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文檔簡介
第三章計算機圖形處理技術(shù)
計算機輔助設(shè)計與制造
第一節(jié)圖形變換
?:?一、窗口—視區(qū)變換
1.窗口:用戶在所需要的圖形部分區(qū)域選定一個觀察框。
窗口區(qū):用戶指定的任一區(qū)域(份
a窗口區(qū)用、于或等于用戶域"邳戶域:程序員用來定義草
圖的整個自然空間(初);人們所要描述的圖形均在用戶域中
定義;用戶域是一個實數(shù)域,理論上是連續(xù)無限的)
b小于用戶域的窗口區(qū)網(wǎng)U做用戶域的子域。
c窗口可以有多種類型,矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口
等等
d窗口可以嵌套,即在第一層窗口中可再定義第二層窗口,
在第I層窗口中可再定義第1+1層窗口等等。
計算機輔助設(shè)計與制造
2.視圖區(qū):任何小于或等于屏幕域的區(qū)域視
區(qū);是在圖形設(shè)備上定義的矩形區(qū)域,用于輸
出所要顯示的圖形和文字。(屏幕域(QC):
設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域,是有限的整數(shù)域。)
a視圖區(qū)用設(shè)備坐標(biāo)定義在屏幕域中
b窗口區(qū)顯示在視圖區(qū),需做窗口區(qū)到視圖區(qū)
的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。
c視圖區(qū)可以有多種類型:圓形、矩形、多邊
形等。
d視圖區(qū)也可以嵌套。
計算機輔助設(shè)計與制造
3、窗口與視區(qū)的變換
?:?簡化為:
<T⑴式
=C?y
1Ysw+d
?1)當(dāng)即c時,即X方向的變化與p方向的變化
不同時,視圖中的圖形會有伸縮變化,圖形變
形。
?:*2)當(dāng)歸c=l,左加0則Ys^Yw,圖形完全
相同。
?:?思考:前面講的窗口一視圖變換時,假設(shè)窗口
的邊和坐標(biāo)軸平行,如果窗口的邊不和坐標(biāo)軸
平行呢?
計算機輔助設(shè)計與制造
H
?A.先讓窗口尸Gm轉(zhuǎn)-a角,使它和廠重
合。
?B.用(1)式進行計算。
計算機輔助設(shè)計與制造
二、二維圖形的幾何變換
圖形變換是計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一。
幾何變換,投影變換,視窗變換
線性變換,屬性不變,拓?fù)潢P(guān)系不變。
作用:
?:?把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來;
?:?可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形;
??捎枚S圖形表示三維形體;
。動態(tài)顯示。
計算機輔助設(shè)計與制造
1、工程圖形的齊次坐標(biāo)矩陣表示
?:?所謂齊次坐標(biāo)表示法就是由〃+1維向量表示一個〃維向
量。如〃維向量(P1/2,..?/〃)表示為一
(hP[hP2,…h(huán)Pn,h),其中〃稱為啞坐標(biāo)。
?:?1、力可以取不同的值,所以同一點的齊次坐標(biāo)不是
唯一的。
?:?如普通坐標(biāo)系下的點(2,3)變換為齊次坐標(biāo)可以是
(1」.5。5)(4,6,2)(693)等等。
2、普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對多”
?由普通坐標(biāo)x/z一齊次坐標(biāo)
由齊次坐標(biāo)+〃一普通坐標(biāo)
?3、當(dāng)〃=1時產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱為“規(guī)格化坐標(biāo)”,
因為前〃個坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的〃維坐標(biāo)。
計算機輔助設(shè)計與制造
(X,y)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為(乙,九,力)
3=hx,yh=hy,"0
(x,y)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線
、二hx
』二hy
lzh,—h
計算機輔助設(shè)計與制造
齊次坐標(biāo)的作用
1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用
矩陣運算把二維、三維甚至高維空間上的一個點從
一個坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。
2.便于表示無窮遠(yuǎn)點。
例如:(xxh,yxh,h),令h等于0
3.齊次坐標(biāo)變換矩陣形式把直線變換成直線段,平
面變換成平面,多邊形變換成多邊形,多面體變換
成多面體。
4.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點
>便于變換合成
?便于硬件實現(xiàn)
計算機輔助設(shè)計與制造
2、二維圖形的基本幾何變換
世界坐關(guān)于窗窗口到掃描顯
