2)已知。3=9,。9=3,求生「

3、在等差數(shù)列｛4｝中，已知牝=10,陽(yáng)=31,求%

4、梯子最高一級(jí)寬33cm,最低一級(jí)寬為110cm,中間還有10級(jí)，各級(jí)的寬度成

等差數(shù)列，計(jì)算中間各級(jí)的寬度.

5、已知數(shù)列｛明｝的通項(xiàng)公式%=p〃+g,其中〃、4是常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列是否肯定

是等差數(shù)列？若是，首項(xiàng)及公差分別是什么？

6、已知｛%)為等差數(shù)列，以1+以3+?5=105,劭+4+%=99,則以20等于

A.-1B.1C.3D.7

7、已知｛q｝為等差數(shù)列，且%—2出=-1,%=。，則公差＜1=

A.-2B.-lC.-D.2

22

8、等差數(shù)列｛%｝中,4+生+…+%=81且生+4+…+《o=171,則公差d=

9、各項(xiàng)不為零的等差數(shù)列&｝中,2%-存+2%=0,則%的值為()

A.0B,4C.0或4D.2

10、已知等差數(shù)列｛%｝中，%+/=16必=L貝必12的值是()

A.15B.30C.31D.64

11、等差數(shù)列｛%｝中，4+4=30,%=7,則4的值為

A.15B.23C.25D.37

、設(shè)｛凡｝是公差為正數(shù)的等差數(shù)列，若貝

124+4+43=15,a1a2a3=80,lJ%+42+43=

0

A120B105C90D75

13、若一個(gè)等差數(shù)列前3項(xiàng)和為34,后3項(xiàng)和為146,且全部項(xiàng)的和為390,求這個(gè)數(shù)

列項(xiàng)數(shù).

14、在等差數(shù)列｛aj中4=〃z,則%的值為0

Arn-\-nB—(，〃+〃)Q—｛rn—ri)D0

15、已知在等差數(shù)列"｝中，Ss=a5,a4^0,求出：4=

16、在等差數(shù)列｛氏｝中，若。3，。”是方程/+10x+16=0的兩根，則的=

17、若〃。力，兩個(gè)等差數(shù)列兄再,電力及。，%，、2，/3，力的公差分別為八“2，則

A-

18、等差數(shù)列?｝的前10項(xiàng)的和品=100,前100項(xiàng)的和S3=10，求前110項(xiàng)的和S.

19、《萊茵德紙草書》是世界上最古老的數(shù)學(xué)著作之一，請(qǐng)解答書中的一道題目，把

100個(gè)面包分給5個(gè)人，使每個(gè)人所得成等差數(shù)列，且是較多的三分之和的g是較少

的兩份之和，求最少一份的量。

20、已知數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S”，點(diǎn)不氏,_」-)(〃￡%*)在曲線/Q)=4+二，且

4+1V廠

4=lq〉0,求證：數(shù)列;是等差數(shù)列，并求知。

lAJ

21、假如外,4,…，%為各項(xiàng)都大于零的等差數(shù)列，公差貝匹)

Aa｛>a4a5B^]<a4a5Ca｝+a^>a4+asDa^=a4as

22、已知?、鞘且淮魏瘮?shù)，其圖象過點(diǎn)(3,5),又〃2)J(5),15成等差數(shù)列，求

/(1)+/(2)+.?.+/(〃)的值.

23、已知數(shù)列1—1^]成等差數(shù)列，且。3=-?嗎=-；，求心的值。

an+2\67

2.3等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的公式：①去二、，；②

等差數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)：

s

①若項(xiàng)數(shù)為2小eN"),則S?”=〃(%+%),且S偶-S奇二小管=\

)偶an+\

②若項(xiàng)數(shù)為2〃一1(〃wN*),則Sa,”=(2〃一1”〃，且S奇-S偶=勺，》=-^―(其中S奇=,

S偶=(〃T)/)。

【典型例題】

1、已知等差數(shù)列｛凡｝的前n項(xiàng)之和記為Sn,S10=10,S30=70,則S40等于

2、已知一個(gè)等差數(shù)列"｝的通項(xiàng)公式為=25—511,求數(shù)列｛|。.|｝的前n項(xiàng)和；

【練習(xí)】

1、等差數(shù)列-10,-6,-2,2,…前一項(xiàng)的和是54?

