計算機圖形處理技術(shù)

第三章計算機圖形處理技術(shù)

計算機輔助設(shè)計與制造

第一節(jié)圖形變換

?:?一、窗口—視區(qū)變換

1.窗口：用戶在所需要的圖形部分區(qū)域選定一個觀察框。

窗口區(qū)：用戶指定的任一區(qū)域（份

a窗口區(qū)用、于或等于用戶域"邳戶域：程序員用來定義草

圖的整個自然空間（初）；人們所要描述的圖形均在用戶域中

定義；用戶域是一個實數(shù)域，理論上是連續(xù)無限的）

b小于用戶域的窗口區(qū)網(wǎng)U做用戶域的子域。

c窗口可以有多種類型，矩形窗口、圓形窗口、多邊形窗口

等等

d窗口可以嵌套，即在第一層窗口中可再定義第二層窗口，

在第I層窗口中可再定義第1+1層窗口等等。

計算機輔助設(shè)計與制造

2.視圖區(qū)：任何小于或等于屏幕域的區(qū)域視

區(qū)；是在圖形設(shè)備上定義的矩形區(qū)域，用于輸

出所要顯示的圖形和文字。(屏幕域(QC)：

設(shè)備輸出圖形的最大區(qū)域，是有限的整數(shù)域。)

a視圖區(qū)用設(shè)備坐標(biāo)定義在屏幕域中

b窗口區(qū)顯示在視圖區(qū)，需做窗口區(qū)到視圖區(qū)

的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換。

c視圖區(qū)可以有多種類型：圓形、矩形、多邊

形等。

d視圖區(qū)也可以嵌套。

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3、窗口與視區(qū)的變換

?:?簡化為：

<T⑴式

=C?y

1Ysw+d

?1）當(dāng)即c時，即X方向的變化與p方向的變化

不同時，視圖中的圖形會有伸縮變化，圖形變

形。

?:*2）當(dāng)歸c=l,左加0則Ys^Yw,圖形完全

相同。

?:?思考：前面講的窗口一視圖變換時，假設(shè)窗口

的邊和坐標(biāo)軸平行，如果窗口的邊不和坐標(biāo)軸

平行呢？

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H

?A.先讓窗口尸Gm轉(zhuǎn)-a角，使它和廠重

合。

?B.用(1)式進行計算。

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二、二維圖形的幾何變換

圖形變換是計算機圖形學(xué)基礎(chǔ)內(nèi)容之一。

幾何變換，投影變換，視窗變換

線性變換，屬性不變，拓?fù)潢P(guān)系不變。

作用：

?:?把用戶坐標(biāo)系與設(shè)備坐標(biāo)系聯(lián)系起來;

?:?可由簡單圖形生成復(fù)雜圖形；

?？捎枚S圖形表示三維形體；

。動態(tài)顯示。

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1、工程圖形的齊次坐標(biāo)矩陣表示

?:?所謂齊次坐標(biāo)表示法就是由〃+1維向量表示一個〃維向

量。如〃維向量(P1/2,..?/〃)表示為一

(hP[hP2,…h(huán)Pn,h),其中〃稱為啞坐標(biāo)。

?：?1、力可以取不同的值，所以同一點的齊次坐標(biāo)不是

唯一的。

?:?如普通坐標(biāo)系下的點(2,3)變換為齊次坐標(biāo)可以是

(1」.5。5)(4,6,2)(693)等等。

2、普通坐標(biāo)與齊次坐標(biāo)的關(guān)系為“一對多”

?由普通坐標(biāo)x/z一齊次坐標(biāo)

由齊次坐標(biāo)+〃一普通坐標(biāo)

?3、當(dāng)〃=1時產(chǎn)生的齊次坐標(biāo)稱為“規(guī)格化坐標(biāo)”，

因為前〃個坐標(biāo)就是普通坐標(biāo)系下的〃維坐標(biāo)。

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（X,y）點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為（乙，九，力）

3=hx,yh=hy,"0

（x,y）點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為三維空間的一條直線

、二hx

』二hy

lzh,—h

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齊次坐標(biāo)的作用

1.將各種變換用階數(shù)統(tǒng)一的矩陣來表示。提供了用

矩陣運算把二維、三維甚至高維空間上的一個點從

一個坐標(biāo)系變換到另一坐標(biāo)系的有效方法。

2.便于表示無窮遠(yuǎn)點。

例如：(xxh,yxh,h),令h等于0

3.齊次坐標(biāo)變換矩陣形式把直線變換成直線段，平

面變換成平面，多邊形變換成多邊形，多面體變換

成多面體。

4.變換具有統(tǒng)一表示形式的優(yōu)點

＞便于變換合成

?便于硬件實現(xiàn)