學(xué)界標(biāo)系內(nèi)口的裁_J視區(qū)的設(shè)>.一
坐標(biāo)系的變換剪1變換坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示
計算機輔助設(shè)計與制造
?:?圖形變換:對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何
變換后產(chǎn)生新的圖形。
?:?圖形變換的兩種形式:
?:7.圖形不變,坐標(biāo)系改變;
".圖形改變,坐標(biāo)系不變。
?:?我們所討論的是針對坐標(biāo)系的改變而講
的。
計算機輔助設(shè)計與制造
1、二維基本變換-比例變換
p00、
(x*y*1)=(xy1)|0d0|=(<7-xd-y1)
b°d
>以坐標(biāo)原點為放縮參照點
?當(dāng)天加1時:恒等比例變換
A當(dāng)聲0>1時:沿方向等比例放大。
A當(dāng)天水1時:沿x,y方向等比例縮小
A當(dāng)期加寸:沿工y方向作非均勻的比例變換,圖形變形。
計算機輔助設(shè)計與制造
2、二維基本變換-對稱變換
?ab0、
(x*y*1)=(xy1)|cd0|={ax+cybx+dy1)
001,
?當(dāng)b=d=0,Q=l,d=-l時,(x*y*l)=(x-j/1):后x軸對稱的反射變換。
?當(dāng)b=c=0,4=d=-l時,(x*j/*l)=(-x-y1):與原點對稱的反射變換。
?:?當(dāng)b=c=l,a=d=0時,(x*y*l)=(yx1):與歹=不對稱的反射變換。
?當(dāng)b=c=-l,Q=d=0時,(x*y*l)=(?y-x1):與產(chǎn)-x對稱的反射變換。
計算機輔助設(shè)計與制造
3、三維基本交換逆轉(zhuǎn)變換
注意;■是逆時針旋轉(zhuǎn)角度。
(x',y')
XX?COS6ZpHBfx.)
y=X7sin6Za
x1=『cos(9+a)=pcosacos3-psinasin3=xcos3-ysin3
y1="sin(8+a)="sinacos9+pcoscrsin0=xsin3ycos3
4、二維基本變換-錯切變換
■2)當(dāng)b=0時,(x*v*1)=(xdx+y1)圖形的x坐標(biāo)不變;
■當(dāng)表0:圖形沿+y方向作錯切位移。ABCD-^
A1B1C1D1
■當(dāng)d<0:圖形沿-y方向作錯切位移。4BCD一
二維基本變換二錯切變換
■2)當(dāng)b=0時,(x*v*1)=(xdx+y1)圖形的x坐標(biāo)不變;
■當(dāng)亦0:圖形沿+V方向作錯切位移。ABCD^A1B1C1D1
■當(dāng)d<0:圖形沿-y方向作錯切位移。ABCD-^A2B2C2D2
二維基本變換二錯切變換
■3)當(dāng)bwO且dM時,
上(x*y*1)=(x+bydx+y1):圖形沿x,y兩
個方向作錯切位移。
■???錯切變換引起圖形角度關(guān)系的改變,
甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。
5、二維基本變換-平移變換
平移
■平移變換只改變圖形的位置,不改變圖形
的大小和形狀
3、復(fù)合變換
?:?復(fù)合變換又稱級聯(lián)變換,指對圖形做一次以上
的幾何變換。
?:?注意:任何一個線性變換都可以分解為上述幾
類變換。
計算機輔助設(shè)計與制造
求點尸(x,y)經(jīng)第一次平移變換(7x1,7yi),第二次平
移變換(7x2,7y2)后的坐標(biāo)?(x*,y*)
解:設(shè)點Rx,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P(x,/
1),則
■經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P*(x*y*1)
■???變換矩陣為丁尸771?個
■解:設(shè)點(X,y)為線段上的任意一點,
點(x',y')為點(x,y)放大后的坐標(biāo)則:
設(shè)點(x‘',y'')為點(x',y:)經(jīng)平移后的坐標(biāo)為:
[x‘',y'',1]二[x\y\l]T2(10,0)則:
[x",y:品[x,,y\l]T2(10,0)=[X,y,1]S2(2,2)T2(10,0)
令:M=S2(2,2)T2(10,0),則M即為組合變換
■三維其次坐標(biāo)
■(x,y,z)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為
■標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)八
■右手坐標(biāo)系
在二維變換下,對稱變換是以線和點為基準(zhǔn),在三維變換
下,對稱變換則是以面、線、點為基準(zhǔn)的。
-對稱于XOY平面
[x1y1z11]=[xy-zl]=[xyz1]
-對稱于YOZ平面
[x1y1z11]=-xyzl]=[xyz1
-對稱于XOZ平面
[x1y*z11]=[x-yzl]=[xyz1]
-繞X軸變換
空間上的立體繞X軸旋轉(zhuǎn)時,立體上各點的X坐標(biāo)
不變,只是Y、Z坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。
x'"x
y1=pcos(a+0)=y*cos。-z*sin?
