數學教案：圓的標準方程

學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精學必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7（）,\s\do5（整體設計)）教學分析本節(jié)內容是學習圓的起始課，由于圓是學生比較熟悉的曲線,在初中已學習了圓的幾何性質,所以學習本節(jié)的難度不大．教材利用兩點間距離公式推導出了圓的標準方程，并討論了點與圓的位置關系．在教學中，應引導學生自己探究,避免教師直接給出圓的標準方程．三維目標1．使學生掌握圓的標準方程，能根據圓心、半徑寫出圓的標準方程，能根據圓的標準方程寫出圓的圓心、半徑,進一步培養(yǎng)學生能用解析法研究幾何問題的能力，滲透數形結合思想，注意培養(yǎng)學生觀察問題、發(fā)現問題和解決問題的能力．2．會用待定系數法求圓的標準方程，通過圓的標準方程解決實際問題的學習,形成用代數方法處理幾何問題的能力，從而激發(fā)學生學習數學的熱情和興趣，培養(yǎng)學生分析、概括的思維能力．重點難點教學重點:圓的標準方程．教學難點:會根據不同的已知條件，利用待定系數法求圓的標準方程．課時安排1課時eq\o（\s\up7()，\s\do5(教學過程）)導入新課設計1.如左下圖,已知隧道的截面是半徑為4m的半圓，車輛只能在道路中心線一側行駛．一輛寬為2.7m，高為3m的貨車能不能安全駛入這個隧道？如右上圖，以某一截面半圓的圓心為坐標原點，半圓的直徑AB所在直線為x軸,建立直角坐標系，問題可以轉化為求圓上的點的縱坐標，這就需要建立圓的方程．為此我們學習圓的標準方程．設計2.同學們，我們知道直線可以用一個方程表示，那么，圓可以用一個方程表示嗎？圓的方程怎樣來求呢?這就是本堂課的主要內容，教師板書本節(jié)課題：圓的標準方程．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(提出問題））eq\a\vs4\al(1回顧圓的定義.,2怎樣確定一個圓？,3圓C的圓心Ca，b，半徑為r，點Mx，y是圓C上的任意一點，那么x，y滿足什么等式？，4怎樣判定點與圓的位置關系?)討論結果:（1)平面內到一定點的距離等于定長的點的軌跡是圓．定點是圓心，定長是圓的半徑．（2)只要圓心和半徑確定了,就可以確定一個圓．(3）如果點M在⊙C上，則｜CM|＝r,反之，如果|CM｜＝r，則點M在⊙C上．如下圖所示．由兩點間的距離公式，得x，y滿足的等式,eq\r（x－a2＋y－b2）＝r。兩邊平方,得（x－a）2＋（y－b)2＝r2。①顯然，⊙C上任意一點M的坐標(x，y)適合方程①；如果平面上一點M的坐標（x，y）適合方程①，可得｜CM|＝r，則點M在⊙C上．因此方程①是以點C（a，b）為圓心，r為半徑的圓的方程，叫做圓的標準方程．特別地，如果圓心在坐標原點(如下圖)，這時a＝0，b＝0,圓的標準方程就是x2＋y2＝r2.（4)容易看出，如果點M1（x1，y1)在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑r，即(x1－a)2＋（y1－b）2>r2。如果點M2（x2，y2）在圓內，則點到圓心的距離小于圓的半徑r，即（x2－a）2＋(y2－b）2〈r2.如果點M3（x3,y3)在圓上，則點到圓心的距離等于圓的半徑r,即（x3－a)2＋(y3－b）2＝r2。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(應用示例））思路1例1根據下列條件，求圓的方程:（1)圓心在點C（－2，1)，并過點A(2,－2）；(2）圓心在點C（1,3)，并與直線3x－4y－6＝0相切；（3）過點(0,1）和點（2，1），半徑為eq\r（5)。分析:圓心和半徑是圓的兩要素,只要確定圓心坐標和半徑就可以寫出圓的方程．解:（1)所求圓的半徑r＝|CA|＝eq\r(2＋22＋－2－12）＝5。因為圓的圓心為(－2,1)，所以所求圓的方程為(x＋2)2＋(y－1)2＝25.（2)因為直線3x－4y－6＝0是所求圓的切線，所以圓心(1，3)到這條直線的距離等于半徑，根據點到直線的距離公式，有r＝eq\f(|3×1－4×3－6|，\r(32＋42）)＝eq\f（15,5)＝3.