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2、二維圖形的基本幾何變換

世界坐關(guān)于窗窗口到掃描顯

學(xué)界標(biāo)系內(nèi)口的裁_J視區(qū)的設(shè)＞.一

坐標(biāo)系的變換剪1變換坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換示

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?:?圖形變換：對圖形的幾何信息經(jīng)過幾何

變換后產(chǎn)生新的圖形。

?:?圖形變換的兩種形式：

?:7.圖形不變，坐標(biāo)系改變；

".圖形改變，坐標(biāo)系不變。

?:?我們所討論的是針對坐標(biāo)系的改變而講

的。

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1、二維基本變換-比例變換

p00、

(x*y*1)=(xy1)|0d0|=(<7-xd-y1)

b°d

>以坐標(biāo)原點為放縮參照點

?當(dāng)天加1時：恒等比例變換

A當(dāng)聲0>1時：沿方向等比例放大。

A當(dāng)天水1時：沿x,y方向等比例縮小

A當(dāng)期加寸：沿工y方向作非均勻的比例變換，圖形變形。

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2、二維基本變換-對稱變換

?ab0、

(x*y*1)=(xy1)|cd0|={ax+cybx+dy1)

001,

?當(dāng)b=d=0,Q=l,d=-l時，(x*y*l)=(x-j/1)：后x軸對稱的反射變換。

?當(dāng)b=c=0,4=d=-l時，(x*j/*l)=(-x-y1)：與原點對稱的反射變換。

?：?當(dāng)b=c=l,a=d=0時，(x*y*l)=(yx1)：與歹=不對稱的反射變換。

?當(dāng)b=c=-l,Q=d=0時，(x*y*l)=(?y-x1)：與產(chǎn)-x對稱的反射變換。

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3、三維基本交換逆轉(zhuǎn)變換

注意；■是逆時針旋轉(zhuǎn)角度。

(x',y')

XX?COS6ZpHBfx.)

y=X7sin6Za

x1=『cos(9+a)=pcosacos3-psinasin3=xcos3-ysin3

y1="sin(8+a)="sinacos9+pcoscrsin0=xsin3ycos3

4、二維基本變換-錯切變換

■2）當(dāng)b=0時，（x*v*1）=（xdx+y1）圖形的x坐標(biāo)不變；

■當(dāng)表0：圖形沿+y方向作錯切位移。ABCD-^

A1B1C1D1

■當(dāng)d<0：圖形沿-y方向作錯切位移。4BCD一

二維基本變換二錯切變換

■2）當(dāng)b=0時，（x*v*1）=（xdx+y1）圖形的x坐標(biāo)不變；

■當(dāng)亦0：圖形沿+V方向作錯切位移。ABCD^A1B1C1D1

■當(dāng)d<0：圖形沿-y方向作錯切位移。ABCD-^A2B2C2D2

二維基本變換二錯切變換

■3)當(dāng)bwO且dM時，

上(x*y*1)=(x+bydx+y1)：圖形沿x,y兩

個方向作錯切位移。

■???錯切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，

甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。

5、二維基本變換-平移變換

平移

■平移變換只改變圖形的位置，不改變圖形

的大小和形狀

3、復(fù)合變換

?:?復(fù)合變換又稱級聯(lián)變換，指對圖形做一次以上

的幾何變換。

?:?注意：任何一個線性變換都可以分解為上述幾

類變換。

計算機輔助設(shè)計與制造

求點尸(x,y)經(jīng)第一次平移變換(7x1,7yi),第二次平

移變換(7x2,7y2)后的坐標(biāo)?(x*,y*)

解：設(shè)點Rx,y,1)經(jīng)第一次平移變換后的坐標(biāo)為P(x，/

1),則

■經(jīng)第二次平移變換后的坐標(biāo)為P*(x*y*1)

■???變換矩陣為丁尸771?個

■解:設(shè)點（X,y）為線段上的任意一點，

點（x'，y'）為點（x,y）放大后的坐標(biāo)則:

設(shè)點(x‘'，y'')為點(x'，y：)經(jīng)平移后的坐標(biāo)為：

[x‘'，y'',1]二[x\y\l]T2(10,0)則:

[x",y：品[x,,y\l]T2(10,0)=[X,y,1]S2(2,2)T2(10,0)

令:M=S2(2,2)T2(10,0),則M即為組合變換

■三維其次坐標(biāo)