z1=psin(a+0)=y*sin。+z*cos。
■矩陣表示為:
?0cos0sin00
x*y1z*1]=xyz
I0-sin0cos90
0001
■遵循右手法則,即若6〉0,大拇指指向
軸的方向,其它手指指的方向為旋轉(zhuǎn)方
向。
-繞Y軸旋轉(zhuǎn)
此時,Y坐標(biāo)不變,X,Z坐標(biāo)相應(yīng)變化。
x1=psin(a+0)=x^cosO+z*sin6
y1=y
z1=pcos(a+0)=z*cos0-x*sin。
■矩陣表示為
cos00-sin60
100
[x'y,z'1]=[xyz1\°
sin00cos30
0001
'■矩陣表示為:
cos0sin000
0001
第二節(jié)計算機輔助繪圖
O—、交互式繪圖
優(yōu)3:直觀:靈活缺點:速度慢,繪圖工作量大、
效率低。
繪圖步驟:設(shè)置繪圖環(huán)境或套用模板;交互式繪圖、
打印輸出。
?:?二、程序參數(shù)化繪圖
幾何參數(shù)和定位參數(shù)。
缺點:要求高,編程工作量大。
計算機輔助設(shè)計與制造
參數(shù)化設(shè)計(Parametric)(也叫尺寸驅(qū)動Dimension-
Driven)是利用圖形支撐軟件提供的尺寸驅(qū)動方式進行繪圖
(又稱參數(shù)化繪圖),它不僅可使CAD系統(tǒng)具有交互式繪圖
功能,還具有自動繪圖的功能。
基本思想:以草圖形式快速繪制圖形,進行尺寸標(biāo)注,通過
程序準(zhǔn)確產(chǎn)生圖形。
優(yōu)點:靈活、高效。
比較先進的圖形支撐軟件都提供這種功能。尺寸驅(qū)動一般是
建立在變量幾何原理上的,設(shè)計者可以采用“HandFre鏟方
式隨手勾畫出零件的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu),然后再給拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)添加幾何
和尺寸約束,系統(tǒng)會自動將拓乎卜舂構(gòu)按照給定的約束轉(zhuǎn)換成
零件的幾有形狀和幾何大小。這種方式大大提高了繪圖效率,
它也支持極速的概念設(shè)計。
一般是由尺寸驅(qū)動參數(shù)化軟件模塊在非參數(shù)化圖形
基礎(chǔ)上引入了約束機制實現(xiàn)的。
幾何約束和尺寸約束的定義
2、尺寸驅(qū)動參數(shù)化繪圖軟件的主要功
臺B--
a)草圖繪制與整理
b)參數(shù)化尺寸驅(qū)動
四、參數(shù)化圖庫的使用和建立
利用繪圖軟件自身帶有的標(biāo)準(zhǔn)圖形庫和建立
用戶自己的圖形庫。
建立圖形庫的幾種途徑:
五、工程圖的自動生成
三、計算機輔助繪圖
計算機輔助繪圖是CAD中計算機應(yīng)用最成熟的領(lǐng)域。計算機輔助繪制二維圖
形常用的方法有四種:
第一種是直接利用圖形支撐軟件提供的各種功能,利用人機交互方式將圖形
筆一筆地畫出來。比較老式的CAD系統(tǒng)都是采用這種方式,主要缺點是速度慢,
繪圖工作量大;
第二種是利用圖形支撐軟件提供的尺寸驅(qū)動方式進行繪圖(又稱參數(shù)化繪
圖),比較先進的圖形支撐軟件都提供這種功能。這種方式大大提高了繪圖效率,
它也支持快速的概念設(shè)計;
第三種是利用圖形支撐軟件提供的二次開發(fā)工具,將一些常用的圖素參數(shù)化,
并將這些圖素存在圖庫中。繪圖時,根據(jù)需要從圖庫中按菜單調(diào)用有關(guān)圖素,并
將之拼裝成有關(guān)的霄件圖形。由于圖素已經(jīng)參數(shù)化,可以方便地修改尺寸。這種
利用參數(shù)化圖素拼囊成零件的繪圖方法可以極大地提高繪圖我率。
第四種方法是采用三維造型系統(tǒng)完成零件的三維立體模型,然后采用投影和
剖切方式由三維模型生成二維圖形,最后抖對二維圖形進行必要的修改和補充并
標(biāo)注尺寸、公差和其它技術(shù)要求。目前比較先進的CAD系統(tǒng)都具有孜種功能。這
是最為理想的繪圖方法。這種繪圖方式一般均可提供相關(guān)修改功能。在計算機輔
助繪圖系統(tǒng)中,要特別重視尺寸、公差和其它技術(shù)要求的標(biāo)注問題,標(biāo)注不僅繁