所以，所求圓的方程為(x－1）2＋（y－3）2＝9.（3）設圓心坐標為(a,b)，則圓的方程為（x－a）2＋(y－b)2＝5.已知圓過點(0，1)，(2，1)，代入圓的方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（a2＋1－b2＝5，，2－a2＋1－b2＝5，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(a1＝1，,b1＝－1))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝1，，b2＝3，))因此,所求圓的方程為（x－1)2＋（y＋1)2＝5,或（x－1)2＋（y－3）2＝5。點評:求圓的方程時，關鍵是確定圓心坐標和半徑．變式訓練1．求以C(4，－6）為圓心，半徑等于3的圓的方程．解:將圓心C(4，－6）、半徑等于3代入圓的標準方程,可得所求圓的方程為(x－4)2＋(y＋6）2＝9。2.已知兩點M1（4，9)和M2（6，3)．求以M1M2為直徑的圓的方程．解：根據已知條件，圓心C（a，b）是M1M2的中點，那么它的坐標為a＝eq\f（4＋6,2）＝5，b＝eq\f(9＋3，2）＝6.根據兩點間距離公式，得圓的半徑r＝|CM1|＝eq\r（4－52＋9－62）＝eq\r（10）.因此,所求圓的方程是(x－5)2＋(y－6)2＝10。例2求過點A(6，0)，B(1，5)，且圓心在直線l：2x－7y＋8＝0上的圓的方程（如下圖）．分析:由題意得，圓心在線段AB的垂直平分線m上,又在直線l上，所以圓心是直線m與l的交點．將直線l和m的方程聯立,解方程組，可以求出圓心坐標，再由圓心和圓上一點的坐標可以求出圓的半徑．解法一：直線AB的斜率k＝eq\f(5－0,1－6）＝－1，所以AB的垂直平分線m的斜率為1.AB的中點的橫坐標和縱坐標分別為x＝eq\f(6＋1，2)＝eq\f（7，2),y＝eq\f（0＋5，2)＝eq\f（5，2)，因此，直線m的方程為y－eq\f（5，2）＝1（x－eq\f(7，2）)，即x－y－1＝0。又圓心在直線l上,所以圓心是直線m與直線l的交點．解方程組eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x－y－1＝0，，2x－7y＋8＝0，)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝3，，y＝2。)）所以圓心坐標為C(3,2）,又半徑r＝|CA｜＝eq\r(13)，則所求圓的方程是(x－3)2＋(y－2)2＝13。解法二:設所求圓的方程為(x－a)2＋（y－b）2＝r2.由題意，得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（6－a2＋0－b2＝r2,，1－a2＋5－b2＝r2，，2a－7b＋8＝0,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝3，，b＝2，，r2＝13。))所以所求圓的方程為（x－3)2＋(y－2）2＝13.點評:解法一是利用圓的幾何性質，求出圓心坐標和半徑，直接寫出圓的方程，此法稱為直接法．解法二是設出圓的標準方程,列方程解出圓心坐標和半徑,此法稱為待定系數法．變式訓練1.2008山東高考，文11若圓C的半徑為1,圓心在第一象限，且與直線4x－3y＝0和x軸都相切，則該圓的標準方程是()A．（x－3)2＋（y－eq\f（7，3)）2＝1B．（x－2)2＋(y－1)2＝1C．(x－1)2＋(y－3）2＝1D．(x－eq\f（3,2))2＋(y－1）2＝1解析：設圓心C(a，b)，由條件可得b＝1，eq\f（｜4a－3b|,5）＝1，解得a＝2或a＝－eq\f（1，2)?！邎A心在第一象限．∴a＝2。∴圓的標準方程為（x－2）2＋(y－1）2＝1?！噙xB.答案：B2．△ABC的三個頂點的坐標是A(5,1)，B(7，－3)，C(2，－8),求它的外接圓的方程．分析：從圓的標準方程(x－a）2＋（y－b）2＝r2入手,要確定圓的標準方程，可用待定系數法確定a、b、r三個參數．