數(shù)學(xué)教材梳理：二項(xiàng)式定理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精庖丁巧解牛知識·巧學(xué)一、二項(xiàng)式定理1.公式（a+b）n=（n∈N*)。對二項(xiàng)式公式，令a=1,b=x，則得一個(gè)比較常用的公式：(1+x）n=1++…+xn.（1）（a+b）n的二項(xiàng)展開式共有ｎ＋1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)（ｋ∈{0，1，2,…，ｎ｝）叫做二項(xiàng)式系數(shù)；(2）各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)ｎ。方法歸納（1）字母ａ的冪指數(shù)按降冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由ｎ逐次減1直到零,字母ｂ的冪指數(shù)按升冪排列，從第一項(xiàng)開始，次數(shù)由0逐項(xiàng)加1直到ｎ；（2)由于二項(xiàng)式定理表示的是一個(gè)恒等式，在二項(xiàng)展開式中,有關(guān)系數(shù)的或組合數(shù)中一些和的問題，可對照二項(xiàng)展開式，對ａ、ｂ賦以特殊值，是解決這類問題的基本方法;（3）有關(guān)三項(xiàng)展開問題,可將三項(xiàng)中某兩項(xiàng)看做一項(xiàng)，然后利用二項(xiàng)式定理處理。(4）二項(xiàng)式系數(shù)只與第n項(xiàng)有關(guān)，與a，b的大小無關(guān)。2.通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開式中第ｋ＋1項(xiàng)叫做二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)，即Tk+1=an—kbk.（1）通項(xiàng)公式表示的是二項(xiàng)展開式中的任意一項(xiàng),只要ｎ與ｒ確定，該項(xiàng)也隨之確定；對于一個(gè)具體的二項(xiàng)式,它的二項(xiàng)展開式中的項(xiàng)依賴于ｒ；（2)通項(xiàng)公式表示的是第ｋ＋1項(xiàng),而非第ｋ項(xiàng);（3）公式中的第一個(gè)量ａ與第二個(gè)量ｂ的位置不能顛倒。疑點(diǎn)突破利用通項(xiàng)公式可以解決以下問題：(1)求指定項(xiàng)；（2）求特征項(xiàng)；（3）求指定項(xiàng)、特征項(xiàng)的系數(shù).在應(yīng)用通項(xiàng)公式時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：（1）要能準(zhǔn)確地寫出通項(xiàng),特別注意符號問題；（2）要將通項(xiàng)中的系數(shù)和字母分離開來，以便解決有關(guān)問題;（3）通項(xiàng)公式中含有a,b，n,k,Tk+1五個(gè)元素，只要知道其中的四個(gè)元素，就可以求第五個(gè)元素，在有關(guān)二項(xiàng)式定理的問題中，常遇到已知這五個(gè)元素中的若干個(gè)，求另外幾個(gè)元素的問題,這類問題一般是利用通項(xiàng)公式,把問題歸納為解方程或方程組,這里必須注意ｎ是正整數(shù)，ｒ是非負(fù)整數(shù)，且ｒ≤ｎ。二、二項(xiàng)式系數(shù)及其性質(zhì)二項(xiàng)展開式中，各項(xiàng)系數(shù)(r=0，1，2，…，n)叫做展開式的二項(xiàng)式系數(shù)。它們是一組僅與二項(xiàng)式的冪指數(shù)ｎ有關(guān)的ｎ＋1個(gè)組合數(shù)，與a,b無關(guān)。其性質(zhì)如下：（1）對稱性：在二項(xiàng)展開式中,與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等。事實(shí)上，這一性質(zhì)可以由得到。（2)增減性與最大值：如果二項(xiàng)式的冪指數(shù)ｎ是偶數(shù)，那么其展開式中間一項(xiàng)，即的二項(xiàng)式系數(shù)最大；如果ｎ是奇數(shù)，那么其展開式中間兩項(xiàng)與的二項(xiàng)式系數(shù)相等且最大.（3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和:=2n，且奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和等于偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和，即+…=2n—1.方法點(diǎn)撥對形如（ax+b）n，（a2+bx+c）m的式子求其展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和，只需令ｘ=1即可,對形如（ax+by）n的式子求其展開式各項(xiàng)系數(shù)之和,只需令ｘ=ｙ=1即可。辨析比較二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念。