瑣、工作量大,而且容易出錯(遍標(biāo)、錯標(biāo)、重復(fù)標(biāo))。據(jù)統(tǒng)計,繪圖工作量的
40—60%是各種標(biāo)注。所以,計算機輔助繪圖的研究和應(yīng)用重點應(yīng)放在標(biāo)注上。
___--
■曲面造型是計算機圖形學(xué)和計算機輔助幾宿設(shè)計90mpliter
AidedGeometricDesfgn)的一項重要內(nèi)容,也是
CAD/CAM作業(yè)中的一頊簞要的技術(shù)基礎(chǔ)。
■主要研究在計算機圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對機械設(shè)計與制造中常
常遇到各種形狀復(fù)雜的外形表面(曲面)的表示、設(shè)計、顯
示和分析。它肇源于飛機、船舶的外形放樣工藝,由Coons、
Bezier等大師于六十年代奠定理論基礎(chǔ)。經(jīng)三十多年發(fā)展,
現(xiàn)在它已經(jīng)形成了以Bezier和B樣條方法為代表的參數(shù)化特
一-征設(shè)整計和疆隱式轆代數(shù)神曲面齷表示慨這兩:類W方A法P為Pr主o體x,im以a適^值
(Interpolation)、擬
三種季段為骨架的幾
■介紹Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面和NURBS曲線曲面的
構(gòu)造描述方法。
1、曲裝曲面的數(shù)學(xué)表示形聲
2、參數(shù)曲線定義及其切矢量、法矢量和曲率
3、曲線段間連續(xù)性定義
參數(shù)連續(xù)性的判斷標(biāo)準(zhǔn):參數(shù)連續(xù)和幾何連續(xù)一
__
4、參數(shù)曲面的定義
?:?二、Bzier曲線曲面
由于幾何外形設(shè)計的要求越來越高,傳統(tǒng)的曲線曲面
表示方法,已不能滿足用戶的需求。1962年,法國雷諾
汽車公司的PEBezier構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參
數(shù)曲線和曲面的設(shè)計方法,并用這種方法完成了一種
稱為UNISURF的曲線和曲面設(shè)計系統(tǒng),1972年,該
系統(tǒng)被投入了應(yīng)用。Bezier方法將函數(shù)逼近同幾何表
示結(jié)合起來,使得設(shè)計師在計算機上就象使用作圖工
具一樣得心應(yīng)手。
?:7、Bezier曲線的定義和性質(zhì)
定義:給定空間個點的位置矢量Pi(i=0,1,
2,…,〃),則Bezier參數(shù)曲線上各點坐標(biāo)的插值公
式是:
計算機輔助設(shè)計與制造
2、常見的幾種Bezier曲線
2)二次Bez⑥r(nóng)曲線
3)三次Bezier曲線
如下圖三次Bezier曲線所示。
■3、Bezier曲線的幾何特性
(3)一兀何不變性
’(4》全局控制性
■4、Bezier曲線的拼接
幾何設(shè)計中,一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲
優(yōu)。這是由于增加由于特征多邊形的頂點數(shù),會
引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高,而高次多項式又會帶來
計算上的困難用中L般不超過10次。所以
有時采用分段設(shè)計,然后將各段曲線相互連接起來,
并在接合處保持一定的連續(xù)條件。
■一?坐JBbzrerffi線的對所^我11」衛(wèi)I以胃,|史地叫,
可以給出Bezier曲面的定義和性質(zhì);B3z宿i呻
線的一些算法也可以很容易擴展到Bezier曲
面的情況。
■1.定義
般實際應(yīng)用中,“,m不大于4。
設(shè)備.(01?、幻=01?:⑼為8+1)X(加+1)個空間點列,則加X冏次
張量積形式的加zier曲線為:
E3,V)=££月遇洸@?*(>)w,ve[o,i]
2-0J-0
其中4萬3)=qy(1-訪z,(v)=C“,(1-》廠/是慶ms初冏基函數(shù)◎
依次用線段連接點列號.QL…"J=o1…〃)中相鄰兩點所形成的空間
網(wǎng)格,稱之為特征網(wǎng)格?;⒌赌乔娴木仃嚤硎臼绞?