另外可利用直線AB與AC垂直平分線的交點確定圓心，從而得半徑，圓的方程可求．解法一：設所求圓的標準方程為（x－a）2＋(y－b)2＝r2,因為A（5，1），B(7，－3)，C（2，－8）都在圓上，它們的坐標都滿足方程（x－a）2＋（y－b)2＝r2，于是eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(5－a2＋1－b2＝r2，，7－a2＋－3－b2＝r2，,2－a2＋－8－b2＝r2.))解此方程組得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（a＝2,,b＝－3，,r＝5.）)所以△ABC的外接圓的方程為(x－2)2＋（y＋3)2＝25.解法二:線段AB的中點坐標為(6,－1)，斜率為－2，所以線段AB的垂直平分線的方程為y＋1＝eq\f（1，2)（x－6），即x－2y－8＝0.①同理，線段AC的中點坐標為（eq\f（7，2)，－eq\f（7，2)），斜率為3，所以線段AC的垂直平分線的方程為y＋eq\f（7,2）＝－eq\f（1，3)（x－eq\f（7，2)），即x＋3y＋7＝0。②解由①②組成的方程組得x＝2，y＝－3，所以圓心坐標為(2，－3），半徑r＝eq\r（5－22＋1＋32）＝5，所以△ABC的外接圓的方程為(x－2）2＋(y＋3)2＝25.例3趙州橋的跨度是37.02m，圓拱高約為7.2m，求這座圓拱橋的拱圓方程（精確到0.01m)．解:左下圖是拱橋的示意圖．以AB的中點為原點,x軸通過AB建立直角坐標系．如右下圖．根據已知條件,B，C的坐標分別為(18。51,0），（0，7。2），設圓心的坐標為（0,b），則圓的方程為x2＋（y－b）2＝r2.下面用待定系數法求b和r2的值．因為B，C都在圓上，所以它們的坐標都滿足這個方程，于是得到方程組eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(18。512＋b2＝r2，,7。2－b2＝r2,）)解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b≈－20.19，，r2≈750。21。))因此，圓拱橋的拱圓的方程近似為x2＋（y＋20。19）2＝750。21。點評：解決本題的關鍵是建立適當的直角坐標系．本題中由于圓心位置不確定，所以建立坐標系時,以AB的中點為原點能使圓心位置落在坐標軸上．變式訓練1.已知圓的方程為(x－3)2＋(y－4）2＝25.設該圓過點（3,5）的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為（）A．10eq\r(6）B．20eq\r（6)C．30eq\r(6)D．40eq\r（6)解析:圓心記作M（3，4)，半徑為5。記E(3,5）．則過E(3，5）的最長弦AC為圓的直徑，最短弦BD的中點為E.如下圖所示，SABCD＝eq\f(1,2）AC·BD＝eq\f(1,2）×10×2×eq\r（24）＝20eq\r（6)。答案：B2．下圖是某圓拱橋的一孔圓拱的示意圖，該圓拱跨度AB＝20m，拱高OP＝4m,在建造時每隔4m需用一個支柱支撐，求支柱A2P2的長度（精確到0.01m）．解：建立坐標系如圖，圓心在y軸上，由題意，得P（0,4），B（10，0)．設圓的方程為x2＋（y－b）2＝r2，因為點P(0，4)和B（10,0)在圓上，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（02＋4－b2＝r2,，102＋0－b2＝r2.））解得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝－10。5，,r2＝14。52.))所以這個圓的方程是x2＋(y＋10。5）2＝14。52.設點P2（－2，y0)，由題意y0〉0，代入圓方程，得(－2）2＋（y0＋10.5)2＝14.52,解得y0＝eq\r(14.52－22）－10.5≈14.36－10.5＝3。86(m)．即支柱A2P2的長度約為3.86m。思路2例4圓(x－1）2＋(y＋2）2＝9關于直線x－y＝0對稱的圓的標準方程是________．