2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州外國(guó)語高級(jí)中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁2024-2025學(xué)年甘肅省蘭州外國(guó)語高級(jí)中學(xué)高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M={?2,?1,0,1,2}，N={x|x2?x?6?0}，則M∩N=A.{?2,?1,0,1} B.{0,1,2} C.{?2} D.{2}2.在復(fù)平面內(nèi)，(1+3i)(3?i)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限3.在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD=2DA.記CA=m，CD=n，則A.3m?2n B.?2m+3n4.甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有(

)A.30種 B.60種 C.120種 D.240種5.函數(shù)y=3x?3?xcosA. B.

C. D.6.“sin2α+sin2β=1”是“A.充分條件但不是必要條件 B.必要條件但不是充分條件

C.充要條件 D.既不是充分條件也不是必要條件7.已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為5，其中一條漸近線與圓A.15 B.55 C.28.函數(shù)f(x)=x3+ax+2存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是A.(?∞,?2) B.(?∞,?3) C.(?4,?1) D.(?3,0)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.一組樣本數(shù)據(jù)x1，x2，?，x6成等差數(shù)列，其中x1是最小值，xA.x2，x3，x4，x5的平均數(shù)等于x1，x2，?，x6的平均數(shù)

B.x2，x3，x4，x5的中位數(shù)等于x1，x2，?，x6的中位數(shù)

C.x2，x3，x4，x5的標(biāo)準(zhǔn)差不小于x1，x2，?，10.已知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O，AB為底面直徑，∠APB=120°，PA=2，點(diǎn)C在底面圓周上，且二面角P?AC?O為45°，則(

)A.該圓錐的體積為π B.該圓錐的側(cè)面積為43π

C.AC=2211.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線y=?3(x?1)過拋物線C：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)，且與C交于M，N兩點(diǎn)，l為A.p=2 B.|MN|=83

C.以MN為直徑的圓與l相切 D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若y=(x?1)2+ax+sin(x+π13.底面邊長(zhǎng)為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個(gè)底面邊長(zhǎng)為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺(tái)的體積為______．14.設(shè)函數(shù)f(x)=ln(1+|x|)?11+x2，則使得f(x)>f(2x?1)成立的四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題15分)

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊長(zhǎng)為a，b，c，b=a+1，c=a+2．

(Ⅰ)若2sinC=3sinA，求△ABC的面積；

(Ⅱ)是否存在正整數(shù)a，使得△ABC為鈍角三角形？若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．16.(本小題15分)

設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a2=1，2Sn=nan．

(1)求{17.(本小題15分)

如圖，三棱錐A?BCD中，DA=DB=DC，BD⊥CD，∠ADB=∠ADC=60°，E為BC中點(diǎn)．

(1)證明BC⊥DA；

(2)點(diǎn)F滿足EF=DA，求二面角D?AB?F18.(本小題15分)

已知點(diǎn)A(2,1)在雙曲線C：x2a2?y2a2?1=1(a>1)上，直線l交C于P，Q兩點(diǎn)，直線AP，AQ的斜率之和為0．

(1)求l19.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)?x．

(1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2)證明：當(dāng)a>0時(shí)，f(x)>2lna+3參考答案1.C

2.A

3.B

4.C

5.B

6.B

7.D

8.B

9.ABD

10.AC

11.AC

12.2

13.28

14.1315.解：(I)∵2sinC=3sinA，

∴根據(jù)正弦定理可得2c=3a，

∵b=a+1，c=a+2，

∴a=4，b=5，c=6，

在△ABC中，運(yùn)用余弦定理可得cosC=a2+b2?c22ab=42+52?622×4×5=18，

∵sin2C+cos2C=1，

∴sinC=1?cos2C=1?(18)2=3716.解：(1)a2=1，2Sn=nan，可得n=1時(shí)，2a1=2S1=a1，即a1=0，

當(dāng)n≥2時(shí)，由2Sn=nan，可得2Sn?1=(n?1)an?1，兩式相減可得2an=nan?(n?1)an?1，

當(dāng)n=2時(shí)，上式顯然成立，

當(dāng)n≥3時(shí)，ana17.證明：(1)連接AE，DE，

∵DB=DC，E為BC中點(diǎn)．

∴DE⊥BC，

又∵DA=DB=DC，∠ADB=∠ADC=60°，

∴△ACD與△ABD均為等邊三角形，

∴AC=AB，

∴AE⊥BC，AE∩DE=E，

∴BC⊥平面ADE，

∵AD?平面ADE，

∴BC⊥DA．

(2)解：設(shè)DA=DB=DC=2，

∴BC=22，

∵DE=AE=2，AD=2，

∴AE2+DE2=4=AD2，

∴AE⊥DE，

又∵AE⊥BC，DE∩BC=E，

∴AE⊥平面BCD，

以E為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

D(2,0,0)，A(0,0,2)，B(0,2,0)，E(0,0,0)，

∵EF=DA，

∴F(?2,0,2)，

∴DA=(?2,0,2)，AB=(0,2,?2)，AF=(?2,0,0)，

設(shè)平面DAB與平面ABF的一個(gè)法向量分別為18.解：(1)將點(diǎn)A代入雙曲線方程得

4a2?1a2?1=1，

化簡(jiǎn)得a4?4a2+4=0，∴a2=2，故雙曲線方程為x22?y2=1，

由題顯然直線l的斜率存在，設(shè)l：y=kx+m，設(shè)P(x1,y1)Q(x2,y2)，

則聯(lián)立雙曲線得：(2k2?1)x2+4kmx+2m2+2=0，

故x1+x2=?4km2k2?1，x1x2=2m2+22k2?1，

kAP+kAQ=y1?1x19.解：(1)因?yàn)閒(x)=a(ex+a)?x，定義域?yàn)镽，f′(x)=aex?1，

當(dāng)a≤0時(shí)，f′(x)=aex?1<0恒成立，所以f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，令f′(x)=aex?1=0，解得x=?lna，

當(dāng)x<?lna時(shí)，f′(x)<0，則f(x)在(?∞,?lna)上單調(diào)遞減；

當(dāng)x>?lna時(shí)，f′(x)>0，則f(x)在(?lna,+∞)上單調(diào)遞增；

綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)在(?