如（a-b)n的二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式只需把-ｂ看成ｂ代入原來的二項(xiàng)式定理可得:Tr+1=(-1）ran-rbr，則第ｒ＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，而第ｒ＋1項(xiàng)的系數(shù)是（-1）r.知識拓展如求（a+bx）n展開式中系數(shù)最大的項(xiàng),一般是采用待定系數(shù)法，設(shè)展開式中各項(xiàng)系數(shù)分別為A1,A2，…,An+1，設(shè)第ｒ＋1項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)有從而解出ｒ的值即可。問題·探究問題1什么叫做二項(xiàng)式系數(shù)？什么叫做二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)？它們本質(zhì)相同嗎?有什么區(qū)別？思路:（a+b)n的二項(xiàng)展開式共有ｎ＋1項(xiàng)，其中各項(xiàng)的系數(shù)（k∈｛0，1，2，…，n｝）叫做二項(xiàng)式系數(shù).而二項(xiàng)式項(xiàng)的系數(shù)是在二項(xiàng)式系數(shù)的前面加相應(yīng)符號。二者是有區(qū)別的，如（a+bx）n的展開式中，第ｒ＋1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，而第ｒ＋1項(xiàng)的系數(shù)為an—rbr探究：在有關(guān)二項(xiàng)展開式問題中，要注意二項(xiàng)式系數(shù)與總分項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別和聯(lián)系，同時(shí)注意“取特殊值法”在求系數(shù)和中的作用。如在（1+2x）7的展開式中，第四項(xiàng)是T4=·17—3·（2x）3，其二項(xiàng)式系數(shù)是,則第4項(xiàng)的系數(shù)是·23=280,它們既有區(qū)別，又有聯(lián)系。求二項(xiàng)式系數(shù)的和是2n,求二項(xiàng)展開式各項(xiàng)的系數(shù)和一般用賦值法解決。問題2在數(shù)的整除問題中，我們經(jīng)常會(huì)遇到這樣的問題：今天是星期天，220天后是星期幾?11827的末位數(shù)字是幾？34n+2+5m+1思路：對類似的整除問題，可以借助于二項(xiàng)式定理來解決。把一個(gè)數(shù)的指數(shù)冪的底數(shù)分解為兩個(gè)數(shù)的和或差，利用二項(xiàng)式定理展開,對展開項(xiàng)的數(shù)字特征進(jìn)行分析。對二項(xiàng)式定理的理解應(yīng)注意它是一個(gè)恒等式,左邊是二項(xiàng)式冪的形式。表示簡單，右邊是二項(xiàng)式的展開式，表示雖然復(fù)雜,但很有規(guī)律,規(guī)律特點(diǎn)為：①它有ｎ＋1項(xiàng)，是和的形式；②各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪的次數(shù)ｎ；③字母ａ按降冪排列,次數(shù)由ｎ減到0，字母ｂ按升冪排列，次數(shù)由0增到ｎ。④各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)依次為：，利用展開式解決問題時(shí)可以根據(jù)需要而選擇.探究:上題中的“11827的末位數(shù)字是幾”這一問題，可以利用二項(xiàng)式定理看做（10+1）827,由二項(xiàng)式展開,得容易發(fā)現(xiàn),其個(gè)位數(shù)字即為1。二項(xiàng)式定理中,ａ、ｂ是任意的,于是我們可以根據(jù)需要對其賦值，利用二項(xiàng)式定理來解決一些實(shí)際問題.如令ａ=1,ｂ=ｘ,則（1+x）n=1+這也為我們解決問題提供了“取特例”的思想方法。如上式中再令ｘ=—1，或令ａ、ｂ取一些特殊的值還可以得到許多有用的結(jié)果。典題·熱題例1（2005全國高考)(2x—)9的展開式中，常數(shù)項(xiàng)為______________。（用數(shù)字作答）.思路分析:二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tr+1=（2x)9-r（—)r=(—1）r29—r。令9-r-=0,得ｒ=6.故常數(shù)項(xiàng)為T7=(-1）6×23=672。答案：672方法歸納凡涉及到展開式的項(xiàng)及其系數(shù)等問題時(shí),常是先寫出其通項(xiàng)公式Tr+1=an-rbr,然后再根據(jù)題意進(jìn)行求解，往往是結(jié)合方程思想加以解決.拓展延伸（2005山東高考)如果（3x)n的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為128，則展開式中的系數(shù)是（)A。7B.—7思路分析：分清某一項(xiàng)的系數(shù)與它的二項(xiàng)式系數(shù)是否相同，常規(guī)解法是利用通項(xiàng)公式Tr+1=an—rbr，先確定ｒ，再求其系數(shù).令ｘ=1,即(3-1)n=128,得ｎ=7.