■(x,y,z)點對應(yīng)的齊次坐標(biāo)為

■標(biāo)準(zhǔn)齊次坐標(biāo)(x,y,z,1)八

■右手坐標(biāo)系

在二維變換下，對稱變換是以線和點為基準(zhǔn)，在三維變換

下，對稱變換則是以面、線、點為基準(zhǔn)的。

-對稱于XOY平面

[x1y1z11]=[xy-zl]=[xyz1]

-對稱于YOZ平面

[x1y1z11]=-xyzl]=[xyz1

-對稱于XOZ平面

[x1y*z11]=[x-yzl]=[xyz1]

-繞X軸變換

空間上的立體繞X軸旋轉(zhuǎn)時，立體上各點的X坐標(biāo)

不變，只是Y、Z坐標(biāo)發(fā)生相應(yīng)的變化。

x'"x

y1=pcos(a+0)=y*cos。-z*sin?

z1=psin(a+0)=y*sin。+z*cos。

■矩陣表示為:

?0cos0sin00

x*y1z*1]=xyz

I0-sin0cos90

0001

■遵循右手法則，即若6〉0,大拇指指向

軸的方向，其它手指指的方向為旋轉(zhuǎn)方

向。

-繞Y軸旋轉(zhuǎn)

此時，Y坐標(biāo)不變，X,Z坐標(biāo)相應(yīng)變化。

x1=psin(a+0)=x^cosO+z*sin6

y1=y

z1=pcos(a+0)=z*cos0-x*sin。

■矩陣表示為

cos00-sin60

100

[x'y,z'1]=[xyz1\°

sin00cos30

0001

'■矩陣表示為:

cos0sin000

0001

第二節(jié)計算機輔助繪圖

O—、交互式繪圖

優(yōu)3:直觀：靈活缺點：速度慢，繪圖工作量大、

效率低。

繪圖步驟：設(shè)置繪圖環(huán)境或套用模板；交互式繪圖、

打印輸出。

?:?二、程序參數(shù)化繪圖

幾何參數(shù)和定位參數(shù)。

缺點：要求高，編程工作量大。

計算機輔助設(shè)計與制造

參數(shù)化設(shè)計（Parametric）（也叫尺寸驅(qū)動Dimension-

Driven）是利用圖形支撐軟件提供的尺寸驅(qū)動方式進行繪圖

（又稱參數(shù)化繪圖），它不僅可使CAD系統(tǒng)具有交互式繪圖

功能，還具有自動繪圖的功能。

基本思想：以草圖形式快速繪制圖形，進行尺寸標(biāo)注，通過

程序準(zhǔn)確產(chǎn)生圖形。

優(yōu)點：靈活、高效。

比較先進的圖形支撐軟件都提供這種功能。尺寸驅(qū)動一般是

建立在變量幾何原理上的，設(shè)計者可以采用“HandFre鏟方

式隨手勾畫出零件的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，然后再給拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)添加幾何

和尺寸約束，系統(tǒng)會自動將拓乎卜舂構(gòu)按照給定的約束轉(zhuǎn)換成

零件的幾有形狀和幾何大小。這種方式大大提高了繪圖效率,

它也支持極速的概念設(shè)計。

一般是由尺寸驅(qū)動參數(shù)化軟件模塊在非參數(shù)化圖形

基礎(chǔ)上引入了約束機制實現(xiàn)的。

幾何約束和尺寸約束的定義

2、尺寸驅(qū)動參數(shù)化繪圖軟件的主要功

臺B--

a）草圖繪制與整理

b）參數(shù)化尺寸驅(qū)動

四、參數(shù)化圖庫的使用和建立

利用繪圖軟件自身帶有的標(biāo)準(zhǔn)圖形庫和建立

用戶自己的圖形庫。

建立圖形庫的幾種途徑:

五、工程圖的自動生成

三、計算機輔助繪圖

計算機輔助繪圖是CAD中計算機應(yīng)用最成熟的領(lǐng)域。計算機輔助繪制二維圖

形常用的方法有四種：

第一種是直接利用圖形支撐軟件提供的各種功能，利用人機交互方式將圖形

筆一筆地畫出來。比較老式的CAD系統(tǒng)都是采用這種方式，主要缺點是速度慢,

繪圖工作量大;

