數(shù)學(xué)教材梳理任意角、弧度

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精皰丁巧解牛知識(shí)·巧學(xué)1.任意角的概念在日常生活及生產(chǎn)和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，還要經(jīng)常用到大于360°的角以及按不同方向旋轉(zhuǎn)而成的角.如自行車的車輪在轉(zhuǎn)動(dòng)的過程中形成的角.為了區(qū)別起見，我們把按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫正角,把按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)所形成的角叫負(fù)角.特別地，當(dāng)一條射線不作任何轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，我們也認(rèn)為這時(shí)也形成了一個(gè)角叫零角.這樣就把角的概念推廣到了任意角，它包括正角、負(fù)角和零角.深化升華正角和負(fù)角是表示具有相反意義的量，它的正負(fù)規(guī)定純系習(xí)慣,同正負(fù)數(shù)的規(guī)定一樣，零角無正負(fù)，就好像數(shù)字零無正負(fù)一樣。記憶要訣掌握角的概念應(yīng)注意角的三要素：頂點(diǎn)、始邊、終邊,且現(xiàn)在所說的角可以是任意大小的,并強(qiáng)調(diào)了角的旋轉(zhuǎn)方向。2.象限角與軸線角為了便于研究，我們常在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)討論角，為此使角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合,則角的終邊在第幾象限(除頂點(diǎn)外），則該角就是第幾象限的角。例如：30°的終邊在第一象限,則它就是第一象限的角；—30°角的終邊在第四象限,則它就是第四象限的角。若角的終邊在坐標(biāo)軸上，則這個(gè)角不屬于任一象限，稱之為軸線角。例如:90°角的終邊落在y軸的正半軸上,則它就是一個(gè)軸線角。誤區(qū)警示象限角及軸線角都是相對(duì)于坐標(biāo)系而言的,應(yīng)注意平面直角坐標(biāo)系的建立方法，即角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合,角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，只有在這一前提下，才能討論象限角與軸線角.3.角的分類按旋轉(zhuǎn)方向分：正角、負(fù)角和零角。按終邊位置分:第一象限角、第二象限角、第三象限角、第四象限角和軸線角。第一象限的角的集合為{α｜k·360°＜β＜k·360°+90°,k∈Z}。第二象限的角的集合為｛α|k·360°+90°＜β＜k·360°+180°，k∈Z｝.第三象限的角的集合為｛α｜k·360°+180°＜β＜k·360°+270°，k∈Z｝.第四象限的角的集合為{α|k·360°+270°＜β＜（k+1)·360°,k∈Z｝.4.終邊相同的角的表示方法一般地，所有與角α終邊相同的角，連同α角在內(nèi)可以用式子k·360°+α(k∈Z）來表示.因此與角α終邊相同的角的集合是{β｜β=k·360°+α(k∈Z)}，即任何與角α終邊相同的角，都可以表示成角α與整數(shù)個(gè)周角的和.對(duì)此表示方法應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：(1）k∈Z；(2)α是任意角；（3）k·360°與α之間是“+”,如β=k·360°—α（k∈Z）表示的則是與角—α終邊相同的角；(4)終邊相同的角不一定相等，但相等的角終邊一定相同,例如：180°角和-180°角的終邊相同但它們不相等；（5）終邊相同的角有無窮多個(gè)，它們相差360°的整數(shù)倍.學(xué)法一得利用與角α終邊相同的角的集合，可把任一角β轉(zhuǎn)化成β=α+k·360°(k∈Z，0°≤α≤360°)的形式.如課本的例1，它的化簡(jiǎn)也可用草式除法進(jìn)行.