2024-2025學(xué)年遼寧省高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）（含答案）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年遼寧省高二（上）段考數(shù)學(xué)試卷（10月份）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.下列說(shuō)法正確的是(

)A.零向量沒(méi)有方向

B.在空間中，單位向量唯一

C.若兩個(gè)向量不相等，則它們的長(zhǎng)度不相等

D.若空間中的O，M，N，P四點(diǎn)不共面，則{OM2.已知直線(xiàn)l的傾斜角為2π3，則該直線(xiàn)的一個(gè)方向向量為(

)A.(3,1) B.(3,?1)3.如圖所示，在三棱錐A?BCD中，O為CD的中點(diǎn)，設(shè)BA=a,BC=bA.?a+12b+12c4.已知兩直線(xiàn)l1：3x+4y?14=0，l2：a(x+1)?2x+4y=0，若l1//l2，則lA.95 B.125 C.1755.已知直線(xiàn)l1：ax+y+7=0，l2：(a+2)x?3y+2=0，則“a=1”是“l(fā)1⊥A.充分不必要條件 B.必要不充分條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.已知平面α的法向量m=(2a,3,?2)，平面β的法向量n=(?2,b,1)，若α//β，則a+2b=(

)A.?1 B.1 C.2 D.57.如圖所示，正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別為BC，A.直線(xiàn)DD1與直線(xiàn)AF垂直

B.直線(xiàn)A1G與平面AEF平行

C.三棱錐F?ABE的體積為18

D.直線(xiàn)8.《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱(chēng)為鱉臑，在如圖所示的鱉臑A?BCD中，AB⊥平面BCD.∠BDC=90°，BD=2AB=2CD=2，E是BC的中點(diǎn)，H是△ABD內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)(含邊界)，且EH//平面ACD，則CA?EH的取值范圍是(

)A.[0,3] B.[12,3] C.[二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.已知直線(xiàn)l：(2a?3)x+(1?a)y+1=0，則(

)A.若a=1，則直線(xiàn)l的傾斜角為π2

B.直線(xiàn)l過(guò)定點(diǎn)(1,2)

C.若a=43，則直線(xiàn)l在x軸和y軸上的截距相等

D.若直線(xiàn)10.如圖，四邊形ADEF為正方形，CD⊥平面ADEF，CD//AB，AD=AB=12CD，M為CE的中點(diǎn)，則A.B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共面

B.BM/?/平面ADEF

C.BC⊥平面BDE

D.平面BCF⊥平面BDE11.在正方體ABCD?A1B1C1D1中，EA.當(dāng)點(diǎn)P在線(xiàn)段BC1上運(yùn)動(dòng)時(shí)，A1P與AD1所成角的最大值是π3

B.若點(diǎn)P在上底面A1B1C1D1上運(yùn)動(dòng)，且正方體棱長(zhǎng)為1，AP與AA1所成角為π4，則點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度是π

C.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知直線(xiàn)l：ax+by?1=0(a>0,b>0)過(guò)點(diǎn)P(1,2)，則當(dāng)1a+2b取得最小值時(shí)，直線(xiàn)13.如圖，正三棱柱ABC?A1B1C1的各棱長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O為棱BC上的中點(diǎn)，點(diǎn)E為棱A114.已知正方體ABCD?A1B1C1D1的體積為8，且四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知直線(xiàn)l1：2x+y+4=0與直線(xiàn)l2：x?3y?5=0的交點(diǎn)為M．

(1)求點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)2x?3y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N；

(2)求點(diǎn)A(4,0)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l距離的最大值，并求距離最大時(shí)的直線(xiàn)l的方程．16.(本小題15分)

如圖，AB是半圓O的直徑，C是AB的中點(diǎn)，PA=PB，平面PAB垂直于半圓O所在的平面，PO=AB=2．

(1)若D為PB的中點(diǎn)，證明：OD//平面PAC；

(2)求直線(xiàn)PA與平面PBC所成角的正弦值．17.(本小題15分)

如圖①，在邊長(zhǎng)為4的菱形ABCD中，M，N分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，∠ADC=120°，如圖②，將菱形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折起．

(1)證明：AC⊥MN；

(2)當(dāng)點(diǎn)D折疊到使二面角D?AC?B為直二面角時(shí)，求點(diǎn)D到平面AMN的距離．18.(本小題17分)

如圖，在斜四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=BC=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=19.(本小題17分)

定義：如果在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為(x1,y1)，(x2,y2)，那么稱(chēng)d(A,B)=|x1?x2|+|y1?y2|為A，B兩點(diǎn)間的曼哈頓距離．

(1)已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(3,x)，B(2,?3)，如果它們之間的曼哈頓距離不大于2，求x的取值范圍；