第二種是利用圖形支撐軟件提供的尺寸驅(qū)動方式進行繪圖（又稱參數(shù)化繪

圖），比較先進的圖形支撐軟件都提供這種功能。這種方式大大提高了繪圖效率,

它也支持快速的概念設(shè)計；

第三種是利用圖形支撐軟件提供的二次開發(fā)工具，將一些常用的圖素參數(shù)化,

并將這些圖素存在圖庫中。繪圖時，根據(jù)需要從圖庫中按菜單調(diào)用有關(guān)圖素，并

將之拼裝成有關(guān)的霄件圖形。由于圖素已經(jīng)參數(shù)化，可以方便地修改尺寸。這種

利用參數(shù)化圖素拼囊成零件的繪圖方法可以極大地提高繪圖我率。

第四種方法是采用三維造型系統(tǒng)完成零件的三維立體模型，然后采用投影和

剖切方式由三維模型生成二維圖形，最后抖對二維圖形進行必要的修改和補充并

標(biāo)注尺寸、公差和其它技術(shù)要求。目前比較先進的CAD系統(tǒng)都具有孜種功能。這

是最為理想的繪圖方法。這種繪圖方式一般均可提供相關(guān)修改功能。在計算機輔

助繪圖系統(tǒng)中，要特別重視尺寸、公差和其它技術(shù)要求的標(biāo)注問題，標(biāo)注不僅繁

瑣、工作量大，而且容易出錯（遍標(biāo)、錯標(biāo)、重復(fù)標(biāo)）。據(jù)統(tǒng)計，繪圖工作量的

40—60%是各種標(biāo)注。所以，計算機輔助繪圖的研究和應(yīng)用重點應(yīng)放在標(biāo)注上。

___--

■曲面造型是計算機圖形學(xué)和計算機輔助幾宿設(shè)計90mpliter

AidedGeometricDesfgn）的一項重要內(nèi)容，也是

CAD/CAM作業(yè)中的一頊簞要的技術(shù)基礎(chǔ)。

■主要研究在計算機圖象系統(tǒng)的環(huán)境下對機械設(shè)計與制造中常

常遇到各種形狀復(fù)雜的外形表面（曲面）的表示、設(shè)計、顯

示和分析。它肇源于飛機、船舶的外形放樣工藝，由Coons、

Bezier等大師于六十年代奠定理論基礎(chǔ)。經(jīng)三十多年發(fā)展，

現(xiàn)在它已經(jīng)形成了以Bezier和B樣條方法為代表的參數(shù)化特

一-征設(shè)整計和疆隱式轆代數(shù)神曲面齷表示慨這兩:類W方A法P為Pr主o體x，im以a適^值

（Interpolation）、擬

三種季段為骨架的幾

■介紹Bezier曲線曲面、B樣條曲線曲面和NURBS曲線曲面的

構(gòu)造描述方法。

1、曲裝曲面的數(shù)學(xué)表示形聲

2、參數(shù)曲線定義及其切矢量、法矢量和曲率

3、曲線段間連續(xù)性定義

參數(shù)連續(xù)性的判斷標(biāo)準(zhǔn)：參數(shù)連續(xù)和幾何連續(xù)一

__

4、參數(shù)曲面的定義

?:?二、Bzier曲線曲面

由于幾何外形設(shè)計的要求越來越高，傳統(tǒng)的曲線曲面

表示方法，已不能滿足用戶的需求。1962年，法國雷諾

汽車公司的PEBezier構(gòu)造了一種以逼近為基礎(chǔ)的參

數(shù)曲線和曲面的設(shè)計方法，并用這種方法完成了一種

稱為UNISURF的曲線和曲面設(shè)計系統(tǒng)，1972年，該

系統(tǒng)被投入了應(yīng)用。Bezier方法將函數(shù)逼近同幾何表

示結(jié)合起來，使得設(shè)計師在計算機上就象使用作圖工

具一樣得心應(yīng)手。

?:7、Bezier曲線的定義和性質(zhì)

定義：給定空間個點的位置矢量Pi(i=0,1,

2,…，〃)，則Bezier參數(shù)曲線上各點坐標(biāo)的插值公

式是：

計算機輔助設(shè)計與制造

2、常見的幾種Bezier曲線

2）二次Bez⑥r(nóng)曲線

3）三次Bezier曲線

如下圖三次Bezier曲線所示。

■3、Bezier曲線的幾何特性

(3)一兀何不變性

’(4》全局控制性

■4、Bezier曲線的拼接

幾何設(shè)計中，一條Bezier曲線往往難以描述復(fù)雜的曲

優(yōu)。這是由于增加由于特征多邊形的頂點數(shù)，會

引起B(yǎng)ezier曲線次數(shù)的提高，而高次多項式又會帶來

計算上的困難用中L般不超過10次。所以

有時采用分段設(shè)計，然后將各段曲線相互連接起來，

并在接合處保持一定的連續(xù)條件。

■一?坐JBbzrerffi線的對所^我11」衛(wèi)I以胃，|史地叫,

可以給出Bezier曲面的定義和性質(zhì)；B3z宿i呻

線的一些算法也可以很容易擴展到Bezier曲

面的情況。

■1.定義

般實際應(yīng)用中，“，m不大于4。

設(shè)備.(01?、幻=01?:⑼為8+1)X(加+1)個空間點列,則加X冏次

張量積形式的加zier曲線為：

E3,V）=￡￡月遇洸@?*（＞）w,ve[o,i]