①—120°=240°-360°；②640°=280°+360°；③-950°12′=129°48′—3×360°。除數(shù)是360°,當(dāng)被除數(shù)是正的角度時(shí),商是正值；當(dāng)被除數(shù)是負(fù)的角度時(shí)，商是負(fù)值,它的絕對(duì)值應(yīng)比被除數(shù)為其相反數(shù)時(shí)相應(yīng)的商大1，這樣可得到其余數(shù)為正值。5?；《戎频母拍铋L(zhǎng)度等于半徑長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角稱為1弧度的角?；《茸鳛閱挝粊矶攘拷堑膯挝恢?叫做弧度制.如圖1—圖1當(dāng)圓心角為周角時(shí)，它所對(duì)的弧長(zhǎng)l=2πr,所以周角是=2πrad。記憶要訣與1°角的定義類比來記憶和理解1弧度角的定義。正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是0.深化升華任意0°-360°的角的弧度數(shù)x=必然適合不等式0≤x＜2π。角的概念推廣以后,弧度數(shù)的概念也隨之推廣，任一正角的弧度數(shù)為正數(shù).如果角α是一個(gè)負(fù)角，則它的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù).零角的弧度數(shù)是0。辨析比較用角度制和弧度制來度量零角，單位不同，但數(shù)量相同(都是0)；用角度制和弧度制來度量任一非零角，單位不同，數(shù)量也不同.6.角度制與弧度制的換算（1）角度換成弧度：抓住360°=2πrad，∴180°=πrad?！?°=rad≈0。01745rad.(2）弧度換成角度:把上面三個(gè)關(guān)系式的第三個(gè)反過來寫,就可以得到1rad=(）°≈57。30°=57°18′。記憶要訣記憶公式要抓住:360°=2πrad這一關(guān)鍵進(jìn)行計(jì)算。應(yīng)熟記以下一些特殊角的角度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值.角度0°30°45°60°90°120°135°150°180°弧度0π角度210°225°240°270°300°315°330°360°弧度2π注意:以弧度為單位表示角的大小時(shí),“弧度”兩字可以省略不寫，但用度為單位表示角時(shí)，度就不能省去.且用弧度為單位表示角時(shí)，常常把弧度數(shù)寫成多少π的形式。引入弧度制后第一、二、三、四象限的角的集合又可以分別表示為{α|2kπ＜α＜2kπ+,k∈Z｝；{α|2kπ+＜α＜2kπ+π，k∈Z}；{α｜2kπ+π＜α＜2kπ+，k∈Z}；{α｜2kπ+＜α＜2kπ+2π,k∈Z}.終邊在x軸上的角的集合S1={β|β=kπ,k∈Z｝。終邊在y軸上的角的集合S2=｛β|β=kπ+,k∈Z}.終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合S3=｛β｜β=，k∈Z｝。誤區(qū)警示有了弧度制后，表示與角α終邊相同的角時(shí)，要注意單位的統(tǒng)一.若α的單位是弧度，則應(yīng)寫成2kπ+α（k∈Z）；若α的單位是角度，則應(yīng)寫成k·360°+α(k∈Z）.7。弧長(zhǎng)公式與扇形面積公式設(shè)長(zhǎng)度為r的線段OA繞端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)形成角α(α為任意角，單位為弧度），若將此旋轉(zhuǎn)過程中點(diǎn)A所經(jīng)過的路徑看成是圓心角α所對(duì)的弧長(zhǎng)，設(shè)弧長(zhǎng)為l，則有|α|=，即l=r·｜α|,這就是圓心角為α的圓弧的弧長(zhǎng)公式,即弧長(zhǎng)等于圓弧所對(duì)的圓心角（的弧度數(shù))的絕對(duì)值與半徑的積.扇形面積公式:當(dāng)|α|≤2π，以｜α｜為圓心角的扇形的面積公式S=lR，其中l(wèi)是扇形弧長(zhǎng)，R是圓的半徑.證明：如圖1-1—2，圓心角為1rad的扇形面積為圖1弧長(zhǎng)為l的扇形圓心角為rad,∴S=··πR2=lR。比較它與扇形面積公式S扇=，該公式要簡(jiǎn)單些.又由于l=r·|α|，∴S=lR=S=｜α|R2.