解析:圓心(1，－2)關于直線x－y＝0的對稱點是(－2,1），則對稱圓的方程是（x＋2）2＋(y－1）2＝9.答案：（x＋2)2＋（y－1）2＝9點評：圓關于點或直線對稱的圓,其半徑不變,只是圓心位置發(fā)生了變化．本題利用點關于直線對稱點求得對稱圓的圓心．變式訓練1．圓x2＋（y＋3）2＝7關于原點對稱的圓的方程是________．答案：x2＋(y－3)2＝72．圓x2＋y2＝4與圓(x－a)2＋y2＝4關于直線x＝6對稱，則a＝________.答案：123．直線l與圓(x＋1）2＋（y－2）2＝5－a(a<3)相交于兩點A，B，弦AB的中點為(0,1），則直線l的方程為________．解析：圓心為（－1,2）．弦中點與圓心連線的斜率為eq\f（2－1，－1－0）＝－1，由圓的性質知，弦AB所在直線即l的斜率為k＝1.故l的方程為x－y＋1＝0.答案:x－y＋1＝0例5寫出圓心為A（2,－3），半徑長等于5的圓的方程,并判斷點M1(5，－7)，M2（－5，－1)是否在這個圓上．解：圓的方程為（x－2)2＋(y＋3)2＝25。∵（5－2）2＋（－7＋3)2＝25,∴點M1在圓上．∵(－5－2)2＋（－1＋3)2＝53>25,∴點M2在圓外．點評：本題要求首先根據坐標與半徑大小寫出圓的標準方程,然后給一個點，判斷該點與圓的關系，這里體現了坐標法的思想,根據圓的坐標及半徑寫方程——從幾何到代數；根據坐標滿足方程來看點在不在圓上——從代數到幾何．變式訓練1．經過圓（x＋1）2＋y2＝1的圓心C，且與直線x＋y＝0垂直的直線方程是________．解析：圓心(－1，0）．與直線x＋y＝0垂直的直線斜率為1，∴所求的方程為y＝x＋1。答案：x－y＋1＝02．已知兩點P1（4，9）和P2(6,3)，求以P1P2為直徑的圓的方程，并判斷點M(6,9)，Q(5，3)是在圓上、圓外，還是圓內？解：由已知條件可得圓心坐標為C(5,6)，半徑為r＝eq\f（1,2）|P1P2｜＝eq\f(1,2）eq\r（4－62＋9－32)＝eq\r(10）。所以以P1P2為直徑的圓的方程為(x－5）2＋（y－6)2＝10.因為｜CM|＝eq\r（5－62＋6－92)＝eq\r（10）＝r,｜CQ|＝eq\r（5－52＋6－32)＝3〈eq\r（10）＝r，∴點M在圓上,點Q在圓內．eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(知能訓練））1．已知圓C與圓(x－1）2＋y2＝1關于直線y＝－x對稱，則圓C的方程是（）A．（x－1)2＋y2＝1B．x2＋y2＝1C．x2＋(y＋1)2＝1D．x2＋(y－1)2＝1解析：圓C與圓(x－1）2＋y2＝1關于直線y＝－x對稱，其半徑不變，只求出圓心即可，而關于直線y＝－x對稱，則橫、縱坐標交換位置，并取相反數,由圓（x－1）2＋y2＝1的圓心為（1，0），知對稱的圓心為（0，－1)．答案：C2．以點(2，－1)為圓心且與直線3x－4y＋5＝0相切的圓的方程為（)A．（x－2)2＋（y＋1）2＝3B．(x＋2）2＋（y－1)2＝3C．（x－2)2＋（y＋1)2＝9D．（x＋2）2＋（y－1）2＝9解析：r＝eq\f（｜3×2－4×－1＋5｜,\r（32＋42）)＝3。答案：C3．已知直線5x＋12y＋a＝0與圓x2－2x＋y2＝0相切，則a的值為________．解析：圓的方程可化為(x－1)2＋y2＝1，所以圓心坐標為(1,0），半徑為1.由已知可得eq\f(｜5＋a｜，13）＝1｜5＋a|＝13,所以a的值為－18或8。答案：－18或84．已知圓(x－2）2＋y2＝8的圓心是點P,則點P到直線x－y－1＝0的距離是________．解析:由已知得圓心為P（2，0)，由點P到直線距離公式,得d＝eq\f（|2－0－1｜,\r（1＋1））＝eq\f（\r（2），2）。答案：eq\f（\r（2)，2）5。已知圓C:(x＋1）2＋(y＋eq\f(a,2))2＝4＋eq\f（a2，4）（a為實數）上任意一點關于直線l:x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上,則a＝__________。