2-0J-0

其中4萬3)=qy(1-訪z,(v)=C“，(1-》廠/是慶ms初冏基函數(shù)◎

依次用線段連接點列號.QL…"J=o1…〃)中相鄰兩點所形成的空間

網(wǎng)格，稱之為特征網(wǎng)格?；⒌赌乔娴木仃嚤硎臼绞?

??::,???".」?????

^00

尸"v)=[鳥霜@),,、必或@)]尸10

2.性質(zhì)

■(1)Bezier曲面特征網(wǎng)格的四個角市正好是Bdzier

曲面的四仝角點，即P(O,O)=Poo,P(1,O)=PmO,

P(O,1)=Pon,P(1,1)=Pmno

■(2)Bezier曲面特征網(wǎng)格最外一圈頂點定義Bezier

曲面的四條邊界；Bezier曲面邊界的跨鼻切央只與

定義該邊界的頂點及相鄰一排頂點有關(guān)，且

PooPwPoi、PonPlnPo,n-1>PmnPm,n-^Pm-A,n^PmOPm-

1,0尸向(下圖打上斜線的三角形)；其跨界三階導(dǎo)矢

只與定義該邊界的頂點及相鄰兩排頂點有關(guān)。~"

■(3)幾何不變性。

■(4)對稱性。

■(5)凸包性。

P(u,l)

P(0,v)

P(0,0)=PQOP(U＞。)P(1,0)=P3O

圖雙三次Bezier曲面及邊界信息

--1~~-'一.I▼―h??▼?-F「1「F--?'■,

有許多優(yōu)越性，但麗舌不苦比f-

Bezier曲線或曲面不能作局部修改；其二是

Bezier曲線或曲面的拼接比較復(fù)雜。1972年,

Gordon等人提出了B樣條方法，在保留

Bezier方法全部優(yōu)點的同時，克服了Bezier方

法的弱點。

HB樣條崢的定義11ap

與Bezier曲線得定義方法類似，B樣條曲線方程

定義為：

映)=2:4")

2=0

口其中，尸爐01…〃)是控制多邊形的頂點，

M,k(f)(/三01…〃)稱為k階(卜1次)B樣條基函數(shù)，其中每

「個稱為B樣條，它是一個稱為節(jié)點矢量，即非

遞減的參數(shù)隰列北弱"4冊斯決定的上階分段多項式，也即為上階

書中該遞推公式表明：欲確定第/個k階B樣條

Ni,k(u),需要用到uw+i,…,U/+K共k+1個節(jié)點，稱

區(qū)向［Ui,UHk］為M,k(U)的支承區(qū)間。曲線方程中，

〃+1個控制頂點R.(/三0,1,…4)，要用到〃+1個林介

B樣條M,k(u)。它們支撐區(qū)間的并集定義了這一

組B樣條基的節(jié)點矢量U寸0用,…，加小

■2、B樣條曲線的節(jié)點矢量和定義域

3、均勻的訴條曲線一一=

11二次8樣條曲線

2）二次B樣條曲線

3）三次B樣條曲線

幾何特征；

4、B樣條曲線取幾何性質(zhì)

1）局部性

2）連續(xù)性

3）幾何不變性

4）凸包性

設(shè)乎畝內(nèi)C+1個控制頂點尸0尸1,…尸〃構(gòu)成B樣條曲線尸⑴

的特征多邊形。在該平面內(nèi)的任意一條直線與尸（。的交

點個數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點個數(shù)。

7）直線保持性.一

控制多邊形退化為一條直線時，曲線也退化為一條直線。

縮減性

設(shè)平面內(nèi)〃+1個控制頂點尸O,PI,…尸〃構(gòu)成B樣條曲線尸⑹

的特征?多邱丁在該平面內(nèi)的任意一條直線與尸⑴的交

點個數(shù)不多于該直線和特征多邊形的交點個數(shù)。

二5、Bj1條曲線控帝畫點的反算

隔6、B樣條曲面

四、N