角的概念推廣之后，無論用角度制還是弧度制都能在角的集合與實(shí)數(shù)的集合之間建立一種一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系。任意角的集合實(shí)數(shù)集R圖1典題·熱題知識(shí)點(diǎn)1任意角例1從上午9點(diǎn)到上午10點(diǎn)半，分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是______________________.思路解析：解題時(shí)要注意角的旋轉(zhuǎn)方向,由于鐘表中時(shí)針、分針、秒針都是順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的，所以它們轉(zhuǎn)過的角度均為負(fù)值.從上午9點(diǎn)到上午10點(diǎn)半時(shí)間間隔為一個(gè)半小時(shí)，則分針轉(zhuǎn)動(dòng)了一周半，所以其旋轉(zhuǎn)角度的大小為360°×1.5=540°，又角為負(fù)角,故從上午9點(diǎn)到上午10點(diǎn)半，分針?biāo)D(zhuǎn)過的角度是-540°.答案:—540°方法歸納角的概念推廣后，求角的大小時(shí)，一定要注意角的旋轉(zhuǎn)方向.巧妙變式本題是一個(gè)時(shí)鐘問題，時(shí)鐘的分針、時(shí)針和秒針都是順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的，將角的概念推廣后，它們所轉(zhuǎn)過的角都是負(fù)角.因此本題可以變換題目的條件,使時(shí)、分針逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。如：晚上看新聞聯(lián)播時(shí),小明發(fā)現(xiàn)自已的手表快了5分鐘，他根據(jù)電視上的時(shí)間將手表對(duì)準(zhǔn)，則手表的分針轉(zhuǎn)過的角度應(yīng)是____________________.思路解析：要將表對(duì)準(zhǔn)，則需要逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)分針，其轉(zhuǎn)過的角為正角，而5分鐘為一周的,則應(yīng)為30°。答案：30°例2在與1010°角終邊相同的角中,分別求符合下列條件的角：(1)最大的負(fù)角；(2）最小的正角；(3）-720°—720°的角。思路分析：在—720°—720°的角有四個(gè),求這些角的方法都采用賦值法，即將與1010°角終邊相同的角表示出來，再對(duì)k賦值即可。解：與1010°角終邊相同的角的集合為｛α｜α=k·360°+1010°,k∈Z}.(1)最大的負(fù)角在—360°—0°的范圍內(nèi),則應(yīng)有—360°＜k·360°+1010°＜0°,k∈Z解得k=—3，則最大的負(fù)角為—70°角;（2)最小的正角在0°—360°的范圍內(nèi)，則應(yīng)有0°＜k·360°+1010°＜360°,k∈Z解得k=-2，則最大的正角為290°角；（3)由-720°＜k·360°+1010°＜720°，k∈Z可得k=-4,-3,-2,-1，則-720°-720°的角有：1010°—4×360°=—430°；1010°-3×360°=-70°;1010°-2×360°=290°;1010°—1×360°=650°.方法歸納求某角在某一范圍內(nèi)終邊相同的角時(shí)，可根據(jù)已知條件建立不等式，解不等式求出k的值即可。其中最大的負(fù)角的范圍應(yīng)在-360°—0°,而最小的正角的范圍在0°—360°。例3已知角α的終邊與60°角的終邊相同,則2α和分別是第幾象限角？思路分析：利用終邊相同角的表示方法將角α表示出來，然后求出2α和，再表示為k·360°+β(k∈Z）的形式即可。解：因?yàn)榻铅恋慕K邊與60°角的終邊相同，則α=k·360°+60°(k∈Z).所以2α=2k·360°+120°(k∈Z），則2α為第二象限的角。又=k·120°+20°(k∈Z)，則當(dāng)k=3n(n∈Z）時(shí)，=n·360°+20°（n∈Z），此時(shí)是第一象限角；當(dāng)k=3n+1（n∈Z）時(shí)，=n·360°+140°（n∈Z)，此時(shí)是第二象限角；當(dāng)k=3n+2（n∈Z）時(shí)，=n·360°+260°(n∈Z),此時(shí)是第三象限角.