解析:圓心C(－1，－eq\f(a，2）)由題意知圓心C在直線l上即－1＋eq\f(a,2）＋2＝0,解得a＝－2.答案：－26．已知圓心為C的圓經過點A(1,1）和B（2，－2),且圓心在直線l：x－y＋1＝0上,求圓心為C的圓的標準方程．分析:(1)利用圓的標準方程(x－a)2＋（y－b）2＝r2，只要能構造三個方程求出a、b、r便可．(2）確定一個圓只需確定圓心位置與半徑大?。畧A心為C的圓經過點A（1，1)和B（2，－2），由于圓心C與A，B兩點的距離相等，所以圓心C在線段AB的垂直平分線m上，又圓心C在直線l上,因此圓心C是直線l與直線m的交點,半徑長等于｜CA|或|CB｜.解法一：設所求的圓的標準方程為(x－a）2＋(y－b）2＝r2,將點A（1，1)和B（2，－2）代入得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－a2＋1－b2＝r2,，2－a2＋－2－b2＝r2。))又圓心在l：x－y＋1＝0上，所以a－b＋1＝0。聯立方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（1－a2＋1－b2＝r2，，2－a2＋－2－b2＝r2，,a－b＋1＝0，）)解得a＝－3，b＝－2，r＝5.所以所求的圓的標準方程為(x＋3)2＋（y＋2）2＝25.解法二：因為A（1,1）和B（2，－2),所以線段AB的中點坐標為（eq\f(3，2），－eq\f(1,2）），直線AB的斜率為kAB＝eq\f(－2－1,2－1）＝－3，故線段AB的垂直平分線方程為y＋eq\f(1，2)＝eq\f（1，3)（x－eq\f(3，2）),即x－3y－3＝0.由eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x－3y－3＝0，,x－y＋1＝0，）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝－3，，y＝－2。))因此圓心C的坐標為（－3,－2)，半徑r＝｜AC|＝eq\r（1＋32＋1＋22)＝5，所以所求的圓的方程為（x＋3）2＋（y＋2)2＝25。eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（拓展提升）)已知直線l1：mx－y＝0，l2：x＋my－m－2＝0，且l1⊥l2.求證:對m∈R，l1與l2的交點P在一個定圓上．證明：∵l1與l2分別過定點(0,0)、(2,1）,且兩直線垂直，∴l(xiāng)1與l2的交點必在以（0,0）、(2,1）為一條直徑的圓上．∴圓心為(1，eq\f（1，2)）,半徑為eq\f（\r(5）,2）,(x－1）2＋(y－eq\f(1，2））2＝(eq\f（\r(5）,2））2.eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結))本節(jié)課學習了：1．圓的標準方程．2．求圓的標準方程的方法：直接法和待定系數法；3．判定點與圓的位置關系；eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1(作業(yè)）)本節(jié)練習B1,2題．eq\o(\s\up7（)，\s\do5（設計感想））圓是學生比較熟悉的曲線,求圓的標準方程既是本節(jié)課的教學重點也是難點，為此本節(jié)布設了由淺入深的學習環(huán)境，先讓學生熟悉圓心、半徑與圓的標準方程之間的關系，逐步理解三個參數的重要性，自然形成待定系數法的解題思路，在突出重點的同時突破了難點．利用圓的標準方程由淺入深的解決問題,并通過圓的方程在實際問題中的應用,增強學生應用數學的意識．另外，為了培養(yǎng)學生的理性思維，在例題中，設計了由特殊到一般的學習思路,培養(yǎng)學生的歸納概括能力．在問題的設計中，利用一題多解的探究，縱向挖掘知識深度，橫向加強知識間的聯系，培養(yǎng)了學生的創(chuàng)新精神，并且使學生的有效思維量加大,隨時對所學知識和方法產生有意注意，能力與知識的形成相伴而行，這樣的設計不但突出了重點，更使難點的突破水到渠成．eq\o(\s\up7（）,\s\do5（備課資料