2、(1)求正整數(shù)列前n個(gè)偶數(shù)的和；(2)求正整數(shù)列前n個(gè)奇數(shù)的和。

3、假如等差數(shù)列｛(｝的前4項(xiàng)的和是2,前9項(xiàng)的和是-6,求其前n項(xiàng)和的公式。

4、依據(jù)下列各題中的條件，求相應(yīng)的等差數(shù)列｛〃“｝的有關(guān)未知數(shù)：

(1)=5,求n和勺；(2)d=2/=15,4=70,求q及S”

66

5、等差數(shù)列L｝、h｝的前n項(xiàng)和為Sn、Tn.若興=普)55),求魯；

6、已知一個(gè)等差數(shù)列的前10項(xiàng)的和是310,前20項(xiàng)的和是1220,求前n項(xiàng)和。

7、設(shè)S”是等差數(shù)列｛《,｝的前n項(xiàng)和，已知出=3,4=11，則邑等于()

A.13B.35C.49D.63

8、等差數(shù)列｛%｝的前n項(xiàng)和為S.,且S3=6,a=4,則公差d等于。

A.1B-C.-2D3

3

9、等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為已知/7+--用=。，S2M=38,則〃?=()

A.38B.20C.10D.9

10、若等差數(shù)列｛可｝的前5項(xiàng)和$5=25,且生=3,則%=()

A.12B.13C.14D.15

11、已知以)是等差數(shù)列，4+4=4,生+%=28,則該數(shù)列前10項(xiàng)和￡。等于()

A.64B.100C.110D.120

12、記等差數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S”，若4=754=20,則56=()

A.16B.24C.36D.48

13、等差數(shù)列｛4｝的前n項(xiàng)和為5,若〃2=1.=3,則5產(chǎn)()

A.12B.10C.8D.6

14、設(shè)等差數(shù)列僅“｝的前〃項(xiàng)和為S〃，若§3=9,S6=36,則%+/+。9=()

A.63B.45C.36D.27

15、已知兩個(gè)等差數(shù)列｛q｝和的』的前〃項(xiàng)和分別為4和4，且今=2千，則使得

⑶為整數(shù)的正整數(shù)〃的個(gè)數(shù)是()

A.2B.3C.4D.5

16、等差數(shù)列｛3｝中，^=1,53+55=14,其前A項(xiàng)和S『100,則n=()

A.9B.10C.11D.12

17、設(shè)等差數(shù)列｛為｝的前〃項(xiàng)和為s.，若spioavis,則為的最大值為

18、設(shè)&=是等差數(shù)列｛&｝的前白項(xiàng)和，團(tuán)2=-8￡=-9,則Sv.

19、已知等差數(shù)列｛q｝的前〃項(xiàng)和為S.,若$=21,貝1」3+%+/+%=.

20、若數(shù)列飽｝的前〃項(xiàng)和S”=/-10〃(〃=L2,3,...),則此數(shù)列的通項(xiàng)公式為

；數(shù)列｛?〃｝中數(shù)值最小的項(xiàng)是第項(xiàng).

21、各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列⑸｝中，若4-%—-=05wN\〃N2),則S200g等于

()

A.0B.2C.2009D.4018

22、已知等差數(shù)列4｝的前n項(xiàng)和為Sn,若S7=14,則%+a的值為()

A.2B.4C.7D.8

23、在等差數(shù)列｛(｝中，/+6=4,則其前9項(xiàng)的和Sg等于()

A.18B27C36D9

24、在等差數(shù)列&｝中，q+4+%=39,生+4+%=27,則數(shù)列｛為｝的前9項(xiàng)之和

S。等于()

A.66B.99C-144D.?297

25、設(shè)等差數(shù)列｛/｝的前n項(xiàng)和為S”,若$4=8應(yīng)=20,則a”+a｛2+a13+a14=

()

A.18B.17C.16D.15

26、已知等差數(shù)列a｝共有10。項(xiàng)，前三項(xiàng)的和為7,最終三項(xiàng)和為3,那么前100

項(xiàng)和為

27、等差數(shù)列｛4｝前