誤區(qū)警示判斷一個(gè)角的終邊位置時(shí)，一定要將角化為k·360°+α（k∈Z)的形式，否則就要出錯(cuò).例4如圖1—1-圖1思路分析：先由y=（x≥0）與60°角的終邊相同,確定y=（x≤0）與240°角的終邊相同，即在0°到360°之間找到以O(shè)為原點(diǎn)的兩條射線終邊相同的角，先寫出與其終邊相同的角的集合，再求并集。解：終邊落在y=(x≥0）上的角的集合是S1={α|α=60°+k·360°，k∈Z｝，終邊落在y=(x≤0）上的角的集合是S2=｛α｜α=240°+k·360°，k∈Z｝.于是，終邊落在y=上的角的集合是S=S1∪S2=｛α｜α=60°+k·360°，k∈Z｝∪{α｜α=240°+k·360°，k∈Z}=｛α|α=60°+2k·180°，k∈Z}∪{α｜α=60°+（2k+1)·180°，k∈Z｝＝｛α|α=60°+180°的偶數(shù)倍｝∪{α|α=60°+180°的奇數(shù)倍}={α|α=60°+180°的整數(shù)倍}=｛α|α=60°+n·180°,n∈Z｝。巧妙變式上題中，角的終邊落在了一條直線上，對(duì)于本題可以變換條件,將直線變換成一個(gè)范圍，找出角終邊在某一范圍內(nèi)角的集合。如：若角α的終邊落在y=x(x≥0)與y=-x(x≤0)所夾的小區(qū)域內(nèi)，求角α的集合.分析：應(yīng)先寫出終邊落在y=x（x≥0）與y=-x(x≤0)上的角的集合，再運(yùn)用不等式寫出所在小區(qū)域內(nèi)的角的集合。知識(shí)點(diǎn)2弧度制例5把67°30′化成弧度。思路分析：利用角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行計(jì)算。解：67°30′=(67）°，∴67°30′=rad×67=πrad。方法歸納化角度制為弧度制時(shí)，需要將用角度表示的角化為以度為單位的角，然后再利用角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行運(yùn)算.例6把πrad化成度.思路分析:利用角度制與弧度制的轉(zhuǎn)化公式進(jìn)行計(jì)算.解：πrad=×180°=144°。方法歸納弧度制化角度制直接代公式即可.但應(yīng)注意幾點(diǎn)：（1)度數(shù)與弧度數(shù)的換算也可借助“計(jì)算器"《中學(xué)數(shù)學(xué)用表》進(jìn)行；（2）今后在具體運(yùn)算時(shí)，“弧度”二字和單位符號(hào)“rad"可以省略.如:3表示3rad、sinπ表示πrad角的正弦；(3)一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對(duì)應(yīng)值應(yīng)該記住.例7一條弦的長(zhǎng)度等于半徑r，求：(1)這條弦所對(duì)的劣弧長(zhǎng)；（2)這條弦和劣弧所組成的弓形的面積．思路分析：由已知可知圓心角的大小為，然后用公式求解即可．解：（1）如圖1—圖1∴∠AOB=．∴弦AB所對(duì)的劣弧長(zhǎng)為r．(2）∵S△AOB=OA·OB·sin∠AOB=r2,S扇形OAB=|α|r2=××r2=r2,∴S弓形=S扇形OAB—S△AOB=r2—r2=(—）r2。誤區(qū)警示1弧度角是弧長(zhǎng)等于半徑的圓弧所對(duì)的圓心角，并非弦長(zhǎng)等于半徑的弦所對(duì)的圓心角.例8已知扇形的周長(zhǎng)為30cm，當(dāng)它的半徑和圓心角各取什么值時(shí)，才能使扇形的面積最大，最大面積是多少？思路分析：利用扇形的弧長(zhǎng)公式和面積公式.利用扇形面積的最大值就應(yīng)建立扇形面積的目標(biāo)函數(shù)，而建立目標(biāo)函數(shù)時(shí),可以選半徑為自變量。解:設(shè)扇形的半徑為rcm,弧長(zhǎng)為l，面積為S，則由已知有l(wèi)+2r=30，即l=30-2r。所以有S=lr=(30-2r)r=—r2+15r=—()2+。所以當(dāng)r=cm時(shí)扇形的面積最大，為cm2，此時(shí)，扇形的圓心角為α===2.