由通項(xiàng)公式,得Tr+1=(3x)7-r()r=(-1）r·37-r··，由7-=-3。解得r=6.故的系數(shù)是（—1）6·3·=21.答案：C深化升華在求二項(xiàng)式中參數(shù)的值及特定項(xiàng)的系數(shù)等問題時(shí)，通常是利用展開式的通項(xiàng)與題目提供的信息及各量之間的制約關(guān)系，巧妙構(gòu)造方程,利用方程的思想求解.例2（1+2x)n的展開式中第六項(xiàng)與第七項(xiàng)的系數(shù)相等,求展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)和系數(shù)最大的項(xiàng)。思路分析:根據(jù)已知條件可求出ｎ，再根據(jù)ｎ的奇偶性，確定出二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)。解:T6=（2x)5,T7=（2x)6，依題意有·25=·26，解得n=8。所以（1+2x)n的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為T5=·（2x）4=1120x4。設(shè)第ｒ＋1項(xiàng)系數(shù)最大，則有。解得5≤r≤6。由于r∈{0，1,2，…,8}，所以ｒ=5或ｒ=6。則系數(shù)最大的項(xiàng)為T6=1792x5,T7=1792x6.方法歸納二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的問題，可直接根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)求解。ｎ為奇數(shù)時(shí),中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；ｎ為偶數(shù)時(shí)，中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大.誤區(qū)警示求展開式中系數(shù)最大項(xiàng)與求二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)是不同的，要根據(jù)各項(xiàng)系數(shù)的正、負(fù)變化情況，采用列不等式,解不等式的方法求。例3求（1+2x-3x2）6展開式中含x5的項(xiàng)。思路分析：冪函數(shù)6是個(gè)不大的數(shù)目，顯然可以按多項(xiàng)式乘法法則把（1+2x—3x2)6乘開為多項(xiàng)式,再從中取出含x5的項(xiàng),但是計(jì)算量較大.如果把1+2x—3x2中的兩項(xiàng)結(jié)合起來，則可看成二項(xiàng)式,從而可利用二項(xiàng)式定理,展開后，再把結(jié)合為一組的兩項(xiàng)展開，就能得到含x5的系數(shù).解：原式=［1+（2x-3x2)]6=1+（2x—3x2）+（2x—3x2)2+（2x—3x2)3+…+（2x—3x2）6?？梢钥闯?，繼續(xù)將右端展開后,在（2x—3x2)3,(x-3x2)4,(2x-3x2）5這三部分的展開式中都含有x5的項(xiàng)，它們分別是：×2×(—3）2x5,×23×(-3)x5，25x5。把這三項(xiàng)合并后,就得到（1+2x-3x2)6展開式中含的項(xiàng)是—168x5.方法歸納用結(jié)合的方法，把三項(xiàng)式做為二項(xiàng)式處理，這是一種較為普遍的轉(zhuǎn)化方法.通過轉(zhuǎn)化?？梢园演^生疏的問題轉(zhuǎn)化為較熟悉的問題,把較困難的問題轉(zhuǎn)化為較容易的問題。例4求0.9986的近似值，使誤差小于0.001。思路分析:因?yàn)橹苯訉?.9986進(jìn)行求值難度較大,而0。9986=(1—0。002）6，故可用二項(xiàng)式定理展開計(jì)算.解：0.9986=（1-0。002)6=1+6×（—0。002)1+15×（-0。002）2+…+(-0。002）6.因?yàn)門3=·（-0。002）2=15×(—0。002)2=0.00006<0.001,且第三項(xiàng)以后的絕對值都小于0。001，所以從第三項(xiàng)起,以后的項(xiàng)可以忽略不計(jì).則0。9986=（1—0.002)6≈1+6×（—0.002）=1-0。012=0。988.深化升華由（1+x）n=1+x+x2+…+xn,當(dāng)ｘ的絕對值與1相比很小且ｎ很大時(shí)，x2，x3，…,xn等項(xiàng)的絕對值都很小,因此在精確度允許的范圍內(nèi)可以忽略不計(jì),因此，可用近似計(jì)算公式：(1+x）n≈1+nx。在使用這個(gè)公式時(shí)，要注意按問題對精確度的要求，來確定對展開式中各項(xiàng)的取舍。若精確度要求較高，則可使用較為精確的公式：（1+x）n≈1+nx+x2.例5求證：對任何非負(fù)整數(shù)ｎ,33n-26n—1可被676整除.思路分析:當(dāng)ｎ=0或1時(shí)，所給式子為具體數(shù),可以驗(yàn)證。當(dāng)ｎ≥2時(shí),由于注意到676等于262，而33n=27n=（26-1)n.可以用二項(xiàng)式展開,看各項(xiàng)中是否均能含有262。解:當(dāng)ｎ=0時(shí),原式等于0，可被676整除。當(dāng)ｎ=1時(shí)，原式=0，也可被676整除。