??::,???".」?????
^00
尸"v)=[鳥霜@),,、必或@)]尸10
2.性質(zhì)
■(1)Bezier曲面特征網(wǎng)格的四個角市正好是Bdzier
曲面的四仝角點,即P(O,O)=Poo,P(1,O)=PmO,
P(O,1)=Pon,P(1,1)=Pmno
■(2)Bezier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點定義Bezier
曲面的四條邊界;Bezier曲面邊界的跨鼻切央只與
定義該邊界的頂點及相鄰一排頂點有關(guān),且
PooPwPoi、PonPlnPo,n-1>PmnPm,n-^Pm-A,n^PmOPm-
1,0尸向(下圖打上斜線的三角形);其跨界三階導(dǎo)矢
只與定義該邊界的頂點及相鄰兩排頂點有關(guān)。~"
■(3)幾何不變性。
■(4)對稱性。
■(5)凸包性。
P(u,l)
P(0,v)
P(0,0)=PQOP(U>。)P(1,0)=P3O
圖雙三次Bezier曲面及邊界信息
--1~~-'一.I▼―h??▼?-F「1「F--?'■,
有許多優(yōu)越性,但麗舌不苦比f-
Bezier曲線或曲面不能作局部修改;其二是
Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜。1972年,
Gordon等人提出了B樣條方法,在保留
Bezier方法全部優(yōu)點的同時,克服了Bezier方
法的弱點。
HB樣條崢的定義11ap
與Bezier曲線得定義方法類似,B樣條曲線方程
定義為:
映)=2:4")
2=0
口其中,尸爐01…〃)是控制多邊形的頂點,
M,k(f)(/三01…〃)稱為k階(卜1次)B樣條基函數(shù),其中每
「個稱為B樣條,它是一個稱為節(jié)點矢量,即非
遞減的參數(shù)隰列北弱"4冊斯決定的上階分段多項式,也即為上階
書中該遞推公式表明:欲確定第/個k階B樣條
Ni,k(u),需要用到uw+i,…,U/+K共k+1個節(jié)點,稱
區(qū)向[Ui,UHk]為M,k(U)的支承區(qū)間。曲線方程中,
〃+1個控制頂點R.(/三0,1,…4),要用到〃+1個林介
B樣條M,k(u)。它們支撐區(qū)間的并集定義了這一
組B樣條基的節(jié)點矢量U寸0用,…,加小
■2、B樣條曲線的節(jié)點矢量和定義域
3、均勻的訴條曲線一一=
11二次8樣條曲線
2)二次B樣條曲線
3)三次B樣條曲線
幾何特征;
4、B樣條曲線取幾何性質(zhì)
1)局部性
2)連續(xù)性
3)幾何不變性
4)凸包性
設(shè)乎畝內(nèi)C+1個控制頂點尸0尸1,…尸〃構(gòu)成B樣條曲線尸⑴
的特征多邊形。在該平面內(nèi)的任意一條直線與尸(。的交
點個數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點個數(shù)。
7)直線保持性.一
控制多邊形退化為一條直線時,曲線也退化為一條直線。
縮減性
設(shè)平面內(nèi)〃+1個控制頂點尸O,PI,…尸〃構(gòu)成B樣條曲線尸⑹
的特征?多邱丁在該平面內(nèi)的任意一條直線與尸⑴的交
點個數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點個數(shù)。
二5、Bj1條曲線控帝畫點的反算
隔6、B樣條曲面
四、N
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