方法歸納本題的關(guān)鍵是設(shè)出自變量,建立以面積為函數(shù)的函數(shù)關(guān)系式，利用函數(shù)知識(shí)來處理。深化升華求函數(shù)最值的關(guān)鍵是先把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，建立目標(biāo)函數(shù)，把數(shù)學(xué)問題的解還原說明實(shí)際問題的解，它的定義域除了使解析式有意義外，還要考慮其實(shí)際意義.巧妙變式本題是扇形的周長(zhǎng)是一個(gè)常數(shù),若將常數(shù)換成一個(gè)字母,該題該怎樣處理？如：已知扇形的周長(zhǎng)為定值l，則當(dāng)扇形的圓心角為多少時(shí)扇形的面積最大，并求最大面積是多少？思路解析:利用弧長(zhǎng)公式和扇形的面積建立起扇形的面積與圓心角的函數(shù)關(guān)系式，以圓心角為自變量，然后再求自變量取何值時(shí)面積最大,最大值是多少即可。問題·探究誤區(qū)陷阱探究問題“第一象限角和小于90°的角都是銳角.”這句話是否正確？探究過程：角的概念推廣以后，小于90°的角由銳角、零角和負(fù)角組成，而第一象限的角包含了銳角和其他終邊在第一象限的角。之所以出現(xiàn)錯(cuò)誤，是對(duì)任意角的概念理解不夠透徹,這主要是受初中所學(xué)知識(shí)的影響，總認(rèn)為角的范圍是0°—360°。探究結(jié)論：這句話不正確.由于第一象限的角包含了大于90°和小于0°的角，而小于90°的角可能是銳角、零角或負(fù)角，故它們不一定是銳角.交流討論探究問題是否只有弧度才能將角與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)?探究過程：學(xué)生甲:角的概念推廣以后，出現(xiàn)了正角、負(fù)角和零角.而正角的弧度數(shù)是正數(shù),負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零，故在弧度制中我們不難得出角與實(shí)數(shù)是一一對(duì)應(yīng)的.學(xué)生乙：在角度制中,我們可以將角的單位利用度、分、秒之間進(jìn)(退)位關(guān)系統(tǒng)一化為度,這樣一個(gè)角就有一個(gè)度數(shù)與之對(duì)應(yīng)，也可以建立起角與實(shí)數(shù)之間的一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系。探究結(jié)論：角的概念推廣后，無論是用角度制還是用弧度制，都能在角的集合與實(shí)數(shù)集之間建立一種一一對(duì)應(yīng)關(guān)系.說“每個(gè)角都有唯一的實(shí)數(shù)與它對(duì)應(yīng)”時(shí)，這個(gè)數(shù)可以是角的弧度也可以是角的度數(shù).所以對(duì)應(yīng)法則不是唯一的,但每一個(gè)對(duì)應(yīng)法則下對(duì)應(yīng)的實(shí)數(shù)都是唯一的,因此不只有弧度才能將角與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，角度也可以。材料信息探究已知半徑為1的圓的圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)A(1,0）出發(fā)，依逆時(shí)針方向等速沿這個(gè)半徑為1的圓周繞圓心旋轉(zhuǎn).已知點(diǎn)P在1秒鐘內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ（0°＜θ＜180°,經(jīng)過2秒鐘到達(dá)第三象限，經(jīng)過14秒鐘后又恰好回到出發(fā)點(diǎn).問題根據(jù)上面材料試求θ的值。探究過程：首先要讀懂材料，“點(diǎn)P在1秒鐘內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度為θ（0°＜θ＜180°),經(jīng)過2秒鐘到達(dá)第三象限",就是說180°＜2θ＜270°。點(diǎn)P經(jīng)過14s回到A點(diǎn)的數(shù)學(xué)語言為14θ角的終邊與x軸的非負(fù)半軸重合。由已上兩點(diǎn)，就可以確定出