(2)已知A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(a,x)參考答案1.D

2.C

3.A

4.D

5.A

6.A

7.B

8.B

9.ABC

10.BCD

11.CD

12.x+y?3=0

13.[0,114.32315.解：(1)已知直線(xiàn)l1：2x+y+4=0與直線(xiàn)l2：x?3y?5=0的交點(diǎn)為M，

聯(lián)立2x+y+4=0x?3y?5=0，

解得x=?1y=?2，

即M(?1,?2)，

又點(diǎn)M關(guān)于直線(xiàn)2x?3y+1=0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)N，

設(shè)N(a,b)，

則b+2a+1=?322×a?12?3×b?22+1=0，

解得x=?3313y=413，

即N(?3313,413)；

(2)由(1)知M(?1,?2)，

則點(diǎn)A(4,0)到經(jīng)過(guò)點(diǎn)M的直線(xiàn)l距離的最大值為|AM|=16.(1)證明：因?yàn)镺，D分別是AB，PB的中點(diǎn)，

所以O(shè)D//PA，

又OD?平面PAC，PA?平面PAC，

所以O(shè)D/?/平面PAC．

(2)解：因?yàn)镻A=PB，O是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)P⊥AB，

又平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，OP?平面PAB，

所以O(shè)P⊥平面ABC，

所以O(shè)P⊥OC，OP⊥OB，

因?yàn)镃是AB的中點(diǎn)，所以O(shè)C⊥AB，

以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則P(0,0,2)，A(0,?1,0)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，

所以PA=(0,?1,?2)，BP=(0,?1,2)，BC=(1,?1,0)，

設(shè)平面PBC的法向量為n=(x,y,z)，則n?BP=?y+2z=0n?BC=x?y=0，

令z=1，則x=2，y=2，所以n=(2,2,1)，

設(shè)直線(xiàn)PA與平面PBC所成角為θ，

則sinθ=|cos17.解：(1)證明：如圖，取AC的中點(diǎn)O，連接OB，OD，

結(jié)合折疊后線(xiàn)段長(zhǎng)度不變得到AB=BC，AD=DC，

所以AC⊥OB，AC⊥OD，

又OB∩OD=O，OB，OD?平面OBD，

所以AC⊥平面OBD，BD?平面OBD，

所以AC⊥BD，

又M，N分別是BC，CD的中點(diǎn)，

所以MN//BD，

所以AC⊥MN．

(2)因?yàn)辄c(diǎn)D折疊到使二面角D?AC?B為直二面角，

所以平面ABC⊥平面ACD，

又因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD=AC，AC⊥OD，AC?平面ACD，

所以O(shè)D⊥平面ABC，又BO?平面ABC，

所以BO⊥OD，

結(jié)合(1)知OA，OB，OD兩兩垂直，

故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)OA，OB，OD所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O?xyz，

則A(23,0,0)，D(0,0,2)，M(?3,1,0)，N(?3,0,1)，

所以AD=(?23,0,2)，AM=(?33,1,0)，AN=(?33,0,1)，

設(shè)平面AMN的法向量為n=(x,y,z)，

則n?AM18.解：(1)證明：因?yàn)锳B=BC=AA1=2，∠BAA1=∠DAA1=∠BAD=π3，

設(shè)AB=a，AD=bAA1=c，

則a?b=|a|?|b|cosπ3=2，

a?c=|a|?|c|cosπ3=2，

b?c=|b|?|c|cosπ3=2，

所以A1C=A1A+AB+BC=?c+a+b，

又BD=AD?AB=b?a，

所以A1C?BD=(?c+a+b)?(b?a)=?b?c+a?c+b2?a2=?2+2+4?4=0，

故A??1C⊥BD，

因?yàn)樗睦庵鵄BCD?A1B1C1D1且AB=BC，

所以四邊形ABCD為菱形，則AC⊥BD，

又A1C∩AC=A，AC，AC?平面ACC1A1，

所以BD⊥平面ACC1A1；

(2)過(guò)點(diǎn)A1，作A1O⊥AC，A1H⊥AB，連接OH，

設(shè)AC∩BD=M，因?yàn)锽D⊥平面ACC1A1，AO?平面ACC19.解：(1)因?yàn)锳(3,x)，B(2,?3)，故d(A,B)=1+|x+3|，

由曼哈頓距離不大于2，得1+|x+3|≤2，

解得?4≤x≤?2．

綜上，x的取值范圍是[?4,?2]．

(2)因?yàn)锳(a,x)，B(x,?3)，

故d(A,B)=|a?x|+|x?2|，

由題意可得|a?x|+|x?2|>1恒成立，

因?yàn)閨a?x|+|x?2|≥|a?x+x?2|=|a?2|，

當(dāng)且僅當(dāng)(x?2)(a?x)≥0時(shí)等號(hào)成立，即|a?x|+|x?2|的最小值為|a?2|，

所以|a?2|>1，則a?2<?1或a?2>1，解得a<1或a>3．

故a的取值范圍是(?∞,1)∪(3,+∞)．

(3)點(diǎn)A(x,y)在函數(shù)y=3